北京市北京市西城区第四十三中学2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷及参考答案
24.
25. 26.
27. 28.
15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的 对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是________度，阴影部分的面积为________．
16. 关于x的函数y＝ax2+2(a+1)x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则a=________. 三、解答题
该商品每星期的总销售额最高，最高为多少元？
23. 已知⊙O的半径为4，AB，AC是⊙O的两条条弦，AB＝ ，点O到AC的距离为 ，试求出∠BAC的度数. 24. 已知：二次函数y＝x2﹣mx+ m+1(m为常数).若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半 轴上.
（1） 求m的值. （2） 四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经 过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式. 25. 在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示.点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距 离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
北京市北京市西城区第四十三中学2019-2020学年九年级上学期数学期中考试
试卷
一、单选题
1. 二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（ ） A . ﹣2 B . ﹣1 C . 1 D . 2 2. 下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（ ）
12. 若一个扇形的圆心角是120°，且它的半径是18cm，则此扇形的弧长是________cm 13. 点A(-3,y1),B(2,y2)在抛物线y=x2-5x上,则y1________y2(填“>”,“<”或“=”) 14. 如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P.若∠AOB＝90°，OP＝6，则OC的长为______ __.
（4） 请你在备用图中画出一个⊙O的关联图形，所画图形的长度l小于(2)中图形G的周长的最小值，并写出l的值(直接
画出图形，不写作法).
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
16. 17.
18.
19. 20.
21. 22. 23.
（1） 求证：AD=CD．
（2） 过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD=CM，判断直线D
E与图形G的位置关系，并说明理由.
26. 设二次函数
的图象为C1 ． 二次函数
的图象与C1关于y轴对称．
（1） 求二次函数
的解析式；
（2） 当
≤0时，直接写出 的取值范围；
的对称轴为直线
．下列结论中，正确的是（ ）
A . a＜0 B . 当x＜ 时，y随x的增大而增大 C .
D.当
时，y的最小值是
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转9 0°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（ ）
A . （0，0） B . （1，0） C . （1，﹣1） D . （2.5，0.5） 8. 若抛物线y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧， 则m的取值范围是（ ） A . m＜2 B . m＞2 C . m D . m
问题：⊙O的半径为1，画一个⊙O的关联图形.
在解决这个问题时，小明以O为原点建立平面直角坐标系xOy进行探究，他发现能画出很多⊙O的关联图形，例如：⊙
O本身和图1中的△ABC(它们都是封闭的图形)，以及图2中以O为圆心的
(它是非封闭的形)，它们都是⊙O的关联图形
.而图2中以P，Q为端点的一条曲线就不是⊙O的关联图形.
A . 130° B . 120° C . 80° D . 60°
4. 将二次函数
用配方法化成
的形式，下列结果中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是 的中点，连接DB，DC，
则∠DBC的度数为（ ）
A . 30° B . 45° C . 50° D . 70° 6. 如图，抛物线
21. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A、B、C都 在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB'C'．
（1） 在正方形网格中，画出△AB'C'； （2） 计算线段AB在旋转过程中所扫过的面积． 22. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多 卖出15件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，请列出y与x的关系式，试求当商品售价为顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数
（ k，m为常数
，k≠0）的图象经过A，B两点，当
时，直接写出x的取值范围．
27. 已知△ABC为等边三角形， M为三角形外任意一点，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.
（1） 如图①，若∠BMC=120°，BM=2，MC=3.求∠AMB的度数和求AM的长. （2） 如图②，若∠BMC = n°，试写出AM、BM、CM之间的数量关系，并证明你的猜想. 28. 阅读下面材料： 定义：与圆的所有切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形.
小敏的作法如下：如图，
①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C． ②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点. ③作直线PA，PB． 所以直线PA，PB就是所求作的切线. 老师认为小敏的作法正确.
请回答：
（1） 连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是. （2） 如果⊙O的半径等于3，点P到切点的距离为4，求点A与点B之间的距离. 19. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为 的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．
二、填空题
9. 把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线为________． 10. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是________.
11. 如图，将
绕点 按顺时针方向旋转某个角度得到
，使
， ， 的线相交于点 ，
如果
，那么
________．
2
17. 已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A(2，5). （1） 求二次函数的解析式. （2） 求二次函数的图象与y轴的交点坐标. （3） 将(1)中求得的函数解析式化成y＝(x﹣h)2+k的形式. 18. 阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
尺规作图：如图，过圆外一点作圆的切线. 已知：P为⊙O外一点. 求作：经过点P的⊙O的切线.
20. 已知抛物线C：y＝x2+2x﹣3.
抛物线
顶点坐标
抛物线C：y＝x2+2x﹣3
A( )
变换后的抛物线C 1
与x轴交点坐标
B( )
(1，0)
与y轴交点坐标 (0，﹣3)
（1） 补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C． （2） 将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 ，可证明得到的曲线仍是抛物线，(记为C1) ，求抛物线C1对应的函数表达式.
参考小明的发现，解决问题：
（1） 在下列几何图形中，①⊙O的外切正多边形；②⊙O的内接正多边形；③⊙O的一个半径大于1的同心圆；⊙O的
关联图形是 (填序号).
（2） 若图形G是⊙O的关联图形，并且它是封闭的，则图形G的周长的最小值是.
（3） 在图2中，当⊙O的关联图形
的弧长最小时，经过D，E两点的直线为y＝.
2019-2020学年九年级数学上学期期中试题北师大版(V).docx
3分，共12分．）
13.某商品经过连续两次降价，
销售单价由原来的
125元降到80元，则平均每次降价的百分
率为_____．
14.已知，粉笔盒里有4支红色粉笔和n支白色粉笔，每支粉笔除颜
色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是
2，
n
则n＝
。
15.直线l1：y=k1x+b与双曲线l2：y=
2
5
’
y1=x
5
3
3
若△FBC∽△EDB，
则CF
BC
EB
DB
即：
CF2
31
2
∴FC=3
∴OF=3-3=0
∴点F2的坐标为 （0，0）
6
’
设直线F2B的解析式y2=mx（k≠0）
则2m=3,
解得：m=3，
2
3
∴直线
x
7
’
F2B的解析式y2=
2
2
13
3
当点F在点C上方时，同理可得：
y3=
4
3
x
;y =
x 6
17．（5分）解：
a
＝4.b＝-8,c＝-1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1’
∵b2-4ac＝(-8)
2-4×4×(-1)
＝80＞0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
’
∴x＝
b
b2
4ac＝
( 8)
4
80＝2
5⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4
’
2a
2
2
∴x
＝2
5,x
2
＝25
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5’
2019-2020学年北京西城外国语中学初三上册期中考试试卷数学试卷.doc
北京西城外国语学校初三上学期数学期中试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案．每小题3分，共30分） #1．抛物线2(2)5y x =-+-的顶点坐标是（ ）．A ．(2,5)-B ．(2,5)C ．(2,5)--D ．(2,5)-【答案】C【解析】顶点坐标为(2,5)--．#2．如图，⊙O 是ABC △的外接圆，若40ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）． A ．20︒ B ．30︒ C ．60︒ D ．80︒【答案】D【解析】圆周角是其所对弧的圆心角的一半，则280AOC ABC ∠=∠=︒．#3．如图，A 、B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC 、BC 的中点M 、N ，并测量出MN 的长为12m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）． A ．MN AB ∥ B ．:1:2CM MA =C ．CMN CAB ∽△△D 24m AB =【答案】C【解析】由图可知，当CMN CBA ∽△△时， ∴12MN CN CM AB CB CA ===． ∴MN AB ∥，:1:2CM MA =，CMN CBA ∽△△，24m AB =． #4．把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）． A ．23(2)1y x =-+ B ．23(2)1y x =+-C ．23(2)1y x =--D ．23(2)1y x =++【答案】D【解析】把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，得到23(2)y x =+， 再向上平移1个单位，得到23(2)1y x =++．故答案为D ． #5．如图，点D 在ABC △的边AC 上，要判断ADB △与ABC △相似，添加一个条件，不正确．．．的是（ ）． A ．ABD C ∠=∠B ．ADB ABC ∠=∠ C ．AD ABAB AC = D ．AB CBBD CD= 【答案】D 【解析】要证ADB ABC ∽△△，A A ∠=∠，故只需再有一个角相等即可．∴A 、B 都正确． 当AD ABAB AC =时，ADB ABC ∽△△，∴D 不正确． 故答案为D ．MCBAN#6．在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F ，若2EC BE =，则BFFD的值是（ ）．A ．12 B ．13C ．14 D ．15【答案】B【解析】∵四边形ABCD 为菱形， ∴ADF EBF ∠=∠，DAF BEF ∠=∠， ∴BFE DFA ∽△△， ∴13BF BE FD AD ==．#7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ）． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据图象可知，0a >，240b ac ∆=->，12ba-=， 当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+<，当2x =-时，420y a b c =-+>， ∴20b a =-<，0c <，∴3x =时，930a b c ++>，80a c +>． 故正确的为①③．#8．在同一直角坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】二次函数必过原点．可排除B 、C ．A 中，一次函数0a >，0b <，则二次函数开口向上，对称轴02bx a =->，符合条件． D 中，一次函数0a >，0b >，则二次函数开口向上，对称轴02bx a=-<，不符合条件．故答案为A ．#9．如图，在大小为44⨯的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④【答案】C【解析】∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、2、10； 由勾股定理求出③的各边长分别为22、2、25， ∴22222=，102225=，即221022225==， ∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．#10．如图，正方形ABCD 中，8cm AB =，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别从B 、C 两点同时出发，以1cm /s 的速度沿BC 、CD 运动，到点C 、D 时停止运动．设运动时间为t （s ），O E F△的面积为S （2cm ），则S （2cm ）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意BE CF t ==，8CE t =-， ∵四边形ABCD 为正方形，∴OB OC =，45OBC OCD ∠=∠=︒， ∵在OBE △和OCF △中 OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴OBE △≌OCF △（SAS ）， ∴OBE OCF S S =△△，∴218164OBC OECF S S ==⨯=四边形△，∴2211116(8)416(4)8222CEF OECF S S S t t t t t =-=--⋅=-+=-+四边形△（08t ≤≤），∴S （2cm ）与t （s ）的函数图象为抛物线一部分，顶点为(4,8)，自变量为08t ≤≤． 故答案为B ．AB CDEOF二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）#11．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0,1)-的抛物线的解析式__________．（结果请化为一般式） 【答案】21y x =-【解析】开口向上，且与y 轴交于点(0,1)-，可有21y x =-．#12．两个相似三角形的面积比是5:9，则它们的周长比是__________． 【答案】53【解析】两个相似三角形的面积比是5:9，则其边长之比为59，则周长比是53．#13．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则CD 的长为__________． 【答案】2【解析】2222()55422ABCD r r =--=--=．#14．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，D 为BC 上一点，过D 作ED BC ⊥交AC 于E ，若6AB =，8AC =，3ED =，则CD 的长为__________． 【答案】4【解析】90A CDE ∠=∠=︒，∴CDE CAB ∽△△， ∴36CD DE CA AB ==， ∴1842CD =⋅=．#15．点11(,)A x y 、22(,)B x y 在二次函数221y x x =--的图象上，若211x x >>，则1y 与2y 的大小关系是1y __________2y ．（用“>”、“<”、“=”填空）． 【答案】<【解析】二次函数221y x x =--的对称轴为1x =，函数在(,1)-∞单调递减，(1,)+∞单调递增， ∴若211x x >>，则12y y <．#16．在ABC △中，5AB =，4AC =，E 是AB 上一点，2AE =，在AC 上取一点F ，使以A 、E 、F 为顶点的三角形与ABC △相似，则AF 的长为__________． 【答案】1.6或2.5【解析】以A 、E 、F 为顶点的三角形与ABC △相似，有ABC AEF ∽△△和ABC AFE ∽△△两种情况进行讨论：当ABC AEF ∽△△时，有AEAF AB AC =，则254AF=，解得： 1.6AF =； 当ABC AFE ∽△△时，有AEAF ACAB =，则245AF=，解得： 2.5AF =． 所以 1.6AF =或2.5．DCBO AEACBD三、解答题（本大题共66分）#17．已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(2,5)A ． @（1）求二次函数的解析式． 【答案】223y x x =+-【解析】∵二次函数23y x bx =+-的图象经过点(2,5)A ， ∴4235b +-=， ∴2b =．∴二次函数的解析式为223y x x =+-．@（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式． 【答案】2(1)4y x =+-【解析】22223(21)4(1)4y x x x x x =+-=++-=+-．#18．已知一抛物线过点(3,0)-、(2,6)--，且对称轴是1x =-，求该抛物线的解析式．【答案】2246y x x =+-． 【解析】∵对称轴是1x =-，抛物线过点(3,0)-， ∴抛物线与x 轴另一交点是(1,0)， ∴设抛物线的解析式：(3)(1)y a x x =+-， ∵抛物线过点(2,6)--， ∴6(23)(21)a -=-+--， ∴2a =，∴2(3)(1)y x x =+-，即：2246y x x =+-．#19．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在DC的延长线上，且DAE F ∠=∠． @（1）求证：ABE ECF ∽△△． 【答案】证明见解析．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ∥，AD BC ∥，∴B ECF ∠=∠，DAE AEB ∠=∠． 又∵DAE F ∠=∠， ∴AEB F ∠=∠．∴ABE ECF ∽△△． @（2）若5AB =，8AD =，2BE =，求FC 的长．【答案】125【解析】∵ABE ECF ∽△△， ∴AB BE ECCF=．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴8BC AD ==．∴826EC BC BE =-=-=． ∴526CF=∴125CF =．#20．已知二次函数2 43y x x -=+．@（1）求出该函数与x 轴．的交点坐标、与y 轴．的交点坐标． 【答案】与x 轴．的交点坐标为(1,0)和(3,0)，与y 轴的交点坐标为(0,3) 【解析】令0y =，解得13x =，21x =，即与x 轴．的交点坐标为(1,0)和(3,0)， 令0x =，则3y =，即与y 轴的交点坐标为(0,3)．@（2）在平面直角坐标系中，用描点法．．．画出该二次函数的图象． 【答案】【解析】根据（1）中所求点及顶点(2,1)-描出该二次函数图象． @（3）根据图象回答：@@①当自变量x 的取值范围满足什么条件时，0y <？ 【答案】13x <<【解析】令0y <，解得13x <<．@@②当03x ≤<时，y 的取值范围是多少？ 【答案】13y -≤≤【解析】根据（2）中所作的图可看出，当03x ≤<时，13y -≤≤．#21．如图，在平面直角坐标系中，(1,1)A -，(2,1)B --．@（1）以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD ．【答案】【解析】见答案所示．@（2）在（1）的条件下，写出点A 的对应点C 的坐标为__________，点B 的对应点D 的坐标为__________．【答案】(2,2)-或(2,2)-；(4,2)--或(4,2)．【解析】点A 的对应点C 的坐标为(2,2)-或(2,2)-，点B 的对应点D 的坐标为(4,2)--或(4,2)．#22．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w （双）与销售单价x （元）满足280w x =-+（2040x ≤≤），设销售这种手套每天的利润为y （元）． @（1）求y 与x 之间的函数关系式． 【答案】221201600y x x =-+-．【解析】2(20)(280)(20)21201600y w x x x x x =⋅-=-+-=-+-． @（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】销售单价定为30元，每天的利润最大为200元． 【解析】22212016002(30)200y x x x =-+-=--+， ∴当30x =时，max 200y =．即销售单价定为30元，每天的利润最大为200元．#23．已知：如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：2AM MD ME =⋅．【答案】证明见解析．【解析】∵90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点， ∴AM BM CM ==， ∴B BAM ∠=∠， ∵90B C ∠+∠=︒， ∴90BAM C ∠+∠=︒， ∵90C D ∠+∠=︒， ∴BAM D ∠=∠， ∵AME DMA ∠=∠， ∴AME DMA ∽△△， ∴AM MEDM AM=， ∴2AM MD ME =⋅．#24．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．@（1）抛物线的解析式．【答案】2481255y x x =-++（010x ≤≤）． 【解析】抛物线的顶点坐标为(5,5)，与y 轴交点坐标是(0,1)， 设抛物线的解析式是2)5(5y a x =-+， 把(0,1)代入2)5(5y a x =-+得425a =-， ∴22448551252(55)y x x x =--++-=+（010x ≤≤）． @（2）两盏景观灯1P 、2P 之间的水平距离． 【答案】1P 、2P 之间的水平距离为5米． 【解析】由已知得两景观灯的纵坐标都是4， ∴244552(5)x --+=， ∴24 (5125)x -=，解得1152x =，252x =， ∴ 两景观灯间的距离为5米．#25．阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．如果3AE EF =，求CDCG的值．他的做法是：过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则可以得到BAF HEF ∽△△． 请你回答：@（1）:AB EH 的值为__________，:CG EH 的值为__________，CDCG的值为__________． 