高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标课件1北师大版必修
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北师大版数学必修四课件：2.4平面向量的坐标
r r r 【例1】在直角坐标系xOy中，向， c 4，分别计算出它们的坐标.
r
r
r
【审题指导】已知三向量的模以及与坐标轴的夹角,要求向 量的坐标,先将向量正交分解,把它们分解成横、纵坐标的
形式.
r r r 【规范解答】设 a a1 ,a 2 ,b b1 ,b 2 ,c c1 ,c 2 , r 则 a1 a cos45 2 2 2. 2 r 2 a 2 a sin45 2 2, 2 r 1 3 b1 b cos120 3 （ ） ， 2 2 r 3 3 3 b 2 b sin120 3 , 2 2 r 3 c1 c cos 30 4 2 3， 2 r 1 c 2 c sin 30 4 （ ） 2. 2 r r r 3 3 3 因此 a 2，2 ， b （ ， ）， c 2 3， 2 . 2 2
r
r
得6(x+1)-3(4x-2)=0，解得x=2.
r r r r 方法二：因为 a 与 4b 2a 平行，则存在常数λ，使 b
r r r r r r 即 2 1 a 4 1 b， 根据向量共线的条 a b 4b 2a ， r r 件知，向量 a 与 b 共线，故x=2.
坐
标.
uuu r uuu r 【审题指导】A、B、 C 点的坐标已知，求解本题可先利用向 CA， CB CM 3CA， uuu r uur
种形式，求解时注意向量运算的平行四边形法则及三角形
法则在解题中的灵活应用.
【例2】已知 a 2,1 , b 3, 4 ，求 a b,a b,3a 4b
r
r
r
说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
猫能捉住老鼠吗?
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 （1） 理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2） 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型， 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念； 向量的表示方法； 零向量、单位向量概念； 平行向量、共线向量定义； 共线向量与平行向量关系；
高中数学 必修2(北师大)2.4.1平面向量基本定理
而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得λ2＋λ＋2μμ＝ ＝22， ， 解
得λμ＝＝2323，.
∴A→P＝23A→M，B→P＝23B→N， ∴AP PM＝2，BP PN＝2. ∴AP PM＝BP PN.
方法归纳
用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量作为基． (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题． (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解． (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
4.1 平面向量基本定理
[教材要点]
要点 平面向量基本定理 1．定理：如果 e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量 e1，e2 叫作表示这一平 面内所有向量的一组____基__________，记为____{_e_1_，__e2_}____．
1－λ＝0， 则1＋λ＝0， 无解，∴e1＋e2 与 e1－e2 不共线，即 e1＋e2 与 e1－e2 能作为一组基．
方法归纳
对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若 共线，则不能作基，反之，则可作基． (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这 组基唯一线性表示出来．设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量， 若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2， y1＝y2. 提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示， 表达式不一样．
A.12(a－b) B．2b－a C.12(b－a) D．2b＋a 解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段 BC 的中点，从而A→D ＝21(A→B＋A→C)，则A→C＝2A→D－A→B＝2b－a.
第二章平面向量在几何物理中的应用举例【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
当堂检测
角度2 垂直问题
例2如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是
矩形,用向量证明:PA⊥EF.
探究一
探究二
当堂检测
证明设正方形边长为 a,由于 P 是对角线 BD 上的一点,可设
=λ(0≤λ≤1).
则 = − = -λ = -λ( + )=(1-λ)-λ.
激趣诱思
知识点拨
(3)要证 A,B,C 三点共线,只要证明存在唯一一个实数 λ≠0,使=λ,
或若=a,=b,=c,存在一个实数 t,使 c=ta+(1-t)b.
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线
(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a·
b=0
| || |
π
=
2
2×
=
3
2
3
3
2
.
π
因为 0<∠EAC<2 ,所以∠EAC=6 .
反思感悟 利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图
形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题
也有两种方向,一是利用向量的基求解,二是利用坐标运算.在求解
过程中,务必注意向量的方向.
探究一
因为实际速度=游速+水速,所以游速为
− = ,
在 Rt△AOB 中,由已知||=4 3,||=4,
因此 ∥ ,
又因为 , 有公共点 F,所以 A,E,F 三点共线.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟 证明A,B,C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.
(2)说明两向量有公共点.
北师大版数学必修四课件：第2章§3 3.2 平面向量基本定理
一、平面向量基本定理
存在唯一
作
aλ 特别的：λ 1=0，λ 2≠0时，
2
e 2 , a与e 2
1
共线.
