5年高考圆锥曲线难题集粹
圆锥曲线难的题目总汇编
圆锥曲线难题汇编我经过反思与整理，写成此文。
一、圆锥曲线的光学性质1．1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。
二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l 与曲线c 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。
此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明预备定理 1.若点00(,)P x y 是椭圆22221x y a b+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：00221x x y ya b+=。
高考重难点突破圆锥曲线50道题(3)含详细解析
高考重难点突破圆锥曲线50道题（3）含详细解析1．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点P（2，1），交抛物线于A，B两点．（1）若P为AB中点，求l的方程．（2）求|AF|+|BF|的最小值．．2．已知抛物线C：y2＝2x，过点M（2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点P是直线上的动点，且PO⊥AB于点Q．（Ⅰ）若直线OP的倾斜角为，求|AB|；（Ⅱ）求的最小值及取得最小值时直线l的方程．3．设F为抛物线C：y2＝2px的焦点，A是C上一点，F A的延长线交y轴于点B，A为FB 的中点，且|FB|＝3．（1）求抛物线C的方程；（2）过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交干M、N两点，直线l2与C交于D，E两点，求四边形MDNE面积的最小值．4．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，A，B为椭圆C上位于x轴同侧的两点，△AF1F2的周长为6，∠F1AF2，的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若∠AF1F2+∠BF2F1＝π，求四边形AF1F2B面积的取值范围．5．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的短轴长等于2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，过右焦点F的直线与椭圆C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若，求四边形AOBE面积S的最大值．6．设椭圆E：＞的右焦点为F，上顶点为M；CD是过点F且垂直于x 轴的椭圆E的弦，|CD|＝3．（1）求椭圆E的方程；（2）圆F的半径为1，直线1过点M与圆F交于A、B两点，O为坐标原点，若|OA|•|OB|＝1，求直线l的方程．7．已知抛物线C：y2＝4x上有一点P位于x轴的上方，且|PF|＝2．（Ⅰ）求P点的坐标；（Ⅱ）若直线P A，PB的倾斜角互补，分别交曲线C于A，B两点（点A，B，P不重合），试判断直线AB的倾斜角是否为定值，若是，求出此值，若不是请说明理由．8．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，△AF2B的周长为8，（1）求该椭圆C的方程．（2）设P为椭圆C的右顶点，Q为椭圆C与y轴正半轴的交点，若直线l：y x+m，（﹣1＜m＜1）与圆C交于M，N两点，求P、M、Q、N四点组成的四边形面积S的取值范围．9．已知椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（2，0），双曲线1的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点O作两条射线OM，ON分别交椭圆C于M，N两点，当OM，ON斜率分别为k1，k2且△OMN的面积为1时，试问k1•k2是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．10．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线距离为2．（1）若点E（1，1），且点P在抛物线C上，求|PE|+|PF|的最小值；（2）若过点N（0，b）的直线与圆M：x2+（y﹣2）2＝4相切，且与抛物线C有两个不同交点AB，求△AOB的面积．11．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2过点F2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3，）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．12．已知椭圆C：y2＝1，斜率为l的直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1＞x2．（Ⅰ）若A，B两点不关于原点对称，点D为线段AB的中点，求直线OD的斜率；（Ⅱ）若存在点E（3，y0），使得∠EBA＝∠AEB＝45°，求直线AB的方程．13．已知O为坐标原点，点F1，F2为椭圆M：1（a＞b＞0）左右焦点，G为椭圆M上的一个动点，△GF1F2的最大面积为，椭圆M的离心率为．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过抛物线N：y一点P与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A、B两点，设AB的中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．14．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（1，﹣2），且焦点为F，直线l与抛物线相交于A，B两点．（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）O为坐标原点．若，证明直线l必过一定点，并求出该定点．15．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点B（m，2）在抛物线C上，A（0，），且|BF|＝2|AF|．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点P（1，2）作直线PM，PN分别交抛物线C于M，N两点，若直线PM，PN 的倾斜角互补，求直线MN的斜率．17．已知点P（1，2）到抛物线C：y2＝2px（p＞0）准线的距离为2．（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，求直线P A与PB的斜率之积．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P（4，2），点M在x轴上，过点M的直线交椭圆C交于A，B两点．①若直线AB的斜率为，且AB，求点M的坐标；②设直线P A，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在定点M，使得k1+k2＝2k3恒成立？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．19．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．20．已知椭圆C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过焦点F2的直线l交椭圆C于A、B两点，当直线l垂直于x轴时，|AB|．（1）求椭圆C的标准方程：（2）已知椭圆上顶点为P，若直线l斜率为k，求证：以AB为直径的圆过点P．21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0的焦点为F，点M（2，m）（m＞0）在抛物线上，且|MF|＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）若点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，过点F作切线l0的垂线，垂足为Q，则点Q是否在定直线上，若是，求定直线的方程；若不是，说明理由．