九年级数学上册课件：29.1.2 垂直于弦的直径
． O
N
D B
5、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径， AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。
A O C F E M D
B
注意 为什么强调这里的弦不是直径？
M A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分， C 但它们不一定互相垂 直．因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
O B N
D
垂径定理的推论2
D O
B
O
O A E B
A E B
D
是
不是
是
不是
垂径定理的几个基本图形：
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
A
O C B
C
CD过圆心 CD⊥AB于E
AE=BE
AC=BC AD=BD
随堂练习
则下列结论中不成立的是（ ）
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E， A
A、∠COE=∠DOE
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？
A
B O E C A P D
O
M
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且 OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ） C A 、2 条 B 、3 条 C 、4 条 D 、5 条
A 5 3 OO 4 P P D
B
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于 E,OF⊥BP于F, EF= 4 。
O
A
E
F
B
P
回顾与思考
•这节课你有什么收获？
•还有哪些疑问？
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 那么⊙O的半径为 5 Cm
④⑤
①②③
4． 解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件．
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
A
└ M
●
B
O
如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.
O A F C E B
2． 判断下列说法的正误：
× (2)半圆是弧； √
(1)弦是直径； (3)过圆心的线段是直径； × (4)过圆心的直线是直径； × (5)半圆是最长的弧； × (6)直径是最长的弦；
√
(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; (8)半径相等的两个圆是等圆．√
×
3． 选择： （1）下列说法中，正确的是（ B ）
① ③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
练习
C
1.如图所示:
A
└ M
●
B O
(1)若CD⊥AB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD 、AC=BC . 则 AM=BM 、 (2)若AM=MB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD ⊥ AB AC=BC 则 、 AD=BD 、
D
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ②
② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
7.2m
37.4m
跨度（弧所对的弦 的长）为37.4， 拱高（弧的中点到 弦的距离）为7.2
C A
D
B
关于弦的问题，常常 需要过圆心作弦的垂线 段，这是一条非常重要 的辅助线。 圆心到弦的距离、半 径、弦构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。
O
垂径定理
C
B D AE＝BE 这五条进行 CD是直径，AB是弦， 将题设与结论调换 ⌒ ＝BC ⌒ AC 排列组合，会出 CD⊥AB 过来，还成立吗？ ⌒ ＝BD ⌒ 现多少个命题？ AD A ①直径过圆心 ②垂直于弦
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
B、CE=DE
C、OE=AE D、BD=BC
⌒ ⌒
C
E O· B
D
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
10cm,OE=6cm,则AB=
A E
cm。
B
· O
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆
心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA 1 ∴ AE AB 4cm 2 E A OE 3cm
O
C E
．
D B
A
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
10． 已知：⊙O中弦AB∥CD．
M
求证：AC＝BD
⌒
⌒
C A
证明：作直径MN⊥AB． ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 则AM＝BM，CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM－CM＝BM－DM ⌒ ⌒ ∴AC＝BD
D
.
(3)若CD⊥AB, AM=MB, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD 是直径 AC=BC 则 、 AD=BD 、 . ⌒ ⌒ (4)若AC=BC ，CD是直径, ⌒ ⌒ CD ⊥ AB AM=BM 则 、 、 AD=BD .
试一试
2.判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧. (
O A E D B
叠 合 法
知识要点
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧． 图形语言 符号语言
C ∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AE=BE,
O · A
⌒ =BC, ⌒ AC
B
E D
⌒ ⌒ AD=BD.
