初中数学七年级下册专题复习——整式乘法与因式分解(附答案)
专题二 整式的乘法与因式分解
数学七年级下册(湘教版)
时间:90分钟满分:100分
题号一二三总分
得分
一㊁选择题(每小题3分,共30分)
1.已知x-2y=3,那么代数式3-2x+4y的值是()
A.-3
B.0
C.6
D.9
2.把x2+a x+b因式分解,得(x+1)(x-3),则a,b的值分别是()
A.2,3
B.-2,-3
C.-2,3
D.2,-3
3.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的有() (1)a2+2a+4;(2)a2+2a-1;(3)a2+2a+1;(4)-a2+2a+1;(5)-a2-2a-1;(6)a2-2a-1.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
4.若多项式-12x2y3+16x3y2+4x2y2的一个因式是-4x2y2,则另一个因式是() A.3y+4x-1B.3y-4x-1
C.3y-4x+1
D.3y-4x
5.下列运算中,正确的是()
A.a2㊃a2=2a2
B.a2+a2=a4
C.(-a2)2=a4
D.(a+1)2=a2+1
6.若2x2+3y2+4x-18y+29=0,则x+y的值为()
A.4
B.-2
C.-4
D.2
7.已知长方形的两边长分别为a-b和a-2b,则它的面积为()
A.a2-2a b+2b2
B.a2-3a b-2b2
C.a2-3a b+2b2
D.a2+3a b+2b2
8.不论x,y为何有理数,多项式x2+y2-4x-2y+8的值总是()
A.负数
B.0
C.正数
D.大于49.下列各式可以用完全平方公式因式分解的是()
A.a2-2a b+4b2
B.4m2-m+14
C.9-6y+y2
D.x2-2x y-y2
10.对于任何整数m,多项式(4m+5)2-9都能()
A.被8整除
B.被m整除
C.被m-1整除
D.被2m-1整除
二㊁填空题(每小题3分,共24分)
11.(2019芜湖)分解因式:a3-6a2+9a= .
12.(2019湘潭)若a+b=5,a-b=3,则a2-b2=.
13.在多项式4x2+1中添加一个单项式,使其成为完全平方式,则添加的单
项式为.(写一个即可)
14.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b的值为.
15.已知a,b,c是әA B C的三边长,且4a2b-8a2c-4a b c+8a3=0,则该
三角形是三角形.
16.已知x,y是二元一次方程组x-2y=3
,
2x+4y=5
{的解,则代数式x2-4y2的值
为.
17.已知x+y=4,x y=2,则(x-y)2=,x2+y2=.
18.(青竹湖中学模拟)已知x m=3,x n=2,则x3m+4n= .
三㊁解答题(共46分)
19.(6分)化简:a(3+a)-3(a+2).
20.(8分)因式分解:
(1)81x4-18x2y2+y4;
(2)1+x+x(1+x).
21.(6分)先化简,再求值:x2(a-1)+x(1-a),其中x=4,a=5.
㊃53㊃
22.(6分)设y =a x ,若代数式(x +y )(x -2y )+3y (x +y )化简的结果为x 2,其中x ʂ0,请你求出满足条件的a 值.23.(6分)如图,在一块边长为a c m 的正方形纸板中,四个角分别剪去一个
边长为b c m 的小正方形,利用因式分解计算:当a =98,b =27时,剩余部分的面积是多少
?24.(6分)某同学在计算3(4+1)(42+1)时,发现把3写成4-1后,可以连续运用平方差公式计算:3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1=255.请借鉴该同学的经验,计算:1+12æèçöø÷1+122æèçöø÷1+124æèçöø÷1+128æèçöø÷+12
15.25.(8分)
仔细阅读下面例题,并解答问题.例题:已知二次三项式x 2-4x +m 有一个因式是x +3,求另一个因式以及m 的值.解:设另一个因式为x +n ,得x 2-4x +m =(x +3)(x +n ),则x 2-4x +m =x 2+(n +3)x +3n ,ʑn +3=-4,m =3n ,{解得m =-21,n =-7.{
ʑ另一个因式为x -7,m 的值为-21.问题:(1)若二次三项式x 2-5x +6可分解为(x -2)(x +a ),则a = ;(2)若二次三项式2x 2+b x -5可分解为(2x -1)(x +5),则b = ;(3)仿照以上方法解答问题:若二次三项式2x 2+5x -k 有一个因式是
2x -3,求另一个因式以及k 的值.㊃63㊃。
七年级数学下册第9章《整式乘法与因式分解》考点总结和难题详解(含答案)
第9章《整式乘法与因式分解》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用整式乘法法则进行运算【考点解读】要根据算式的特点确定运算顺序，并正确运用运算法则进行计算. 例1 下列式子中，与2(21)(1)(2)x x x x +--+-的计算结果相同的是( ) A. 221x x -+ B. 223x x -- C. 23x x +- D. 23x - 分析:2222(21)(1)(2)(221)(2)21x x x x x x x x x x x +--+-=-+--+-=-+. 答案:A【规律·技法】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关健. 例2 (1)填空:()()a b a b -+= ; 22()()a b a ab b -++= ; 3223()()a b a a b ab b -+++= ;(2)猜想:1221()()n n n n a b a a b ab b -----++++=… (其中n 为正整数，且2n ≥) ;(3)利用(2)猜想的结论计算:98732222222-+-+-+….分析:(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可;(2)根据(1)中的规律可得结果;(3)原式变形后，利用(2)得出的规律计算即可得到结果. 解答:(1) 22a b - 33a b - 44a b - (2)nn a b -(3)令98732222222S =-+-+-+…，则9873212222221S -=-+-+-+-…98732[2(1)](2222221)3=--⨯-+-+-+-÷… 10(21)3=--÷(10241)3341=-÷=，所以342S =，即98732222222342-+-+-+=….【规律·技法】本题考查了多项式乘以多项式的运算，弄清题中的规律是解本题的关键. 【反馈练习】1.已知m n mn +=，则(1)(1)m n --= .点拨:先化简(1)(1)m n --，再将m n mn +=整体代入计算. 2.计算:(25)(32)b a b a a b ++-= .点拨:先利用乘法分配律计算，再合并同类项. 考点2 乘法公式的应用【考点解读】正确而熟练地掌握乘法公式，在记住公式的基础上强化对公式的具体运用，并在运用公式的过程中把握公式的特点.例3 先化简，再求值: 2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--，其中5x ==，15y =-. 分析:本题主要考查了整式混合运算中的化简、求值问题，在解题时要注意先把原式进行化简，再把未知数的值代入求解.解答:2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--222224455x xy y x y x xy =+++--+9xy =.当5x ==，15y =-时，原式1995()95xy ==⨯⨯-=-. 【规律·技法】本题考查整式的混合运算——化简求值，解题的关键是明确整式混合运算的法则.例4 已知250x x +-=，则代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值为 .分析:先利用乘法公式展开，再合并得到原式23x x =+-，然后利用整体代入的方法计算.原式2222134x x x x x =-+-++-23x x =+-.因为250x x +-=， 所以25x x +=，所以原式532=-=. 答案:2 【规律·技法】本题考查的是整式的混合运算——化简求值，在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. 【反馈练习】3.已知43x y =，求代数式22(2)()()2x y x y x y y ---+-的值.点拨:先化简，再将43x y =代入计算.4.先化简，再求值:2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-.点拨:先科用乘法公式化简，再将13x =-代入计算.