北京大学国家发展研究院微观经济学课件06长期增长 I

假定每个人把收入的一部分用于储蓄，这一 比例用 s 表示，0<s<1。这样，人均收入就可 以表示为： y=(1-s)y+i 整理得到 i=sy (6.5)
投资 (investment) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用于新厂房和设备的支 出。 --人均投资量等于人均储蓄量。 用人均生产函 数代替式中的产出 y，得到 i=sf(k) (6.6) 它表示现有资本存量 k 与新增投资 i 之间的 关系，以及它们与生产函数、消费之间的关 系。
K (t ) K (t ) K (t ) K (t ) L(t ) k (t ) L(t ) 2 L(t ) L(t ) L(t ) L(t ) L(t )
利用(6.8)和(6.9)：
sY (t ) K (t ) k (t ) nk (t ) sf (k (t )) ( n)k (t ) L(t ) (6.10)
Economic Advisers (1961–62). In 1961 he won John Bates Clark Award. In 1987, Solow won the Nobel Prize for his analysis of economic growth. Trevor Winchester Swan (1918–1989) was an Australian economist.
图 6-2 产出、消费与投资之间的关系
折旧 (depreciation)：原有资本的磨损。用 δ 表示折旧占资本存量的比例。
图 6-3 折旧
6.2 模型的动态变动 在研究增长问题的时候，我们关心的是资本 和劳动的存量是如何随时间而变动的，关心 的是要素投入和产出的增长率， 或增长速度。
用X 表示变量 X 的变动量，用X/X 表示 X 的增长率。一个变量的增长率等于该变量的 自然对数对时间 t 的变动率，就是说， X(t)/X(t)=dlnX(t)/dt。这是因为：
劳动：经济增长的又一源泉。劳动：人类体 力和智力在生产活动中的使用。劳动投入常 常用劳动人口的数量或劳动的时数来衡量。 技术进步：经济增长的第三个源泉。技术表 示劳动和资本投入用什么方式结合起来。技 术的进步改变了劳动和资本的组合方式，使 生产效率提高了。
现实中的资本是各式各样的。 在增长模型中， 假定社会上的资本是同质的，因此是可以相 加的。为了便于处理，也假定社会上的劳动 是可以相加的。
规模收益不变的假设使我们可以把生产函数 简化成人均的形式。令(6.2) 式中的 c 为 1/L 得到： Y/L=F (K/L, 1) (6.3)
这里 K/L 是每个工人的资本量，Y/L 是每个 工人的产出量，1 不是变量，可以忽略不计。 把每个工人的平均数量简称为人均数量，这 里的“人均”指每个工人平均（在简化的模 型中通常假设社会上的所有人都是工人，因 此每个工人平均等于每个居民平均）。
d ln X (t ) d ln X (t ) dX (t ) 1 X dt dX (t ) dt X (t )
(6.7)
一个经济社会的资本存量的变化取决于两个 因素，投资量和折旧量。产出用于投资的比 率取决于模型中外生决定的储蓄率 s。 资本存 量在使用过程中发生磨损， 用表示磨损占资 本 存 量 的 比 例 ， 称 为 折 旧 率 (depreciation rate)。 资本存量的变动就是储蓄量减去折旧量： K(t)=sY(t)-K(t) (6.8)
生产函数 长期经济增长有三个最重要的决定因素：劳 动、资本和技术。 资本是物质生产资料的存量， 包括机器设备、 建筑物和存货。 投资是资本存量的增量。
金融资本的存量，例如股票、债券和可用于 投资的货币，不属于增长经济学意义上的资 本和投资。 除了物质资本以外，增长理论也讨论人力资 本(human capital, 运用劳动力所需要的知识 和技能)的作用。
只有在 k*点，两者相等，k=0。因此，无论 经济的初始状态如何， 经济最终都会达到 k*。 因此我们说 k 收敛(converge)于 k*, 把 k*称 为稳定状态 (steady-state) 的人均资本存量。 k 作 为 k 的 函 数 可 以 用 相 位 图 (phase diagram)来表示，如图 6-5 所示。
生产函数的二阶导数 f”(k)<0 意味着给定劳 动投入，当人均资本增加时资本的边际产出 的增加递减。 这个生产函数的斜率表示资本的边际产量， 即每增加一单位资本时增加多少产量。
消费与储蓄 考虑产品的需求一方， 总产出用于哪些用途。 忽略政府购买和净出口，把国民收入恒等式 转换为人均的形式， 人均产出用于人均消费 c 和人均投资 i： y=c+i
索洛模型假设，如果资本和劳动投入加倍， 产出也加倍。生产函数的这一特性被称为不 变规模收益(constant returns to scale)。在这 一假设下，把生产要素都乘以一个非负常数 c，产出也变动 c 倍： F(cL, cK)=cF(L, K) (6.2)