下列图形是否具备垂径定理的条件？
Zx```x`k
C
c
C
C
A
O A D E B
C
E F
●O
D
8． 已知在⊙O中，弦AB 的长为8cm，圆心O到AB的距 离为3cm，求⊙O的半径．
A
E
． O
B
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝8cm ∴AE＝4cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm ∴⊙O的半径为5cm．
9． 在以O为圆心的两个 同心圆中，大圆的弦AB交小圆 于C，D两点． 求证：AC＝BD．
旧知复习
1． 填空：
圆周 （1）根据圆的定义，“圆”指的是 _______， 而不是“圆面”．
（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条 位置 ，半径决定圆的 件，圆心决定圆的_______ _______ 大小 ，二者缺一不可．
Zx````x`k
直径 是圆中最长的弦，它是______ 半径 的2倍． （3）______ 二 条非直径 （4）图中有_______ 一 条直径， _______ 四 条， 的弦，圆中以A为一个端点的优弧有_______ 四 条． 劣弧有_______ D
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
两条弦在圆心的两侧
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
2． 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
A
E
O B D
3．垂径定理的推论
条件
①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤
结论
②④⑤ ②③⑤ ②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④ ①②⑤ ①②④
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
13 则这弓形所在的圆的半径为________ cm ． 4
C A D O B
5． 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，
7． 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，
①线段是弦；②直径是弦；
③经过圆心的弦是直径；
④经过圆上一点有无数条直径．
A． ①② C． ②④ B． ②③ D． ③④
合集下载
人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共19张PPT)
推论的符号语言表述
由 ①CD是直径 ③AE = BE
可推得
②CD⊥AB
⑤④AA⌒⌒CD
= =
⌒ ⌒BBCD
用∵ ∴的格式写出来。 还有其它推导吗？
二、新知探究与学习
4、推论探究
重点讨论：假命题“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧”。
①为什么是假命题？（举反例如图） ②如何补充条件使其成为真命题？
5、定理及推论的理解
⑶ 下列说法正确的个数是（
）个
①平分弧的直径必平分弧所对的弦。
②平分弦的直线必垂直弦。
③垂直于弦的直径平分这条弦。
④平分弦的直径垂直于这条弦。
⑤弦的垂直平分线是圆的直径。
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦。
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，那么这条 直线必平分此弦所对的弧。
A、2
B、3
C、4
D、5
6、图形的识别与探究
（1）弦心距d、弓形高h的概念 （2）构建Rt△模型 （3）a、d、r、h 具有什么样的数量关系？
7、垂径定理及推论应用
例2、赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥， 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与 智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度 （弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到 弦的距离）为7.23米，求赵州桥主桥拱的半径 （结果保留小数点后一位）
C
F
拱高7.23米
A
跨度D37米
B
变式训练
练习1、往直径为650mm的圆柱体油槽内装 入一些油以后，截面如图所示，若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度。
O
A
B
提升训练
练习2、某菜农在生态园蔬菜基地搭建一个截面为弓形的 蔬菜大棚（如图），大棚的跨度为30m，大棚的顶点C离 地面高度为2.3m。 ① 求该圆弧所在圆的半径。 ② 若菜农身高1.70米,则他在不弯腰的情况下,横向活动范 围有几米?
人教版九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径(共22张PPT)
获取新知
知识点一：垂径定理及其推论
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，
重复做几次，你发现了什么？
●O
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，
任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB, 垂足为E.
你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?
C
线段: AE=BE
所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的
距离）为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保
留小数点后一位）.
解：如图，用AB表示主桥拱，设
AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂
足为D，与弧AB交于点C，则D
是AB的中点，C是弧AB的中点，
CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
2
2
设OC=x cm，则OD=(x-2) cm.
根据勾股定理，得
x2=42+(x-2)2，
解得
x=5.
即半径OC的长为5 cm.
E
·O
A
D
C
B
获取新知
思考探索
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一下，得到的
命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
人教版九（上）数学精简课堂课件
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
知识回顾
情景导入
获取新知
例题讲解
随堂演练
课堂小结
情景导入
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州
石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)
人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共18张PPT)
在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
C
A M└ ●O
D
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. B ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重合当,圆⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, ⌒ A对D折和B时⌒D,重点合A.与点B ∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
直径垂直于弧所对的弦
做一做
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如
图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
解：过点O作CD ⊥ AB于D点，连结OA，则AD=BD=300mm，
在Rt△ AOD中，有
OA2 CA2 OD2,即
A
3252 3002 OD2.
解得OD=125mm， CD=125+325=450mm。 答：油的最大深度为450mm。
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
试一试
挑战自我议一议
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直线一定垂直于弦.（ ）
⑷弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
记一记
垂径定理及逆定理
条件 结论
命题
C
A M└
B
●O
_人教版九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径课件
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ③ AM=BM,
② CD⊥AB,
④A⌒C=⌒BC, ⑤⌒AD=⌒BD.
只要具备其中任何两个条件, 就可推出其余三个结论吗？
C
A
B
M
●O
D
证明猜想
已知： ① CD是直径, ③ AM=BM,
求证： ② CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
垂径定理的推论
24.1.2 垂直于弦的直径
C
A
M
B
·O
D
学习目标（1分钟）
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形； 2.理解并掌握垂径定理及其逆定理； 3.能用垂径定理及其逆定理进行证明及计 算相关问题.
自学指导一（3分钟）
阅读课本P81-P82，解决下列问题:
1、圆是轴对称图形吗?
它的对称轴是什么?
图中有哪些等量关系？
EF=1cm 或7cm
5.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
N
（
）
B
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么 关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
O.
∴ AE－CE＝BE－DE
A CED B
即 AC＝BD.
常用辅助线的添法：解决有关弦的问题，有事没事垂一垂！
人教版数学九年级 24.1.2_垂直于弦的直径 (共20张PPT)
C
A r
D
B O
例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设弯路的半径为 Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 CF CD 600 300 (m). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理 ,得
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
2 2
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 1㎝或9㎝ 那么C到AB的距离等于 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
E
B
A
M
B
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
人教版数学九级上册 2412垂直于弦的直径(共21张PPT)
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径.
O
C.
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
C D C D 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ A A 理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
C
2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三”
AD＝BC AC＝BD
O O
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE＝BE，
AC＝BC，AD＝BD.