考点3 因式分解及其应用【考点解读】根据所给多项式的特点确定因式分解的步骤与方法，一般来说，先提公因式，再运用公式法(平方差公式和完全平方公式)，要注意最后必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止.例5 分解因式: 22(2)(2)y x x y +-+.分析:原式利用完全平方公式或平方差公式化简，合并同类项即可得到结果. 解答:解法一: 22(2)(2)y x x y +-+222244(44)y xy x x xy y =++-++ 223()x y =- 3()()x y x y =+-.解法二: 22(2)(2)y x x y +-+[(2)(2)][(2)(2)]y x x y y x x y =++++-+(33)()x y x y =+- 3()()x y x y =+-.【规律·技法】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键. 例6 ()(4)a b a b ab --+分解因式的结果是 .分析:本题无法提取公因式，也无法直接套用公式因式分解，所以考虑先化简整理后再分解因式.()(4)a b a b ab --+ 2254a ab b ab =-++ 2244a ab b =-+ 2(2)a b =-答案: 2(2)a b -【规律·技法】本题主要考查了多项式的乘法运算以及公式法分解因式，体现了这二者间的联系.【反馈练习】5. (2018·连云港)分解因式: 216x -= . 点拨:利用平方差公式进行因式分解即可.6. (2018·成都)已知0.2x y +=，31x y +=，则代数式2244x xy y ++的值为 . 点拨:先把原式因式分解，再将已知等式变形后代入计算求值. 7.如果221()x mx x n ++=+，且0m >，那么n 的值是 . 点拨:看清完全平方式三项的结构，注意0m >的条件，可知n 也大于0. 易错题辨析易错点1 运算中符号出错例1 (2018·无锡月考)计算: 23(4)x x x --+. 错误解答:原式326312x x x =---.错因分析:在进行单项式与多项式乘法运算时，应将单项式与多项式的每一项分别相乘，同时应注意多项式的“项”包括它前面的符号，错解忽略了第二项前面的符号. 正确解答:原式326312x x x =-+-.易错辨析:将多项式看作几个单项式的和直接参与运算. 易错点2 漏乘了多项式中的项“1”例2计算: 13(1)3(2)22x x x x +--.错误解答:原式2221964622x x x x x =-+=-+. 错因分析:单项式x 与多项式112x +相乘时，漏乘了多项式中的项“1”.正确解答:原式2221964722x x x x x x =+-+=-+.易错点3 运算法则理解错误易错辨析:单项式与多项式相乘的实质是乘法分配律的运用. 例3计算: (5)(7)x y x y +-. 错误解答:原式2235x y =-.错因分析:错解只把首项和首项相乘、尾项与尾项相乘，这是初学多项式乘法时最常见错误. 正确解答:原式22227535235x xy xy y x xy y =-+-=--. 易错辨析:进行多项式乘法运算时不要漏乘. 易错点4 运算结果没有化到最简例4计算: 222(3)(3)3(1)x x x x x x x ++----. 错误解答:原式3323233333x x x x x x x =++--++.错因分析:本题在运用法则运算时并没有错，问题在于其结果没有合并同类项，不是最简形式.正确解答:原式3323233333x x x x x x x =++--++36x x =-+. 易错辨析:去括号后，不要忘了合并同类项，将结果化为最简形式. 易错点5 乘法公式混淆导致计算错误 例5计算: 2(25)x y -.错误解答:错解一: 22222(25)(2)(5)425x y x y x y -=-=-.错解二: 22222(25)(2)225(5)2205x y x x y y x xy y -=-+=-+g g. 错因分析:错解一将完全平方公式与平方差公式混淆;错解二忘记了系数要平方.正确解答: 22222(25)(2)225(5)42025x y x x y y x xy y -=-+=-+g g. 易错辨析:正确使用乘法公式是解题的关键.222()2a b a ab b ±=±+.计算中要注意字母、系数都要平方，同时注意符号不要出错.易错点6 运用公式计算时，没有找准“a ”与“b ” 例6 计算: (23)(23)a b c a b c +---.错误解答:(23)(23)a b c a b c +---[(23)](23)a b c a b c =+--- 22(23)a b c =--2224129a b bc c =-+-.错因分析:错解在找平方差公式中的“a ”与“b ”时产生了错误.对于此类题型，只要将各括号内的符号相同项结合为一组，看作公式中的“a ”，再将符号相反项结合为一组，看作公式中的“b ”，就可避免出现上述错误. 正确解答: (23)(23)a b c a b c +--- [(3)2][(3)2]a c b a c b =-+-- 22(3)(2)a c b =-- 222694a ac c b =-+-.易错辨析:两个因式中符号相同的视为“a ”，符号相反的视为“b ”. 易错点7 分解因式不彻底例7 分解因式: 42228(2)x y x y --错误解答:原式42228(2)x y x y --222(4)x y =-4224816x x y y =-+.错因分析:运用完全平方公式是正确的，但分解不彻底，224x y -还可分解为(2)(2)x y x y +-.正确解答:原式4224816x x y y =-+222(4)x y =- 22(2)(2)x y x y =+-.易错辨析:分解因式要分解到不能再分解为止.反馈练习1.下面因式分解正确的是( )A. 221(2)1x x x x ++=++ B. 23(4)4x x x x -=- C. ()ax bx a b x +=+ D. 2222()m mn n m n -+=+ 点拨:因式分解的结果必须为几个因式积的形式. 2.下列运算中，正确的是( )A. 222()a b a b +=+B. 22(2)(2)2a b a b a b +-=- C. 22()()a b a b a b +--=- D. 22()()a b a b a b -+--=- 点拨:利用平方差或完全平方公式运算即可.3. (2018·常州月考)由完全平方公式可知22232355(35)64+⨯⨯+=+=，运用这一方法计算: 224.32108.6420.67900.6790+⨯+= . 点拨:把4.3210看作“a ”，把0.6790看作“b ”，用完全平方公式运算. 4.计算:(1) 234110()2x yz xy -g ； (2) 221(2)32ab ab ab -g ；(3) 2(21)(21)(21)t t t +-+-； (4) (21)(21)x y x y -+--.点拨:注意公式的运用和计算的顺序. 5. (1)已知2(23)4656x y x y --+-=-，求235x y-的值(2)已知230x -=，求代数式22()(5)9x x x x x -+--的值.点拨:把已知或结论中较为繁琐的式子先化简. 6.把下列各式分解因式:(1) 322x x x -+； (2) 2225()9m n n +-； (3) 2(1)(1)a b a -+-； (4) 5x x -点拨:有公因式先提取公因式，再考虑使用乘法公式，注意是否分解彻底. 探究与应用探究1 含字母系数的多项式中的存在问题例1已知22(3)(3)x nx x x m ++-+的展开式中不含2x 和3x 的项，求,m n 的值.点拨:先把原式展开，从中找出含2x 和3x 的项，再让它们的系数分别为0，从而得到关于,m n 的关系式，求解即可.解答:原式432(3)(33)(9)3x n x m n x mn x m =+-++-+-+.因为展开式中不含2x 和3x 的项，所以30330n m n -=⎧⎨+-=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩.故,m n 的值分别是6，3.规律·提示先进行多项式的乘法运算得到展开式，展开式中不含哪一项，则该项的系数为0. 【举一反三】1.已知多项式2x x a ++与2x b +的乘积中含2x 的项的系数为3，含x 的项的系数为2，求a b +=的值.探究2 多项式的乘法与图形面积之间的联系例2 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性. (1)根据图①写出一个代数恒等式;(2)恒等式22(2)()23a b a b a ab b ++=++，也可以利用图②的面积解释，请用图②的面积说明: 22(2)()23a b a b a ab b ++=++;(3)已知正数,,a b c 和,,m n l 满足a m b n c l k +=+=+=，试构造边长为k 的正方形，利用面积来说明: 2al bm cn k ++<.