数学北师大选修同步练习 第四章§定积分的简单应用 含解析
高中数学北师大版选修2-2第4章 典型例题：定积分的简单应用
定积分的简单应用定积分是高中新增的数学的内容，是高等数学的基础。
它在初等数学中有着广泛的应用。
下面举例说明如下，供同学们学习时参考。
一．求函数表达式 例1.设)(x f 连续，且⎰+=1)(2)(dtt f x x f ，求)(x f .解：记⎰=10)(dtt f a ，则a x x f 2)(+=两端积分得：⎰⎰+=+=101221)2()(a dx a x dx x fa a 221+=，21-=a 1)(-=∴x x f 。
二、计算平面图形的面积 例2计算正弦曲线y=sinx 在上与x 轴所围成的平面图形的面积。
解：。
例3.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x x x x x x A . 三、平行截面面积为已知的立体体积例4曲线()1522=-+y x 绕x 解：⎰--+=11222)15(dx x V π，⎰---=11221)15(dx x V π2)2-12V V V -=⎰--+=1122)15(dx x π⎰----1122)15(dx x π211210220120ππππ=⋅=-=⎰-dx x四、求旋转体的体积例5求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积。
解：建立如右图坐标系，则圆锥体可看成是由直线 ,x hry =h x =及x 轴所围成三角形绕x 轴旋转一 周而成，故圆锥体体积h r x hr x x h r V hh2003222π313πd )(π=⋅==⎰. 五、求函数利润问题 例6六、在物理中的应用例7汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-2．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 1c xdx =⎰，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<3．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：A ．2π5B ．32C ．43D ．π24．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 5．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．926．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+7．图中阴影部分的面积用定积分表示为（ ）A ．12d xx ⎰B ．()1021d xx -⎰C ．()1021d xx +⎰D ．()1012d xx -⎰8．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3 B ．32ln 2+C ．223e -D ．e9．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．16 B ．13C ．12D ．5610．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．32911．已知函数()[](]2sin ,,01,0,1x x f x x x π⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()1f x dx π-=⎰（ ） A ．2π+B ．2πC ．22π-+D ．24π-12．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）. A ．224r πB ．283r πC ．514r πD ．42r π二、填空题13．由直线2x y +=，曲线2y x =所围成的图形面积是________ 14．12021sin x dx xdx π--=⎰⎰______15．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.16．曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.17．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21ae dx x=⎰________________ 18．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．19．定积分11d ex x ⎰的值为____________________. 20．定积分120124x x dx π⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰的值______. 三、解答题21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点()0,2，且()28f x dx =⎰.（1）求函数()f x 的表达式.（2）若函数()22g x x =+，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.22．已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围； （2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e 与232a e+的大小. 23．求曲线y x =，2y x =-，13y x =-所围成图形的面积．24．如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上 已知工业用地每单位面积价值为3a 元()0a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元．（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；（Ⅱ）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大．25．已知函数2()11xf x x =++，2()e (0)ax g x x a =<． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若对任意1x ，2[0,2]x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．26．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.2．C解析：C【解析】因为1113212312000000111122,,|223333a xdx x b x dx x c xdx x =========⎰⎰,所以b ac <<,故选C.3．C解析：C 【解析】试题分析：由图像可知函数解析式为()21f x x =-+∴由定积分的几何意义可知面积()12311111141|113333S x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 考点：定积分及其几何意义4．A解析：A 【解析】试题分析：'0x x y e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12考点：导数的几何意义及直线方程5．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。
高中数学第四章定积分1定积分的概念同步练习北师大版选修22