22．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的短轴长等于2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）若过点（﹣3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O为坐标原点，求•的取值范围．23．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，且椭圆过点（，1）（1）求椭圆C的标准方程（2）设直线l与C交于M，N两点，点D在C上，O是坐标原点，若，判定四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．24．已知椭圆C：，（a＞b＞0）过点（1，）且离心率为．（Ⅰ）求椭圈C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的右顶点为P，A，B是椭圆上异于点P的两点，直线P A，PB的斜率分别为k1k2，若k1+k2＝1，试判断直线AB是否经过一个定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，则说明理由．25．已知椭圆：＞＞的离心率为，，为焦点是，的抛物线上一点，H为直线y＝﹣a上任一点，A，B分别为椭圆C的上，下顶点，且A，B，H三点的连线可以构成三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）直线HA，HB与椭圆C的另一交点分别交于D，E，求证：直线DE过定点．26．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程是1（a，b＞0）．（1）当a＝1，b＝2时，求曲线C围成的区域的面积；（2）若直线l：x+y＝1与曲线C交于x轴上方的两点M，N，且OM⊥ON，求点（，）到直线l距离的最小值．27．在直角坐标系中，已知椭圆E经过点M（2，），且其左右焦点的坐标分别是（﹣3，0），（3，0）．（1）求椭圆E的离心率及标准方程；（2）设P（﹣3，t）为动点，其中t∈（，），直线l经过点P且与椭圆E相交于A，B两点，若P为AB的中点，是否存在定点N，使|NA|＝|NB|恒成立？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由28．已知椭圆C：y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上在第二象限内的一点，且直线PF2的斜率为．（1）求P点的坐标；（2）过点Q（﹣2，0）作一条斜率为正数的直线l与椭圆C从左向右依次交于A，B两点，是否存在实数λ使得∠AF1B＝λ∠AF1P？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．29．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）30．已知椭圆：＞＞经过点，，左焦点，，直线l：y ＝2x+m与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△OAB面积为1，求直线l的方程．31．已知F1、F2为椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点（，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，若0，求直线l的方程．32．设椭圆：＞＞的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆Γ截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）如图，A、B分别为椭圆Γ的左、右顶点，过点F的直线l与椭圆Γ交于C、D两点．若，求直线l的方程．33．已知椭圆C：＞＞经过点（，1），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（2，0）的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆C的左焦点，若，求直线l的方程．34．已知F1，F2分别为椭圆：＞＞的左右焦点，上顶点为M，且△F1MF2的周长为，且长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（0，3），若直线y＝2x﹣2与椭圆C交于A，B两点，求．35．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆C短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程．（2）P为椭圆C上一点，且∠F1PF2，求△PF1F2的面积．36．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合．（1）求抛物线C的方程及焦点到准线的距离；（2）若直线y x+1与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求y1y2的值．37．已知离心率为的椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点为F1，过F1作长轴的垂线交椭圆于M，N两点，且|MN|＝2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB 长度的最小值．38．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，2）到焦点F的距离|MF|，倾斜角为α的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B．（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若α为锐角，作线段AB的中垂线m交x轴于点P．证明：|FP|﹣|FP|•cos2α为定值，并求出该定值．39．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F 的距离为．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）不过圆点的动直线l交抛物线于A、B两点，且满足OA⊥OB．（i）求证直线l过定点：（ii）设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程．40．设抛物线C：y2＝2px（P＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB中点M的横坐标为2，且|AF|+|BF|＝6．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l（斜率存在）经过焦点F，求直线l的方程．41．己知点M为抛物线C：y2＝4x上异于原点O的任意一点，F为抛物线的焦点，连接MF 并延长交抛物线C于点N，点N关于x轴的对称点为A．（Ⅰ）证明：直线MA恒过定点：（Ⅱ）如果|FM|＝λ|OM|，求实数λ的取值范围．42．在直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x与圆C：（x﹣a）2+y2＝a2交于O，A，B三点，且O、A、B将圆C三等分（1）求a的值；（2）设直线l与抛物线交于M，N两点，点A位于第一象限，若直线AM，AN的斜率之和为，证明当线MN过定点，并求出定点坐标．43．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点．（1）若|AF|＝2|BF|，求直线l的斜率；（2）设线段AB的垂直平分线交x轴于点D，求证：|AB|＝2|DF|．44．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点，并求出该定点的坐标．45．