空间解析几何与向量代数
向量代数与空间解析几何知识点总结
向量代数与空间解析几何知识点总
结
向量代数：
1、定义：向量代数是一种数学技术，用于处理和描述空间中的向量。
2、性质：向量的加法满足交换律、结合律，乘法满足分配律。
3、应用：向量代数可以用来求解空间几何问题，例如夹角的大小、两点之间的距离、点的位置等。
空间解析几何：
1、定义：空间解析几何是一种数学技术，用于研究平面图形和立体图形之间的关系。
2、性质：空间解析几何以点、线、面为基本单位，引入向量代数，通过空间关系、变换、测量等方法来求解几何问题。
3、应用：空间解析几何可以用来解决工程设计、地理学、天文学等领域的实际问题。
微积分第七章空间解析几何与向量代数
第七章 空间解析几何与向量代数 为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术 上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线 方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节 空间直角坐标系一、 空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。
图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2． 求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3． 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4． 求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5． 在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节 向量及其运算一、 向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。
高等数学-第8章空间解析几何与向量代数
b a b≤+，向量与数的乘法a ，方向与、向量与数量乘法的性质(运算律和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速向量A B ''在轴上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1（投影定理）=cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质可推广到有限个向量的情形。
：向量a 在坐标轴上的投影向量向量a 在三条坐标轴上的投影由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a 量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、2x a a a =+acos a b cos a b (,)a b =为向量之间的夹角并且0θπ≤≤。
2a =，因此我们可以把a a ∙简记为x y z z 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， cos ab θ所以2cos xa b a ba θ∙==+两个向量垂直的充分必要条件是sin a b θ，它的方向是垂直于。
a b ⨯=sin a b b 为两边的平行四边形的面积。
如果向量a ={,,a a a }，{,}b b =则a b ⨯=..........x y zi j a a b b b 两向量平行的充分必要条件为也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。
决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。
注意向量的平行、垂直关系及角度。
利。
空间解析几何与向量代数06614
空间解析几何与向量代数一、向量代数（ⅰ）有关空间直角坐标系下点坐标的问题。
1．（4'）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(A) ），，（432- (B) ），，（432- (C) ），，（432-- (D) ），，（432-- 解：（A ）Ⅳ （B ）Ⅴ （C ）Ⅷ （D ）Ⅲ 2．（6'）若)0,3,1(),3,1,1(B A -，则AB 中点坐标为3(1,1,)2，=||AB 5 .3.（7'）求),,(c b a 点关于（1）各坐标面（2）各坐标轴（3）坐标原点的对称点坐标。
解：（1）(,,),(,,),(,,)xoy a b c yoz a b c xoz a b c ------（2）(,,),(,,),(,,)x a b c y a b c z a b c --------- （3）(0,0,0)(,,)o a b c ----4．（4'）若点M 的坐标为),,(z y x ，则向径OM 用坐标可表示为(,,)x y z 或{},,x y z . 5．（8'）一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标。
解：),22,0(),,0,22(),0,22,0(),0,0,22(a a a a a a ±±±±6．（7'）已知)4,2,1(--A ，),2,6(t B -，且9||=AB ，求（1）t ；（2）线段AB 的中点坐标。
解：1080206---55（） 或， （2）（，，）或（，，）22（ⅱ）有关向量概念及向量线性运算的坐标表示。
7．（8'）设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、方向余弦、方向角及单位向量。
解：（1）模2，（2）1123222343πππαβγ--===（，，），，， （3）1111222222---（，，）或（，） 8．（6'）若γβα,,为向量a的方向角，则=++γβα222cos cos cos 1 ；=++γβα222sin sin sin 2 .9.（6'）设）（8,5,3=m ，）（7,4,2--=n 和）（4,1,5-=p ，求向量p n m a-+=34在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量。
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
向量代数与空间解析几何
（一）向量代数 1．知识范围 （1）向量的概念 向量的定义 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示法 向量的方向余弦 （2）向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘 （3）向量的数量积 二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件 （4）二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件 2．要求 （1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。 （2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算方法。 （3）掌握二向量平行、垂直的件。
解: AB = {3, 1, 2}
|AB|
解
解
实例
定义
两向量的数量积
数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：
证
数量积符合下列运算规律：
交换律：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分配律：
若 为数：
数量积的坐标表达式
设
数量积的坐标表达式
两向量夹角余弦的坐标表示式
解
证
4、两向量的向量积
实例
定义
（3）
例1 化简
解
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
与 平行且相等,
结论得证.