点拨:(1)利用面积法，各部分面积用代数式表示即可;(2)利用图②的两种面积表示方法即可说明;(3)利用面积法构造正方形，使其边长为a m b n c l k +=+=+=(注意a b c ≠≠，m n l ≠≠)，并且正方形里有长和宽分别是,a l a ；,b m ；,c n 的长方形，通过画成的图③可发现，2al bm cn k ++<.解答:(1)答案不唯一，如:224()()ab a b a b =+--.(2)因为图②的面积可表示为(2)()a b a b ++，也可表示为2223a ab b ++，所以22(2)()23a b a b a ab b ++=++.(3)如图③，构造一个边长为k 的正方形，显然a m b n c l k +=+=+=.根据图形可知正方形内部3个长方形的面积和小于正方形的面积，即2al bm cn k ++<.规律·提示要理解完全平方公式的几何背景及公式间的相互转化，利用几何图形推导代数恒等式时，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系.【举一反三】2.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图①可以得到22(2)()32a b a b a ab b ++=++.请解答下列问题:(1)写出图②中所表示的数学等式;(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=，求222a b c ++的值;(3)小明同学用3张边长为a 的正方形纸片，4张边长为b 的正方形纸片，7张长和宽分别为,a b 的长方形纸片拼出了一个大长方形，那么大长方形较长一边的边长为多少? (4)小明同学又用x 张边长为a 的正方形纸片，y 张边长为b 的正方形纸片，z 张长和宽分别为,a b 的长方形纸片拼出了一个面积为(257)(1845)b a b ++的大长方形，那么x y z ++= 。
初中数学-《整式乘法与因式分解》(有答案)-(苏科版)
初中数学-《整式乘法与因式分解》一、填空题1．分解多项式16ab2﹣48a2b时，提出的公因式是．2．当x=90.28时，8.37x+5.63x﹣4x=．3．若m、n互为相反数，则5m+5n﹣5=．二、选择题4．下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．（x+2y）2=x2+4xy+4y2B．x2﹣2y+4=（x﹣1）2+3C．3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）D．m（a+b+c）=ma+mb+mc 5．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（）A．5mx2B．﹣5mx3C．mx D．﹣5mx6．代数式3x2﹣4x+6的值为9，则x2﹣+6的值为（）A．7 B．18 C．12 D．97．（﹣8）2009+（﹣8）2008能被下列数整除的是（）A．3 B．5 C．7 D．9三、解答题8．把下列各式分解因式：（1）18a3bc﹣45a2b2c2；（2）﹣20a﹣15ab；（3）18x n+1﹣24x n；（4）（m+n）（x﹣y）﹣（m+n）（x+y）；（5）15（a+b）2+3y（b+a）；（6）2a（b﹣c）+3（c﹣b）．9．计算：（1）39×37﹣13×91；（2）29×20.09+72×20.09+13×20．O9﹣20．O9×14．10．已知，xy=3，求2x4y3﹣x3y4的值．11．求x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（x﹣a）（y﹣a）的值，其中a=3，x=2，y=4．12．把5（a﹣b）3﹣10（b﹣a）2分解因式．13．下列分解因式是否正确？如果不正确，请给出正确结果．（1）﹣x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）；（2）9﹣25a2=（3+25a）（3+25b）；（3）﹣4a2+9b2=（﹣2a+3b）（﹣2a﹣3b）．14．把下列各式分解因式：（1）36﹣x2；（2）a2﹣；（3）﹣+y2；（4）25（a+b）2﹣4（a﹣b）2；（5）（x+2）2﹣9；（6）（x+a）2﹣（y+b）2．15．在边长为16.4cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm的正方形，求余下的纸片的面积．16．已知x2﹣y2=﹣1，x+y=，求x﹣y的值．17．已知4m+n=90，2m﹣3n=10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．《第9章整式乘法与因式分解》参考答案与试题解析一、填空题1．分解多项式16ab2﹣48a2b时，提出的公因式是16ab．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】首先找出公因式进而提取得出即可．【解答】解：16ab2﹣48a2b=16ab（b﹣3a）．故答案为：16ab．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．2．当x=90.28时，8.37x+5.63x﹣4x=902.8．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】首先将原式分解因式，进而代入原式求出即可．【解答】解：∵x=90.28时，∴8.37x+5.63x﹣4x=（8.37+5.63﹣4）x=10x=10×90.28=902.8．故答案为：902.8．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．3．若m、n互为相反数，则5m+5n﹣5=﹣5．【考点】有理数的加减混合运算；相反数．【专题】计算题．【分析】若m、n互为相反数，则m+n=0，那么代数式5m+5n﹣5即可解答．【解答】解：由题意得：5m+5n﹣5=5（m+n）﹣5=5×0﹣5=﹣5．故答案为：﹣5【点评】本题主要考查相反数的性质，相反数的和为0．二、选择题4．下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．（x+2y）2=x2+4xy+4y2B．x2﹣2y+4=（x﹣1）2+3C．3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）D．m（a+b+c）=ma+mb+mc【考点】因式分解的意义．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、没把多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；D、是整式乘法，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．5．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（）A．5mx2B．﹣5mx3C．mx D．﹣5mx【考点】公因式．【分析】根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案．【解答】解：﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx，故选：D．【点评】本题考查了公因式，公因式的系数是各项系数的最大公约数，字母是相同的字母，指数是相同字母的指数最底的指数．6．代数式3x2﹣4x+6的值为9，则x2﹣+6的值为（）A．7 B．18 C．12 D．9【考点】代数式求值．【专题】整体思想．【分析】观察题中的两个代数式3x2﹣4x+6和x2﹣+6，可以发现3x2﹣4x=3（x2﹣），因此，可以由“代数式3x2﹣4x+6的值为9”求得x2﹣=1，所以x2﹣+6=7．【解答】解：∵3x2﹣4x+6=9，∴方程两边除以3，得x2﹣+2=3x2﹣=1，所以x2﹣+6=7．故选：A．【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2﹣的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．7．（﹣8）2009+（﹣8）2008能被下列数整除的是（）A．3 B．5 C．7 D．9【考点】因式分解的应用．【专题】计算题．【分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．【解答】解：原式=（﹣8）2008×（﹣8+1）=（﹣8）2008×（﹣7）=﹣82008×7，则结果能被7整除．故选C【点评】此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的分解是解本题的关键．三、解答题8．把下列各式分解因式：（1）18a3bc﹣45a2b2c2；（2）﹣20a﹣15ab；（3）18x n+1﹣24x n；（4）（m+n）（x﹣y）﹣（m+n）（x+y）；（5）15（a+b）2+3y（b+a）；（6）2a（b﹣c）+3（c﹣b）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】（1）直接提取公因式9a2bc进而得出答案；（2）直接提取公因式﹣5a进而得出答案；（3）直接提取公因式6x n进而得出答案；（4）直接提取公因式（m+n）进而得出答案；（5）直接提取公因式3（a+b）进而得出答案；（6）直接提取公因式（b﹣c）进而得出答案．