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点M（﹣1，0）．（1）求抛物线C的方程；（2）设过点（2，0）的直线l1，l2分别与抛物线C交于点D，E和点G，H，且l1⊥l2，求四边形DGEH面积的最小值．46．在平面直角坐标系中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线x21的渐近线的距离为．（1）求该抛物线的方程；（2）设抛物线准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为P，AB的中垂线交x轴于N，求点N横坐标的取值范围．47．已知点P（6，﹣2）是抛物线C：y2＝mx上一点，直线y＝k（x﹣2）（k≠0）与抛物线C交于A，B两点．（1）求P到抛物线C焦点的距离；（2）若M的坐标为（0，1），且MA⊥MB，求k的值．48．已知点O为坐标原点椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，点P，Q分别是椭圆C的左顶点、上顶点，△POQ的边PQ上的中线长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l交椭圆于A、B两点直线P A、PB分别交直线x＝2a于M、N两点，求．49．已知椭圆1（a＞b＞0），若在（2，0），（，），（，）（，）四个点中有3个在M上．（1）求椭圆M的方程；（2）若点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，且C（﹣4，0），求•的取值范围．50．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点M（﹣1，0）．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线：与抛物线C交于R，S两点，点N为曲线E：上的动点，求△NRS面积的最小值．高考重难点突破圆锥曲线50道题（3）含详细解析参考答案与试题解析1．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点P（2，1），交抛物线于A，B两点．（1）若P为AB中点，求l的方程．（2）求|AF|+|BF|的最小值．．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2＝4，y1+y2＝2又，两式相减可得：（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2）．∴2（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2）．，即直线l的斜率为2，∴直线l的方程为y＝2（x﹣2）+1．即y＝2x﹣3．（2）直线l的方程为x＝m（y﹣1）+2由⇒y2﹣4my+4m﹣8＝0．y1+y2＝4m，∵|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1＝x1+x2+2＝m（y1﹣1）+2+m（y2﹣1）+2+2＝m（y1+y2）﹣2m+6＝4m2﹣2m+6当m时，|AF|+|BF|取最小值．最小值为．2．已知抛物线C：y2＝2x，过点M（2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点P是直线上的动点，且PO⊥AB于点Q．（Ⅰ）若直线OP的倾斜角为，求|AB|；（Ⅱ）求的最小值及取得最小值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意可设直线OP的方程为：y＝x﹣2．联立，可得x2﹣6x+4＝0，所以AB2．（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+2．由得y2﹣2my﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．∴AB．又PQ：y＝﹣mx，故P（，）∴点P到直线l的距离d＝|PQ|．∴3令m2+4＝t，f（t）．函数f（t）在[4，+∞）单调递增，∴f（t）min＝f（4），此时m＝0∴3，∴的最小值为，此时直线l的方程为x＝2．3．设F为抛物线C：y2＝2px的焦点，A是C上一点，F A的延长线交y轴于点B，A为FB 的中点，且|FB|＝3．（1）求抛物线C的方程；（2）过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交干M、N两点，直线l2与C交于D，E两点，求四边形MDNE面积的最小值．【解答】解：（1）如图，∵A为FB的中点，∴A到y轴的距离为，∴|AF|，解得p＝2．∴抛物线C的方程为y2＝4x；（2）由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为y＝k（x﹣1）．由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．∵△＞0，设M（x1，y1）、N（x2，y2）。
圆锥曲线大题专题及答案
解析几何大题专题第一类题型 弦长面积问题1．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．2. （本小题14分） 已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.3．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12，(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值.4．（本小题满分14分）已知椭圆C：2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若||||BA BP=，求四边形OPAB面积的最小值.5．（本小题共14分）已知椭圆C：2214xy+=，F为右焦点，圆O：221x y+=，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧.（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率;（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.6.（本小题13分）已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA OB，求△AOB面积的最小值.第二类题型 圆过定点问题（ 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内）1．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。
圆锥曲线难题集锦(共75题)
圆锥曲线难题集锦徐荣先汇编1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．}2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．）3. 已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．；4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．\（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．—5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．￥}6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．：7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；—（2）当的面积等于时，求的值．【8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．【·9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．