【答案】3AB EH =，2CG EH =，32CD CG =． 【解析】依题意，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，如图1所示． 则有ABF EHF ∽△△，∴3AB AF EH EF==，∴3AB EH =．∵四边形ABCD 为平行四边形，EH AB ∥， ∴EH CD ∥， 又∵E 为BC 中点， ∴EH 为BCG △的中位线， ∴2CG EH =．3322CD AB EH CG CG EH ===．@（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果AE a EF =（0a >），那么CDCG的值为__________（用含a 的代数式表示）．【答案】2CD aCG =【解析】如图2所示，作EH AB ∥交BG 于点H ，则EFH AFB ∽△△． ∴AB AFa EH EF ==， ∴AB aEH =． ∵AB CD =， ∴CD aEH =． ∵EH AB CD ∥∥， ∴2CG EH =．∴22CD aEH aCG EH ==．@（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD 中，DC AB ∥，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．如果AB m CD =，BCn BE=（0m >，0n >），那么AFEF的值为__________（用含m ，n 的代数式表示）． 【答案】AFmn EF=． 【解析】如图3所示，过点E 作EH AB ∥交BD 的延长线于点H ，则有EH AB CD ∥∥． ∵EH CD ∥，∴BCD BEH ∽△△， ∴CD BC n EH BE==， ∴CD nEH =． 又ABm CD=， ∴AB mCD mnEH ==． ∵EH AB ∥， ∴ABF EHF ∽△△， ∴AF AB mnEHmn EF EH EH===．#26．对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E ．现有点(2,0)A 和抛物线E 上的点(1,)B n -，请完成下列任务：@【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为__________． 【答案】(1,2)-【解析】将2t =代入抛物线E 中，得222(32)(1)(24)242(1)2y t x x t x x x x =-++--+=-=--， ∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-．@（2）点A __________（填在或不在）在抛物线E 上． 【答案】在【解析】点A 在抛物线E 上，理由如下：∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得0y =， ∴点(2,0)A 在抛物线E 上． @（3）n 的值为__________． 【答案】6【解析】∵点(1,0)B -在抛物线E 上， ∴将1x =-代入抛物线E 的解析式中， 得：2(32)(1)(24)6n t x x t x =-++--+=．@【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为__________．【答案】(2,0)、(1,6)-．【解析】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+，∴抛物线E 必过定点(2,0)、(1,6)-．@【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由． 【答案】不是，理由见解析． 【解析】不是．∵将1x =-代入2352y x x =-++，得66y =-≠， ∴二次函数2352y x x =-++的图象不经过点B ．∴二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”．#27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y mx x m =+++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,4)C ，D 为OC 的中点． @（1）求m 的值． 【答案】1-【解析】抛物线235y mx x m =+++与y 轴交于点(0,4)C ， ∴54m +=， ∴1m =-．@（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点11 的三角形与ADE △相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】存在，点F 的坐标为(1,4)或3(,5)2． 【解析】抛物线的解析式为：234y x x =-++．可求抛物线与x 轴的交点(1,0)A -，(4,0)B ．可求点E 的坐标3(,0)2． 由图知，点F 在x 轴下方的直线AD 上时，ABF △是钝角三角形，不可能与ADE △相似，所以点F 一定在x 轴上方．此时ABF △与ADE △有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况： ①当AB AE AF AD=时，由于E 为AB 的中点，此时D 为AF 的中点， 可求F 点坐标为(1,4)． ②当AB AD AF AE=时，5552AF =，解得5=52AF ． 过F 点作FH x ⊥轴，垂足为H ．可求F 的坐标为3(,5)2．@（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使G BC △中BC 边上的高为522？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，点G 的坐标为315(,)22或35(,)22-． 【解析】在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G ．由题意，可知OBC △为等腰直角三角形，直线BC 为4y x =-+． 可求与直线BC 平行且的距离为522的直线为9y x =-+或1y x =--． ∴ 点G 在直线9y x =-+或1y x =--上． ∵抛物线的对称轴是直线32x =， ∴329x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得32152x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．或321xy x⎧=⎪⎨⎪=--⎩，解得3252xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴点G的坐标为315(,)22或35(,)22-．12。
北京四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
北京四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列学生喜欢的手机应用软件图标中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.抛物线y=−(x−3)2−2的顶点坐标是()A. (3,−2)B. (−2,3)C. (2,3)D. (−3,−2)3.已知x2=y3(x,y都不等于0)，那么下列式子中一定成立的是()A. x+y=5B. 2x=3yC. xy =32D. xy=234.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，若DB=6，AB=8，BE=3，则EC的长是()A. 4B. 2C. 1D. 85.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠A=35∘，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数为()A. 70∘B. 65∘C. 55∘D. 35∘6.抛物线y=2(x−2)2−1关于x轴对称的抛物线的解析式为()A. y=2(x−2)2+1B. y=−2(x−2)2+1C. y=−2(x−2)2−1D. y=−(x−2)2−17.已知抛物线y=x2−4x+3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为()A. y=x2+2x+1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2x+1D. y=x2−2x−18.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为()A. 0B. −1C. 1D. 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.请写出一个开口向上，且过点(0,1)的抛物线的表达式______．10.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则abc________0，a−b+c________0，b+5a________0.(填“>”或“<”号)．11.在△ABC中，点M，N分别是边AC和BC的中点，△CMN的面积等于1，则四边形MNBA的面积是______．12.若A(−4,y1)，B(−3,y2)，C(1,y3)为二次函数y=x2+4x−m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是______ ．13.如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60cm，小孔O到像CD的距离是30cm，若物体AB的长为16cm，则像CD的长是_____cm．14.把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为______________．15.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是______________．16.如图，Rt△ODC的直角顶点D在y轴上，DC边上的点P(√2,2)在抛物线y=ax2上，将Rt△ODC绕点O逆时针旋转90°，得到△OBA，点A恰好在抛物线上，则点A的坐标为_______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.(1)已知二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，且经过点M(2,−5)，求该函数的解析式．(2)抛物线过点(−2,0)、(2,−8)，且对称轴为直线x=1，求其解析式．18.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于F.求证：AF平分∠BAC．19.如图，在△ABC中，AB=AC，若△ABC≌△DEF，且点A在DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M．求证：△ABE∽△ECM．20.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；①y随x变化的部分数值规律如下表：x−10123y03430②有序数对(−1,0)、(1,4)、(3,0)满足y=ax2+bx+c；③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图)．(2)直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(−2,2)，B(−4,1)，C(−1,0)．(1)以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C(点A′与点A是对应点)，使△A′B′C的面积是△ABC的面积的4倍；(2)写出所画△A′B′C的顶点A′，B′的坐标．22.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c的部分图象，A(1,0)，B(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的另一个交点是C点，求△ABC的面积．23.如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC=120°(1)求证：△ABD∽△CAE；(2)若BD=2，CE=8，求BC的长．24.某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双)与销售单价x(元)满足w=−2x+80(20≤x≤40)，设销售这种手套每天的利润为y(元)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？25.数学兴趣小组的同学们，想利用自己所学的数学知识测量学校旗杆的高度：下午活动时间，兴趣小组的同学们来到操场，发现旗杆的影子有一部分落在了墙上(如图所示).同学们按照以下步骤进行测量：测得小明的身高1.65米，此时其影长为2.5米；在同一时刻测量旗杆影子落在地面上的影长BC为9米，留在墙上的影高CD为2米，请你帮助兴趣小组的同学们计算旗杆的高度．26.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线BC与抛物线y=x2+bx+c交于点B(3,0)和点C(0,3)，抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A．(1)求直线BC及该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积．27.如图1，直角三角形ABC中，∠C=90°，CB=1，∠BCA=30°．(1)求AB、AC的长；(2)如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．①连接CE，BD.求证：BD=EC；②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长．28.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)(x1<x2)，且x1，x2是方程x2−2x−3=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点．(1)求点A，B的坐标；(2)分别求出抛物线和直线AC的解析式；(3)若将过点(0,2)且平行于x轴的直线定义为直线y=2.设动直线y=m(0<m<2)与线段AC、BC分别交于D、E两点．在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念即可求解．解：A.不是中心对称图形，故此选项错误；B.不是中心对称图形，故此选项错误；C.是中心对称图形，故此选项错误；D.不是中心对称图形，故此选项正确．故选C．2.答案：A解析：解：y=−(x−3)2−2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,−2)．故选：A．已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ．3.答案：D解析：本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键.根据比例的性质，可得答案．解：A.x+y不一定等于5，故A错误；B.2y=3x，故B错误；C.xy =23，故C错误；D.xy =23，故D正确；故选D．4.答案：C解析：此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键．由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=6，AB=8，BE=3，即可求得答案．解：∵DE//AC，∴DB：AB=BE：BC，∵DB=6，AB=8，BE=3，∴6：8=3：BC，解得：BC=4，∴EC=BC−BE=1．故选C．5.答案：A解析：本题主要考查旋转的性质，根据直角三角形的性质可求解∠ABC=55∘，由旋转的性质可得∠B′CA′=∠ACB=90∘，结合CB′=CB可得∠CBB′=∠B′=55∘，进而求解α度数．解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠A=35∘，∴∠ABC=55∘，∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，∴∠B′=∠ABC=55∘，∠B′CA′=∠ACB=90∘，CB′=CB，∴∠CBB′=∠B′=55∘，∴α=∠BCB′=70∘，故选A．6.答案：B解析：本题考查了二次函数图象与几何变换．先确定抛物线y=2(x−2)2−1的顶点坐标为(2,−1)，再利用关于x轴对称的点的坐标特征得到新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出新抛物线解析式．解：抛物线y=2(x−2)2−1的顶点坐标为(2,−1)，而(2,−1)关于x轴对称的点的坐标为(2,1)，所以所求抛物线的解析式为y=−2(x−2)2+1．故选：B．7.答案：A解析：此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．解：当y=0，则0=x2−4x+3，(x−2)2=1，解得：x1=1，x2=3，∴A(1,0)，B(3,0)，y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴M点坐标为：(2,−1)，∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y=(x+1)2=x2+2x+1．故选：A．8.答案：A解析：本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案．解：∵ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx=1−m有两个不相等的实数根，令y1=ax2+bx，y2=1−m，∴函数y1与函数y2的图象有两个交点，∴1−m<2，∴m>−1，∵m是整数，∴m的最小值为0，故选：A．9.答案：y=x2+1等．答案不唯一解析：解：依题意，满足题意的抛物线解析式为y=x2+1等，答案不唯一．故本题答案为：y=x2+1等．答案不唯一．开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点(0,1)，说明常数项c=1．本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同．10.答案：<，<，<解析：本题考查了二次函数图像与系数的关系，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数：b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．解：∵抛物线开口方向向下，∴a<0，∵对称轴在y轴右侧，∴−b2a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0；当x=−1时，y=a−b+c<0，∴a−b+c<0；∵对称轴为直线x=2，∴−b2a=2，∴b=−4a，∴b+5a=−4a+5a=a<0．故答案为<，<，<．11.答案：3解析：解：∵M，N分别为AC，BC的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴MN//AB，且AB=2MN，∴△CMN∽△CAB，∴S△CABS△CMN =(ABMN)2=4，∴S△CAB=4S△CMN=4，∴S四边形ABNM=S△CAB−S△CMN=4−1=3．故答案为：3．利用三角形的中位线定理以及相似三角形的性质即可解决问题．本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用相似三角形的性质求出S△CAB的值是解题的关键．12.答案：y3>y1>y2解析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算出自变量为−4，−3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．解：当x=−4时，y1=x2+4x−m=16−16−m=−m；当x=−3时，y2=x2+4x−m=9−12−m=−3−m；当x=1时，y3=x2+4x−m=1+4−m=5−m；所以y3>y1>y2．故答案为y3>y1>y2．13.答案：8解析：[分析]根据相似三角形的性质即可解题．[详解]解：由小孔成像的特征可知，△OAB∽△OCD，由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比，∴30:60=CD：16，解得：CD=8cm．[点睛]本题考查了相似三角形的判定和性质，属于简单题，熟悉性质内容是解题关键．14.答案：2√3解析：本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．解：∵每一个小长方形与原长方形相似，∴2x =x6，解得，x=2√3或x=−2√3(舍)，故答案为：2√3．15.答案：−1≤x≤2解析：解：根据图象可得出：当y1≥y2时，x的取值范围是：−1≤x≤2．故答案为：−1≤x≤2．根据图象可以直接回答，使得y1≥y2的自变量x的取值范围就是二次函数y1=ax2+bx+c的图象落在直线y2=kx+t上方的部分及交点对应的自变量x的取值范围．本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度．16.答案：(−2,4)解析：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．先把P点坐标代入y=ax2求出a=1，得到抛物线的解析式为y=x2，再根据旋转的性质得OD= OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，所以A点的横坐标为−2，然后把x=−2代入抛物线解析式计算出对应的函数值，于是确定A点坐标．解：由题意可得：OD=2，∠ODC=90°，把P(√2,2)代入y=ax2得2a=2，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2，∵Rt△ODC绕点O逆时针旋转90°，得到△OBA，∴OD=OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，∴AB⊥x轴，∴A点的横坐标为−2，把x=−2代入y=x2得y=4，∴A点坐标为(−2,4)，故答案为(−2,4)．17.答案：解：(1)设所求函数的解析式为y=a(x+1)2+4，∵图象经过点M(2,−5)，∴−5=a(2+1)2+4，∴a=−1，∴y=−(x+1)2+4(或y=−x2−2x+3).解：(2)设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，则{4a−2b+c=04a+2b+c=−8−b2a=1，∴{a=1b=−2c=−8，∴y=x2−2x−8．解析：本题主要考查二次函数的图像与性质相关知识。
北京市北京市西城区第四十四中学2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷及参考答案