【解答】解：（1）18a3bc﹣45a2b2c2=9a2bc（2a﹣5bc）；（2）﹣20a﹣15ab=﹣5a（4+3b）；（3）18x n+1﹣24x n=6x n（3x﹣4）；（4）（m+n）（x﹣y）﹣（m+n）（x+y）=（m+n）（x﹣y﹣x﹣y）=﹣2y（m+n）；（5）15（a+b）2+3y（b+a）=3（a+b）[5（a+b）+y]=3（a+b）（5a+5b+y）；（6）2a（b﹣c）+3（c﹣b）=（2a﹣3）（b﹣c）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．9．计算：（1）39×37﹣13×91；（2）29×20.09+72×20.09+13×20．O9﹣20．O9×14．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】（1）首先提取公因式13，进而求出即可；（2）首先提取公因式20.09，进而求出即可．【解答】解：（1）39×37﹣13×91=3×13×37﹣13×91=13×（3×37﹣91）=13×20=260；（2）29×20.09+72×20.09+13×20．O9﹣20．O9×14=20.09×（29+72+13﹣14）=2009．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．10．已知，xy=3，求2x4y3﹣x3y4的值．【考点】因式分解﹣提公因式法．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵2x﹣y=，xy=3，∴原式=（xy）3（2x﹣y）=27×=9．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法分解因式是解本题的关键．11．求x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（x﹣a）（y﹣a）的值，其中a=3，x=2，y=4．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】首先提取负号，进而提取公因式法分解因式求出即可．【解答】解：x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（x﹣a）（y﹣a）=x（a﹣x）（a﹣y）﹣y（a﹣x）（a﹣y）=（a﹣x）（a﹣y）（x﹣y），∵a=3，x=2，y=4，∴原式=（3﹣2）×（3﹣4）×（2﹣4）=2．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及代数式求值，正确得出公因式是解题关键．12．把5（a﹣b）3﹣10（b﹣a）2分解因式．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】首先找出公因式进而提取公因式分解因式即可．【解答】解：5（a﹣b）3﹣10（b﹣a）2=5（a﹣b）3﹣10（a﹣b）2=5（a﹣b）2[（a﹣b）﹣2）]=5（a﹣b）2（a﹣b﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．13．下列分解因式是否正确？如果不正确，请给出正确结果．（1）﹣x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）；（2）9﹣25a2=（3+25a）（3+25b）；（3）﹣4a2+9b2=（﹣2a+3b）（﹣2a﹣3b）．【考点】因式分解﹣运用公式法．【专题】计算题．【分析】（1）错误，原式不能分解；（2）错误，利用平方差公式分解即可得到结果；（3）错误，利用平方差公式分解即可得到结果．【解答】解：（1）错误，正确解法为：﹣x2﹣y2=﹣（x2+y2），不能分解；（2）错误，正确解法为：9﹣25a2=（3+5a）（3﹣5a）；（3）错误，﹣4a2+9b2=（﹣2a+3b）（2a+3b）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．14．把下列各式分解因式：（1）36﹣x2；（2）a2﹣；（3）﹣+y2；（4）25（a+b）2﹣4（a﹣b）2；（5）（x+2）2﹣9；（6）（x+a）2﹣（y+b）2．【考点】因式分解﹣运用公式法．【专题】计算题．【分析】原式各项利用平方差公式分解即可得到结果．【解答】解：（1）36﹣x2=（6+x）（6﹣x）；（2）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（3）﹣+y2=（y+）（y﹣）；（4）25（a+b）2﹣4（a﹣b）2=（5a+5b+2a﹣2b）（5a+5b﹣2a+2b）=（7a+3b）（3a+7b）；（5）（x+2）2﹣9=（x+5）（x﹣1）；（6）（x+a）2﹣（y+b）2=（x+y+a+b）（x+a﹣y﹣b）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．15．在边长为16.4cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm的正方形，求余下的纸片的面积．【考点】平方差公式．【专题】计算题．【分析】由正方形面积减去四个小正方形面积求出余下的面积即可．【解答】解：根据题意得：16.42﹣4×1.82=（16.4+3.6）×（16.4﹣3.6）=20×12.8=256（cm2），则余下的纸片面积为256cm2．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．16．已知x2﹣y2=﹣1，x+y=，求x﹣y的值．【考点】因式分解﹣运用公式法．【专题】计算题．【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x+y的值代入计算即可求出x﹣y的值．【解答】解：∵x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=﹣1，x+y=，∴x﹣y=﹣2．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．17．已知4m+n=90，2m﹣3n=10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．【考点】平方差公式．【专题】计算题．【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵4m+n=90，2m﹣3n=10，∴（m+2n）2﹣（3m﹣n）2=[（m+2n）+（3m﹣n）][（m+2n）﹣（3m﹣n）]=（4m+n）（3n﹣2m）=﹣900．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．。
专题07 《整式乘法与因式分解》解答题压轴题专练(解析版) -七年级数学下册考点培优训练(苏科版)
专题07 《整式乘法与因式分解》解答题压轴题专练（1）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、解答题1．阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（1）计算（2x+1）（3x+2）所得多项式的一次项系数为．（2）计算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多项式的一次项系数为．（3）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a=．（4）若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，则2a+b的值为．【答案】（1）7（2）-7（3）-3（4）-15【解析】试题分析：（1）用2x+1中的一次项系数2乘以3x+2中的常数项2得4，用2x+1中的常数项1乘以3x+2中的一次项系数3得3，4+3=7即为积中一次项的系数；（2）用x+1中的一次项系数1，3x+2中的常数项2，4x-3中的常数项-3相乘得-6，用x+1中的常数项1，3x+2中的一次项系数3，4x-3中的常数项-3相乘得-9，用x+1中的常数项1，3x+2中的常数项2，4x-3中的一次项系数4相乘得8，-6-9+8=-7即为积中一次项系数；（3）用每一个因式中的一次项系数与另两个因式中的常数项相乘，再把所得的积相加，列方程、解方程即可得；（4）设422x ax bx +++可以分成（231x x -+ ）(x 2+kx+2)，根据小明的算法则有k -3=0，a=-3k+2+1，b=-3×2+k ，解方程即可得.