}?10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．【11. 已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值若是，求出该值；若不是，说明理由．&：12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．，13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，．:?14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．）15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．？￥16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．,17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．#]18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，．求直线的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．{；20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．:21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；·（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．·22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且．（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．|—24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．/25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．~（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．~26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．【27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．}\28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．；29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．…（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．！30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．~31. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．'32. 已知点为椭圆：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若的取值范围．^33. 已知点100(,)P x y 为双曲线22221(8x y b b b -=为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于点2P ． （1）求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 与x 轴交于B ，D 两点，在E 上任取一点Q 111()(0)x y y ≠，，直线QB ，QD 分别交于y 轴于M ，N 两点．求证：以MN【@34. 如图，已知圆G ：222(2)x y r -+=是椭圆2216x y +=1的内接ABC △的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点． （1）求圆G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．—x35. 设点00(,)P x y 在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，定点10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方 程；（2）求证：A M B 、、三点共线．"36. 作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于,A B 两点（如图所示），且P 在直线l 的左上方.（1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60oAPB ∠=，求PAB ∆的面积.《AxyOPB37. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>3x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与1C 相交与,D E .①证明：MD ME ⊥；￥②记MAB ∆,MDE ∆的面积分别是1S ，2S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =请说明理由.】38. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （1）证明：点F 在直线BD 上； （2）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .！39. (,)()o o o P x y x a ≠±是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上一点，,M N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线,PM PN 的斜率之积为15. （1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值.…40.已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e =（1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．41.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． ~（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i）若12AF BF -=1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．;42.如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．(43.设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.…44../45. 已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=2其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.%46.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由《47. 平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加 上A 1、A 2两点所在所面的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线.(Ⅰ)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C 1：对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，对应的曲线为C2， ；设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面 积2S m a =，若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.:48.已知一条曲线C 在y 轴右边，每一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (Ⅰ)求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0FA FB •<若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