高中数学第四章定积分 1 定积分的概念同步练习北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.用定积分定义求由x=2,x=3,y=21x,y=0围成的图形的面积.解:在[2,3]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间[2,2+n1],[2+n1,2+n2]…[2+ nn1-,3],记第i个区间为[2+ni1-,2+ni](i=1,2,…,n),其长度为Δx=n1.分别过上述n-1个分点作x轴的垂线与曲边梯形相交,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别为ΔS1、ΔS2、…ΔS n,显然S=∑=∆niiS1,设f(x)=21x,如图所示,当n很大时,Δx很小,在区间[2+ni1-,2+ni]上,可以认为函数f(x)=21x的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于ξi=)2)(12(nini+-+处的函数值f(ξi)=)2)(12(1nini+-+,这样在区间[2+ni1-,2+ni]上,用小矩形面积ΔS′i近似地代替ΔS i,则有ΔS i≈ΔS′i=f(ξi)·Δx=)2)(12(nini+-+·n1=(i=1,2,…,n).∴S n=∑=ni1ΔS′i=∑=ni1f(ξi)·n1=n1［3)12(1)22)(12(1)12(21•-+++++++nnnnn］=2161312131121221121121=-=--+++++++-nnnnn.思路分析:定积分的概念产生于分割、近似代替、求和、取极限这四步.故用四步法求定积分要注意解题的层次性,当然本题省略了求极限这一步.2.已知某物体做直线运动,其在时刻t(s)的速度为v(t)=t3(m/s),求物体在时刻t=0秒至时刻t=5秒这5秒时间内运动的距离.解:s=⎰05v(t)dt=∑=nk1(n5·k）3·n5(n→∞)=∑=nk1445n·k3(n→∞)=445n［2)1(+nn］2(n→∞)=454≈(米）.答:该物体在5秒内运动的距离为156.25米.思路分析：⎰abv（t）dt指速度为v（t）的运动的物体从时刻a到时刻b所运动过的路程。
北师大数学选修22配套作业：第四章 定积分 §1 含解析
第4章 §1 定积分的概念A 级 基础巩固一、选择题1．一辆汽车作变速直线运动，汽车的速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)之间具有如下函数关系：v (t )＝t 22＋6t .求汽车在0≤t ≤2这段时间内行驶的路程s 时，将行驶时间等分成n 段，下列关于n 的取值中，所得估计值最精确的是( D )A ．5B ．10C ．20D ．50[解析] 将行驶时间等分得越细，得到的估计值越精确，故选D.2．已知曲线y ＝f (x )在x 轴下方，则由y ＝f (x )，y ＝0，x ＝－1和x ＝3所围成的曲线梯形的面积S 可表示为( C )A. ⎠⎛－13f (x )d xB. ⎠⎛－31f (x )d xC ．－⎠⎛－13f (x )d xD ．－⎠⎛－31f (x )d x[解析] 因为f (x )位于x 轴下方，故f (x )<0， ∴⎠⎛－13f (x )d x <0，故上述曲边梯形的面积为－⎠⎛－31f (x )d x . 3．设f (x )＝x 2＋x 6，则与⎠⎛－a 0f (x )d x 的值一定相等的是( B )A ．0B ．2⎠⎛－a 0f (x )d x C ．⎠⎛－a 0f (x )d xD ．⎠⎛0a f (x )d x[解析] f (x )为偶函数，故它在[－a,0]上和[0，a ]上的图像关于y 轴对称，由定积分的几何意义可知⎠⎛－a 0f (x )d x ＝⎠⎛0a f (x )d x .4．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( D )A. ⎠⎛－11x 2d xB. ⎠⎛－112x d xC. ⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD. ⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x[解析] 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D.5．若⎠⎛a b f (x )d x ＝1，⎠⎛a b g (x )d x ＝－3，则⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]d x ＝( C )A ．2B ．－3C ．－1D ．4[解析] ⎠⎛a b [2f (x )＋g (x )]d x ＝2⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab g (x )d x ＝2×1－3＝－1. 6．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a 、b 、c 的大小关系为( B )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b二、填空题7．某汽车作变速直线运动，在时刻t (单位：h)时的速度为v (t )＝t 2＋2t (单位：km/h)，那么它在3≤t ≤4这段时间内行驶的路程s (单位：km)可表示为⎠⎛34(t 2＋2t )dt .[解析] 如图所示，阴影部分的面积表示汽车在3≤t ≤4这段时间内行驶的路程s ，则s ＝⎠⎛34v (t )dt ＝⎠⎛34(t 2＋2t )dt .8.⎠⎛06(2x －4)d x ＝12.[解析] 如图A (0，－4)，B (6,8)，M (2,0)， S △AOM ＝12×2×4＝4， S △MBC ＝12×4×8＝16，∴⎠⎛06(2x －4)d x ＝16－4＝12. 三、解答题9．用图像表示下列定积分： (1)⎠⎛12log 2x d x ； (2)⎠⎛26x d x . [解析] (1)⎠⎛12log 2x d x 表示曲线y ＝log 2x ，直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的曲边梯形的面积，如图中阴影部分所示．(2)⎠⎛26x d x 表示直线y ＝x ，x ＝2，x ＝6及x 轴围成的直角梯形的面积，如图中阴影部分所示．10．(2019·青岛高二检测)利用定积分的几何意义求1－x 2d x .[解析] 由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)的图形为半圆，故1－x 2d x为圆心角120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×2π3×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝2×32×12＝32. ∴1－x 2d x ＝π3＋34.B 级 素养提升一、选择题1．下列命题不正确的是( D )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b )上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b )上恒正[解析] 本题考查定积分的几何意义，对A ：因为f (x )是奇函数，所以图像关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确．对B ：因为f (x )是偶函数，所以图像关于y 轴对称，故图像都在x 轴下方(或上方)且面积相等，故B 正确．C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．2．(2019·威海高二检测)已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( D )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图像与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S△AEF＝12|AE||EF|＝12×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故选D.二、填空题3．已知f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)且⎠⎛1f(x)d x＝1，则f(x)的解析式为f(x)＝65x＋25.[解析]设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(x)图像过(3,4)点，∴3a＋b＝4.又⎠⎛1f(x)d x＝⎠⎛1(ax＋b)d x＝a⎠⎛1x d x＋⎠⎛1b d x＝12a＋b＝1.解方程组⎩⎨⎧3a＋b＝4，12a＋b＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a＝65，b＝25.∴f(x)＝65x＋25.4．比较大小：⎠⎛－2e x d x>⎠⎛－2x d x.