北京市北京市西城区第四十四中学2019-2020学年九年级上学期数学期中考试试卷一、单选题1. 二次函数y=（x ﹣5）+7的最小值是（ ） A . ﹣7 B . 7 C . ﹣5 D . 52. 下图形中，是中心对称图形的是（ ）A . B . C . D .3. 下列语句中错误的是（ ）A .三点确定一个圆 B . 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧 C . 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D .三角形的内心是三角形内角平分线的交点4. 若一个扇形的半径是，且它的弧长是 ，则此扇形的圆心角等于（ ）A . B . C . D . 5. 将抛物线y=x 平移得到抛物线y=x +5，下列叙述正确的是（ ）A . 向上平移5个单位B . 向下平移5个单位C . 向左平移5个单位D . 向右平移5个单位6. 如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若∠AOB=90°，OP=6，则OC 的长为（ ）A . 12B .C .D .7. 如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D 是的中点，连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为（ ）A . 30° B . 45° C . 50° D . 70°8. 二次函数y=2x ﹣8x+m 满足以下条件：当﹣2＜x ＜﹣1时，它的图象位于x 轴的下方；当6＜x ＜7时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（ ）A . 8B . ﹣10C . ﹣42D . ﹣24二、填空题9. 写出一个二次函数y=2x 的图象性质（一条即可）________．10. 如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，则∠ACA′的度数是________．2222211. 点A(-3,y ),B(2,y )在抛物线y=x -5x 上,则y ________y (填“>”,“<”或“=”)12. 如图，△ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，将△ABC绕顶点A 旋转180°，点C 落在C′处，则CC′的长为________13. 如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A 的坐标为（1，3），则点M 和点N 的坐标分别为M________，N________．14. 圆内接正六边形的边长是8cm ，则该正六边形的半径为________．15. 二次函数y=x ﹣4x+m 图象的顶点在x 轴上，则m=________．三、解答题16. 阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P 为⊙O 外一点．求作：经过点P 的⊙O 的切线．小敏的作法如下：如图，⑴连接OP ， 作线段OP 的垂直平分线MN 交OP 于点C ；⑵以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交⊙O 于A ， B 两点；⑶作直线PA ， PB ． 所以直线PA ， PB 就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ， OB 后，可证∠OAP ＝∠OBP ＝90°，其依据是________；由此可证明直线PA ， PB 都是⊙O 的切线，其依据是________．12212217. 如图，⊙O中，，∠C＝75°，求∠A的度数．18. 已知抛物线y=x﹣2x﹣8．（1）用配方法把y=x﹣2x﹣8化为y=（x﹣h）+k形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴方程是，抛物线与x轴交点坐标是，当x时，y随x的增大而增大．19. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=________寸，CD=________寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．________20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．以点C为中心，△ABC逆时针旋转90°；（1）画出旋转后的图形，并写出点B′的坐标；（2）求点A经过的路径的长（结果保留π）．21. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m．（1）在给定的坐标系中画出示意图；（2）求出水管的长度．22. △ABC的三个顶点在⊙O上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，求证：∠1=∠2（提示：可以延长AO交⊙O于222F ，连接BF ）．23. 已知四边形ABCD 为菱形，点E 、F 、G 、H 分别为各边中点，判断E 、F 、G 、H 四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．24. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF ⊥AB 于点C ， 过点F 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ．（1） 已知∠A ＝α，求∠D 的大小（用含α的式子表示）；（2） 取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若∠A ＝30°，MF ＝，求⊙O 的半径．25. 已知：抛物线y ＝﹣mx +（2m ﹣1）x +m ﹣1经过坐标原点，且开口向上（1） 求抛物线的解析式；（2） 结合图象写出，0＜x ＜4时，直接写出y 的取值范围；（3） 点A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，作AB ⊥x 轴于点B ，DC ⊥x 轴于点C ．当BC ＝1时，求出矩形ABCD 的周长．26. 在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连结E C ．如果AB=AC ，∠BAC=90°．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图1，请你判断线段CE 、BD 之间的位置和数量关系（直接写出结论）；②当点D 在线段BC 的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx －2mx ＋m －1（m ＞0）与x 轴的交点为A ，B ．222（1） 求抛物线的顶点坐标；（2） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB 上整点的个数；②若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．28. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙O 的距离S 的定义如下：若点P 与圆心O 重合，则S 为⊙O 的半径长；若点P 与圆心O 不重合，作射线OP 交⊙O 于点A ，则S 为线段AP 的长度．图1为点P 在⊙O外的情形示意图．（1） 若点B （1，0），C （1，1），D(0， )，则S =；S =；S =；（2） 若直线y=x+b 上存在点M ，使得S =2，求b 的取值范围；（3） 已知点P ，Q 在x 轴上，R 为线段PQ 上任意一点．若线段PQ 上存在一点T ，满足T 在⊙O 内且S ≥S ，直接写出满足条件的线段PQ 长度的最大值．参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.P P P B C D M T R9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.。
2019-2020学年北京市西城区教育学院附属中学九年级上学期数学试题(含答案).doc
D CA (重题：12)北京教育学院附属中学2019-2020学年度第一学期九年级数学期中试卷 2015.11试卷共五道大题，29道小题.试卷满分120分.考试时间120分钟.一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．二次函数2(1)2y x =-+-的最大值是（ ）．A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：∵2(1)2y x =-+-，∴此函数的顶点坐标是(1,2)--，即当1x =-函数有最大值2-．故选：A ．2. 如果45(0)x y y =≠，那么下列比例式成立的是（ ）A ．45xy= B ．54xy= C ．45x y = D ．54x y=3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC =3，AB =6， 那么AD 的值为（ ） A. 32 B. 92C.D.4．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ∶BD =1∶2，若△ADE 的面积等于2，则△ABC 的面积等于（ ）A ．6B ．8C ．12D ．185．如图，ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，则cos B 的值是（ ）．A ．12 B C D【解答】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，由勾股定理，得ABcosBCB AB ===，故选：C ．6．把抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）．A ．2(3)1y x =+-B ．2(3)3y x =++C ．2(3)1y x =--D ．2(3)3y x =-+【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为(0,1)，∴平移后抛物线的顶点为(3,1)-，∴新抛物线解析式为2(3)1y x =--，故选：C ．7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则a 、b 、c 满足（ ）．A ．0a <，0b <，0c >B ．0a <，0b <，0c <C ．0a <，0b >，0c >D ．0a >，0b <，0c >【解答】解：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴0a <，∵与y 轴交于正半轴，∴0c >， 又∵对称轴02b x a=-<， ∴0b <，所以A 正确．故选A ．8．如图，△ABC 和△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，AB =4，则A 1B 1的长为 （ ）A. 1B. 2C. 4D. 89．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．A．0a>B．不等式20ax bx c++>的解集是15x-<<C．0a b c-+>D．当2x>时，y随x的增大而增大【解答】解：A、图象开口方向向下，则0a<，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线2x=，则图象与x轴另一交点坐标为：(1,0)-，∴不等式20ax bx c++>的解集是15x-<<，故此选项正确；C、当1x=-，0a b c-+=，故此选项错误；D、当2x>时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．10．如图，在等边△ABC中，4=AB，当直角三角板MPN 的︒60角的顶点P在BC上移动时，斜边MP始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E.设xBP=，yCE=，那么y与x之间的函数图象大致是二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点1(2,)P y -和点2(1,)Q y -分别为抛物线243y x x =-+上的两点，则1y ___________2y ． （用“>”或“<”填空）．【解答】解：∵2243(2)1y x x x =-+=--，∴二次函数图象的对称轴为直线2x =，∵212>->-，∴12y y >．故答案为：>．12．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为 m.13．在ABC △中，90C ∠=︒，4tan 3A =，则sin B =_________．【解答】解：如图所示，∵在ABC △中，90C ∠=︒，4tan 3A =， ∴设4BC x =，则3AC x =，∴5AB x ， ∴33sin 55AC x B AB x ===． 故答案为：35．14．如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE=3，DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于 ．15．二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为__________．【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为3-，∴0a >．234b a-=-，即212b a =， ∵一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，∴240b am ∆=-≥，即1240a am -≥，即1240m -≥，解得3m ≤，∴m 的最大值为3，故答案为3．16. 如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A 4=4OA1，…．那么A2B2= ，A n B n= ．（n为正整数）三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.计算：tan60cos30tan45sin30︒-︒⨯︒+︒．【解答】解：原式11=2=12=．18. 若二次函数23y ax bx=++的图象经过A（1，0）、B（2，－1）两点，求此二次函数的解析式.19. 已知：如图，在ABC△中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED =∠C.（1）求证：△AED∽△ACB；4NMA1A2A3A43B21AE（2）若AB =6，AD = 4，AC =5，求AE 的长.20.如图，ABC △的顶点在格点上，且点(5,1)A --，点(1,2)C --．以原点O 为位似中心，位似比为2，在第一象限内将ABC △放大，画出ABC △放大后的图形A B C '''△并写出A B C '''△各顶点坐标．【解答】解：如图所示：A B C '''△即为所求， (10,2)A '，(10,6)B '，(2,4)C '．21．已知二次函数的解析式是223y x x=--．（1）与x轴的交点坐标是___________，顶点坐标是___________；（）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；y的取值范围是__________．【解答】解：（1）令0y =，则2023x x =--． 解得11x =-，23x =． 抛物线223y x x =--与x 轴交点的坐标为(1,0)-，(3,0)． 2223(1)4y x x x =--=--， 所以它的顶点坐标为(1,4)-；；（3）当21x-<<时，45y-<<；当12x<<时，43y-<<-．∴当22x-<<时，45y-<<．22. 如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距AB为1.7米，求这棵树的高度．【解答】解：由题意，易知30CAD∠=︒，90CDA∠=︒，AD=，CE BE⊥， 1.7DE AB==米，∴tanCD CADAD∠=，∴3CD=．∴3 1.7 4.7CE=+=．答：这棵树的高度为4.7米．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，90ADC ACB ∠=∠=︒，E 为AB 的中点，（1）求证：2AC AB AD =⋅；（2）求证：CE AD ∥；（3）若4AD =，6AB =，求AC AF的值．【解答】（1）证明：∵AC 平分DAB ∠，∴DAC CAB ∠=∠，∵90ADC ACB ∠=∠=︒，∴ADC ACB ∽△△，∴::AD AC AC AB =，∴2AC AB AD =⋅；（2）证明：∵E为AB的中点，∴12CE AB AE==，∴EAC ECA∠=∠，∵DAC CAB∠=∠，∴DAC ECA∠=∠，∴CE AD∥；（3）解：∵CE AD∥，∴AFD CFE∽△△，∴::AD CE AF CF=，∵12CE AB=，∴1632CE=⨯=，∵4AD=，∴43AFCF =，∴74 ACAF=．24．已知抛物线22(21)y x m x m m =--+-．（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线33y x m =-+的一个交点在y 轴上，求m 的值．【解答】（1）证明：令0y =得：22(21)0x m x m m --+-=，∵22(21)4()10m m m ∆=---⨯>，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）解：令0x =，根据题意有：233m m m -=-+，解得3m =-或1．25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足280y x =-+ （20≤x ≤40），设销售这种产品每天的利润为W （元）.（1）求销售这种产品每天的利润W （元）与销售单价x （元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？26. 有这样一个问题：探究函数2112y x x =+的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数2112y x x=+的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数2112y x x=+的自变量x 的取值范围是__________； （2）下表是y 与x 的几组对应值．（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是3(1,)2，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）________．【解答】解：（1）0x ≠，（2）令3x =， ∴211323y =⨯+9129236=+=； ∴296m =；（3）如图（4）该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在0x =处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限．故答案为该函数没有最大值．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. ）在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线1C ：2y x bx c =++经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线2C ：2y ax =（0a ≠）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当2y =时，则21x =-，解得：3x =，∴(3,2)A ，∵点A 关于直线1x =的对称点为B ，∴(1,2)B -．（2）把(3,2)，(2,2)-代入抛物线21:C y x bx c =++得：29321b cb c =++⎧⎨=-+⎩，解得：21b c =-⎧⎨=-⎩．∴221y x x =--．顶点坐标为(1,2)-．（3）如图，当2C 过A 点，B 点时为临界，代入(3,2)A 则92a =， 解得：29a =，代入(1,2)B -，则2(1)2a -=，解得：2a =， ∴229a <≤．28. 对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线L ．现有点(2,0)A 和抛物线L 上的点(1,)B n -，请完成下列任务：【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为___________； （2）判断点A 是否在抛物线L 上；（3）求n 的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线L 总过定点，坐标为____________．【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．【解答】解：【尝试】（1）∵将2t =代入抛物线l 中，得：222(32)(1)(24)242(1)2y t x x t x x x x =-++--+=-=--， ∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-．（2）∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得 0y =， ∴点(2,0)A 在抛物线l 上．（3）将1x =-代入抛物线l 的解析式中，得：2(32)(1)(24)6n t x x t x =-++--+=．【发现】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+ ∴抛物线l 必过定点(2,0)、(1,6)-．【应用1】将2x =代入2352y x x =-++，0y =，即点A 在抛物线上． 将1x =-代入2352y x x =-++，计算得：66y =-≠， 即可得抛物线2352y x x =-++不经过点B ， 二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”．29．8aac49074e023206014e3d41c9104ca8矩形ABCD 一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得点B 落在CD 边上的点P 处．图1 图2（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．北京教育学院附属中学2019-2020学年度第一学期九年级数学期中答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.计算：0000tan60cos30tan45sin30-⨯+分18. 解：二次函数2y ax bx c=++的图象经过B（1，0）、C（2，－1）两点，∴03,142 3.a ba b=++⎧⎨-=++⎩.................................2分11212=+=解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩ ..................................4分∴二次函数的解析式为243y x x =-+……..5分19.(1)证明：∵∠AED =∠C ………………….1分∠A=∠A …………………2分 ∴△AED ∽△ACB ………………...3分(2)解：由（1）知△AED ∽△ACB∴AD AE AB AC=…………………....4分 ∵AB=6，AD= 4，AC=5 ∴AE=310………………….5分20．（1）（-1，0）、（3，0）；（1，-4）………………..2分（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；.....................................4分（3）-4≤y<5………………………………..5分 21.如图所示. …………………………………2分ACBDEA B CD E'(10,2),'(10,6),'(2,4)A B C…………………………………5分22. 解：在Rt△ADC中，∵∠DAC=30︒，AD=∴DC=AD错误！未找到引用源。
2019-2020学年北京第四中学初三上册期中考试试卷数学.doc