(完整)历年高考数学圆锥曲线试题汇总,推荐文档
2 3 5 35 23 2 高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题x 2y 2 1. 设双曲线- = 1（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x 2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( a 2 b 2C )（A ） （B ）2（C ） （D ）2. 已知椭圆C : x2+ 2 = 1 的右焦点为 F ,右准线为l ，点 A ∈ l ，线段 AF 交C 于点 B ，若 2FA = 3FB ,则| AF |=(A). (B). 2 (C). (D). 33. 过双曲线 x 2 - y 2= 2 1 (a > 0, b > 0) 的右顶点 A 作斜率为- 1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 a b 21的交点分别为 B , C ．若 AB = BC ，则双曲线的离心率是 () 2A. B ． C ． D ． 4. 已知椭圆 x 2 + y 2= 1 (a > b > 0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B 在椭圆上，且 BF ⊥ x 轴，a2b 2直线 AB 交 y 轴于点 P ．若 AP = 2PB ，则椭圆的离心率是（）A.3 C. 3B.2D. 1 2 5. 点 P 在直线l : y = x -1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y = x 2 于 A , B 两点，且| PA =| AB | ，则称点 P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A. 直线l 上的所有点都是“点”B. 直线l 上仅有有限个点是“点”C. 直线l 上的所有点都不是“点”D. 直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”6. 设双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 = 1的一条渐近线与抛物线 y=x2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为().1 610y5 36 A.5 B. 5 C.D. 427. 设斜率为 2 的直线l 过抛物线 y 2 = ax (a ≠ 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ).A. y 2 = ± 4xB. y 2 = ± 8xC. y 2 = 4xD. y 2 = 8xx 2 - y 2 8. 双曲线63= 1 的渐近线与圆(x - 3)2 + y 2 = r 2 (r > 0) 相切，则 r=（A ） （B ）2（C ）3（D ）69. 已知直线 y = k (x + 2)(k > 0) 与抛物线 C: y 2 = 8x 相交 A 、B 两点，F 为 C 的焦点。
高考重难点突破圆锥曲线50道题(4)含详细解析
高考重难点突破圆锥曲线50道题（4）含详细解析1．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>及点(2,0)M ，动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，4AB =． （1）求p 的值；（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线1l 经过点C 且垂直于y 轴，直线2l 经过点M 且垂直于直线l ，记1l ，2l 相交于点P ，求证：点P 在定直线上．2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合．（1）求抛物线C 的方程及焦点到准线的距离； （2）若直线112y x =+与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，求12y y 的值． 3．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点A C ∈，A 在l 上的射影为B ，且ABF ∆是边长为4的正三角形． （1）求p ；（2）过点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于P ，Q 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，设POQ ∆的面积为1S ，MON ∆的面积为2(S O 为坐标原点），求2212S S +的最小值．4．已知抛物线22(0)y px p =>上一点0(M x ，到焦点F 的距离03||2x MF =，倾斜角为α的直线经过焦点F ，且与抛物线交于两点A 、B ． （1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若α为锐角，作线段AB 的中垂线m 交x 轴于点P ．证明：2||sin 2FP α=5．已知F 是椭圆22184x y +=的右焦点，过F 的直线!与椭圆相交于1(A x ，22)(x B x ，2)y 两点． （1）若1285x x =，求弦AB 的长；（2）O 为坐标原点，AOB θ∠=，满足tan OA OB θ=l 的方程． 6．已知椭圆222:22(0)C x y b b +=>． （1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若1b =，斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，且||3AB =，求A O B ∆的面积．7．已知中心在原点，一焦点为0)的双曲线被点线47y x =-被得弦中点的横坐标为2，求此双曲线的方程8．已知抛物线2:8C y x =，焦点为F ，准线为l ，线段OF 的中点为G ．点P 是C 上在x 轴上方的一点，且点P 到l 的距离等于它到原点O 的距离 （1）求P 点的坐标；（2）过点(1,0)Q -作一条斜率为正数的直线L 与抛物线C 从左向右依次交于A ，B 两点，求证：2AGB AGP ∠=∠．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(,0)F c -，2(,0)F c 分别为椭圆的左、右焦点，点4(,)3c 在椭圆上．（1）求C 的方程；（2）若直线(1)y k x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否在点D ，当k 变化时，总有ODA ODB ∠=∠？若存在求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由．10．已知以椭圆2222:(0)x y E l a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．（1）求椭圆E 的方程；（2）若(,)x y 是椭圆E 上的动点，求2x y +的取值范围；（3）直线:(0)l y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M ，若直线BC ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，试判断122k k +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．