[解析]⎠⎛－2e x d x－⎠⎛－2x d x＝⎠⎛－2(e x－x)d x，令f(x)＝e x－x(－2≤x≤0)，则f′(x)＝e x－1≤0，∴f(x)在[－2,0]上为减函数，又f(0)＝1>0，∴f(x)>0，由定积分的几何意义又知⎠⎛－2f(x)d x>0，则由定积分的性质知，⎠⎛－2e x d x>⎠⎛－2x d x.三、解答题5．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x3x∈[－2，2)，2x x∈[2，π)，cos x x∈[π，2π].求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．[解析]由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3d x ＝0，⎠⎛2π2x d x ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4，⎠⎛π2πcos x d x ＝0，由定积分的性质得 ⎠⎛－22πf (x )d x ＝⎠⎛－22x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝π2－4. 6．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ； (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x . [解析] (1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3(⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ) ＝3×(14＋154)＝12. (2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6(⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ) ＝6×(73＋563)＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛123x 2d x －⎠⎛122x 3d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x＝3×73－2×154＝－12.C 级 能力拔高画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积． (1)y ＝|sin x |，y ＝0，x ＝2，x ＝5； (2)y ＝log 12x ，y ＝0，x ＝12，x ＝3.[解析] (1)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S ，则S ＝⎠⎛25|sin x |d x或S ＝⎠⎛2πsin x d x ＋⎠⎛π5(－sin x )d x＝⎠⎛2πsin x d x －⎠⎛5πsin x d x .(2)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S .则。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用二定积分在物理中的应用(2)
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速 度v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4 (t2 4t 3)dt 0
4 3
,t=4s时刻该点距出发点4/3m
(2) S 1(t2 4t 3)dt | 3 (t2 4t 3)dt | 4 (t2 4t 3)dt 4
练习:
1.物体以速度 v(t) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线运动,它
C 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m
(A)9
(B)18
(C)27
(D)36
S
3
v(t )dt
0
3 0
(3t
2
2t
3)dt
(t
3
t
2
3t )
|03
27
2.以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度
为 v 40 10t (单位: m s ),试将物体的高度表示为时
间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m).
解:记物体时刻 t 的高度为 h(t ) ,∵ h(0) 0
∴
h(t )
t
h(0) 2021/3/290
(40
10
x)dx
=
40 x
5
x2
|0t
=
40t
5t 2
∴物体的高度表示为时间 t 的函数式为 h(t) 40t 5t 2
车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知:
3t (0≤ t ≤10)
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ）A ．34B ．3ln 22+ C ．55ln 22+ D ．3ln 2+3．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d xB ．2π40⎰(sin x －cos x )d xC ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x4．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π5．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 6．22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 17．设曲线e x y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e --B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-8．函数()22,04,02x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，则22()f x dx -⎰的值为（ ）A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．89．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值11．已知320n x dx =⎰，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．823B ．845C ．965-D ．87712．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．由函数()ln f x x x x =-的图像在点(,())P e f e 处的切线,l 直线1x e -=直线x e =（其中e 是自然对数的底数）及曲线ln y x =所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积S =_________.14．424(16)x x dx --=⎰__________．15．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.16．在下列命题中①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）. 17．1201x dx -=⎰__________．18．已知()[](]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()21f x dx -=⎰______． 19．2(1)x dx -=⎰________.20．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．三、解答题21．已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数⑴当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;⑵若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.22．