数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的．#1．已知1sin2A=，则锐角A的度数是（）．A．30︒B．45︒C．60︒D．75︒【答案】A【解析】1sin2A=，则锐角A的度数30︒．#2．二次函数2(+1)2y x=--的最大值是（）．A．2-B．1-C．1D．2【答案】A【解析】二次函数2(+1)2y x=--的最大值是2-．#3．如图，在ABC△中，DE BC∥，:1:2AD DB=，若2DE=，则BC等于（）．A．4B．6C．12D．18【答案】B【解析】∵DE BC∥，∴13 DE AD ADBC AB AD DB===+，∴36BC DE==．#4．把抛物线21y x=+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）．A．()231y x=+-B．()233y x=++C．()231y x=--D．()233y x=-+【答案】C【解析】抛物线21y x=+向右平移3个单位得2(3)1y x=-+，12再向下平移2个单位得2(3)1y x =--．#5．如图，在ABC △中，D 为AC 边上一点，若DBC A ∠=∠，6BC =，3AC =，则CD 的长为（ ）．A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】C【解析】∵在ABC △中，D 为AC 边上一点，DBC A ∠=∠，C C ∠=∠， ∴BCD ACB ∽△△，BC 与AC 是对应边，CD 与BC 是对应边， ∵6BC =，3AC =， ∴BCD △与ACB △的相似比是63，623CD BC ==．#6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，CD AB ⊥于点D ，那么sin BCD ∠的值是（ ）．A ．512B ．513C ．1213D ．125【答案】B【解析】由图知90BCD B A B ∠+∠=∠+∠=︒， ∴BCD A ∠=∠，在Rt ABC △中，由勾股定理得：2213AB AC BC =+=． ∴5sin sin 13BC BCD A AB ∠=∠==．#7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将BCE △绕点C 旋转得到ACD △，则cos ABC ∠的值等于（ ）．3A ．33 B ．12 C ．13D ．1010 【答案】D【解析】过点C 作CF AB ⊥于点F ， 由旋转的性质知AC BC =， ∴BF AF =．由勾股定理知2AB =，22125BC =+=．∴2102cos 105BF ABC BC ∠===．#8．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列结论：①0a <，0b <②20a b ->③0a b c ++>④0a b c -+<⑤当1x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（ ）．A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．①③④【答案】C【解析】函数开口向下，∴0a <； 对称轴在y 轴右侧，∴02ba->，∴0b >， ∴20a b -<；当1x =，0y a b c =++>； 当1x =-时，0y a b c =-+<； 当1x >时，y 随x 的增大而减小． 故③④⑤正确．#9．若抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点是点M ，直线2y x =+与坐标轴分别交4于点A 、B 两点，则ABM △的面积等于（ ）．A ．6B ．3C ．52D ．32【答案】B【解析】抛物线2221y x mx m m =-++-的顶点M 坐标为(,1)m m -， 即M 点在直线1y x =-，直线2y x =+与坐标轴交点为(0,2)和(2,0)-， ∵直线1y x =-与2y x =+平行，∴ABM △底边AB 上的高等于平行线间距离， 由图知1132223222ABM S AB BD =⋅=⨯⨯=△．#10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，动点P 从点B 出发，沿着B A D --在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点P '是点P 关于BD 的对称点，PP '交BD 于点M ，若BM x =，OPP '△的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（ ）．【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD DA ===，132OA AC ==，142OB BD ==，AC BD ⊥，①当4BM ≤时，∵点P '与点P 关于BD 对称， ∴P P BD '⊥， ∴P P AC '∥， ∴P BP CBA '∽△△，∴PP BM AC OB '=，即64PP x '=， xyxyxyxyOOOODAB C 4833338484485∴32PP x '=，∵4OM x =-，∴OPP '△的面积21133(4)32224y PP OM x x x x '=⋅=⨯-=-+．∴y 与x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0,0)和(4,0)．②当4BM ≥时，y 与x 之间的函数图象的形状与①中的相同，过(4,0)和(8,0)；综上所述：y 与x 之间的函数图象大致为．二、填空题（本题共18分，每小题3分）#11．如果23a b b -=，那么ab=________． 【答案】53【解析】23a b b -=， 则332a b b -=，∴53a b =，∴53a b =．#12．已知抛物线225y x x =-+经过两点1(2,)A y -和2(3,)B y ，则1y 与2y 的大小关系是________． 【答案】12y y >【解析】抛物线225y x x =-+对称轴为直线212x -=-=，开口向上， ∵A 点离对称轴更远， ∴12y y >．#13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为_________m ． 【答案】24【解析】设这栋建筑物的高度为m x ，由题意得，2112x=．6解得24x =．∴这栋建筑物的高度约为24m ．#14．已知在ABC △中，3tan4A =，5AB =，4BC =，那么AC 的长等于_________．【答案】47±【解析】如图，在ABC △中，过点C 作CD AB ⊥于点D ． ∴3tan 4DC A AD ==， 设3DC x =，4AD x =，则225AC AD CD x =+=，54BD AD AD x =-=-， 在Rt BDC △中，222BC BD CD =+， 即2216(54)(3)x x =-+，整理得：22216251640925409x x x x x =+-+=-+． 解得475x ±=， ∴547AC x ==±．#15．若关于x 的一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则t 的取值范围是__________． 【答案】31t -<≤【解析】令241y x x t =-+-， ∴函数对称轴为直线422x -=-=． 一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则22421010t t ⎧-⨯+-⎨->⎩≤，解得31t -<≤．#16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值__________． （2）当AE AF +的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF ．D C D C7【答案】（1）5612+．（2）取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求．【解析】（1）根据勾股定理可得：22435DB =+=，因为52BE DF ==，所以可得12.52AF BD ==，根据勾股定理可得：22613 2.52AE =+=，所以615612.522AE AF ++=+=， 故答案为：5612+．（2）如图，首先确定E 点，要使AE AF +最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF 移到AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H 使HBC ADB ∠=∠，其次需要构造长度BP 使4BP AD ==，根据勾股定理可知22345BH =+=，结合相似三角形选出格点K ，根据14HK HP BC BP ==，得445455BP BH DA ==⨯==，易证ADF △≌PBE △，因此可得到PE AF =，线段AP 即为所求的AE AF +的最小值；同理可确定F 点，因为AB BC ⊥，因此首先确定格点M 使DM DB ⊥，其次确定格点G 使3DG AB ==，此时需要先确定格点N ，同样根据相似三角形性质得到23NM MG DC DG ==，得335355DG DM ==⨯=，易证DFG△≌BEA △，因此可得到AE GF =，故线段AG 即为所求的AE AF +的最小值．故答案为：取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）#17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．【答案】12【解析】23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332322⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭1332=+- 12=．#18．如图，在ABC △和CDE △中，90B D ∠=∠=︒，C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥．3AB =，2DE =，6BC =．求CD 的长．8【答案】1CD =【解析】∵在ABC △中，90B ∠=︒， ∴90A ACB ∠+∠=︒． ∵AC CE ⊥，∴90ACB ECD ∠+∠=︒． ∴A ECD ∠=∠．∵在ABC △和CDE △中，A ECD ∠=∠，90?B D ∠=∠=， ∴ABC CDE ∽△△． ∴AB BCCD DE=． ∵3AB =，2DE =，6BC =， ∴1CD =．#19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，3DC =，3AC =．（1）求B ∠的度数． （2）求AB 及BC 的长．【答案】（1）30B ∠=︒． （2）6AB =，33BC =．【解析】（1）∵在ACD △中，90C ∠=︒，3CD =，3AC =， ∴3tan 3CD DAC AC∠==．∴30DAC ∠=︒．∵AD 平分BAC ∠，∴260BAC DAC ∠=∠=︒． ∴30B ∠=︒．（2）∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3AC =， ∴26AB AC ==．333tan 33AC BC B===．#20．已知：二次函数m (1)(3)y a x x =--中的x 和y 满足下表： 243y x x =-+… 0 1 2 3 4 5 … 03x << … 3 01-1-8…（1）可求得3y <的值为_________．9（2）求出这个二次函数的解析式． （3）当3y >时，x 的取值范围为． 【答案】（1）3． （2）243y x x =-+． （3）0x <或4x >． 【解析】（1）3y <的值为3． （2）二次函数为2(2)1y a x =--， ∵过点(3,0)， ∴1a =，243y x x =-+．（3）当3y >时，x 的取值范围为0x <或4x >．#21．如图，ABC △各顶点的坐标分别为(1,2)A ，(2,1)B ，(4,3)C ，在第一象限内，以原点为位似中心，画出ABC △的位似图形111A B C △，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点1C 坐标．xy1234567891012345678910CABo【答案】(8,6)． 【解析】1C 坐标(8,6)．xy1234567891012345678910A'B'C'C ABo10#22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30︒的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60︒．求山高CD ．【答案】477.12CD ≈（米）．【解析】过C 作CE AD ∥，作BF CD ⊥，BE AD '⊥． 在Rt CBF △中，易得：sin601603CF BC =⨯︒=， 在Rt ABE '△中，易得：sin30200BE AB '=⨯︒=， 故山高1603200477.12CD =+≈（米）．#23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？ 【答案】房间定价为350元时，利润最大．【解析】设房价为（18010x +）元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，22(18010)(50)(50)2010340800010(17)10890y x x x x x x =+---⨯=-++=--+． 故可得当17x =，即房间定价为180170350+=元的时候利润最大． 答：房间定价为350元时，利润最大．#24．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在ABC △内，90CAE CBE ∠+∠=︒．（1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ． （i ）求证：CAE CBF ∽△△．（ii ）若1BE =，2AE =，求CE 的长．（2）如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB EFk BC FC==时，若1BE =，2AE =，3CE =，则k 的值等于_________．【答案】（1）（）证明见解析． （ii ）6CE =． （2）104． 【解析】（1）（i ）∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形， ∴::2AC BC CE CF ==， ∴45ACB ECF ∠=∠=︒， ∴ACE BCF ∠=∠， ∴CAE CBF ∽△△． （ii ）∵CAE CBF ∽△△，∴CAE CBF ∠=∠，::AE BF AC BC =， 又∵90CAE CBE ∠+∠=︒， ∴90CBF CBE ∠+∠=︒， ∴90EBF ∠=︒，又∵::2AE BF AC BC ==，2AE =， ∴22BF =， ∴2BF =，∴2223EF BE BF =+=， ∴2226CE EF ==， ∴6CE =．（2）104．#25．抛物线顶点坐标为点(1,4)C ，交x 轴于点(3,0)A ，交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式．（2）设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出ABP △面积的最大值．（3）设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使ABQ S m =△，则m 的值等于__________．【答案】（1）223y x x =-++．（2）当32x =时，ABP △面积的最大值是278．（3）278．【解析】26．有这样一个问题：探究函数11y x x =+-的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数11y x x =+-的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）函数11y x x =+-的自变量x 的取值范围是_______． （2）下表是y 与x 的几组对应值x… 3-1-12 34 54 32 2 34… y …134- 32- 1-32- 134-21472372m…求m 的值．（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2,3)，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________． 【答案】（1）1x ≠；（2）133m =；（3）（4）增减性，对称性，最值等 【解析】（1）1x ≠．（2）由表格知当0x =时，1y =-． ∴可以设该函数为21y ax bx =+-，代入点3(1,)2--和(2,3)．得3124213a b a b ⎧--=-⎪⎨⎪+-=⎩， 解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴该函数为2112y x x =+-．∴当4x =，21441112y =⨯+-=．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o【解析】27．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =+交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B ． （1）求点A ，B 的坐标．（2）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标．（3）若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【答案】（1）A （1,2），B （-3,2）；（2）221y x x =+-，顶点（-1，-2）；（3）229a ≤<．#28．如图1，ABC △为等腰直角三角形，90C ∠=︒，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，线段AF ，BE 交于点P ，将线段AF 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒︒≤≤）得到线段AQ ．@（1）直接写出APPF的值为___________． 【答案】2【解析】连接EF ，∵点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF AB ∥，12EF AB =，∴EFP BAP ∽△△， ∴2AP AB PF EF==． @（2）如图2，当180α=︒时，延长BE 到D 使得ED BE =，连接QD ，证明QD BD ⊥．【答案】证明见解析．【解析】如图，作AH BD ⊥于H ，设2AB BC a ==，则5BE AF a ==， 在AHE △和BCE △中，90AHE C AEH BEC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ∴AHE BCE ∽△△， ∴EH AE CE BE =， 即5EF a a a=， ∴55EH a =， ∴185315PH PE EF BE EH a =+=+=，453PD PE DE a =+=．∴852155453PH PD ==， 又25PA PD =， ∴在PAH △和PQD △中，QPD APE PA PHPD PD∠=∠⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴PAH PQD ∽△△，∴90PDQ PHA ∠=∠=︒， ∴QD BD ⊥．@（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ 交直线BE 于点M ，当A M P △为等腰三角形时，AM P △的底角正切值为___________．【答案】34或，13或3．【解析】①当AM AP =时，此时APE ∠为等腰三角形AM P △的底角，如图所示，作EI AP ⊥于I ，依然设2AC BC a ==，设PI xa =，则25()3AI AP PI x a =-=-，则AE a =，53PE a =， 在Rt AEI △和Rt PEI △中，由勾股定理知：22222EI AE AI PE PI =-=-，即22222255()()()33a x a a xa --=-， 解得4515x =， ∴55EI =，∴3tan 4EI APE PI ∠==． ②如图，当AM PM =时， 此时APE ∠仍为APM △的底角， 由①知3tan 4EI APE PI ∠==． ③当PM PA =时，当M 不与B 点重合时，如图， 此时为M '，作AH BM '⊥， 由（2）知55EH a =， ∴2515M H PM PH a ''=-=， 222255AH AP PH a =-=， ∴tan 3AHAM H M H'∠=='． 当M 与B 点重合时，如图，此时为M ''，作PN AB ⊥于点N ， 则2223PN PB BN a =-=， ∴1tan 3PN PM N NB ''∠==． 综上所述，AM P △的底角正切值为34或，13或3．#29．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++、抛物线③221y x x =++与已知抛物线①是否关联．（2）抛物线211:(9)68C y x =-++，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线绕点(,2)P t 旋转180︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．（3）A 为抛物线()211:968C y x =-++的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线的顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC △，使其直角顶点C 在直线10x =-上?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）②．（2）2211(1)2,(17)288y x y x =+-=+-．（3）(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．【解析】（1）∵①抛物线2221(1)2y x x x =+-=+-的顶点坐标为(1,2)M --， ∴②当1x =-时，2211212y x x =-++=--+=-，∴点M 在抛物线②上；∵③当1x =-时，2211210y x x =++=-+=， ∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②2221(1)2y x x x =-++=--+，其顶点坐标为(1,2)， 经验算：(1,2)在抛物线①上， ∴抛物线①、②是关联的．（2）抛物线1C ：21(9)28y x =-+-的顶点M 的坐标为(9,6)-，∵动点P 的坐标为(,2)t ， ∴点P 在直线2y =上，作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线2y =的垂线，垂足为E ，F ，则4M E N F ==， ∴点N 的纵坐标为2-，当2y =-时，21(9)628x +-+=-，解得：117x =-，21x =-，①设抛物2C 的解析式为：2(17)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上， ∴26(9)217a =-+-，∴18a =．∴抛物线2C 的解析式为：21()8217y x =+-；②设抛物2C 的解析式为：2(1)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上，∴26(1)29a =-+-，∴18a = ．∴抛物线2C 的解析式为：21()821y x =+-．（3）点C 在y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角ABC △，令C 的坐标为(0,)c ，则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ，则BCF △≌CAH △，∴1CF AH ==，6BF CH c ==-，点B 的坐标为(4,1)c c ---，当点B 在抛物线211:(9)68y x C =-++上时，211(49)68c c -=---++，解得：142c =+或142c =-．②当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中B '点，过点B '作y 轴的垂线，垂足为D ，同理可得：点B '的坐标为(16,1)c c -++，当点B '在抛物线1C ：21(9)68y x =-++上时，211(169)68c c +=--+++，解得：3c =．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C 点的坐标分别为：(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．参考答案一、 选择： 题号 1 2 34 5 6 7 8 9 10 答案 A ABCCBDCBD二、填空：16．（Ⅰ）5612+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．题号 111213 1415 16答案5312y y ＞2447±31t -≤<5612+。
2019-2020学年北京第四中学初三上册期中考试试卷数学.doc