试题解析：（1）2×2+1×3=7，故答案为7；（2）1×2×（-3）+3×1×（-3）+4×1×2=-7，故答案为-7；（3）由题意得：1×a×(-1)+(-3)×1×(-1)+2×1×a=0，解得：a=-3，故答案为-3；（4）设422x ax bx +++可以分成（231x x -+ ）(x 2+kx+2)，则有k -3=0，a=-3k+2+1，b=-3×2+k ，解得：k=3，a=-6，b=-3，所以2a+b=-15，故答案为-15.b=3-6=-32．阅读材料：若x 2－2xy ＋2y 2－8y ＋16=0，求x 、y 的值．解：∵x 2－2xy ＋2y 2－8y ＋16=0，∵(x 2－2xy ＋y 2)＋(y 2－8y ＋16)=0，∵(x －y )2＋(y －4)2=0，∵(x －y )2=0，(y －4)2=0，∵y =4，x =4．根据你的观察，探究下面的问题：已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2＋b 2－4a －6b ＋13=0．求∵ABC 的边c 的值．【答案】2或3或4【分析】先通过配方法，利用完全平方公式进行配方求出a ，b 的值，再根据三角形的三边关系即可确定c 的值.【详解】∵2246130a b a b +--+=∵22(44)(69)0a a b b -++-+=即22(2)(3)0a b -+-=∵20a -=，30b -=∵23a b ==，根据三角形的三边关系得a b c a b -<<+，即15c <<∵c 是正整数∵c 的值为2或3或4.【点睛】本题主要考查了配方法及三角形边长的确定，熟练掌握完全平方公式及三角形的三边关系是解决本题的关键.3．阅读下列材料：某同学在计算3（4+1）（42+1）时，发现把3写成4-1后，可以连续运用平方差公式计算，3（4+1）（42+1）=（4-1）（4+1）（42+1）=（42-1）（42+1）=44-1=256-1=255．请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）（2）2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++． 【答案】（1）24096-1；（2）2．【分析】（1）在前面乘一个（2-1），然后再连续利用平方差公式计算；（2）在前面乘一个2×（1-12），然后再连续利用平方差公式计算． 【详解】解：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（24-1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=24096-1；（2）2481521111111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 24815111111211111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1615112122⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭ 151511222=-+ =2． 【点睛】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．4．阅读下列分解因式的过程：x 2+2ax -3a 2=x 2+2ax+a 2-a 2-3a 2=(x+a)2-4a 2=(x+a+2a)(x+a -2a)(x+3a)(x -a)．像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法，请你用配方法将下面的多项式因式分解：（1）m 2-4mn+3n 2；（2）x 2-4x -12．【答案】（1）（m -n ）（m -3n ）；（2）（x+2）（x -6）．【分析】（1）、（2）分别利用阅读材料中的配方法分解即可．【详解】解：（1）m 2-4mn+3n 2=m 2-4mn+4n 2-4n 2+3n 2=m 2-4mn+4n 2-n 2=（m -2n ）2-n 2=（m -2n+n ）（m -2n -n ）=（m -n ）（m -3n ）；（2）x 2-4x -12=x 2-4x+4-4-12=（x -2）2-42=（x -2+4）（x -2-4）=（x+2）（x -6）．【点睛】本题考查了因式分解的应用．要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式．5．如图，长为m ，宽为x()m x >的大长方形被分割成7小块，除阴影,A B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y ，记阴影A 与B 的面积差为S ．（1）分别用含,,m x y 的代数式表示阴影,A B 的面积，并计算S ；（2）当6,1m y ==时，求S 的值；（3）当x 取任何实数时，面积差S 的值都保持不变，问m 与y 应满足什么条件？【答案】（1）阴影A 的面积为(3)(2)m y x y --，阴影B 的面积为3(3)y x y m +-，236S y my xy mx =-+-+；（2）S 的值为3；（3）6m y =．【分析】（1）先分别求出阴影A 与B 的长、宽，再根据长方形的面积公式，即可得；（2）将6,1m y ==代入，计算含乘方的有理数混合运算即可得；（3）将S 的值进行变形，再根据其值与x 无关，列出等式求解即可得．【详解】（1）由图可知，阴影A 的长为3m y -，宽为2x y -；阴影B 的长为3y ，宽为(3)3x m y x y m --=+- 则阴影A 的面积为(3)(2)m y x y --，阴影B 的面积为3(3)y x y m +-S A B =-(3)(2)3(3)m y x y y x y m =---+-22236393mx my xy y xy y my =--+--+236y my xy mx =-+-+；（2）由（1）可知，236S y my xy mx =-+-+将6,1m y ==代入得：2316166363S x x =-⨯+⨯-+=-+=即S 的值为3；（3）由（1）可知，22363(6)S y my xy mx y my m y x =-+-+=-++-要使当x 取任何实数时，面积差S 的值都保持不变则60m y -=整理得6m y =．【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算、含乘方的有理数混合运算等知识点，理解题意，根据图形正确求出阴影A 与B 的长、宽是解题关键．6．如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．（1）你认为图∵中的阴影部分的正方形的边长等于__________；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法∵____________；方法∵________________；（3）观察图∵，直按写出22(),(),m n m n mn +-这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若8,5a b ab +==，求2()a b -的值【答案】（1）m -n ；（2）2()m n -；2()4m n mn +-；（3）2()m n -=2()4m n mn +-；（4）44.【分析】（1）根据图∵可知，剪开后的小长方形长为m ，宽为n ，可以看出图∵中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ；（2）图∵中阴影部分的面积：方法∵利用阴影小正方形的边长直接计算面积；方法∵利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积计算；（3）根据图∵里图形的面积关系，可以得出这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）中的等量关系式，代入数值求解即可．【详解】（1）剪开后的小长方形长为m ，宽为n ，所以图∵中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ，故答案为：m -n ；（2）方法∵阴影的面积为边长的平方，即2()m n -；方法∵阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -；2()4m n mn +-；（3）根据图∵里图形的面积关系，可得2()m n -=2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -=2()4m n mn +-；（4）由（3）中的等量关系可知，2()a b -=2()4a b ab +-=64-20=44， 故答案为：44．【点睛】本题考查了图形的面积的代数式表示以及代数式之间的等量关系，掌握图形面积的代数式表示是解题的关键．7．