λ 1≠0，λ 2=0时， a λ
λ 1=λ 2=0时，a 0.
e1 , a与e1
共线.
e1
e2
(2)作平行四边形OACB
A
C
B O
例2
a, b
如右图所示，平行四边形ABCD的
AB a, AD b, MA、 MB 、 MC和MD.
因为 | AG |=10（kg）×10（m/s2）=100（N） F
A G E
所以,| AM || AF | 50N,| AN || AE | 50 3(N)
答：物体所受滑动摩擦力大小为50N，方向与斜面平行向 上；所受斜面支持力大小为
50 3N,方向与斜面垂直向上. AFBE
C
1、下列说法中，正确的有（(2)、(3)）
DC、MN对应的向量中确定一组基底，将其他向量用这组
基底表示出来.
D
M
C
A
N
B
解：取 AB e1 , AD e 2为基底,则有 DC BC BA AD DC e1 e 2
1 e1 ; 2
1 1 e1 e1 e 2 , 2 2 1 1 1 MN MD DA AN e1 e 2 e1 e1 e 2 . 4 2 4
1、平面向量基本定理 平面中的任一向量都可表示为其他的两个不共线向量 的线性组合,根据向量的加法和减法法则及其几何特点即 可解题. 2、基底 （1）零向量不能作基底； （2）两个非零向量共线时不能作为平面的一组基底； （3）平面中的任意不共线向量都可以作为基底，一旦选定 一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的坐标运算
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 ),
x1 x2 , y1 y2 . 消去 得： x1 y2 x2 y1 0,
a // b x1 y2 x2 y1 0.(b 0)
例2
已知 a (2,1), b (3, 4),
a 1e1 2e2
我们把不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向 量的 一组基底。
二、新课探析
1、平面向量的坐标表示 Y
4
j
-5
2
a
0
-2
i
5
X
（2） a ( x, y) 其中x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标
北 第师 二大 章版 《高 平中 面数 向学 量必 》修 4
平面向量的坐标运算
X
一、教学目标： 1.知识与技能：（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用 坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（3）理解用坐标表示的平面向量 共线的条件. 2.过程与方法：教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平 面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题， 巩固知识结论，培养学生应用能力. 3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有 序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向 量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想； 培养学生勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练 习来检验知识的应用情况。找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程
1-4-2 向量线性运算的坐标表示(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
坐标，即＝（，）＝（，）.
（2）推导过程：＝（ + ）＝ + ＝（，）.
例 3 已知＝（3，2），＝（ − 1，3），＝（5，2），若＝ + ，则 + ＝
解析
由题意知，＝（3，2），＝（ − 1，3），＝（5，2），
则＝ + ＝(−1，3) + （5，2）＝（ − + 5，3 + 2）＝ 3，2 ，
又∵与有公共点A，∴ A，B，C三点共线.
（2）解：若A，B，C三点共线，则， 共线.
∵＝- ＝（4 − ， − 7），＝- ＝（10 − ， − 12），
∴ （4 − ）（ − 12） + 7（10 − ）＝0.解得＝ − 2或＝11.
故当＝ − 2或＝11时，A，B，C三点共线.
（2）若向量起点和终点的坐标未知，则可利用向量的线性运算，转化为已知坐标的向量，通过运算求向
量坐标.
2.平面向量坐标运算的技巧
（1）已知向量的坐标，则直接利用向量加、减及向量数乘运算的坐标运算法则求解.
（2）解题过程中，常利用相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解，要重视方程思
想的应用.
8
A. 1, 3
B.
13 8
,
3 3
C.
13 4
,
3 3
D. −
13
4
,
−
3
3
（2）已知 + ＝（2，-8）， − ＝（-8，16），则＝（-3，4） ，＝ （5，-12） .
1
3
2
3
解析 （1）由题意，得＝ （2 − ）＝ −
1
，∴
3
2
3
（2）推导过程：＝（ + ）＝ + ＝（，）.
例 3 已知＝（3，2），＝（ − 1，3），＝（5，2），若＝ + ，则 + ＝
解析
由题意知，＝（3，2），＝（ − 1，3），＝（5，2），
则＝ + ＝(−1，3) + （5，2）＝（ − + 5，3 + 2）＝ 3，2 ，
又∵与有公共点A，∴ A，B，C三点共线.
（2）解：若A，B，C三点共线，则， 共线.
∵＝- ＝（4 − ， − 7），＝- ＝（10 − ， − 12），
∴ （4 − ）（ − 12） + 7（10 − ）＝0.解得＝ − 2或＝11.
故当＝ − 2或＝11时，A，B，C三点共线.
（2）若向量起点和终点的坐标未知，则可利用向量的线性运算，转化为已知坐标的向量，通过运算求向
量坐标.