已知函数21()ln (1)12f x x ax a x =-+-+． （1）当1a =时，）求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）求函数()f x 在[]1,2x ∈时的最大值．23．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.24．已知函数()ln f x x a x =-， ()R a ∈. （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数； （2）设()1a g x x+=-，若不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，求a 的取值范围. 25．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 26．已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．2．B解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.3．D解析：D 【解析】π40⎰(-sin x +cos x )d x 2π4π+⎰(sin x -cos x )dx=2π40⎰(cos x －sin x )d x ,选D. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．4．A解析：A 【解析】由三视图可得：DC ⊥平面ABC 且底面ABC 为正三角形，如图所示，取AC 中点F ，连BF ，则BF AC ⊥，在Rt BCF 中，2BF =，2CF =，4BC =， 在Rt BCD 中，4CD =，所以42BD =ABC 的距离为d ，因为DC ⊥平面ABC ，且底面ABC 为正三角形，所以2d =，因为ABC 的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得22228R d =+=，则该三棱锥外接球的半径22R =以三棱锥外接球的表面积是2432R ππ=，故选A ．点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC ⊥平面ABC 、求出ABC 的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.解析：D【解析】由题意得()22130f x x a x =+-≥'在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即22max 13a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，因为2213y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2213131334,444y x a x =-<-=≥，选D. 点睛：已知函数单调性求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数单调区间取法，根据单调区间与定义区间包含关系，确定参数值或取值范围；（2）利用导数转化为导函数非正或非负恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.6．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.7．D解析：D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112xx S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.解析：A 【分析】 先求出22()f x dx -=⎰2264x dx +-⎰,再求出2204x dx π-=⎰即得解.【详解】 由题得2022220222201()(2)4(2)|42f x dx x dx x dx x x x dx ---=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰22064x dx =+-⎰,设24(02,0)y x x y =-<≤≥,所以22+4x y =，所以24(02,0)y x x y =-<≤≥表示圆22+4x y =在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点)，其面积为14=4ππ⨯⨯. 所以204x dx π-=⎰.所以22()6f x dx π-=+⎰.故选：A 【点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．C解析：C 【分析】由函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，得10122()cos 2f x dx xdx dx ππ--=+⎰⎰⎰，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，可得110100222()cos 2sin |2|123f x dx xdx dx x x πππ---=+=+=+=⎰⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．B解析：B 【分析】根据定积分的运算，可得321()23f x x x =-，再利用导数求得()f x 的单调性和极值，检验端点值，即可得答案. 【详解】由题意，函数3232011()(4)2233xxf x t t dt t t x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，则2()4(4)f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 又由7(1)3f -=-，(0)0f =，32(4)3f =-，25(5)3f =-， 所以函数()f x 的最大值为0，最小值为323-. 故选：B . 【点睛】本题考查定积分的运算，利用导数求函数的最值问题，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.11．A解析：A 【分析】利用微积分基本定理，可计算得329n x dx ==⎰，又210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-利用赋值法，令1x =，可得解 【详解】由题意3323200|3093x n x dx ===-=⎰ 令1x =有：901210(21)(23)3a a a a +++⋅⋅⋅+=+-=-210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-令1x =有：9812102...10(23)27(21)(23)82a a a +++=--+-=- 故12310012102310823a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+故选：A 【点睛】本题考查了导数、定积分和二项式定理综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题12．B解析：B 【解析】 【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =，所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．【分析】利用导数求得切线的方程利用定积分计算出阴影部分的面积【详解】所以切线的方程为：故阴影部分面积为故答案为：【点睛】本小题主要考查切线方程的计算考查定积分计算面积属于中档题解析：2221122e e e++-【分析】利用导数求得切线l 的方程，利用定积分计算出阴影部分的面积. 【详解】()()()''ln ,ln 1,0f x x f e e f e e e ====-=，所以切线l 的方程为：y x e =-.