因为()()2632x x x x +-=+-,令26x x +-=0,则（x+3）(x -2)=0,x=-3或x=2,反过来,x ＝2能使多项式26x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式,求m 的值;（2）若（x ﹣1）和（x+2）是多项式325x ax x b +-+的两个因式,试求a,b 的值;（3）在（2）的条件下,把多项式325x ax x b +-+因式分解的结果为 ．【答案】（1）m=-6;（2）26a b =-⎧⎨=⎩；（3）(x -1)(x+2)(x -3) 【分析】（1）由已知条件可知，当x=4时，x 2+mx+8=0，将x 的值代入即可求得；（2）由题意可知，x=1和x=-2时，x 3+ax 2-5x+b=0，由此得二元一次方程组，从而可求得a 和b 的值； （3）将（2）中a 和b 的值代入x 3+ax 2-5x+b ，则由题意知（x -1）和（x+2）也是所给多项式的因式，从而问题得解．【详解】解：（1）∵x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式，则x=4使x 2+mx+8=0，∵16+4m+8=0，解得m=-6；（2）∵（x ﹣1）和（x+2）是多项式325x ax x b +-+的两个因式，则x=1和x=-2都使325x ax x b +-+=0，得方程组为：15084100a b a b +-+=⎧⎨-+++=⎩，解得26a b =-⎧⎨=⎩； （3）由（2）得，x 3-2x 2-5x+6有两个因式（x ﹣1）和（x+2），又36(1)2(3)x x x x =⋅⋅=-⨯⨯-，， 则第三个因式为(x -3)，∵x 3-2x 2-5x+6=(x -1)(x+2)(x -3)．故答案为：(x -1)(x+2)(x -3)．【点睛】本题考查了分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．8．观察下列各式：∵60×60＝602－02＝3600；∵59×61＝(60－1)×(60＋1)＝602－12＝3599；∵58×62＝(60－2)×(60＋2)＝602－22＝3596；∵57×63＝(60－3)×(60＋3)＝602－32＝3591……（探究）（1）上面的式子表示的规律是：(60＋m)(60－m)＝；观察各等式的左边发现两个因数之和都是120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数时，乘积最大．（应用）（2）根据上面的规律，思考若a＋b＝400，则ab的最大值是；（拓展）（3）将一根长40厘米的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为x厘米，面积为S，写出S与x 之间的等量关系？当x为何值时，S取得最大值？【答案】（1）602-m2；相等；（2）40000；（3）S=-x2+20x；当x=10时，S取得最大值．【分析】（1）按照已知等式的规律或平方差公式写出结果即可；对比题干中给出的等式可知，当两个因数相等即m=0时，乘积最大；（2）根据（1）中得出的规律可知，当a=b时，ab取得最大值，从而得出结果；（3）设长方形的一边长为x厘米，则根据题意得长方形的另一边长为（20-x）厘米，根据长方形的面积公式可得出S与x之间的等量关系；再根据（1）中的结论可得出当长方形的长与宽相等时，S取得最大值，从而得出结果．【详解】解：（1）根据题中的等式可得，(60＋m)(60－m)＝602-m2；对比题干中给出的等式可知，当两个因数相等时，即m=0时乘积最大，故答案为：602-m2；相等；（2）根据（1）中得出的规律可知，当a=b时，ab取得最大值，∵a+b=400，∵当a=b=200时，ab取得最大值，最大值为40000，故答案为：40000；（3）设长方形的一边长为x厘米，则根据题意得长方形的另一边长为（20-x）厘米，∵S=x(20-x)=-x2+20x，故S与x之间的等量关系式为：S=-x2+20x；∵长方形的两边长分别为x厘米，（20-x）厘米，有x+（20-x）=20，现要求S=x(20-x)的最大值，由（1）知，当x=20-x时，S取得最大值，故当x=10时，S取得最大值．【点睛】本题考查了通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，一般先根据题意，找到规律，并进行推导得出答案．9．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，将该长方形沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按照图2所示拼成一个正方形．（1）使用不同方法计算图2中小正方形的面积，可推出（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系为：；（2）利用（1）中的结论，解决下列问题：∵已知a-b＝4，ab＝5，求a+b的值；∵已知a＞0，a-3a＝2，求a+3a的值．【答案】（1）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（2）∵6或-6；∵4．【分析】（1）由题意知，阴影部分小正方形的边长为m-n．根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积求图中阴影部分的面积，利用两种求法确定出所求关系式即可；（2）∵利用（1）的结论，可知（a-b）2=（a+b）2-4ab，把已知数值整体代入即可；∵先利用完全平方公式进行变形，即将a-3a＝2两边同时平方，然后求出（a+3a）2的值，从而得出结果．【详解】解：（1）阴影部分的面积可以看作是边长m-n的正方形的面积，也可以看作边长m+n的正方形的面积减去4个小长方形的面积，∵（m-n）2=（m+n）2-4mn，故答案为：（m-n）2=（m+n）2-4mn；（2）∵∵a-b=4，ab=5，且由（1）知（a-b）2=（a+b）2-4ab，∵（a+b）2=16+20=36，∵a+b=6或-6；∵∵a-3a=2，∵（a -3a ）2= a 2-6+29a=4， ∵a 2+6+29a =16， ∵（a +3a）2=16， 又a ＞0，∵a +3a =4． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算以及分式的求值等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．数学课堂上，老师提出问题：如图，如何在该图形中数出黑色正方形的个数，以下是两位同学的做法：（1）甲同学的做法为：当1n =时，黑色正方形的个数共有14610⨯+=当2n =时，黑色正方形的个数共有24614⨯+=当3n =时，黑色正方形的个数共有34618⨯+=……则在第n 个图形中，黑色正方形的个数共有 （无需化简）（2）乙同学的做法为：当1n =时，黑色正方形的个数共有341210⨯-⨯=当2n =时，黑色正方形的个数共有452314⨯-⨯=当3n =时，黑色正方形的个数共有563418⨯-⨯=……则在第n 个图形中，黑色正方形的个数共有 （无需化简）（3）数学老师及时肯定了两位同学的做法，从而可以得到等式（4）请利用学习过的知识验证（3）问中的等式．【答案】（1）46n +；（2）(2)(3)(1)n n n n ++-+；（3）46(2)(3)(1)n n n n n +=++-+；（4）见解析．【分析】（1）根据所给算式总结规律即可；（2）根据所给算式总结规律即可；（3）根据两种算法都正确可得等式；（4）利用整式混合运算法则对(2)(3)(1)++-+进行化简，即可验证.n n n n【详解】n+，解：（1）由题中算式可知，在第n个图形中，黑色正方形的个数为：46n+；故答案为：46（2）由题中算式可知，在第n个图形中，黑色正方形的个数为：(2)(3)(1)n n n n++-+，故答案为：(2)(3)(1)++-+；n n n n（3）数学老师及时肯定了两位同学的做法，从而可以得到等式：46(2)(3)(1)+=++-+，n n n n n故答案为：46(2)(3)(1)+=++-+；n n n n n（4）∵22(2)(3)(1)32646++-+=+++--=+，n n n n n n n n n n∵该等式成立.【点睛】本题考查了图形类规律探索以及整式混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是验证等式成立的关键.。
七年级下册数学-整式乘法与因式分解单元检测 有答案