数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的．#1．已知1sin2A=，则锐角A的度数是（）．A．30︒B．45︒C．60︒D．75︒【答案】A【解析】1sin2A=，则锐角A的度数30︒．#2．二次函数2(+1)2y x=--的最大值是（）．A．2-B．1-C．1D．2【答案】A【解析】二次函数2(+1)2y x=--的最大值是2-．#3．如图，在ABC△中，DE BC∥，:1:2AD DB=，若2DE=，则BC等于（）．A．4B．6C．12D．18【答案】B【解析】∵DE BC∥，∴13 DE AD ADBC AB AD DB===+，∴36BC DE==．#4．把抛物线21y x=+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）．A．()231y x=+-B．()233y x=++C．()231y x=--D．()233y x=-+【答案】C【解析】抛物线21y x=+向右平移3个单位得2(3)1y x=-+，再向下平移2个单位得2(3)1y x =--．#5．如图，在ABC △中，D 为AC 边上一点，若DBC A ∠=∠，6BC =，3AC =，则CD 的长为（ ）．A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】C【解析】∵在ABC △中，D 为AC 边上一点，DBC A ∠=∠，C C ∠=∠， ∴BCD ACB ∽△△，BC 与AC 是对应边，CD 与BC 是对应边， ∵6BC =，3AC =， ∴BCD △与ACB △的相似比是63，623CD BC ==．#6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，CD AB ⊥于点D ，那么sin BCD ∠的值是（ ）．A ．512B ．513C ．1213D ．125【答案】B【解析】由图知90BCD B A B ∠+∠=∠+∠=︒， ∴BCD A ∠=∠，在Rt ABC △中，由勾股定理得：2213AB AC BC =+=． ∴5sin sin 13BC BCD A AB ∠=∠==．#7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将BCE △绕点C 旋转得到ACD △，则cos ABC ∠的值等于（ ）．A ．33 B ．12 C ．13D ．1010 【答案】D【解析】过点C 作CF AB ⊥于点F ，由旋转的性质知AC BC =， ∴BF AF =．由勾股定理知2AB =，22125BC =+=．∴2102cos 105BF ABC BC ∠===．#8．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列结论：①0a <，0b <②20a b ->③0a b c ++>④0a b c -+<⑤当1x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（ ）．A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．①③④【答案】C【解析】函数开口向下，∴0a <； 对称轴在y 轴右侧，∴02ba->，∴0b >， ∴20a b -<；当1x =，0y a b c =++>； 当1x =-时，0y a b c =-+<； 当1x >时，y 随x 的增大而减小． 故③④⑤正确．#9．若抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点是点M ，直线2y x =+与坐标轴分别交于点A 、B 两点，则ABM △的面积等于（ ）．A ．6B ．3C ．52D ．32 【答案】B【解析】抛物线2221y x mx m m =-++-的顶点M 坐标为(,1)m m -， 即M 点在直线1y x =-，直线2y x =+与坐标轴交点为(0,2)和(2,0)-， ∵直线1y x =-与2y x =+平行，∴ABM △底边AB 上的高等于平行线间距离， 由图知1132223222ABM S AB BD =⋅=⨯⨯=△．#10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，动点P 从点B 出发，沿着B A D --在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点P '是点P 关于BD 的对称点，PP '交BD 于点M ，若BM x =，OPP '△的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（ ）．【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD DA ===，132OA AC ==，142OB BD ==，AC BD ⊥，①当4BM ≤时，∵点P '与点P 关于BD 对称， ∴P P BD '⊥， ∴P P AC '∥， ∴P BP CBA '∽△△，∴PP BM AC OB '=，即64PP x'=，∴32PP x '=，xyxyxyxyOOOODAB C 483333848448∵4OM x =-，∴OPP '△的面积21133(4)32224y PP OM x x x x '=⋅=⨯-=-+．∴y 与x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0,0)和(4,0)．②当4BM ≥时，y 与x 之间的函数图象的形状与①中的相同，过(4,0)和(8,0)；综上所述：y 与x 之间的函数图象大致为．二、填空题（本题共18分，每小题3分）#11．如果23a b b -=，那么ab=________． 【答案】53【解析】23a b b -=， 则332a b b -=，∴53a b =，∴53a b =．#12．已知抛物线225y x x =-+经过两点1(2,)A y -和2(3,)B y ，则1y 与2y 的大小关系是________． 【答案】12y y >【解析】抛物线225y x x =-+对称轴为直线212x -=-=，开口向上， ∵A 点离对称轴更远， ∴12y y >．#13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为_________m ． 【答案】24【解析】设这栋建筑物的高度为m x ，由题意得，2112x=．解得24x =．∴这栋建筑物的高度约为24m ．#14．已知在ABC △中，3tan 4A =，5AB =，4BC =，那么AC的长等于_________．【答案】47±【解析】如图，在ABC △中，过点C 作CD AB ⊥于点D ． ∴3tan 4DC A AD ==， 设3DC x =，4AD x =，则225AC AD CD x =+=，54BD AD AD x =-=-， 在Rt BDC △中，222BC BD CD =+， 即2216(54)(3)x x =-+，整理得：22216251640925409x x x x x =+-+=-+． 解得475x ±=， ∴547AC x ==±．#15．若关于x 的一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则t 的取值范围是__________． 【答案】31t -<≤【解析】令241y x x t =-+-， ∴函数对称轴为直线422x -=-=． 一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则22421010t t ⎧-⨯+-⎨->⎩≤， 解得31t -<≤．#16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值__________． （2）当AE AF +的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF ．【答案】（1）5612+．（2）取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF即为所求．【解析】（1）根据勾股定理可得：22435DB =+=，D CE FD C因为52BE DF ==，所以可得12.52AF BD ==，根据勾股定理可得：22613 2.52AE =+=，所以615612.522AE AF ++=+=， 故答案为：5612+． （2）如图，首先确定E 点，要使AE AF +最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF 移到AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H 使HBC ADB ∠=∠，其次需要构造长度BP 使4BP AD ==，根据勾股定理可知22345BH =+=，结合相似三角形选出格点K ，根据14HK HP BC BP ==，得445455BP BH DA ==⨯==，易证ADF △≌PBE △，因此可得到PE AF =，线段AP 即为所求的AE AF +的最小值；同理可确定F 点，因为AB BC ⊥，因此首先确定格点M 使DM DB ⊥， 其次确定格点G 使3DG AB ==，此时需要先确定格点N ，同样根据相似三角形性质得到23NM MG DC DG ==，得335355DG DM ==⨯=，易证DFG △≌BEA △，因此可得到AE GF =，故线段AG 即为所求的AE AF +的最小值．故答案为：取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）#17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．【答案】12【解析】23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332322⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭1332=+- 12=．#18．如图，在ABC △和CDE △中，90B D ∠=∠=︒，C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥．3AB =，2DE =，6BC =．求CD 的长．【答案】1CD =【解析】∵在ABC △中，90B ∠=︒， ∴90A ACB ∠+∠=︒． ∵AC CE ⊥，∴90ACB ECD ∠+∠=︒． ∴A ECD ∠=∠．∵在ABC △和CDE △中，A ECD ∠=∠，90?B D ∠=∠=， ∴ABC CDE ∽△△． ∴AB BCCD DE=． ∵3AB =，2DE =，6BC =， ∴1CD =．#19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，3DC =，3AC =．（1）求B ∠的度数． （2）求AB 及BC 的长．【答案】（1）30B ∠=︒． （2）6AB =，33BC =．【解析】（1）∵在ACD △中，90C ∠=︒，3CD =，3AC =， ∴3tan 3CD DAC AC∠==．∴30DAC ∠=︒．∵AD 平分BAC ∠，∴260BAC DAC ∠=∠=︒． ∴30B ∠=︒．（2）∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3AC =， ∴26AB AC ==．333tan 33AC BC B===．#20．已知：二次函数m (1)(3)y a x x =--中的x 和y 满足下表： 243y x x =-+… 0 12 3 4 5 … 03x << …3 0 1-1-8…（1）可求得3y <的值为_________．（2）求出这个二次函数的解析式． （3）当3y >时，x 的取值范围为． 【答案】（1）3． （2）243y x x =-+．（3）0x <或4x >． 【解析】（1）3y <的值为3． （2）二次函数为2(2)1y a x =--， ∵过点(3,0)， ∴1a =，243y x x =-+．（3）当3y >时，x 的取值范围为0x <或4x >．#21．如图，ABC △各顶点的坐标分别为(1,2)A ，(2,1)B ，(4,3)C ，在第一象限内，以原点为位似中心，画出ABC △的位似图形111A B C △，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点1C 坐标．xy1234567891012345678910CABo【答案】(8,6)． 【解析】1C 坐标(8,6)．xy1234567891012345678910A'B'C'C ABo#22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30︒的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60︒．求山高CD ．【答案】477.12CD ≈（米）．【解析】过C 作CE AD ∥，作BF CD ⊥，BE AD '⊥． 在Rt CBF △中，易得：sin601603CF BC =⨯︒=， 在Rt ABE '△中，易得：sin30200BE AB '=⨯︒=， 故山高1603200477.12CD =+≈（米）．#23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？ 【答案】房间定价为350元时，利润最大．【解析】设房价为（18010x +）元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，22(18010)(50)(50)2010340800010(17)10890y x x x x x x =+---⨯=-++=--+． 故可得当17x =，即房间定价为180170350+=元的时候利润最大． 答：房间定价为350元时，利润最大．#24．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在ABC △内，90CAE CBE ∠+∠=︒． （1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ． （i ）求证：CAE CBF ∽△△．（ii ）若1BE =，2AE =，求CE 的长．（2）如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB EFk BC FC==时，若1BE =，2AE =，3CE =，则k 的值等于_________．【答案】（1）（）证明见解析． （ii ）6CE =．（2）104． 【解析】（1）（i ）∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形， ∴::2AC BC CE CF ==， ∴45ACB ECF ∠=∠=︒， ∴ACE BCF ∠=∠， ∴CAE CBF ∽△△． （ii ）∵CAE CBF ∽△△，∴CAE CBF ∠=∠，::AE BF AC BC =， 又∵90CAE CBE ∠+∠=︒， ∴90CBF CBE ∠+∠=︒， ∴90EBF ∠=︒，又∵::2AE BF AC BC ==，2AE =， ∴22BF =， ∴2BF =，∴2223EF BE BF =+=， ∴2226CE EF ==， ∴6CE =．（2）104．#25．抛物线顶点坐标为点(1,4)C ，交x 轴于点(3,0)A ，交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式．（2）设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出ABP △面积的最大值．（3）设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使ABQ S m =△，则m 的值等于__________．【答案】（1）223y x x =-++．（2）当32x =时，ABP △面积的最大值是278．（3）278．【解析】26．有这样一个问题：探究函数11y x x =+-的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数11y x x =+-的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）函数11y x x =+-的自变量x 的取值范围是_______． （2）下表是y 与x 的几组对应值x… 3-1-12 34 54 32 2 34… y …134- 32- 1-32- 134- 21472372m…求m 的值．（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2,3)，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________． 【答案】（1）1x ≠；（2）133m =；（3）（4）增减性，对称性，最值等 【解析】（1）1x ≠．（2）由表格知当0x =时，1y =-． ∴可以设该函数为21y ax bx =+-，代入点3(1,)2--和(2,3)．得3124213a b a b ⎧--=-⎪⎨⎪+-=⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴该函数为2112y x x =+-．∴当4x =，21441112y =⨯+-=．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o【解析】27．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =+交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B ． （1）求点A ，B 的坐标．（2）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标．（3）若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围． 【答案】（1）A （1,2），B （-3,2）；（2）221y x x =+-，顶点（-1，-2）；（3）229a ≤<．#28．如图1，ABC △为等腰直角三角形，90C ∠=︒，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，线段AF ，BE 交于点P ，将线段AF 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒︒≤≤）得到线段AQ ．@（1）直接写出APPF的值为___________． 【答案】2【解析】连接EF ，∵点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF AB ∥，12EF AB =，∴EFP BAP ∽△△， ∴2AP AB PF EF==． @（2）如图2，当180α=︒时，延长BE 到D 使得ED BE =，连接QD ，证明QD BD ⊥．【答案】证明见解析．【解析】如图，作AH BD ⊥于H ，设2AB BC a ==，则5BE AF a ==， 在AHE △和BCE △中，90AHE C AEH BEC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ∴AHE BCE ∽△△， ∴EH AE CE BE =， 即5EF a a a=， ∴55EH a =，∴185315PH PE EF BE EH a =+=+=，453PD PE DE a =+=．∴852155453PH PD ==， 又25PA PD =， ∴在PAH △和PQD △中，QPD APE PA PHPD PD∠=∠⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴PAH PQD ∽△△，∴90PDQ PHA ∠=∠=︒， ∴QD BD ⊥．@（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ 交直线BE 于点M ，当AM P △为等腰三角形时，AM P △的底角正切值为___________．【答案】34或，13或3．【解析】①当AM AP =时，此时APE ∠为等腰三角形AM P △的底角，如图所示，作EI AP ⊥于I ，依然设2AC BC a ==，设PI xa =，则25()3AI AP PI x a =-=-，则AE a =，53PE a =， 在Rt AEI △和Rt PEI △中，由勾股定理知：22222EI AE AI PE PI =-=-，即22222255()()()33a x a a xa --=-，解得4515x =， ∴55EI =，∴3tan 4EI APE PI ∠==． ②如图，当AM PM =时， 此时APE ∠仍为APM △的底角， 由①知3tan 4EI APE PI ∠==． ③当PM PA =时，当M 不与B 点重合时，如图，此时为M '，作AH BM '⊥， 由（2）知55EH a =， ∴2515M H PM PH a ''=-=， 222255AH AP PH a =-=， ∴tan 3AHAM H M H'∠=='． 当M 与B 点重合时，如图，此时为M ''，作PN AB ⊥于点N ， 则2223PN PB BN a =-=， ∴1tan 3PN PM N NB ''∠==． 综上所述，AM P △的底角正切值为34或，13或3．#29．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++、抛物线③221y x x =++与已知抛物线①是否关联．（2）抛物线211:(9)68C y x =-++，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线绕点(,2)P t 旋转180︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．（3）A 为抛物线()211:968C y x =-++的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线的顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC △，使其直角顶点C 在直线10x =-上?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）②．（2）2211(1)2,(17)288y x y x =+-=+-．（3）(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．【解析】（1）∵①抛物线2221(1)2y x x x =+-=+-的顶点坐标为(1,2)M --，∴②当1x =-时，2211212y x x =-++=--+=-， ∴点M 在抛物线②上；∵③当1x =-时，2211210y x x =++=-+=， ∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②2221(1)2y x x x =-++=--+，其顶点坐标为(1,2)， 经验算：(1,2)在抛物线①上， ∴抛物线①、②是关联的．（2）抛物线1C ：21(9)28y x =-+-的顶点M 的坐标为(9,6)-，∵动点P 的坐标为(,2)t ， ∴点P 在直线2y =上，作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线2y =的垂线，垂足为E ，F ，则4ME NF ==， ∴点N 的纵坐标为2-，当2y =-时，21(9)628x +-+=-，解得：117x =-，21x =-，①设抛物2C 的解析式为：2(17)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上， ∴26(9)217a =-+-，∴18a =．∴抛物线2C 的解析式为：21()8217y x =+-；②设抛物2C 的解析式为：2(1)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上，∴26(1)29a =-+-，∴18a = ．∴抛物线2C 的解析式为：21()821y x =+-．（3）点C 在y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角ABC △，令C 的坐标为(0,)c ，则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ，则BCF △≌CAH △，∴1CF AH ==，6BF CH c ==-，点B 的坐标为(4,1)c c ---，当点B 在抛物线211:(9)68y x C =-++上时，211(49)68c c -=---++，解得：142c =+或142c =-．②当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中B '点，过点B '作y 轴的垂线，垂足为D ，同理可得：点B '的坐标为(16,1)c c -++，当点B '在抛物线1C ：21(9)68y x =-++上时，211(169)68c c +=--+++，解得：3c =．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C 点的坐标分别为：(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．参考答案一、 选择： 题号 1 2 34 5 6 7 8 9 10 答案 A ABCCBDCBD二、填空：16．（Ⅰ）5612+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．题号 111213 1415 16答案5312y y ＞2447±31t -≤<5612+。
北京市西城外国语学校2019-2020九年级上学期期中数学考试试卷 含解析