11．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，焦距为(2,1)在该椭圆上． （1）求椭C 的方程；（2）直线2x =与椭圆交于P ，Q 两点，P 点位于第一象限，A ，B 是椭圆上位于直线2x =两侧的动点．当点A ，B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆222:()2pM x y R -+=的一个公共点为(2,2)A ．（1）求圆M 的方程；（2）已知过点A 的直线l 与抛物线C 交于另一点B ，若抛物线C 在点A 处的切线与直线OB 垂直，求直线l 的方程．13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点1)2-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与椭圆C 相交于A 、B 两点，且直线OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，求直线l 的斜率．14．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，Γ的四个顶点围成的四边形面积为（1）求Γ的方程；（2）过Γ的右焦点F ，且斜率不为0的直线l 与P 交于A ，B 两点线段AB 的垂直平分线经过点(0,M ，求MAB ∆的面积．15．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>(0,1)P 作斜率为k 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，当直线垂直于y 轴时，||AB =． （Ⅰ）求椭圆E 的方程（Ⅱ）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．16．已知抛物线22(0)y px p =>上点(2,)P t 到焦点的距离是3． （Ⅰ）求抛物线的标准方程及P 点坐标；（Ⅱ）设抛物线准线与x 轴交于点Q ，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，证明：直线QA ，QB 关于x 轴对称．17．椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>离心率为12，P是椭圆上一点．（1）求椭圆方程；（2）1F ，2F 是椭圆左右焦点，过焦点1F 的弦AB 中点为1(2E -，)t ，求线段2EF 长．18．设椭圆2222:1x y C a b+=的左、右顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，焦点为(,0)F c ．（Ⅰ）若有一正方形的四个顶点都在椭圆C 上，且焦点在正方形内部，求椭圆离心率e 的取值范围；（Ⅱ）若1c =，过F 作直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．①若l 与x 轴重合，且||||3FP FQ =，求椭圆C 的方程； ②若直线l 不平行于x 轴，证明：12k k 为定值，并求此定值（用a 表示）． 19．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0x y C a b a b +=>>的左焦点、右焦点，椭圆上的点与1F 的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形2F MN ；（1）求椭圆的标准方程 （2）求圆E 半径的最大值20．已知椭圆22:1(1)x E y m m+=>，过点(1,0)P 的直线与椭圆E 交于A ，B不同的两点，直线0AA 垂直于直线4x =，垂足为0A ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求证：直线0A B 恒过定点．21．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，左、右焦点分别为1F 、2F ，B 是椭圆上的一点，且三角形12BF F的面积最大值为（1）求椭圆的方程及其长轴长；（2）过右焦点2F 且不与x 轴重合的直线交椭圆于P 、Q 两点，记PQ 的中点为N ，直线ON 交直线3x =于M ，求证：以QM 为直径的圆一定经过右焦点2F ．22．已知椭圆2212:1(0)8x y C a a +=>与抛物线22:2(0)C y px p =>有公共的焦点F ，且公共弦长为 （1）求a ，p 的值（2）过F 的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于M ，N 两点，且AM BN =，求||AB 23．已知抛物线2:2(0)E y px p =>上任意一点P 到直线2x =-的距离比到焦点F 距离大1． （1）求抛物线E 方程；（2）若A ，B ，C 是抛物线上不同的三点，点(M m ，11)()4m >是AB 中点，且焦点F 是ABC ∆重心，求证：||||2||FA FB FC +=．24．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍，且点3(1,)2P 在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(1,1)M 任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A 、B 两点，l 与直线:34120m x y +-=交于C 点，记直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k 、3k ．试探究12k k +与3k 的关系，并证明你的结论．25．已知抛物线24x y =，过点(0,2)M 的动直线1l 交抛物线予A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为C ，连接CB ，直线CB 与y 轴交于点N ． （1）求证：N 为定点；（2）过点N 作y 轴的垂线2l ，是否存在直线1l ，使得在直线3l 上在在点P 满足PAB ∆为等边三角形，若存在，求出直线方程1l ；若不存在，说明理由．26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的实轴长为4，焦距为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线经过点(2,1)P -且与椭圆C 交于不同的两点M ，N （异于椭圆的左顶点）设点Q 是x 轴上的一个动点，直线QM ，QN 的斜率分别为1k ，2k ，试问：是否存在点Q ，使得1211k k +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由， 27．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆2245x y +=相切于点2(5M ，4)5．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率存在的直线L 与椭E 相交于A 点，且22||||2||AF BF AB +=，求直线L 的方程28．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，一条准线方程为2x =．过点(0,2)T 且不与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点线段AB 的垂直平分线分别交AB 和y 轴于点M ，N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：线段MN 的中点在定直线上；（3）若ABN ∆为等腰直角三角形，求直线l 的方程．29．已如椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线:(0)l y t t =+≠交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点T ，点T 关于坐标原点O 的对称点为D ，以D 为圆心，||DO 为半径的圆记作D ，过线段AB 的中点M 作D 的两条切线，切点分别为P 、Q ，证明：cos PMQ ∠为定值．