直线中的几类对称问题(推荐)
直线中的四类典型对称问题
解 ｌ ｉ： 法： ２ 由３
解 ： 点 Ｂ 的坐标 为 （ ｂ ， 设 ｏ， ） 则 段 Ａ 的 中点 为 （ Ｂ ， ） 。 ＝ ， 线
，直 与 的 得 线ｎ ｚ 交
点 Ｅ ３ 一２ ， Ｅ 一３ ２也 在 直 线 ｂ上 ． （ ， ）且 （ ，） 设直线 ｂ的斜率 为 ， 由轴对 称性质 ， 知直线 ｚ 到直线 ａ的角等于直线 ６到直线 ｚ 的角 ， 由到角公 则 式， 得
１（ ６ 即为 已知 直 线 ， 去 ） ｃ 一３ ． 舍 或 ＝ ８ 故 所 求 对称 直 线 方 程 为 ２ ＋ｌ’ ８＝ ． １， 一３ ０ 点 评 ： 法 １ 转 化 为 点 关 于 点 的对 称 问 题 ， 解 是 利 用 中点坐标公式 求 出对 称点 坐标 ， 再利 用两 点式写 出直线方程 ； 而解法 ２是利用 所求 的对 称直线 与 已 知直线平行 ， 由点 （ 称 中心 ） 再 对 到此两 直线距 离相 等求 出 ｃ 使问题解决 ． ， 四、 线关于直线对称 直 直 线 关 于直 线 的 对 称 问 题 ， 两 种 情 形 ： 此 两 有 ① 直 线 平 行 ， 此 两 直 线 相 交 ． 于 平 行 情 形 比较 简 ② 由 单， 下面介绍第二种情形 ， 其解法通常是“ 求交点 ， 用 到 角 ” 或 是 转 化 为点 关 于 直 线 的 对 称 问 题 ． ， 例 ４ 求直线 ａ ２ Ｙ ：ｘ 一４＝ ０关于直线 ｆ３ ：ｘ＋ ４ 一１ ０对 称 的直 线 ｂ的方 程 ． ＝
Ｉ Ｕ
考试指导
直 线 中 的 四 类 典 型 对 称 问 题 ４ ９
◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇
直线中的对称问题—4类对称题型专题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）关于点的对称点的坐标,（2），关于点对称，求点坐标.解：由题意知点是线段的中点,所以易求（1）（2）.因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程①又与垂直，且斜率都存在即有②由①②解得，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
直线的对称问题
=-1
y
··A′ (x，y)
A·
(2，6)
3 -4+x ·2
+
42+y-2=0
解题要点： k • kAA’ = -1
O
x
AA’中点在l 上（l为对称轴）
点关于直线的对称问题
M (a,b)关于直线l : Ax By C 0(B 0)
的对称点N (x0 , y0 )的求法：
A x0 2
B(45， 85)
l2
l1 y
A
o.
B
.E
x
故直线l2的方程为：y2((285) )
x3
3
4 5
即 2x 11y 16 0 .
求L1关于 L2的对称直线L的方程的方法
解题要点：(先判断两直线位置关系)
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程
P
垂直
l
中点 O
Q
说明两点P和Q关于直线l对称的几何特征
直线l是线段PQ的垂直平分线，即 1.线段PQ的中点在直线l上， 2.线段PQ和直线l垂直
y
P
Q
O
x
例题.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方程为3x+y2=0,求点A关于直线l 的对称点A’的坐标。
解：设 A（′ x,y)
-3·
y-4 x-(-4)
5.直线关于直线y= -x的对称直线的 方程为 A( y) B(x) C 0
练习：求直线3x-2y+6=0关于直线x-2y+1=0的对
称的直线方程。
分析：在直线3x-2y+6=0上取一点 A（0,3），求它关于直线x2y+1=0的对称点为B（2，-1）。
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
灵活解决直线中两类对称问题
灵活解决直线中的两类对称问题平面解析几何所研究的图形许多是对称图形,于是相关的对称问题自然成为高考中的考点之一。
由于这类问题涉及的知识面广,综合性强,因而不少同学因解题方法选择不当,而导致解题过程繁琐、运算量大,以致半途而废。
本文仅就有关直线中的对称问题作以下简述。
一、关于点对称问题1.点关于点对称的问题例1: 求点a(3,5)关于点p(-2,1)的对称点。
解:设点a关于点p的对称点为b(x,y),则∴ b(-7,-3)。
反思:其理论根据就是用中点坐标公式。
结论:点a(x,y)关于点p(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y)。
2.直线关于点对称的问题例2:求直线3x-y-4=0 关于点p(2,-1)的对称直线l的方程。
解法(一)定义法设l上任一点(x,y),其关于p(2,-1)的对称点为a(4-x,-2-y), 又∵点a在直线3x-y-4=0上,∴ 3(4-x)-(-2-y)-4=0,即直线l的方程为 3x-y-10=0。
反思:解法(一)体现了转化思想。
解法(二)待定系数法设直线l的方程为3x-y-m=0,∵点p(2,-1)到两条直线的距离相等,∴ ,∴ m=10 或4(舍去)。
∴直线l的方程为 3x-y-10=0。
反思:解法(二)应用了点到直线的距离公式,体现了方程思想。
解法(三)待定系数法设所求直线l的方程为3x-y-m=0,在直线3x-y-4=0上取一特殊点a(0,-4),则a点关于p点的对称点a(4,2)在直线l上,∴ 4×3-2-m=0,∴ m=10,∴直线l的方程为3x-y-10=0。
反思:解法(三)体现了转化思想和方程思想。
解法(四)直接法在直线3x-y-4=0上取一特殊点a(0,-4),则a点关于p点的对称点a(4,2)在直线l上,直线l的斜率为3,∴ y-2=3(x-4),∴直线l的方程为3x-y-10=0。
反思:解法(四)应用了点斜式体现了转化思想。
解法(五)直接法在直线3x-y-4=0上取两个特殊点a(0,-4),b(2,2),则a、b关于p的对称点为(4,2)和(2,-4),由两点式可得,∴直线l的方程为3x-y-10=0。
解析几何：直线中的对称问题
一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。
由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。
【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。
其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。
由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。
但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。
而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。
定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。
1.6直线中的对称问题(距离之和,距离之差最大最小问题))
在已知直线上取一点（特殊点）求出此点关于直线对 称点，代入所设直线方程.