2019-2020九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2的对称轴为（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝﹣22．如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD的度数是（）A．65°B．75°C．85°D．105°3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2（x+4）2+1，下列平移正确的是（）A．先向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（）A．点M B．点N C．点P D．点Q6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣4 7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4 C．4D．88．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：．10．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP＝3，那么线段PP′的长等于．11．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则abc0．12．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P＝60°，PA＝，则AB的长为．13．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是．14．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB＝，AB⊥OB，∠AOB ＝30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝3上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．解：（1）点B1的坐标是；（2）点B2的坐标是．19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝6，AE＝2，求⊙O的半径．20．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）将二次函数y＝x2+2x﹣3化成顶点式；（2）求图象与x轴，y轴的交点坐标；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（4）当x取何值时，y随x的增大而减小？21．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）当AB＝4，AD：DC＝1：3时，求DE的长．22．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D．（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝2，AO＝，求OD的长度．23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷出水流的运动路线是抛物线．水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m．求水流的落地点C到水枪底部B的距离．24．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D ＝30°．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．25．如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB＝4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C 两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①连接BE，则BE的长约为cm．②当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）如果该抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，求m的值；（3）点A的坐标为（﹣2，﹣8），点A关于点（0，﹣9）的对称点为B点．①写出点B坐标；②若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．27．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，右图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x+2（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是3，且这个函数的最大值也是3，求b的取值范围；（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2的对称轴为（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝﹣2【分析】直接由二次函数的顶点式可求得答案．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+2，∴抛物线对称轴为直线x＝3，故选：A．2．如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD的度数是（）A．65°B．75°C．85°D．105°【分析】根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD＝∠DCE＝75°，故选：B．3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．故选：B．4．将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2（x+4）2+1，下列平移正确的是（）A．先向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝2（x+4）2+1的顶点坐标为（﹣4，1），而点（0，0）先向左平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（﹣4，1），所以抛物线y＝2x2先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y＝2（x+4）2+1．故选：A．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】分别得出OA，OM，ON，OP，OQ的长判断即可．【解答】解：由图形可得：OA＝，OM＝，ON＝，OP ＝，OQ＝5，所以点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过P点，故选：C．6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣4 【分析】根据抛物线的对称性判断出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（﹣3，0）．∴ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3．故选：C．7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4 C．4D．8【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故选：C．8．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB【分析】结合图1分别画出A、B、C、D四种函数图象，即可判断．【解答】解：根据画出的函数的图象，C符合，故选：C．二．填空题（共8小题）9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，2）得出即可．【解答】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．10．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP＝3，那么线段PP′的长等于．【分析】根据旋转的性质，知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP＝AP′＝3，即△PAP′是等腰直角三角形，腰长AP＝3，则可用勾股定理求出斜边PP′的长．【解答】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，∴△ABP≌△ACP′，即线段AB旋转后到AC，∴旋转了90°，∴∠PAP′＝∠BAC＝90°，AP＝AP′＝3，∴PP′＝3．11．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则abc＜0．【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＞0，c＞0，则abc的正负即可判定．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0．12．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P＝60°，PA＝，则AB的长为 4 ．【分析】首先证明△PAC是等边三角形，推出AC＝PA＝2，再证明∠BAC＝30°，由三角函数即可解决问题．【解答】解：∵PA、PB是⊙D的切线，∴PA＝PC，∵∠P＝60°，∴△PAC是等边三角形，∴AC＝PA＝2，∠PAC＝60°，∵PA是切线，AB是直径，∴PA⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝4，故答案为：4．13．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜2 ．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，故答案为：﹣1＜x＜214．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为70°或110°．【分析】根据点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况画出图形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可．【解答】解：如图1，∠ACB＝∠AOB＝70°．如图2，∠ADB＝∠AOB＝70°，∵∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝110°．综上∠ACB的度数为70°或110°．故答案为70°或110°．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB＝，AB⊥OB，∠AOB ＝30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（﹣2，0）．【分析】根据三角函数可得OA，结合∠AOB＝30°可知△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x轴上，继而可得答案．【解答】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB＝，∠AOB＝30°，∴cos∠AOB＝，∴OA＝＝＝2，如图，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，可得A1（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝3上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为2．【分析】连接PQ、OP，根据切线的性质得PQ⊥OQ，由勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．【解答】解：连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，OQ＝＝，当OP最小时，OQ最小，当OP⊥直线y＝3时，OP有最小值3，∴OQ的最小值为＝＝2．故答案为：2．三．解答题（共12小题）17．如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．【分析】作出一条弦的垂直平分线，作出另一条弦的垂直平分线，则它们的交点即为这个圆形工具的圆心．【解答】解：如图，点O为所作．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．解：（1）点B1的坐标是（5，﹣1）；（2）点B2的坐标是（﹣1，﹣5）．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．【解答】解：（1）△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（5，﹣1）；（2）△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣1，﹣5）．故答案为（5，﹣1），（﹣1，﹣5）．19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝6，AE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣2．在Rt△CEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B．∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D．（2）解：∵AB是直径，CD⊥AB，∴，设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣2．∵∠CEO＝90°，∴OC2＝CE2+OE2，∴r2＝32+（r﹣2）2，∴r＝．20．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）将二次函数y＝x2+2x﹣3化成顶点式；（2）求图象与x轴，y轴的交点坐标；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（4）当x取何值时，y随x的增大而减小？【分析】（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x＝0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）根据二次函数的性质即可得到答案．【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣3﹣1＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4；（2）令x＝0，则y＝﹣3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3），又y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（﹣3，0）（1，0）；（3）列表：图象如图所示：（4）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．21．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）当AB＝4，AD：DC＝1：3时，求DE的长．【分析】（1）由题意我们知道∠A+∠C＝90°，那么我们只要通过全等三角形来得出∠BCE ＝∠A，就能得出∠DCE＝90°的结论，那么关键就是证明三角形ADB和CBE全等，根据题意我们知三角形CBE是由三角形ABD旋转得来，根据旋转的性质我们可得出两三角形全等．（2）由（1）可得出三角形DEC是个直角三角形，要求DE的长，就必须求出CD和CE，由（1）可知AD＝CE，那么就必须求出AD和DC的长，有AD，CD的比例关系，那么求出AC就是关键．直角三角形ABC中，AB＝AC，有AB的长，进而可得AC的值．【解答】解：（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的，∴△ABD≌△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45°，∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝90°．（2）在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝4，∴AC＝4，又∵AD：DC＝1：3，∴AD＝，DC＝3．由（1）知AD＝CE且∠DCE＝90°，∴DE2＝DC2+CE2＝2+18＝20，∴DE＝2．22．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D．（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝2，AO＝，求OD的长度．【分析】（1）根据切线的性质可得出，∠OAC＝90°，再由已知条件得∠ODB+∠B＝90°，由OA＝OB可得出∠OAB＝∠B，从而得出∠CAB＝∠ADC，即AC＝CD．（2）利用勾股定理求出OC，即可得出OD的长．【解答】（1）证明：∵AC是⊙切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∴∠OAB+∠CAB＝90°．∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠ODB+∠B＝90°．∵OA＝OB∴∠OAB＝∠B，∴∠CAB＝∠ODB．∵∠ODB＝∠ADC，∴∠CAB＝∠ADC∴AC＝CD；（2）解：在Rt△OAC中，OC＝＝3，∴OD＝OC﹣CD，＝OC﹣AC，＝3﹣2，＝1．23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷出水流的运动路线是抛物线．水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m．求水流的落地点C到水枪底部B的距离．【分析】根据题意建立平面直角坐标系利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：如图建立平面直角坐标系根据题意，得抛物线的顶点P（1，3）∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，∵A（0，2.25）∴a＝﹣0.75∴y＝﹣0.75（x﹣1）2+3令y＝0﹣0.75（x﹣1）2+3＝0解得x1＝3，x2＝﹣1（舍）∴BC＝3．答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为3m．24．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D ＝30°．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．【分析】（1）连接OE，OF，由垂径定理和圆周角定理得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，得出∠DOF＝2∠A，证出∠OFD＝90°．即可得出结论；（2）连接OM，由垂径定理和勾股定理进行计算即可．【解答】解：（1）连接OE，OF，如图1所示：∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴，∴∠DOF＝∠DOE，∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，∴∠DOF＝60°，∵∠D＝30°，∴∠OFD＝90°．∴OF⊥FD．∴FD为⊙O的切线；（2）连接OM．如图2所示：∵O是AB中点，M是BE中点，∴OM∥AE．∴∠MOB＝∠A＝30°．∵OM过圆心，M是BE中点，∴OM⊥BE．∴，．∵∠DOF＝60°，∴∠MOF＝90°．∴MF＝＝＝．25．如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB＝4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C 两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①连接BE，则BE的长约为 6 cm．②当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为6或4.47 cm．【分析】（1）由题意得出BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC ＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，由勾股定理得出BD＝≈0.9367（cm），得出AD＝AB+BD＝4.9367（cm），再由勾股定理求出AC 即可；AC＝＝≈5.70（cm）；（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象即可；（3）①∵BC＝6时，CD＝AC＝4.47，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，得出BE＝BC＝6即可；②分两种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6；当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6，由图象可得：BC＝4.47．【解答】解：（1）由表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x 的几组对应值知：BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，如图1所示：∵CD⊥AB，∴BD＝＝≈0.9367（cm），∴AD＝AB+BD＝4+0.9367＝4.9367（cm），∴AC＝＝≈5.70（cm）；补充完整如下表：（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象如图2所示：（3）①∵BC＝6cm时，CD＝AC＝4.47cm，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，∴BE＝BC＝6cm，故答案为：6；②以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6cm；当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6cm，由图象可得：BC＝4.47cm；综上所述：BC的长度约为6cm或4.47cm；故答案为：6或4.47．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）如果该抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，求m的值；（3）点A的坐标为（﹣2，﹣8），点A关于点（0，﹣9）的对称点为B点．①写出点B坐标；②若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）代入对称轴方程即可求得；（2）抛物线顶点在直线y＝2x﹣4上，则有m＝2m﹣4，解方程即可；（3）①根据对称点的特征求得B的坐标即可②结合函数图象把A、B点的坐标代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+m可得答案．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m对称轴方程为：x＝﹣＝m，（2）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣（x﹣m）2+m，∴顶点坐标为（m，m），∵抛物线顶点在直线y＝2x﹣4上，∴m＝2m﹣4，∴m＝4；（3）①设B（x，y），∵点A的坐标为（﹣2，﹣8），点A关于点（0，﹣9）的对称点为B点，∴＝0，＝﹣9，∴B（2，﹣10）；②如图所示：把A（﹣2，﹣8）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+m得，﹣8＝﹣4﹣4m﹣m2+m，解得m＝1或m＝﹣4，把B（2，﹣10）代入y＝mx2﹣4mx+2m﹣1得，﹣10＝﹣4+4m﹣m2+m，解得m＝6或m＝﹣1，所以当﹣4≤m≤﹣1或1≤m≤6时，抛物线与线段AB有公共点．27．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．【解答】解：（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP＝AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠PAP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'＝AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝AC•C'G，Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝＝2，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，∵CD＝C'D＝，OD＝AC＝1，∴C'G＝﹣1，∴S△AC'C＝AC•C'G＝＝﹣1．28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，右图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x+2（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是3，且这个函数的最大值也是3，求b的取值范围；（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？【分析】（1）在x的取值范围内，y＝（x＞0）的y无最大值，不是有界函数；y＝x+2（﹣4≤x≤2）是有界函数，其边界值是4；（2）由一次函数的增减性，可得当x＝a时，y max＝3，当x＝b时，y＝﹣b+2，由边界值定义可列出不等式，即可求解；（3）先设m＞1，函数向下平移m个单位后，x＝0时，y＝﹣m＜﹣1，此时边界值t＞1，与题意不符，故m≤1，判断出函数y＝x2所过的点，结合平移，可求或．【解答】解：（1）∵（x＞0）的y无最大值，∴不是有界函数；∵y＝x+2（﹣4≤x≤2）是有界函数，当x＝﹣4时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝4，对于﹣4≤x≤2时，任意函数值都满足﹣4＜y≤4，∴边界值为4；（2）∵y＝﹣x+2，y随x的增大而减小，∴当x＝a时，y max＝3，当x＝b时，y＝﹣b+2，∵边界值是3，b＞a，∴﹣3≤﹣b+2＜3∴﹣1＜b≤5（3）若m＞1，图象向下平移m个单位后，x＝0时，y＜﹣m＜﹣1，此时函数的边界值t ＞1，不合题意，故m≤1．∴函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0），当x＝﹣1时，y max＝1，当x＝0时，y min＝0∴向下平移m个单位后，y max＝1﹣m，y min＝﹣m∵边界值∴或∴或．。