30．已知圆C 经过椭圆221164x y +=的右顶点2A 、下顶点1B 、上顶点2B 三点．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 经过点(1,1)与10x y ++=垂直，求圆C 被直线l 截得的弦长．31．已知抛物线2:4C x y =，焦点为F ，设A 为C 上的一动点，以A 为切点作C 的切线，与y 轴交于点B ，以FA ，FB 为邻边作平行四边形FANB ．（1）证明：点N 在一条定直线上；（2）设直线NF 与C 交于P ，Q 两点．若直线NF的斜率k ∈，求OPN OQN S S ∆∆的最小值．32．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，A ，B 分别为椭圆C 的右、下顶点，且2OA OB =．（1）求椭圆C 的方程； （2）设点P 在椭圆C 内，满足直线PA ，PB 的斜率乘积为14-，且直线PA ，PB 分别交椭圆C 于点M ，N ．①若M ，N 关于y 轴对称，求直线PA 的斜率； ②若PMN ∆和PAB ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S ．33．已知A 、B 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个顶点，点P 是双曲线上异于A 、B 的一点，O 为坐标原点，射线OP 交椭圆22222:1x y C a b+=于点Q ，设直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k ．（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±，且过点1)2，求1C 的方程；（2）在（1）的条件下，如果12158k k +=，求ABQ ∆的面积； （3）试问：1234k k k k +++是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 34．已知抛物线2:(0)y ax a Γ=>的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点满足||4MN =． （1）求抛物线Γ的方程；（2）若P 为Γ上动点，BC 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．35．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A ．B两点．（1）若l 的倾斜角为2π，a =1F AB 是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程． （2）a b l =．若l 的斜率存在，且12()0F A F B AB +=，求l 的斜率．（3）证明：点P 到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值2222a b a b +是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．36．已知曲线22:143x y C +=的左右顶点是A 、B ，点M 是曲线C 上异于A 、B 两点的动点且M 关于x 轴的对称点是N ．（1）若直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：1234k k =． （2）若曲线2:2C y px '=的焦点F 是曲线C 的右焦点，过点F 的直线l 分别交曲线C 和曲线C '于P 、Q 和R 、H ，APQ ∆与ARH ∆面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值．37．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距与短轴长相等，椭圆上一点Q 到两焦点距离之差的最大值为4． （1）求椭圆的标准方程；（2）若点P 为椭圆上异于左右顶点A ，B 的任意一点，过原点O 作AP 的垂线交BP 的延长线于点M ，求M 的轨迹方程．38．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A 若△12AF F是面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知M ，N 是椭圆C 上的两点，且|MN =，求使OMN ∆的面积最大时直线MN 的方程(O 为坐标原点）39．已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为1(1,0)F -，点(1,B 在椭圆C 上， （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，点P 在y 轴上，且||||PM PN =，求点P 纵坐标的取值范围．40．在平面直角坐标系中，椭圆2222:(0x y C l a b a b+=>>，右焦点2F 为(,0)c ．（1）若其长半轴长为2，焦距为2，求其标准方程．（2）证明该椭圆上一动点P 到点2F 的距离d 的最大值是a c +．41．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点．（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．42．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，焦距为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程．43．已知斜率为1的直线l 与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为3(1,)4A -，椭圆C 的上顶点为B ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线:(l y kx m m '=+≠与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线BM 与BN 的斜率之和为2，证明：l '过定点．44．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为，且过点1)2． （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率大于0且过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若223MF F N =，求直线l 的方程．45．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（Ⅱ）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ，P 点关于x 轴的对称点为P '． ①证明：PQG ∆是直角三角形；②求直线PQ 与直线P G '的斜率的积的最小值，并写出此时直线PG 的方程．46．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN =-恒成立？若存在求出点Q 的坐标：若不存在，说明理由．47．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点P ，1)2，且离心率e =．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过椭圆E 的右焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，当(AOB O ∆为坐标原点）的时，求直线l 的方程．48．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =且圆222x y +=过椭圆C 的上、下顶点（1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点(2,1)A -是椭圆C 上一点，若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，证明：0AE AQ k k +=．