故阴影部分面积为()2111ln ln |2e e eex x e dx x x x x ex ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭⎰2221111111ln ln 22e e e e e e e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--⋅+---+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦22121122e e e ⎡⎤=⋅---+⎢⎥⎣⎦2221122e e e ++-=. 故答案为：2221122e e e++-【点睛】本小题主要考查切线方程的计算，考查定积分计算面积，属于中档题.14．【分析】由题原式等于利用积分的几何意义分别求得其定积分可得答案【详解】由题表示的几何意义为：以（00）为圆心4为半径的圆在第一第二象限的面积所以=所以故答案为【点睛】本题考查了定积分熟悉理解定积分的 解析：8π【分析】由题，原式等于4444xdx --+⎰，利用积分的几何意义分别求得其定积分，可得答案.【详解】由题444444)x dx xdx ---=+⎰⎰4-表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以44-=21482ππ⨯= ，440xdx -=⎰所以424(16)8x x dx π--+=⎰故答案为8π【点睛】本题考查了定积分，熟悉理解定积分的几何意义是解题的关键，属于中档题.15．【分析】三角函数的对称性可得S=2求定积分可得【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx ）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为2﹣2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积解析：222-【分析】三角函数的对称性可得S=2()40cosx sinx dx π-⎰，求定积分可得． 【详解】 由三角函数的对称性和题意可得S=2()40cosx sinx dx π-⎰ =2（sinx+cosx ）40|π=2（22+22）﹣2（0+1）=22﹣2 故答案为22﹣2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．16．②④⑤【解析】①函数在定义域内不为单调递减函数在和为单调递减函数；；②已知定义在上周期为4的函数满足则所以一定为偶函数；③若为奇函数则；④已知函数则即有极值充分性成立；有极值所以不必要；⑤函数为单调解析：②④⑤【解析】①函数()1f x x=在定义域内不为单调递减函数，在(,0)-∞ 和(0,)+∞ 为单调递减函数；；②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足()()22f x f x -=+， 则()(4)()f x f x f x =-=-所以()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()0a a f x dx -=⎰； ④已知函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，2()32,f x ax bx c +'=+ 则0a b c ++=22224124()124()0b ac a c ac a c ac ⇒∆=-=+-=+-> ，即()f x 有极值，充分性成立；()10,2a b c f x ===-，，，也有极值，所以不必要； ⑤函数()sin f x x x =-为单调递增奇函数，所以0a b +>，则()()(),f a f b f b >-=-即 ()()0f a f b +>. 正确命题的序号为②④⑤17．【解析】根据积分的几何意义原积分的值即为单元圆在第一象限的面积则 解析：4π 【解析】 根据积分的几何意义，原积分的值即为单元圆在第一象限的面积 则12014x dx π-=⎰18．【解析】由题意可得答案：【点睛】求定积分的题型一种是：几何方法求面积一般是圆第二种是：求用被积函数的原函数用积分公式第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0本题考查了第一种和第二种解析：π423+ 【解析】由题意可得()212221111(1)f x dx x dx x dx --=-+-=⎰⎰⎰2214()|2323x x ππ+-=+，答案：423π+． 【点睛】求定积分的题型，一种是：几何方法求面积，一般是圆．第二种是：求用被积函数的原函数，用积分公式，第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0.本题考查了第一种和第二种．19．【详解】试题分析：考点：定积分的计算【名师点睛】本题主要考查定积分的计算意在考查学生的运算求解能力属于容易题定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解 解析：.【详解】试题分析：222001(1)02x dx x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰. 考点：定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解. 20．【解析】【分析】确定被积函数与被积区间利用用定积分表示面积即可求得结论【详解】曲线y=sinx 与直线x=0x=π4y=0所围成的封闭图形的面积为0π4sinxdx=-cosx|0π4=1-22故答案解析：【解析】【分析】确定被积函数与被积区间,利用用定积分表示面积,即可求得结论.【详解】曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ，故答案为.【点睛】 本题主要考查利用定积分求面积，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.三、解答题21．(1)()a y g x x x ==+(2)=- 2ln2 +ln3 【详解】导数部分的高考题型主要表现在：利用导数研究函数的性质，高考对这一知识点考查的要求是：理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．⑴∵()ln f x x =,∴当0x >时,()ln f x x =; 当x<0时,()ln()f x x =-∴当x>0时,1()f x x '=; 当0x <时,11()(1)f x x x⋅-'==- ∴当0x ≠时,函数()a y g x x x ==+⑵∵由⑴知当0x >时,()a g x x x=+,∴当0,0a x >>时,()2g x a ≥当且仅当x a =时取等号∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2a , ∴依题意得22a =，∴1a =； ⑶由2736{1y x y x x =+=+解得2121322{,{51326x x y y ==== ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积=- 2ln2 +ln322．（1）32ln 22y x =-++（2）max 143ln 2,211()ln ,12232,12a a f x a a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()2f '，再根据点斜式可得切线方程；（2）先研究导函数符号变化规律：当12a ≤时，为正；当112a <<时，先正后负；当1a ≥时，为负，对应确定单调性，进而确定函数最值试题解：（1）当1a =时，()21ln 12f x x x =-+ ∴()1f x x x'=- ∴()322f '=-，即32k 切=- 已知切点为()2,1ln2-+∴切线的方程为：32ln22y x =-++ （2）∵()()()21112ax a x f x x x -+-+≤'=≤当0a ≤时，()0f x '>在[]1,2x ∈恒成立∴()f x 在[]1,2x ∈单调递增∴()()max 243ln2f x f a ==-++ 当102a <≤时，()f x 在[]1,2x ∈单调递增 ∴()()max 243ln2f x f a ==-++ 当112a <<时，()f x 在11,x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在1,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减 ∴()max 11ln 2f x f a a a⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 当1a ≥时，()f x 在[]1,2x ∈单调递减∴()()max 3122f x f ==-+ 综上所述()max 1432,211,12232,12a ln a f x lna a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩23．