整式乘法与因式分解一、选择题1.若a m=2，a n=3，则a m+n等于（）A. 5B. 6C. 8D. 92.下列各题中，能用平方差公式的是（）A. （a﹣2b）（﹣a+2b）B. （﹣a﹣2b）（﹣a﹣2b）C. （a﹣2b）（a+2b）D. （﹣a﹣2b）（a+2b）3.下列运算正确的是（）A. a2•a3=a6B. a6÷a2=a3C. a2+a3=a5D. （a3）2=a64.把下列各式分解因式结果为-（x-2y）（x+2y）的多项式是（）A. x2-4yB. x2+4y2C. -x2+4y2D. -x2-4y25.如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片张数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.如果25x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式，那么k的值是（）A. 1225B. 35C. ﹣70D. ±707.下列计算结果为x6的是（）A. x•x6B. （x2）3C. （2x2）3D. （x3）4÷x28.下列由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A. B.C. D.9.如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）.A. (2a²+5a)cm²B. (3a+15)cm²C. (6a+9)cm²D. (6a+15)cm²10.已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 811.若ab2=﹣6，则﹣ab2（a2b4﹣ab2﹣1）的值为（）A. 246B. 216C. ﹣216D. 274二、填空题12.分解因式：（a﹣b）2﹣4b2=________．13.计算：________.14.若3m=6，3n=2，则32m﹣n=________ ．15.若x+y=3，xy=1，则x2+y2=________．16.已知（x+1）（x+q）的结果中不含x的一次项，则常数q=________ ．17.已知：x=3m+1，y=9m﹣2，用含x的代数式表示y=________18.已知m+n=2，mn=﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）=________．19.计算________；20.如果a x=4，a y=2，则a2x+3y=________。
石家庄市七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题练习题(及答案)
石家庄市七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题练习题(及答案)一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2.（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3.2．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式．（2）用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，完成下列问题：①当a+b＝5，ab＝﹣6时，则a﹣b的值为________．②设，B＝x﹣2y﹣3，计算：（A+B）2﹣（A﹣B）2的结果________．3．若x满足（5-x）（x-2）=2，求（x-5）2+（2-x）2的值；解：设5-x=a，x-2=b，则（5-x）（x-2）=ab=2，a+b=（5-x）+（x-2）=3，所以（x-5）2+（2-x）2=（5-x）2+（x-2）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=32-2×2=5，请仿照上面的方法求解下面的问题（1）若x满足（9-x）（x-4）=4，求（9-x）2+（x-4）2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=4，长方形EMFD的面积是63，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．4．借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．初步应用（1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则________（用图中字母表示）②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：________（用图中字母表示）（2）深入探究仿照图2，构造图形并计算（a+b+c）2（3）拓展延伸借助以上探究经验，解决下列问题：①代数式（a1+a2+a2+a3+a4+a5）2展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有________项；②若正数x、y、z和正数m、n、p，满足x+m=y+n=z+p=t，请通过构造图形比较px+my+nz 与t2的大小（画出图形，并说明理由）；③已知x、y、z满足x+y+z=2m，x2+y2+z2=2n，xyz=p，求x2y2+y2z2+x2z2的值（用含m、n、P的式子表示）5．问题发现：小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图1，可得到等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.（1）类比探究：如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来.（2）结论应用：已知a+b+c=14，ab+bc+ac=26，求a2+b2+c2的值.（3）拓展延伸：如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=8，ab=14，请求出阴影部分的面积. 6．（1）填空：________ ；________ ；________ ；（2）猜想：（a-b）（a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1）= ________（其中n为正整数，且n≥2）；（3）利用（2）猜想的结论计算：①29+28+27+…+22+2+1②210-29+28-…-23+22-2．7．认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．8．已知A=2 a -7，B=a2- 4a+3，C= a2 +6a-28，其中．（1）求证：B-A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）阅读对B因式分解的方法：解：B=a2- 4a+3=a2- 4a+4-1=（a-2）2-1=（a-2+1）（a-2-1）=（a-1）（a-3）.请完成下面的两个问题：①仿照上述方法分解因式：x2- 4x-96；②指出A与C哪个大？并说明你的理由．9．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=________．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．10．如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、宽为a长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．尝试解决：（1）取图①中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（a+b）（a+b），在下面虚线框中画出图形，并根据图形回答（a+b）（a+b）=________．（2）图②是由图①中的三种材料拼出的一个长方形，根据②可以得到并解释等式：________（3）若取其中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+4ab+b2．你画的图中需要B类卡片________张；（4）分解因式：3a2+4ab+b2．拓展研究：如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用m、n表示四个直角三角形的两直角边边长（b＞a），观察图案，以下关系式中正确的有________．（填写正确选项的序号）（1）ab=（2）a+b=m（3）a2+b2=（4）a2+b2=m211．阅读下面材料:通过整式运算一章的学习，我们发现要验证一个结论的正确性可以有两种方法：例如：要验证结论方法1：几何图形验证：如下图，我们可以将一个边长为（a+b）的正方形上裁去一个边长为(a-b)的小正方形则剩余图形的面积为4ab,验证该结论正确。
2023-2024学年初中数学苏科版七年级下第9章 整式乘法与因式分解单元测试(含答案解析)