精品解析：北京市西城区第四中学2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试题(解析版)
北京市西城区第四中学2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试题一．选择题（共8小题）1.下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．【详解】A．是中心对称图形，不符合题意；B．是中心对称图形，不符合题意；C．是中心对称图形，不符合题意；D．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．符合题意．故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．2.如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是()A. 1：16B. 1：6C. 1：4D. 1：2【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：Q两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．3.如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A. 1：2B. 1：3C. 2：1D. 3：1【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【详解】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴12 BE BEAB CD==∴12 EF BECF CD==，故选A．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．4.抛物线22321y x y x==-+，在同一直角坐标系内，则它们（）A. 都关于y轴对称B. 开口方向相同C. 都经过原点D. 互相可以通过平移得到【答案】A【解析】【分析】从这两个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴0x=，对称轴为y轴,a的符号决定开口方向，利用抛物线的性质逐项分析得出结论．【详解】A ．观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴02bx a=-=，对称轴为y 轴，都关于y 轴对称,该选项正确；B ．前一个0a >，开口向上，后一个0a <，开口向下，该选项错误；C ．前一个经过原点()00，，后一个经过点()01，，，该选项错误； D ．因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项错误；.故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 5.如图，点A 的坐标为（1，3），O 为坐标原点，将OA 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到AO ′，则点O ′的坐标是（ ）A. （4，﹣1）B. （﹣1，4）C. （4，2）D. （2，﹣4）【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形即可解决问题．【详解】观察图象可知O′的坐标为（4，2）．故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质-旋转，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．6.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A. 12.5寸B. 13寸C. 25寸D. 26寸【答案】D【解析】【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝12AB＝12×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选D．【点睛】此题是一道古代问题，其实质是垂径定理和勾股定理．通过此题，可知我国古代的数学已发展到很高的水平．7.已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x …﹣1 0 1 2 3 …y … 3 0 ﹣1 m 3 …①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A. ①④B. ②④C. ③④D. ②③【答案】C【解析】【分析】由表格中数据x=-1时，y=3，x=3时，y=3，可判断抛物线的对称轴是x=1，根据函数值的变化，判断抛物线开口向上，再由抛物线的性质，逐一判断即可得答案．【详解】由表格中数据可知，x=-1时，y=3，x=3时，y=3，x=1时，y=-1，①抛物线的开口向上，故错误；②抛物线的对称轴是x=1，故错误；③根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=1，点(0，0)的对称点为(2，0)，即抛物线一定经过点(2，0)，所以m=0，故正确；④由以上分析可知抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，经过原点，所以图象不经过第三象限，故正确，正确的有③④，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．8.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上【答案】D【解析】【详解】试解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP 平分∠AOB ， ∴∠EOP=∠POF=60°， ∵OP=OE=OF ，∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP=OP ，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°， ∴∠EPM=∠OPN ， 在△PEM 和△PON 中，PEM PON PE PO EPM OPN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△PEM ≌△PON ． ∴PM=PN ，∵∠MPN=60°， ∴△PNM 是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN 就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选D ．二．填空题（共8小题）9.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，tan A ＝23，则AC ＝_____． 【答案】6． 【解析】 【分析】根据锐角三角函数定义得出tanA ＝BCAC，代入求出即可． 【详解】如图：∵BC ＝4，tanA ＝23＝BC AC ， ∴AC ＝6． 故答案为：6．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 10.如果43x y =， 那么xy=______. 【答案】34【解析】 【分析】根据比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，将此性质逆运用，即可得出答案． 【详解】∵43x y =，∴34x y =， 故答案为：34． 【点睛】此题主要考查了比例的意义和基本性质．解答此题的关键是比例基本性质的逆运用．11.如图，现有测试距离为5m 的一张视力表，表上一个E 的高AB 为2cm ，要制作测试距离为3m 的视力表，其对应位置的E 的高CD 为____cm ．【答案】1.2 【解析】【分析】证明△OCD ∽△OAB ，然后利用相似比计算出CD 即可． 【详解】解：OB=5m ，OD=3m ，AB=2cm ， ∵CD ∥AB ， ∴△OCD ∽△OAB ， ∴CD OD AB OB =，即325CD =， ∴CD=1.2，即对应位置的E 的高CD 为1.2cm ． 故答案为1.2．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长．12.如图，在O e 中，弦22AC =，点B 是圆上一点，且45ABC ∠=︒,则O e 的半径R =_____．【答案】2 【解析】 【分析】通过45ABC ∠=︒，可得到90AOC ∠=︒，根据半径相等结合勾股定理可求得答案. 【详解】∵45ABC ∠=︒， ∴90AOC ∠=︒， ∵OA OC R == ∴(2222R R +=解得：2R =(负值已舍) 故答案为：2【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，理解和熟记“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解题的关键.13.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．【答案】（-1，-2）【解析】分析：连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．详解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB=DA=22+=，3110所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为（﹣1，﹣2），点睛：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．14.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝_____．-【答案】 3.3【解析】分析：利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．（也可利用对称性解答） 详解：∵二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标（-1，-3.2） ∴-2b a =-1则-ba=-2 ∵x 1x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根 ∴x 1+x 2=-ba又∵x 1=1.3 ∴x 1+x 2=1.3+x 2=-2 解得x 2=-3.3．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点坐标；熟悉二次函数的顶点坐标公式与一元二次方程两根之和的关系是解决问题的关键．15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A ’B ’C ’是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且OB ＝BB '，如果点A （2，3），那么点A '的坐标为_____．【答案】（4，6）． 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到△ABC ∽△A′B′C′，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】∵△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点O 为位似中心位似图形， ∴△ABC ∽△A′B′C′， ∴AB ∥A′B′， ∴ABA B ''＝OB OB '＝12， ∴△ABC 和△A′B′C′的相似比为1：2， ∵点A （2，3），∴点A'的坐标为（4，6），故答案为：（4，6）．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．16.如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点，正方形EFGH 的顶点G H 、都在边AD 上，若3, 4AB BC ==，则tan AFE ∠=______．【答案】37【解析】【分析】根据题意得知EF AD EH CD P P ，，由平行线的性质得到~AEH ACD n n ，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答.【详解】∵EH CD P ，~AEH ACD n n ， ∴34EH CD AH AD ==， 设3EH a =，则4AH a =，∴3HG GF EH a ===，∵EF AD P ，∴∠AFE =∠FAG ， ∴33tan tan 437GF a AFE FAG AG a a ∠∠====+. 故答案为：37【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求∠AFE 的正切值转化为求∠FAG 的正切值是解题的关键.三．解答题（共12小题）17.计算:26303604530tan sin cos sin ︒--o o o .【答案】122- 【解析】 【分析】 利用特殊角的三角形函数值直接代入计算即可. 【详解】26303604530tan sin cos sin ︒--o o o233216()33222=-⨯-⨯ 132632=⨯-- 1224=- 【点睛】本题考查了特殊角的三角形函数值，熟记特殊角的三角形函数值是解题的关键.18.已知:如图，在ABC V 中，CD AB ⊥，垂足为D ,若60, 27 2A BC AD ∠=︒==，.求AB 的长.【答案】6.【解析】【分析】在Rt ACD ⊿中，根据60︒角的正切函数及2AD =，可求得CD 的长，又在Rt CBD ⊿中根据勾股定理可求得BD 的长，从而求得答案.【详解】在Rt ACD V 中，90ADC ∠=︒，60, 2A AD ∠=︒=，∴tan 6032CD CD DA ︒=== ∴CD 23=，在Rt CBD V 中，90BDC ∠=︒，7BC =，CD 23=，∴()()222227234BD BC CD =-=-=∴426AB BD AD =+=+=【点睛】本题考查了锐角三角函数概念及勾股定理，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.19.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，求cos ∠EFC 的值．【答案】35． 【解析】【分析】先根据矩形的性质得AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝3，再根据折叠的性质得AF ＝AD ＝5，EF ＝DE ，在Rt △ABF 中，利用勾股定理计算出BF ＝4，则CF ＝BC ﹣BF ＝1，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x ，然后在Rt △ECF 中根据勾股定理得到x 2+12＝（3﹣x ）2，解方程得到x 的值，进一步得到EF 的长，再根据余弦函数的定义即可求解．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝3，∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处，∴AF ＝AD ＝5，EF ＝DE ，在Rt △ABF 中，∵BF 22AF AB -2253-4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x在Rt △ECF 中，∵CE 2+FC 2＝EF 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x ＝43， ∴EF ＝3﹣x ＝53，∴cos ∠EFC ＝CF EF ＝35． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．20.如图，在等边△ABC 中，点D 是 AB 边上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°后得到CE ，连接AE ．求证：AE ∥BC ．【答案】见解析【解析】试题分析:根据等边三角形的性质得出AC=BC ,∠B =∠ACB =60°,根据旋转的性质得出CD=CE ,∠DCE =60°,求出∠BCD =∠ACE ,根据SAS 推出△BCD ≌△ACE ,根据全等得出∠EAC =∠B =60°,求出∠EAC =∠ACB ,根据平行线的判定得出即可.试题解析:∵△ABC 是等边三角形,∴AC=BC ,∠B =∠ACB =60°,∵线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到CE ,∴CD=CE ,∠DCE =60°,∴∠DCE =∠ACB ,即∠BCD +∠DCA =∠DCA +∠ACE ,∴∠BCD =∠ACE ,在△BCD 与△ACE 中,BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BCD ≌△ACE,∴∠EAC=∠B=60°,∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC.21.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，联结BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，AE＝2．（1）求⊙O的半径；（2）求OF的长度．【答案】（1）5；（2）5．【解析】【分析】（1）连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理计算，得到答案；（2）根据勾股定理求出BC，根据垂径定理求出BF，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】（1）连接OB，设⊙O的半径为x，则OE＝x﹣2，∵OA⊥BD，∴BE＝ED＝12BD＝4，在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即x2＝（x﹣2）2+42，解得，x＝5，即⊙O的半径为5；（2）在Rt △CEB 中，BC ＝22CE BE +＝2284+＝45，∵OF ⊥BC ，∴BF ＝12BC ＝25， ∴OF ＝22OB BF -＝5．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．22.体育场主席台侧面如图，若顶棚顶端D 与看台底端A 连线和地面垂直，测得看台AC 的长为14米，30,45BAC ACD ∠=︒∠=︒.(1)求看台高BC 的长;(2)求顶棚顶端D 到地面的距离AD 的长. (3 1.7=)【答案】（1）7BC =米 ;（2）8.8米.【解析】【分析】(1)利用30︒角正弦函数易求得答案；(2)过点D 作DE AC ⊥于点E ，证得⊿CDE 为等腰直角三角形，在Rt DEA n 中，设CE DE x ==，利用60︒角的正切函数构建方程即可求得答案.【详解】（1）∵30,BAC ∠=︒14AC =，∴1sin 30142BC BC AC ︒===， ∴7BC =，答：看台高BC 的长是7米；(2) 过点D 作DE AC ⊥于点E ，如图：∵45ACD ∠=︒，∴45CDE ∠=︒，∴CE DE =，设CE DE x ==，则14AE x =-，∵30,BAC ∠=︒DA AB ⊥，∴60=︒∠DAC ，在Rt DEA n 中，90DEA ∠=︒，tan 60314DE x AE x︒===- 解得：8.8x ≈答：顶棚顶端D 到地面的距离AD 的长约是8.8米.【点睛】本题考查了解直角三角形应用，熟记特殊角的三角函数值及方程思想是解题的关键.23.运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 1 1.5 2 … h （m ）0 8.75 15 18.75 20 …（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m ？请说明理由．【答案】（1）h ＝﹣5t 2+20t ；（2）小球飞行3s 时的高度为15米；（3）小球的飞行高度不能达到22m ．【解析】【分析】（1）设h 与t 之间的函数关系式为h ＝at 2+bt （a ≠0），然后再根据表格代入t ＝1时，h ＝15；t ＝2时，h ＝20可得关于a 、b 的方程组，再解即可得到a 、b 的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t ＝3可得h 的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【详解】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴a15{4220ba b+=+=，解得5 {20ab=-=，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．24.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝5．求BD的长．【答案】（1）详见解析；（2）203．【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF，再证明∠EBD＝∠BAF即可解决问题；（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝5，AB＝5，推出BF＝5，推出BE＝2BF＝25，在Rt△BEH中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，推出BH＝22(25)2-＝4，由EH∥AB，推出EH DHAB DB=，由此即可求出DH解决问题；【详解】（1）证明：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD 5，∵AB＝5，∴BF5∴BE＝2BF＝5在Rt △BEH 中，EH ＝BE•sin ∠EBH ＝2，∴BH 4，∵EH ∥AB ， ∴EH DH AB DB=， ∴254DH DH =+， ∴DH ＝83， ∴BD ＝BH+HD ＝203． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．25.小明利用函数与不等式的关系，对形如()()()12..0n x x x x x x ---> (n 为正整数)的不等式的解法进行了探究.(1)下面是小明的探究过程，请补充完整:①对于不等式20x ->，观察函数2y x =-的图象可以得到如下表格:由表格可知不等式20x ->的解集为2x >.②对于不等式()()210x x -->，观察函数()()21y x x =--的图象可得到如下表格:由表格可知不等式()()210x x -->的解集为 .③对于不等式()()()2120x x x -+>-,请根据已描出的点画出函数()()()212y x x x =--+的图象;观察函数()()()212y x x x =--+的图象, 补全下面的表格:x 的范围2x > 12x << 21x -<<2x <-y 的符号+-由表格可知不等式()()() 21 20x x x --+>的解集为 .小明将上述探究过程总结如下:对于解形如()()()12..0n x x x x x x ---> (n 为正整数)的不等式，先将12, n x x x L ，，按从大到小的顺序排列，再划分x 的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集. (2)请你参考小明的方法，解决下列问题:①不等式()()()()64220x x x x ---+>的解集为 . ②不等式()()()25340x x x --+>的解集为 .【答案】（1）②2x >或1x <；③画出函数图象见解析；补全下面的表格见解析；2,21x x >-<<；（2）①6,24,2x x x ><<<-；②5,x >4,x <-43x -<<． 