(Ⅰ)3a=-,2b =-；(Ⅱ)[]4,16-；(Ⅲ)124t ≤≤ 【解析】试题分析：(Ⅰ)由导函数研究原函数切线的方法得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得3a =-,2b =-；(Ⅱ)将不等式恒成立的问题分类讨论可得实数t的取值范围是124t ≤≤+ 试题（Ⅰ）()232f x x ax '=+ ∴()1323f a =+=-' ∴3a =- ∴()323f x x x =-因为()113f b =-= ∴2b =- （Ⅱ）由（Ⅰ）得()323f x x x =- ∴()236f x x x '=- 令()0f x '= 解得120,2x x ==()()()()14,00,24,416f f f f -=-==-=∴()f x 的值域是[]4,16- （Ⅲ）因为[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立∴()22160tx t x -++≥在[]1,4上恒成立，令()()2216h x tx t x =-++对称轴为1t x t +=因为0t >∴11t x t+=> ∴()21441240t t t t +⎧<⎪⎨⎪∆=+-≤⎩或()()144168160t t h t t +⎧≥⎪⎨⎪=-++≥⎩ 解得：t的取值范围为124t ≤≤+ 24．（1）见解析；（2）2e 12,e 1⎛⎫+- ⎪-⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）求导，由导函数等于0及单调性确定极值点即可；（2）不等式()()f x g x >对任意[]1,x e ∈恒成立，即函数()1a h x x x+=+ ln a x -在[]1,e 上的最小值大于零,求导讨论函数单调性求最值即可.试题（1）()1a x a f x x x'-=-=（0x >）， 当0a ≤时， ()0f x '>在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞单调递增， ()f x ∴在()0,+∞上没有极值点.当0a >时， ()0f x '<得0x a <<， ()0f x '>得x a >，()f x ∴在()0,a 上递减，在(),a +∞上递增，即()f x 在x a =处有极小值，无极大值. ∴当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上没有极值点，当0a >时， ()f x 在()0,+∞上有一个极值点.（2）设()()()h x f x g x =- 1ln a x a x x+=+-（0x >）， ()211a a h x x x +'=-- ()221x ax a x --+= ()()211x x a x ⎡⎤+-+⎣⎦=， 不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，即函数()1a h x x x +=+ln a x -在[]1,e 上的最小值大于零.①当1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减.所以()h x 的最小值为()e h ， 由()1e e e a h +=+ 0a ->可得2e 1e 1a +<-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1e 1a +-≤<-.②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++>可得2a >-，即20a -<≤. ③当11e a <+≤，即0e 1a <≤-时，可得()h x 最小值为()1h a +，因为()0ln 11a <+<，所以()0ln 1a a a <+<，故()12h a a +=+ ()ln 12a a -+>，即0e 1a <<-. 综上所述， a 的取值范围是： 2e 12,e 1⎛⎫+- ⎪-⎝⎭. 点睛：已知函数不等式恒成立求参数常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；25．图形面积为403． 【详解】首先利用已知函数和抛物线作图，然后确定交点坐标，然后利用定积分表示出面积为26028(6)A xdx x dx =+-⎰⎰，所以得到 322620228|(6)|32x A x x =⨯+-,由此得到结论为403 解：设所求图形面积为A ，则26028(6)A xdx x dx =+-⎰⎰322620228|(6)|32x A x x =⨯+-=403．即所求图形面积为 403．26．(1)2,；（2）22π. 【分析】（1）根据题意可知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为00sin S xdx π=⎰，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为20sin V xdx ππ=⎰，根据定积分的定义解之即可． 【详解】（1）000sin cos |(cos )(cos0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰；（2）220011sin sin 2|(0)24242x V xdx x πππππππ⎛⎫==-=-⨯= ⎪⎝⎭⎰. 【点睛】 本题主要考查定积分的几何意义，意在考查灵活利用所学知识解答问题的能力，属于中档题.。
高中数学第四章定积分3定积分的简单应用例题与探究北师大版选修22
高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.复合函数的定积分的求法. (1)“凑型”法有些定积分的计算题,直接应用积分公式不好求,甚至是不能求,此时应将被积函数进行适当变形后再求解. (2)“变量代换”法过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础环境发生转化,其中体现出来的数学思想就是等价转化思想.在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要用于“把不可直接运用积分公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题”. 2.分段函数的定积分的求法.学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段的形式给出的.在积分的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函数定积分可以利用积分的可加性,将区间[a,b]上的积分按分段函数的段分成几部分积分的和.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即是按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细. 3.任意曲边形面积的计算方法.几种常见的曲边梯形面积的计算方法有几种？计算公式是什么？ (1)x 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中f (x)≥0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=⎰a bf(x)dx(如图a); ②由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≤0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=|⎰abf(x)dx|=-⎰a bf(x)dx(如图b);③由两条曲线y=f(x),y=g(x)(其中f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a<b) 所围成的曲边梯形的面积:S⎰a b|f(x)-g(x)|dx(如图c);图a 图b 图c(2)y 型区域(如图所示):①由一条曲线y=f(x)(其中x≥0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)得x=h(y),然后利用S=⎰a bh(y)dy 求出(如图a);②由一条曲线y=f(x)(其中x≤0)与直线y=a,y=b(a<b)以及y 轴所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x)先求出x=h(y),然后利用S=|⎰abh(y)dy|=-⎰a bh(y)dy 求出(如图b);③由两条曲线y=f(x),y=g(x)与直线y=a,y=b(a<b)所围成的曲边梯形的面积,可由y=f(x),y=g(x)先分别求出x=h 1(y),x=h 2(y),然后利用S=⎰a b|h1(y)-h 2(y)|dy 求出(如图c).图a 图b 图c高手支招4典例精析【例1】 计算下列定积分. (1)⎰-13(4x-x 2)dx; (2)⎰0221xx +dx ；(3)⎰02π(x+sinx)dx;(4)⎰-22ππcos 2xdx.思路分析：由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求出被积函数的一个原函数.解：(1)⎰-13(4x-x 2)dx=(2x 2-33x )|3-1=(2·32333-)-［2x(-1)23)1(3--］=320; (2)⎰0221x x +dx=21x+|2=(221+-1)=5-1;(3)⎰02π(x+sinx)dx=(22x -cosx)|20π=［2)2(2π-cos 2π］-(0-1)=82π+1;(4)⎰-22ππ-2πcos 2xdx=⎰-22ππ22cos 1x +dx=2x |22ππ-+41sin2x |22ππ-=2π.【例2】 求函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2[,2]2,1[,]1,0[,3x x x x x x 在区间[0,3]上的积分.思路分析：f(x)在[0,3]上的积分可按照f(x)的分段标准,分成[0,1],[1,2],[2,3]上三段积分的和.解：由积分的性质知,⎰03f(x)dx=⎰01f(x)dx+⎰12f(x)dx+⎰23f(x)dx=⎰01x 3dx+⎰12x dx+⎰232xdx=⎰01x 3dx+⎰1221x dx+⎰232x dx=44x |10+3223x|21+2ln 2x|32=41+234-32+2ln 42ln 8- =2ln 4324125++-. 【例3】 已知函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤.42,1,22,1,20,sin x x x x x ππ求⎰04f(x)dx.思路分析：将[0,4]上的积分分成[0,2π],[2π,2],[2,4]三个区间上的积分. 解：⎰04f （x ）dx=⎰2πsinxdx+⎰22π1dx+⎰24（x-1）dx=-cosx |20π+x |22π+(22x -x ）|42=1+(2-2π)+(4-0)=7-2π. 【例4】 (2006山东青岛二模)已知f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,⎰01f （x ）dx=-2,求a,b,c 的值.思路分析：本题主要考查函数知识间的联系,同时考查了导数、定积分等基本运算能力.解答本题的方法是:根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求出a,b,c 的值. 解：由f(1)=2得,a-b+c=2,①又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,② 而⎰01f （x ）dx=⎰01（ax 2+c ）dx=(31ax 3+cx)|10=31a+c,∴31a+c=-2,③ 由①②③得a=6,b=0,c=-4.【例5】 求由曲线y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.思路分析：利用定积分,按照求面积的基本步骤进行.解：如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由 y 2=x,y=x 2得出交点的横坐标x=0及x=1.所以所求图形的面积为S=⎰01x dx-⎰01x 2dx=(2332x -31x 3）|10=32-31=31.【例6】 试求曲线y=2a(a xe +a xe -)和直线x=0,x=a,y=0围成的图形(如图)绕x 轴旋转一圈所得旋转体的体积.思路分析：虽然曲线y=2a (a x e +axe -)形式上比较复杂,但图已给定了,根据图形可直接用公式求解.解：因为[2a (x a e 2-2a (xa e 2-+2x]′=x a e 2+2+x ae 2-,所以V=π⎰0a y 2dx=π⎰0a 42a (a x e 2+2+a x e 2-)dx=4πa 2[2a (a x e 2-axe 2-)+2x]|0a=4πa 2[2a (e 2-e -2)+2a].【例7】 求椭圆⎩⎨⎧==tb y t a x sin ,cos (0≤t≤2π)的面积.思路分析：椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以4就是整个椭圆的面积.解：如图所示,椭圆在第一象限的面积 P=⎰0aydx=⎰22πbsintd(acost)=⎰22πbsint·(-asint)dt=ab⎰20πsin2tdt=2ab(t-22sin t)|20π=4abπ.所以S=4P=πab.【例8】某电厂冷却塔外形如右下图所示,它双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20m.(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.(2)求冷却塔的容积.(精确到1 m3,塔壁厚度不计,π取思路分析：应用题是高考数学的一个热点,它能考查我们的理解能力,以及数学建模能力.本题首先要理解题意,建立平面直角坐标系,将其转化为代数问题.解：(1)如图所示,建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴.设双曲线方程为22ax-22by=1(a＞0,b＞0),则a=21AA′=7.又设B(11,y1),C(9,y2),因为点B、C在双曲线上,所以有22122711by-=1, ①2222279by-=1, ②由题意,知y2-y1=20.③由①②③,得y1=-12,y2=8,b=72.故双曲线方程为984922yx-=1;(2)由双曲线方程,得x 2=21y 2+49. 设冷却塔的容积为V(m 3),则 V=π⎰-128x 2dy=π⎰-128(21y 2+49)dy=π(61y 3+49y)|812-. 经计算,得V≈×103(m 3).答:冷却塔的容积为×103 m 3. 高手支招5思考发现1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数的原函数.利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).2.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限.3.实际上F(x)+c(c 为常数)的导数和F(x)的导数相同,故⎰a bf(x)dx 可以写成\-\相同,但结果与F(b)-F(a)相同,故省略了c.4.求一个几何体的体积与求一个曲边图形的面积一样,都是通过“分割、近似、求和、取极限”这四步方法,体现了微积分的思想.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高手支招6体验成功 基础巩固
1.抛物线y=x 2-x 与x 轴围成的图形面积为（ ） A.
81 B.1 C.61 D.2
1 答案:C
思路分析：所求面积S=-
⎰0
1
（x 2-x ）dx=(
22x -33x )|10|10=-（31-21）=6
1
2.如果某质点的初速度v(0)=1,其加速度a(t)=6t,做直线运动,则质点在t=2 s 时的瞬时速度为
（ ）
A.5
B.7
C.9
D.13 答案:D
思路分析:v(2)-v(0)=
⎰0
2
a(t)dt=
⎰0
2
6tdt=3t 2|
2
.
∴v(2)=v(0)+3×22=1+12=13.