规模收益不变意味着经济已经有相当的规 模，专业化的收益已经被充分吸收，新增加 的投入以与现存投入同样的方式来使用，从 而使产出的增加与投入的增加成比例。
图 6-4 实际投资与收支相抵的投资
投资 收支相抵的投资(+n)k
实际投资 sf(k)
k*
k
图中，收支相抵的投资是维持人均资本存量 不变的投资，与资本存量成比例，是一条始 自原点的直线。 实际投资与人均产出成比例， 是一条曲线。在 k*的左侧，实际人均投资大 于收支相抵的投资，因此人均投资的变动 k>0, 这使人均资本存量 k 上升；在 k*的右 侧，实际人均投资低于收支相抵的投资， k<0，投资的变动是负的，这使 k 下降。
上式是索洛模型的主要结果。人均资本随时 间的变动等于人均投资与需要的投资量之 差。右边第一项人均投资，等于储蓄率 s 乘 以人均产出 f(k(t))。第二项是维持人均资本 存量不变所需要的投资量。
它又分为两部分：第一部分，折旧量k(t)； 第二部分，在人口增长的情况下，为维持人 均资本不变所必须追加的资本量 nk(t)，即人 口增长率乘以人均资本。
econometrics. His interest gradually changed to Macroeconomics. For almost 40 years, Solow and Paul Samuelson worked together on many landmark theories: von Neumann growth theory (1953), Theory of capital (1956), linear programming (1958) and the Phillips Curve (1960). Solow also held several government positions, including senior economist for the Council of
1.资本的动态变动 上式中的资本存量是整个社会中的资本存 量。现在考察人均资本存量的变动。 人均资本存量与总资本存量的不同：由于人 均资本等于总资本除以人口，人均资本存量 的变动不仅受投资和折旧的影响，还受人口 变动的影响。
假定人口增长率是外生给定的，等于 n。那 么人口增量等于人口增长率乘以人口量： L(t)=nL(t) (6.9) 由于 k=K/L，即 k 是 K 和 L 的函数，k 对 t 求导，等于
用小写字母表示人均变量，用 k=K/L 来表示 人均资本，用 y=Y/L 来表示人均产量，就可 以得到以人均形式表示的生产函数。 y=f(k) (6.4)
规模收益不变意味着经济规模不影响人均产 出和人均资本之间的关系。
图 6-1 以人均形式表示的生产函数
在上图所表示的生产函数中，假设生产函数 满足 f(0)=0, f’(k)>0, f”(k)<0 的条件。 资本的边际产出：MPK=f(k+1)-f(k) 生产函数对资本的一阶导数 f’(k)>0 的假设意 味着资本的边际产出为正， 即给定劳动投入， 每增加一单位资本投入所生产的产出为正。
Robert Solow Robert Solow was born in Brooklyn, New York in a Jewish family on August 23, 1924. In September 1940, Solow went to Harvard College with a scholarship. At Harvard, his first studies were in sociology and anthropology as well as elementary economics. By the end of 1942, Solow left the university and joined the U.S. Army. He served briefly in
North Africa and Sicily, and later served in Italy during World War II. He returned to Harvard in 1945, and studied under Wassily Leontief. As his RA he produced the first set of capital-coefficients for the i-o model. In 1949, he accepted an Assistant Professorship in the Economics Department at M.I.T. At M.I.T. he taught courses in statistics and
图 6-5 k 的相位图
k
0
k*
k
索洛模型把关注点放在人均资本 k 上。索洛 模型的主要图形都把 k 作为横轴，看其他变 量如何随人均资本的变动而变动。在相位图 上，我们关注的是 k 的行为。 在稳定状态， 人均资本的变动为 0， 人均资本 k=k*。