练习：一条光线经过P(2,3)射在直线 l : x y 1 0 上，反射后经过点Q(1,1),
求：（1）入射光线所在直线的方程
y
（2）这条光线从P到Q所经路线的长度
l : x y 1 0
2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为
____ _x_1 _2_x_2_, _y1__2_y2
3、点 ( x o，yo ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的
条件是 ____A_x_o_+__B_y_o_+__C__=_0_
知识探究
(二)四类对称
中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
l2
0
a 2 4 2
b
2
, 1
解得
a b
4 2
B(4,2)
C· ·B′
由已知l1//l2, 设l2：3x-y+m=0,带入B′ 得m=-10， 所，以l2：3x-y-10=0.
O·
x
B· P·C′
解题要点： 法一： l1//l2 点斜式 或对称两点式
探究3.直线关于点对称
例3.求直线l1 : 3x y 4 0关于点P(2,1)对称的直线 l2的方程. 解 ：设A(x，y)为l2上任意一点，则A关于P的对称点A′(4-x,-2-y)在l1上
x
y x 2
4
4 4
y
1
4 2
2
高二数学直线中的对称问题PPT优秀课件
A ·
l
P ·B
2、当A、B在直线 l 的同侧时，作A(或B)关于
l 的对称点 A1(或B1),则线段A1B(或AB1)与 l 的 交点P使|PA|+|PB| 最小,且最小值为|A1B|(|AB1|).
·B
A
·
P
l
A1·
已知直线 l ： x+y=0, 点 A(–3, 0), B( 0, –5). 试在 l 上求一点 P 使 |PA| + |PB| 最小.
·B
P
X
故作点A关于 y = 0的对称点A1 ∴A1(–3, –3) 连A1B交y = 0于P，则 P使 |PA|+|PB|=|A1B|最小，即y最小值为|A1B|
√ 由A1(–3, –3) B(5,1) 得 |A1B|= 4 5
且 A1B方程为 y = 12(x-3)
由y = 0 得x = 3 ∴P(3,0)
解：以公路为x轴，以M村为原点，建立
直角坐标系（如图）
A
则 A(–500, 500√ 3) B(400√ 3,400)
作A关于x轴的对称点A1
∴ A1(–500, –50√0 3)
连A1B交x轴于C， 则C使 |CA| +|CB|最小。
Y
B
·M C
X
又B（ 40√0 3,400)
A1
∴kA1B =
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
则|P1B|+ | P1C|＞|BC|=|BP|+|PC|.
∴P点为所求的点
y=x
Y ·B
P1,
A· P ·C
O X
∵B(2,4) C(3,1) ∴直线 BC的方程为: y x y=－3x
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直线中的几类对称问题
对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.
一、点关于点的对称问题
点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.
分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.
解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2
45223x
x ，解得⎩⎨⎧==6
4y x ，故C （4，6）.
点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.
二、点关于直线的对称问题
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.
分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.
解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.221AA x y y k x '++-⎛⎫= ⎪-⎝⎭
由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-•--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=51
53y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55⎛⎫-- ⎪⎝⎭
三、直线关于某点对称的问题
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.
分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|
1611|++=++c ，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B （8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
四、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.
分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），
将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l 的方程为x-y+3=0.
点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.
例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.
分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.
解 由⎩⎨⎧=+-=--0
3302y x y x 解得l 1，l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,25•••A ， 设所求直线l 的斜率为k ，
由到角公式得，k
k 31313113+-=⨯+-，所以k=-7. 由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.
点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.
总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.
（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.
（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.
（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.
（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.
练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.
C(7,0)
已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.
C (3,-6)
2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程
2l ：3x-y-10=0
3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.
解：设A(4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为A ′(x 1,y 1) ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=++⨯++⨯145400212042451
111x y y x
解得：⎩⎨⎧-=-=861
1y x ∴A ′(－6，－8)
∴A(4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为(－6，－8)
4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
1111111
1'(,)
5314 4533022
2 7
, (2 7) p l p x y y x x y x y -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩=-⎧⎨=⎩∴-解：设点关于的对称点为则解得对称点的坐标为。
5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n 的方程.
7x+2y+22=0。