2.平面向量坐标运算的技巧
（1）已知向量的坐标，则直接利用向量加、减及向量数乘运算的坐标运算法则求解.
（2）解题过程中，常利用相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解，要重视方程思
想的应用.
8
A. 1, 3
B.
13 8
,
3 3
C.
13 4
,
3 3
D. −
13
4
,
−
3
3
（2）已知 + ＝（2，-8）， − ＝（-8，16），则＝（-3，4） ，＝ （5，-12） .
1
3
2
3
解析 （1）由题意，得＝ （2 − ）＝ −
1
，∴
3
2
3
高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示课件16
【典例】已知A(1,-3),B (8, 1) ,且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是 ( )
2
A.(-9,1)
B.(9,-1)
C.(9,1)
D.(-9,-1)
【思路导引】设出点C的坐标,因为A,B,C三点共线,写出向量 AB,AC(或BC)， 由向量共线的条件结合选项求解.
【解题策略】 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题,其解题思路是:先利用三点构造出两 个向量,求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线,由于两向量过同一点,所以 两向量所在的直线必重合,即三点共线. (2)求解直线或线段的交点问题,常规方法为写出直线或线段对应的直线方程, 建立方程组求解,而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量,且思 路简单明快.
()
(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向.
()
(3)如果x1y2-x2y1=0,那么向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)共线. ( )
2.下列向量组中,不共线的向量组是 ( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2= (1 , 3)
22
3
5.已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M为圆C上的任意一点,点N在线段MA的 延长线上,且MA＝2养达标
1.下列满足平行的一组向量是 ( ) A.a=(1,-4),b=(504,-2 016) B.a=(2,3),b=(4,-6) C.a=(1,2),b=(-1 008,2 016) D.a=(-1,4),b=(3,12) 【解析】选A.a,b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb(b≠0),经验证,只有A选项 满足条件.
必修4-2.4 平面向量的坐标
(2) 因为QOQ 60， | OQ | 3，所以 3 3 3 3 b OQ OQ QP i 3 ， 所以a ( ， 3 ) . 2 2 2 2 y (3) 因为ROR 30， | OR | 2，所以
Q
c OR OR RP 2 3i 2 j 所以c (2 3， 2) .
b
60°
j a
45°
P x c R
O
i
30°
平面向量线性运算可以用坐标表示，那么一个向量 的坐标与其起点坐标和终点坐标有什么关系？
y
如图，已知A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，则有 AB OB OA ( x2，y2 ) ( x1，y1 ) ( x2 x1，y2 y1 ) .
解 依题意，得 AB (4， 5) (k， 12) (4 k， 7) ， BC (10，k ) (4， 5) (6，k 5) .
要使A，B，C三点共线，只需AB ， BC共线， 根据向量平行的坐标表 示，有(4 k )(k 5) 6 (7) 0 .
北师版必修4第二章 平面向量
4 平面向量的坐标
1．知识与技能 （1）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； （2）会用坐标表示平面向量的加法、减法以及数乘向量运算； （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 2．过程与方法 通过将基底特殊化，使向量的表示形式统一的学习过程，学 习研究和处理问题的方法． 3．情感、态度与价值观 体会由一般到特殊的知识建构，数形结合的运用．
b
60°
j a
45°
P x c R
O
i
30°
解 设OP a， OQ b， OR c，并设P( x1，y1 )，Q( x2，y2 )，R( x3，y3 ).
Q
c OR OR RP 2 3i 2 j 所以c (2 3， 2) .
b
60°
j a
45°
P x c R
O
i
30°
平面向量线性运算可以用坐标表示，那么一个向量 的坐标与其起点坐标和终点坐标有什么关系？
y
如图，已知A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，则有 AB OB OA ( x2，y2 ) ( x1，y1 ) ( x2 x1，y2 y1 ) .
解 依题意，得 AB (4， 5) (k， 12) (4 k， 7) ， BC (10，k ) (4， 5) (6，k 5) .
要使A，B，C三点共线，只需AB ， BC共线， 根据向量平行的坐标表 示，有(4 k )(k 5) 6 (7) 0 .
北师版必修4第二章 平面向量
4 平面向量的坐标
1．知识与技能 （1）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； （2）会用坐标表示平面向量的加法、减法以及数乘向量运算； （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 2．过程与方法 通过将基底特殊化，使向量的表示形式统一的学习过程，学 习研究和处理问题的方法． 3．情感、态度与价值观 体会由一般到特殊的知识建构，数形结合的运用．
b
60°
j a
45°
P x c R
O
i
30°
解 设OP a， OQ b， OR c，并设P( x1，y1 )，Q( x2，y2 )，R( x3，y3 ).
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
答案
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，