49．如图，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，过AB 中点M 且与AB 垂直的直线与x 轴交于点N ． （1）求||||FN AB 的值； （2）若2p =，求NA NB 的取值范围．50．已知抛物线2:2(0)M y px p =>．（1）设R 为抛物线M 上横坐标为1的定点，S 为圆221:()24p N x y -+=的一个动点，若M ，N 无公共点，且||RS 的最小值为65128，求p 的值； （2）已知AC ，BD 分别是抛物线的一条弦，且都不与x 轴垂直，AC 与BD 相交于点(,0)2p，2OA OB p =-，若四边形ABCD 的四条边都存在斜率且0CD k ≠，求证：12AB CD k k =．高考重难点突破圆锥曲线50道题（4）含详细解析参考答案与试题解析1．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>及点(2,0)M ，动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，4AB =． （1）求p 的值；（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线1l 经过点C 且垂直于y 轴，直线2l 经过点M 且垂直于直线l ，记1l ，2l 相交于点P ，求证：点P 在定直线上．【解答】（1）解：当直线l 过点(2,0)M ，且垂直于x 轴时， 由4AB =，知抛物线22(0)y px p =>过点(2,2)， 代入抛物线方程，得422p =⨯，解得1p =；（2）证明：由题意设直线l 的方程为：(2)y k x =-，且0k ≠， 点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22(2)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去x ，化简得2240ky y k --=，由根与系数的关系得122y y k+=，124y y =-； 又点C 在直线AB 上，则1212C y y y k+==，所以直线1l 的方程为1y k =；又直线2l 过点M 且与直线l 垂直，则直线2l 的方程为1(2)y x k =--；联立11(2)y k y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得11x y k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点1(1,)P k ，所以点P 在定直线1x =上．2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合．（1）求抛物线C 的方程及焦点到准线的距离； （2）若直线112y x =+与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，求12y y 的值． 【解答】解：（1）双曲线2213x y -=的右焦点为(2,0)，可得22p=，即4p =，可得抛物线的方程为28y x =，焦点到准线的距离为4； （2）直线112y x =+与抛物线28y x =联立，消去x 可得 216160y y -+=，则1216y y =．3．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点A C ∈，A 在l 上的射影为B ，且ABF ∆是边长为4的正三角形． （1）求p ；（2）过点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于P ，Q 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，设POQ ∆的面积为1S ，MON ∆的面积为2(S O 为坐标原点），求2212S S +的最小值． 【解答】解：（1）设准线与y 轴的交点为点H ，连结AF ，AB ，BF ， 因为ABF ∆是正三角形，且4BA AF BF ===， 在BHF ∆中，90BHF ∠=︒，30FBH ∠=︒，4BF =， 所以2HF p ==．（2）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由(0,1)F ，。
(完整版)历年高考数学圆锥曲线试题汇总,推荐文档
A． ( 15 , 8) 33
B． ( 15 , 7) 3
C． ( 4 , 8) 33
D． ( 4 , 7) 3
37.圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A． x2 ( y 2)2 1
B． x2 ( y 2)2 1
我C去． (人x 1也)2 就(y 有3)2 人1 ！为UDR．扼x2 腕(y入 3)2站1内信不存在向你偶同意调剖沙
Dy 1 x 2
16.已知双曲线
x2 2
y2 2
1的准线过椭圆
x2 4
y2 b2
1的焦点，则直线
y
kx 2 与椭圆至多有一个
交点的充要条件是
A.
K
1 2
,
1 2
B.
K
,
1 2
1 2
,
C.
K
2 ,
2
2
2
D.
K ,
2 2
2 2
,
x2
17.已知双曲线
2
y2 b2
只有一个公共点，则双曲线的离心率为(
).
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
Word 完美格式
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A.
4
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B. 5
C.
2
.
D. 5
7.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ax (a 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)
的面积为 4,则抛物线方程为( ).
.
.
(B) (x 1)2 ( y 1)2 2
(C) (x 1)2 ( y 1)2 2
(D) (x 1)2 ( y 1)2 2
(完整版)全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
14. 已知双曲线 a 2 b2
的左右两个焦点分别为 F1、F2 ，点 P 在双曲线右支上。
3 41 16
(
（Ⅰ）若当点 P 的坐标为
5
, 5 ) 时, PF1 PF2 ，求双曲线的方程；
（Ⅱ）若| PF1 | 3 | PF2 | ,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程。
x2 y2 1 15. 若 F1 、F 2 为双曲线 a b 的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的左支上，点 M 在
20. 在平面直角坐标系中，若 a (x
3, y),b (x
3,
y) ，且
a
b
4 ,
(1）求动点 Q(x, y) 的轨迹 C 的方程；
（2）已知定点 P(t, 0)(t 0) ,若斜率为1的直线 l 过点 P 并与轨迹 C 交于不同的两点 A, B ，且对于
轨迹
C
上任意一点
M
,都存在
x
的一条准线方程是
25 , 4 其左、右顶点分别
C2 是 A、B;双曲线
x2 :
a2
y2 b2
1 的一条渐近线方程为 3x－5y=0。
（Ⅰ）求椭圆 C1 的方程及双曲线 C2 的离心率；
(Ⅱ）在第一象限内取双曲线 C2 上一点 P，连结 AP 交椭圆 C1 于点 M，连结 PB 并延长交椭圆 C1
于点 N，若 AM MP 。 求证: MN AB 0.
(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹 C 的方程．
(Ⅱ）过点 D 且不与 l1、l2 垂直的直线 l 交（Ⅰ)中的轨迹 C 于 E、F 两点；另外平面上的点 G、H
满足：
AG AD( R); GE GF 2GH ; GH EF 0.