3.曲线y 2=4ax,x=a 绕x 轴旋转所得的旋转体体积是( )
A.2πa 2
B.4πa 2
C.2πa 3
D.4πa 3 答案:C
思路分析:不妨设a ＞0,由旋转体体积公式可得:V=π
⎰0
a
y 2dx=π
⎰0
a
4axdx=4πa(
2
1x 2)|0a
=2πa 3. 4.若f(x)=⎩⎨⎧<-≥+,
0,,
0,32x x x x 则⎰-11f(x)dx=_____________.
答案:
6
23
思路分析: ⎰-11f(x)dx=⎰-10(-x)dx+⎰01(x 2+3)dx=-21x 2|01-+(31x 3+3x)|10=6
23
.
5.⎰-a
a
(xcosx-5sinx+2)dx=_____________.
答案:4a
思路分析：原式=
⎰-a a xcosxdx-⎰-a a 5sinxdx+⎰-a a 2dx,由于前两个积分的被积函数是奇函
数,画出图像,由定积分的几何意义可知,前两个积分值都为0.所以原式=⎰-a
a
2dx=2x |a a -=4a.
6.如果
⎰0
1
f （x ）dx=1,
⎰0
2
f （x ）dx=-1,则
⎰12
f （x ）dx=______________.
答案:-2 思路分析：
⎰0
2
f （x ）dx=
⎰0
1
f （x ）dx+
⎰1
2
f （x ）dx=-1,∴有1+
⎰1
2
f （x ）dx=-1,∴
⎰12
f （x ）
dx=-2.
7.y=sinx(0≤x≤2π)与x 轴所围成图形的面积是____________. 答案:4 思路分析：
⎰0
2π
sinxdx=
⎰0πsinxdx+|⎰π
π
2sinxdx|=(-cosx)|0π-(-cosx)|2ππ=4. 8.计算定积分
⎰-33
（|2x+3|+|3-2x|）dx.
解：设y=|2x+3|+|3-2x|=⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧≥≤≤--≤-,23,4,2323,6,23,4x x x x x
⎰-3
3
（|2x+3|+|3-2x|）dx=
⎰
-
-233（-4x ）dx+
⎰
-232
36dx+
⎰
4
2
34xdx
=-2x 2|
2
33
-
-+6x
|
2
3
2
3-+2x 2|
323
=-2×(23-
)2-(-2)×(-3)2+6×23-6×(23-)+2×32-2×(2
3
)2=45. 思路分析：这类定积分不能直接积分,也不能换元转化,这时需变换被积函数.去掉其中的绝对
值符号,这就需要应用定积分的可加性,对积分区间分类讨论. 综合应用 9.求c 的值,使
⎰01
(x 2
+cx+c)2
dx 最小.
解:令y=
⎰0
1
(x 2+cx+c)2dx=
⎰01
(x 4
+2cx 3
+c 2x 2
+2cx 2
+2c 2
x+c 2
)dx
=
51+67c+37c 2,令y′=0得c=-41,所以当c=-4
1
时y 最小. 思路分析:对于确定的c 值,
⎰0
1
(x 2+cx+c)2dx 是一个确定的数,因而
⎰01
(x 2
+cx+c)2
dx 可看成一
个c 的函数,再求c 取何值时此函数有最小值.
10.A 、B 两站相距7.2 km,一辆电车从A 站开往B 站,电车开出t s 后到达途中C 点,这一段的速度为1.2t(m/s),到C 点的速度为24 m/s,从C 点到B 点前的D 点以等速行驶,从D 点开始刹车,经t s 后,速度为(24-1.2t) m/s,在B 点恰好停车,试求(1)A 、C 间的距离;(2)B 、D 间的距离;(3)
电车从A 站到B 站所需的时间.
解:(1)设A 到C 的时间为t 1,则1.2t 1=24,t 1=20(s), 则AC ＝
⎰020
1.2tdt=0.6t 2
|
20
=240(m).
(2)设D 到B 的时间为t 2,则24-1.2t 2=0,t 2=20(s), 则DB ＝
⎰0
20
(24-1.2t)dt=(24t-0.6t 2)
|
20
=240(m).
(3)CD=7 200-2×240=6 720(m),则从C 到D 的时间为280(s), 则所求时间为20+280+20=320(s).
思路分析:做变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即S=
⎰a b
v(t)dt.
11.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+2. (1)求y=f(x)的表达式;
(2)求y=f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积. 解:(1)f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b. 又f′(x)=2x+2,所以a=1,b=2. ∴f(x)=x 2+2x+c.
又方程f(x)=0有两个相等实根,即x 2+2x+c=0有两个相等实根. ∴Δ=4-4c=0,即c=1, 故f(x)=x 2+2x+1.
(2)依题意,所求面积为S=⎰-10(x 2+2x+1)dx=(31x 3+x 2+x) |0
1-=3
1
.
思路分析:本题考查用待定系数法求函数解析式.欲求图形的面积关键是确定积分的上限与
下限.。