【解析】 【分析】（1）②由表格直接写出答案；③依次连接画出图象，由表格直接写出答案；（2）①求出对应方程(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+=的解，参考小明的方法，绘制表格，由表格直接写出答案；②求出对应方程2(5)(3)(4)0x x x --+=的解，参考小明的方法，绘制表格，由表格直接写出答案；【详解】（1）②不等式(2)(1)0x x -->的解集为2x >或1x <． ③函数图象如图：补全下面的表格：x 的范围2x >12x << 21x -<<2x <- y 的符号+-+-由表格可知不等式(2)(1)(2)0x x x --+>的解集为2,21x x >-<<． （2）①画出如下表格：x 的范围6x >46x << 24x <<22x -<< 2x <-y 的符号+-+-+∴不等式(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>的解集为6,24,2x x x ><<<-； ②画出如下表格：x 的范围5x >35x << 43x -<<4x <-y 的符号+-++不等式2(5)(3)(4)0x x x --+>的解集为5,4,43x x x ><--<<．【点睛】本题考查了函数、方程与不等式之间的关系，解决此类问题关键是仔细阅读题目理清思路，做到数形结合．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），且顶点坐标为B （0，1）． （1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设F （t ，0）为x 轴正半轴上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线M 1． ①抛物线M 1的顶点B 1的坐标为 ；②当抛物线M 1与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．【答案】(1) y=-x 2+1;(2)①(2t,-1);②0<t 2. 【解析】 【分析】(1)利用顶点式列出函数表达式，再将另一个点的坐标代入函数表达式列出一元一次方程，求出函数表达式. (2)作出图象，结合图象思考.【详解】解：(1)∵抛物线的顶点坐标为B(0,1) ∴设抛物线M 函数表达式为y=ax 2+1 ∵抛物线M 经过点A(-1,0) ∴a ×(-1)2+1=0，解得a=-1 ∴抛物线M 的函数表达为y=-x 2+1 (2) ①由题意得，点F 为BB 1的中点∵F(t,0),设B1的坐标为(m,n)∴2mt=,102n+=∴m=2t，n=-1 ∴B1(2t,-1). ②由题意可知抛物线M1的顶点B1的坐标为(2t,-1)，二次项系数为1，∴抛物线M1的函数表达式为：y=(x-2t)2-1(t>0),当抛物线M1经过点A(-1,0)时(如下图)：∴(-1-2t)2-1=0,解得t1=-1,t2=0；当抛物线M1经过点B(0,1)时(如上图)：∴(0-2t)2-1=1,解得t=22±.结合图象分析，因为t>0，所以当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围是0<t 2.故答案为(1) y=-x2+1;(2)①(2t,-1);②0<t≤22.【点睛】本题主要考查了利用顶点式求函数解析式，二次函数图象的特征，二次函数的旋转.27.如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为直线BD，CE的交点．（1）如图，将△ADE绕点A旋转，当D在线段CE上时，连接BE，下列给出两个结论：①BD＝CD+2AD；②BE2＝2（AD2+AB2）．其中正确的是，并给出证明．（2）若AB＝4，AD＝2，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC＝90°时，求PB的长；②旋转过程中线段PB长的最大值是．【答案】（1）①，证明详见解析；（2）①PB 45②3．【解析】【分析】（1）①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；②△BDE为直角三角形就可以得出BE2＝BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，就有BC2＝BD2+CD2≠BD2就可以得出结论；（2）分两种情形当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝2．由△PEB∽△AEC，得PB BEAC CE，由此即可解决问题；当点E在BA延长线上时，BE＝6．解法类似；②如图3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可；【详解】（1）∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°，DE＝2AD，∴∠DAB＝∠EAC，且AE＝AD，AB＝AC，∴△AEC≌△ADB（SAS）∴BD＝CE＝DE+CD，∴BD＝CD+2AD，∴①正确，∵BD⊥CE，∴BE2＝BD2+DE2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2（AD2+AB2），∴②错误．故答案为①；（2）①图1中，当点E AB上时，BE＝AB﹣AE＝2．∵∠EAC＝90°，+25∴CE22AE AC+416同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB ∽△AEC ． ∴PB BEAC CE=， ∴425PB = ∴PB ＝45． 如图2中，当点E 在BA 延长线上时，BE ＝AB+AE ＝6．∵∠EAC ＝90°， ∴CE 22AE AC +416+25同（1）可证△ADB ≌△AEC ． ∴∠DBA ＝∠ECA ． ∵∠BEP ＝∠CEA ， ∴△PEB ∽△AEC ， ∴PB BEAC CE=， ∴425PB =， ∴PB 125综上，PB ＝455或1255； ②如图3中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 上方与⊙A 相切时，PB 的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴EC22AC AE-164-3由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝2，∴PB＝BD+PD＝3+2，综上所述，PB长的最大值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：连接PC交⊙C于点N，若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D（﹣1，﹣1），E（2，0），F（0，4）中，⊙O的外称点是；②若点M（m，n）为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G2222⎛⎝⎭，求m的取值范围；（2）直线y＝﹣x+b过点A（1，1），与x轴交于点B．⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围．【答案】（1）①D，E；②22＜m＜322；（2）﹣1＜t＜2﹣2或3＜t＜1+22．【解析】【分析】（1）①根据⊙O的外应点的定义，画出图形即可判断；②作射线GO，交⊙O于点H（﹣22，﹣22），作点H关于点G的对称点H'（322，322），由点M为⊙O的外应点，推出点M在线段GH'上（不与G，H'重合），由此即可解决问题；（2）求出四种特殊位置t的值即可判断.【详解】（1）①如图1中，根据点P是⊙O的外应点定义，观察图象可知，⊙O的外应点是D，E．故答案为D，E．②如图2中，作射线GO，交⊙O于点H（﹣22，﹣22），作点H关于点G的对称点H'（322，322），∵点M为⊙O的外应点，∴点M在线段GH'上（不与G，H'重合）．∴2＜m＜32．（2）由题意A（1，1），∵直线y＝﹣x+b过点A（1，1），∴b＝2，可得B（2，0）如图3中，当半径为3的⊙T经过点B时，T（﹣1，0）如图4中，当半径为1⊙T与AB相切于F时，易知TF＝FB＝1，TB2，∴OT＝2﹣2，∴T（2﹣2，0）观察图象可知：当﹣1＜t＜2﹣2时，线段AB上的所有点都是⊙T的外应点；如图5中，当半径为1的⊙T经过点B时，T（3，0），如图6中，当半径为3的⊙T经过点A时，易知T（1+22，0）观察图象可知：当3＜t＜2时，线段AB上的所有点都是⊙T的外应点，综上所述，满足条件的t的值为：﹣1＜t＜2或3＜t＜．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆的有关知识，点与圆的位置关系.解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
2019-2020学年北京市西城区教育学院附属中学九年级上学期数学试题(含答案).doc
D CA B(重题：12)北京教育学院附属中学2019-2020学年度第一学期九年级数学期中试卷 2015.11试卷共五道大题，29道小题.试卷满分120分.考试时间120分钟. 一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数2(1)2y x =-+-的最大值是（ ）．A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【解答】解：∵2(1)2y x =-+-，∴此函数的顶点坐标是(1,2)--，即当1x =-函数有最大值2-． 故选：A ．2. 如果45(0)x y y =≠，那么下列比例式成立的是（ ）A ．45x y =B ．54x y = C ．45x y = D ．54x y =3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC =3， AB =6， 那么AD 的值为（ ）A. 32B.92C.2D.4．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ∶BD =1∶2，若△ADE 的 面积等于2，则△ABC 的面积等于（ ） A ．6 B ．8 C ．12 D ．185．如图，ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，则cos B 的值是（ ）．A ．12B C D【解答】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =， 由勾股定理，得AB =cosBC B AB ===故选：C ．6．把抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）．A ．2(3)1y x =+-B ．2(3)3y x =++C ．2(3)1y x =--D ．2(3)3y x =-+ 【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为(0,1)， ∴平移后抛物线的顶点为(3,1)-， ∴新抛物线解析式为2(3)1y x =--， 故选：C ．7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则a 、b 、c 满足（ ）．A ．0a <，0b <，0c >B ．0a <，0b <，0c <C ．0a <，0b >，0c >D ．0a >，0b <，0c >【解答】解：根据二次函数图象的性质， ∵开口向下， ∴0a <，∵与y 轴交于正半轴， ∴0c >，又∵对称轴02bx a=-<，∴0b <， 所以A 正确． 故选A ．8．如图，△ABC 和△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，AB =4，则A 1B 1的长为 （ ）A. 1B. 2C. 4D. 89．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．A ．0a >B ．不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<C ．0a b c -+>D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大【解答】解：A 、图象开口方向向下，则0a <，故此选项错误；B 、∵图象对称轴为直线2x =，则图象与x 轴另一交点坐标为：(1,0)-， ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<，故此选项正确；C 、当1x =-，0a b c -+=，故此选项错误；D 、当2x >时，y 随x 的增大而减小，故此选项错误． 故选：B ．10．如图，在等边△ABC 中，4=AB ，当直角三角板MPN 的︒60角的顶点P 在BC 上移动时，斜边MP 始终经过 AB 边的中点D ，设直角三角板的另一直角边PN 与AC 相交于点E .设x BP =，y CE =，那么y 与x 之间的函 数图象大致是二、填空题（本题共1811．点1(2,)P y -和点2(1,)Q y -分别为抛物线243y x x =-+上的两点，则1y ___________2y ． （用“>”或“<”填空）．【解答】解：∵2243(2)1y x x x =-+=--， ∴二次函数图象的对称轴为直线2x =， ∵212>->-， ∴12y y >．故答案为：>．12．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为 m.13．在ABC △中，90C ∠=︒，4tan 3A =，则sinB =_________．【解答】解：如图所示， ∵在ABC △中，90C ∠=︒，4tan 3A =， ∴设4BC x =，则3AC x =，∴5AB x ==，∴33sin 55AC x B AB x ===．故答案为：35．14．如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE=3，DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于 ．15．二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为__________．【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为3-， ∴0a >． 234b a-=-，即212b a =， ∵一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，∴240b am ∆=-≥，即1240a am -≥，即1240m -≥，解得3m ≤， ∴m 的最大值为3， 故答案为3．16. 如图，点A 1、A 2 、A 3 、…，点B 1、B 2 、B 3 、…，分别在射线OM 、ON 上，A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥A 4B 4∥…．如果A 1B 1=2，A 1A 2=2OA 1，A 2A 3=3OA 1，A 3A 4=4OA 1，…．那么A 2B 2= ，A n B n = ．（n 为正整数）4N MA 1A 2A 3A 43B 21三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.计算：tan60cos30tan45sin30︒-︒⨯︒+︒．【解答】解：原式11=2=12=+．18. 若二次函数23y ax bx=++的图象经过A（1，0）、B（2，－1）两点，求此二次函数的解析式.19. 已知：如图，在ABC△中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED =∠C.（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD= 4，AC=5，求AE的长.20.如图，ABC△的顶点在格点上，且点(5,1)A--，点(1,2)C--．以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将ABC△放大，画出ABC△放大后的图形A B C'''△并写出A B C'''△各顶点坐标．ACBDE【解答】解：如图所示：A B C '''△即为所求， (10,2)A '，(10,6)B '，(2,4)C '．21．已知二次函数的解析式是223y x x=--．（1）与x轴的交点坐标是___________，顶点坐标是___________；y的取值范围是__________．【解答】解：（1）令0y=，则2023x x=--．解得11x=-，23x=．抛物线223y x x=--与x轴交点的坐标为(1,0)-，(3,0)．2223(1)4y x x x=--=--，所以它的顶点坐标为(1,4)-；；（3）当21x-<<时，45y-<<；当12x<<时，43y-<<-．∴当22x-<<时，45y-<<．22. 如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距AB为1.7米，求这棵树的高度．【解答】解：由题意，易知30CAD∠=︒，90CDA∠=︒，AD=，CE BE⊥， 1.7DE AB==米，∴tanCD CADAD∠=，∴3CD=．∴3 1.7 4.7CE=+=．答：这棵树的高度为4.7米．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，90ADC ACB ∠=∠=︒，E 为AB 的中点，（1）求证：2AC AB AD =⋅；（2）求证：CE AD ∥；（3）若4AD =，6AB =，求ACAF 的值．【解答】（1）证明：∵AC 平分DAB ∠，∴DAC CAB ∠=∠，∵90ADC ACB ∠=∠=︒，∴ADC ACB ∽△△，∴::AD AC AC AB =，∴2AC AB AD =⋅；（2）证明：∵E 为AB 的中点， ∴12CE AB AE ==，∴EAC ECA ∠=∠，∵DAC CAB ∠=∠，∴DAC ECA ∠=∠，∴CE AD ∥；（3）解：∵CE AD ∥，∴AFD CFE ∽△△，∴::AD CE AF CF =， ∵12CE AB =， ∴1632CE =⨯=，∵4AD =， ∴43AFCF =， ∴74ACAF =．24．已知抛物线22(21)y x m x m m =--+-．（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线33y x m =-+的一个交点在y 轴上，求m 的值．【解答】（1）证明：令0y =得：22(21)0x m x m m --+-=，∵22(21)4()10m m m ∆=---⨯>，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）解：令0x =，根据题意有：233m m m -=-+，解得3m =-或1．25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足280y x =-+ （20≤x ≤40），设销售这种产品每天的利润为W （元）.（1）求销售这种产品每天的利润W （元）与销售单价x （元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？26. 有这样一个问题：探究函数2112y x x =+的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数2112y x x =+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数2112y x x =+的自变量x 的取值范围是__________；（2）下表是y 与x 的几组对应值．（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是3(1,)2，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）________．【解答】解：（1）0x ≠， （2）令3x =，∴211323y =⨯+9129236=+=；∴296m =； （3）如图（4）该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在0x =处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限．故答案为该函数没有最大值．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. ）在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线1C ：2y x bx c=++经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线2C ：2y ax =（0a ≠）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当2y =时，则21x =-，解得：3x =，∴(3,2)A ，∵点A 关于直线1x =的对称点为B ，∴(1,2)B -．（2）把(3,2)，(2,2)-代入抛物线21:C y x bx c =++得：29321b cb c =++⎧⎨=-+⎩，解得：21b c =-⎧⎨=-⎩．∴221y x x =--．顶点坐标为(1,2)-．（3）如图，当2C 过A 点，B 点时为临界，代入(3,2)A 则92a =， 解得：29a =， 代入(1,2)B -，则2(1)2a -=，解得：2a =， ∴229a <≤．28. 对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线L ．现有点(2,0)A 和抛物线L 上的点(1,)B n -，请完成下列任务：【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为___________；（2）判断点A 是否在抛物线L 上；（3）求n 的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线L 总过定点，坐标为____________．【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．【解答】解：【尝试】 （1）∵将2t =代入抛物线l 中，得：222(32)(1)(24)242(1)2y t x x t x x x x =-++--+=-=--，∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-．（2）∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得 0y =，∴点(2,0)A 在抛物线l 上．（3）将1x =-代入抛物线l 的解析式中，得：2(32)(1)(24)6n t x x t x =-++--+=．【发现】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+∴抛物线l 必过定点(2,0)、(1,6)-．【应用1】将2x =代入2352y x x =-++，0y =，即点A 在抛物线上．将1x =-代入2352y x x =-++，计算得：66y =-≠，即可得抛物线2352y x x =-++不经过点B ，二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”．29．8aac49074e023206014e3d41c9104ca8矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．图1 图2（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．北京教育学院附属中学2019-2020学年度第一学期九年级数学期中答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）17.计算：0000-⨯+tan60cos30tan45sin301………………….4分 ………………….5分18. 解：二次函数2y ax bx c =++的图象经过B （1，0）、C （2，－1）两点，∴03,142 3.a b a b =++⎧⎨-=++⎩ .................................2分解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩..................................4分∴二次函数的解析式为243y x x =-+……..5分19.(1)证明：∵∠AED =∠C ………………….1分∠A=∠A …………………2分∴△AED ∽△ACB ………………...3分(2)解：由（1）知△AED ∽△ACB∴AD AE AB AC=…………………....4分 ∵AB=6，AD= 4，AC=5 ∴AE=310………………….5分20．（1）（-1，0）、（3，0）；（1，-4）………………..2分（2ACBDEA B CD E.....................................4分（3）-4≤y<5………………………………..5分21.如图所示. …………………………………2分'(10,2),'(10,6),'(2,4)A B C…………………………………5分22. 解：在Rt△ADC中，∵∠DAC=30︒，AD=∴DC=AD错误！未找到引用源。