垂径定理 垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧.
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
B 延长AO交BC于点D，连接OB，
2、什么是垂径定理？它的推论是什么？
B
B
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
AO=BO=CO=DO，
1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
O O O 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？ 理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
AE－CE＝BE－DE. 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？ 能初步应用垂径定理进行计算和证明. （安徽·中考）如图，⊙O过点B，C. 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
结论吗？ 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？
O
C.
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
C D C D 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ A A 理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
C
2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三”
AD＝BC AC＝BD
O O
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE＝BE，
AC＝BC，AD＝BD.
垂径定理 垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧.
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
B 延长AO交BC于点D，连接OB，
2、什么是垂径定理？它的推论是什么？
B
B
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
AO=BO=CO=DO，
1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
O O O 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？ 理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
AE－CE＝BE－DE. 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？ 能初步应用垂径定理进行计算和证明. （安徽·中考）如图，⊙O过点B，C. 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
结论吗？ 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？
人教版初中数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件PPT
谈谈本节课的收获
作业
1、必做题：
习题24.1 第10、 11、12题
2、思考题：
已知：在半径为5cm的圆O 中，两条平行弦AB,CD分别 长8cm,6cm.求两条平行弦间
的距离。
谢谢
想一想
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的
A
┗●
B
想法和理由.
M
●O
由 ① CD是直径 可推得
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC,
③ AM=BM
⌒⌒ ⑤AD=BD.
D
C
推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
A
·O
M B
D
由①CD是直径 ③AM = BM
可推得
②CD⊥AB
⌒⌒ ④AC = BC
⌒⌒ ⑤AD = BD
辨一辨
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
O
O
O
(1)
(2)
(3)
O
O
(4)
(5)
(6)
垂径定理的应用 解决求赵州桥拱半径的问题
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
4
1
8
.7
A
R
D
B
OD = OC－CD = R理，得
OA2 = AD2 +
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》课件(共19张PPT)
（1）求证：BC=BD； （2）若CD=6，求⊙O的半径长． 解：（1）连接OC． ∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴CH=DH，BC=BD．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r，
1 2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
则OH= r． 5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
( ( ( (
合作探究，形成知识
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB． 因为CD⊥AB， AE=BE， = ， =
点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM，弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r，
1 2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
则OH= r． 5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
( ( ( (
合作探究，形成知识
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB． 因为CD⊥AB， AE=BE， = ， =
点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM，弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学配套课件(共16张PPT)
3.在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于 点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是______________________.
在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
请大家围绕以下两个问题谈谈这节课你有哪些收获？有何体会？
⑤平分AB所对的劣弧（
（AC=BC ）
⑤平分AB所对的劣弧 A
（AD=BD ）
C
·O
E B
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
试 在下列图形中，你能否利用垂径定
一 理找到相等的线段或相等的圆弧。
试
D
C
A
O
AE B C
A
O
AE B
D
CE O
B
O
E
C
BD
B EA
O
例1已知，如图，在⊙O中，圆心O到
把一个圆沿着它的任意一条直径对 折，重复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
发现： 圆是轴对称图形，它的对称轴是任意 一条直径所在的直线.
实践探究2
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E． （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它
的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
E
Hale Waihona Puke 求证：四边形ADOE是正方形． A
·O
DB
课后拓展
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短 的弦长。
2.如图是一个输水管道的横
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径PPT课件
重点:掌握遵守规则的要求。 本题考查理解常见文言虚词在文中的含义和用法的能力。解答此类题型，要重点记忆考纲规定的18个文言虚词的用法和意义，还要重 点记忆课本中的经典例句。
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程.
如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设知 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
37.4
C
AD 1 AB137.418.7, 7.2
22 O DO CD CR7.2.
·O
E B
D
C
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
·O
题设
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
结论 A
E
B
｛（3）平分弦
D
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
③AE=BE,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
判断下列图形，能否使用垂径定理？
(2)竞争性磋商响应文件密封袋用“于2016年XX月XX日XX时XX分（北京时间）之前不准启封”的标签密封。
1、
完工后必须报管理处组织验收，未经验收或验收不合格不得使用。
AC
D
B
利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的( ) ②平分弦的直线必垂直弦 ( )
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程.
如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设知 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
37.4
C
AD 1 AB137.418.7, 7.2
22 O DO CD CR7.2.
·O
E B
D
C
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
·O
题设
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
结论 A
E
B
｛（3）平分弦
D
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
③AE=BE,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
判断下列图形，能否使用垂径定理？
(2)竞争性磋商响应文件密封袋用“于2016年XX月XX日XX时XX分（北京时间）之前不准启封”的标签密封。
1、
完工后必须报管理处组织验收，未经验收或验收不合格不得使用。
AC
D
B
利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的( ) ②平分弦的直线必垂直弦 ( )