[3] 向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律：
结合律：
分配律：
按照向量与数的乘积的规定，
3. 向量的坐标
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01
02
向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 的方向角：
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
由图分析可知
向量的方向余弦
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
11.1 空间解析几何与向量代数
z
O
C
l
y
z
O
y
y
x
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x
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一般地,在三维空间
z
O
方程F(x, y) = 0 表示柱面, 母线 平行于 z 轴;
准线 xOy 面上的曲线 l1.
x l1
y
zl
O
2
方程G( y, z) = 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yOz 面上的曲线 l2.
y
x
z
l3 O
方程H(z, x) = 0 表示 柱面,
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三、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 引例: 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M(x, y, z), 则 AM = BM , 即
(x −1)2 + ( y − 2)2 + (z − 3)2 = (x − 2)2 + ( y +1)2 + (z − 4)2 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0 说明: 说明 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
yOz面
• 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面
Ⅳ
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
OxOy面
y
y轴(纵轴) Ⅵ
x
x轴(横轴) Ⅷ Ⅴ
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在直角坐标系下
→ → 点 M ← 有序数组 (x, y, z) ← 向径 r (称为点 M 的坐标 坐标) 坐标 特殊点的坐标 :
1−−1
由勾股定理得
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空间解析几何与向量代
数
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第八章 空间解析几何与向量代数
一、 选择题
1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B
（A ）、x= y=6 (B)、x= y=6
(C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3
2．平面x -2z = 0的位置是 D 。
（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。
（Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴
3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。
（Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1
4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。
（Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７
5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。
（Ａ）、2
π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６
6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。
（A ）233211+=+=-z y x （C ）1
0101z y x =-=+ （B ）{04404=--=--y x z x （D ）⎪⎩
⎪⎨⎧==+=4321z t
y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。
（A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。
2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。
3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线
51232-==-z y x 的直线方程 为 5
32/1134-=+=-z y x 。
三、计算题
1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程
解 所求平面的法线向量为n (3 7 5)
所求平面的方程为
3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40
2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程
解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为
(x 2)2(y 3)3z 0
即 x 2y 3z 80
3·求过三点M 1(2 1 4)、M 2(1 3 2)和M 3(0 2 3)的平面的方程 解 我们可以用→→
3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n
因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M
所以 →→
k j i k j i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M ? 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为
14(x 2)9(y 1)(z 4)0
即 14x 9y z 150
4· 求过点(4 1 3)且平行于直线5
1123-==-z y x 的直线方程 解 所求直线的方向向量为s (2 1? 5)
所求的直线方程为 5
31124-=+=-z y x ? 5·求过两点M 1(3 2 1)和M 2(1 0 2)的直线方程
解 所求直线的方向向量为s (1 0 2)(3 2 1)(4 2 1)
所求的直线方程为 1
12243-=+=--z y x ? 6.求与两平面 x 4z 3和2xy 5z 1的交线平行且过点(3 2 5)的直线的方程 解平面x 4z 3和2xy 5z 1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s
因为 )34(
512 401 )52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--⨯-=
所以所求直线的方程为 1
53243-=-=+z y x ? 7.一个平面过两点M 1(1 11
1)、M 2(0 1 1)，且垂直于平面x+y+z=0,求其方程
解：1098=-+z y x。