2023-2024学年苏科版初中数学单元测试学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;一、选择题（本大题共计6小题，每题3分，共计18分）1.分解因式xy^2-4x结果正确的是(\ \ \ \ \ \ \ \ \ )A. x(x^2-4)B. x(y-2)^2C. x(y+4)(y-4)D. x(y+2)(y-2)【答案】D【解析】解：原式=x \left( y^2-4\right)=x \left(y+2\right) \left(y-2\right)．故选 D．2.下列因式分解结果正确的有（）①-4 m^3 + 12m^2＝-m^2(4 m -12)②x^4-1＝(x^2+ 1)(x^2-1)③x^2+ 2x+ 4＝(x+ 2)^2④(a^2+ b^2)^2-4a^2b^2＝(a+ b)^2(a-b)^2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】3.下列因式分解错误的是（）A. 3ab-6ac＝3a(b-2c)B. \m (x^2+ y^2)-n(x^2+ y^2)＝( \m -n)(x^2+ y^2)C. 9x^2-4y^2＝(3x+ 2y)(3x-2y)D. a^2-4a+ 4＝(a+ 2)(a-2)【答案】D【解析】4.下列因式分解，正确的式子有（）①(a+ b)^2+ 2(a+ b)(a-b)+ (a-b)^2＝4a^2，②(a+ b)^2-4(a+ b-1)＝(a+ b-2)^2；③x^4-2x^2+ 1＝(x^2-1)^2④4x^4y-4x^2y＝4x^2y(x^2-1)．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①(a+ b)^2+ 2(a+ b)(a-b)+ (a-b)^2＝(a+ b+ a-b)^2＝(2a)^2＝4a^2，正确；②(a+ b)^2-4(a+ b-1)＝(a+ b)^2-4(a+ b)+ 4＝(a+ b-2)^2正确；③x^4-2x^2+ 1＝(x^2-1)^2＝(x+ 1)(x-1)^2＝(x+ 1)^2(x-1)^2，原题没分解完，错误；④4x^4y-4x^2y＝4x^2y(x^2-1)＝4x^2y(x+ 1)(x-1)，原题没分解完，错误．5.把代数式ax^2-4ax+4a分解因式，下列结果中，正确的是（）A. aleft(x-2right)^2B. aleft(x+2right)^2C. aleft(x-4right)^2D. aleft(x+2right)left(x-2right)【答案】A【解析】解：原式=a(x^2-4x+4)=a(x-2)^2，故选 A.6.分解因式4am^2-an^2的结果正确的是（）A. a(2 \m + n)(2 \m -n)B. 4a( \m + n)( \m -n)C. a(4 \m + n)(4 \m -n)D. 2a( \m + n)( \m -n)【答案】A【解析】原式＝a(4m^2-n^2)＝a(2 m + n)(2 m -n)．二、填空题（本大题共计23小题，每题3分，共计69分）7.把多项式2x^3-8x分解因式的结果是________.【答案】2x(x-2)(x+2)【解析】解：2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2).故答案为：2x(x-2)(x+2).8.因式分解：a^2(x-y)-4b^2(x-y)＝________．【答案】(x-y)(a+ 2b)(a-2b)【解析】a^2(x-y)-4b^2(x-y)＝(x-y)(a^2-4b^2)＝(x-y)(a+ 2b)(a-2b)．9.分解因式：ma^2-6ma+ 9 m =________；分式方程\dfrac3x - 3 = \dfrac2x的解为________．【答案】 m (a-3)^2, x=-6【解析】解：原式=m(a^2-6a+ 9)=m(a-3)^2；去分母得：3x=2x-6，解得：x=-6，经检验x=-6是分式方程的解．故答案为：m(a-3)^2；x=-6.10.因式分解：9mx^2-my^2=________．【答案】mleft( 3x+yright)left( 3x-yright)【解析】解：9mx^2-my^2=m\left( 9x^2-y^2\right)=m\left( 3x+y\right)\left( 3x-y\right)．故答案为：m\left( 3x+y\right)\left( 3x-y\right)．11.把多项式9a^3-ab^2因式分解的结果是________．【答案】a(3a+ b)(3a-b)【解析】解：原式= a(9a^2-b^2)= a(3a+ b)(3a-b)，故答案为：a(3a+ b)(3a-b).12.分解因式：am^2-9a=________．【答案】a( m + 3)( m-3)【解析】解：am^2-9a=a(m^2-9)=a( m+ 3)( m-3)．故答案为：a( m+ 3)( m-3).13.分解因式：3m^2-6mn+ 3n^2=________．【答案】3(m-n)^2【解析】解：原式= 3(m^2-2mn+ n^2)= 3( m -n)^2．故答案为：3(m-n)^2.14.因式分解：18a-2a^3=________.【答案】2a(3+a)(3-a)【解析】解：18a-2a^3=2a(9-a^2)=2a(3+a)(3-a).故答案为：2a(3+a)(3-a).15.因式分解：3x^3-12x= ________．【答案】3x(x+ 2)(x-2)【解析】解：3x^3-12x= 3x(x^2-4)= 3x(x+ 2)(x-2),故答案为：3x(x+2)(x-2).16.因式分解：ab^2-2ab+ a=________．【答案】a(b-1)^2【解析】解：原式=a(b^2-2b+ 1)=a(b-1)^2.故答案为：a(b-1)^2.17.分解因式x^2y-xy的结果为________.【答案】xy(x-1)【解析】解：x^2y-xy=xy(x-1)故答案为：xy(x-1).18.把多项式a^2b-2ab+ b分解因式的结果是________．【答案】b(a-1)^2【解析】a^2b-2ab+ b＝b(a^2-2a+ 1)＝b(a-1)^2．19.计算：565^2\times 24-435^2\times 24= ________．【答案】3120000【解析】解：565^2\times 24-435^2\times 24= 24\times (565^2-435^2)= 24\times (565+ 435)(565-435)= 24\times 1000\times 130= 3120000．故答案为：3120000．20.把多项式2x^3-2x分解因式的结果是________．【答案】2x(x+1)(x-1)【解析】解：2x^3-2x=2x(x^2-1)=2x(x+1)(x-1)．故答案为：2x(x+1)(x-1)．21.把多项式3a^3-12a^2+ 12a分解因式的结果是________．【答案】3a(a-2)^2【解析】解：原式= 3a(a^2-4a+ 4)= 3a(a-2)^2.故答案为：3a(a-2)^2.22.分解因式： x^2y-4y=________.【答案】y(x+2)(x-2)【解析】解：x^2y-4y=y(x^2-4)=y(x+2)(x-2).故答案为：y(x+2)(x-2).23.因式分解：(m^2+ 1)(x-y)-2 m (x-y)=________．【答案】(x-y)( m -1)^2【解析】解：\left(m^2+1\right)\left(x-y\right)-2m\left(x-y\right) =(x-y)(m^2+1-2m)=\left(x-y\right)\left(m-1\right)^2.故答案为:\left(x-y\right)\left(m-1\right)^2.24.分解因式： 4x^2-1=________.【答案】(2x+1)(2x-1)【解析】解：原式=(2x)^2-1^2=(2x+1)(2x-1).故答案为：(2x+1)(2x-1).25.因式分解：4a^3-16a^2+ 16a=________．【答案】4a(a-2)^2【解析】解：4a^3-16a^2+ 16a=4a(a^2-4a+ 4)=4a(a-2)^2．故答案为：4a(a-2)^2．26.分解因式： -x^3+2x^2-x=________.【答案】-x(x-1)^2【解析】解：-x^3+2x^2-x=-x(x^2-2x+1)=-x(x-1)^2．故答案为：-x(x-1)^2．27.因式分解：2x^2-x(x+ 1)-2= ________．【答案】(x-2)(x+ 1)【解析】2x^2-x(x+ 1)-2= 2x^2-x^2-x-2= x^2-x-2= (x-2)(x+ 1)．28.分解因式：m-mn^2= ________．【答案】m (1+ n)(1-n)【解析】解：m-mn^2= m(1-n^2)= m(1-n)(1+ n).故答案为：m(1-n)(1+ n)．29.把多项式mx^2-my^2分解因式的结果是________．【答案】 \m (x+ y)(x-y)【解析】原式＝m(x^2-y^2)＝m(x+ y)(x-y)．三、解答题（本大题共计1小题，每题10分，共计10分）30.（1）x^3-9x30.（2）x(x-4)+ 4【答案】x^3-9x＝x(x^2-9)＝x(x-3)(x+ 3)；【解析】x^3-9x＝x(x^2-9)＝x(x-3)(x+ 3)；【答案】x(x-4)+ 4＝x^2-4x+ 4＝(x-2)^2．【解析】x(x-4)+ 4＝x^2-4x+ 4＝(x-2)^2．。
第九章 整式乘法与因式分解 2021-2022学年七年级数学下册单元复习(苏科版)(解析版)
第九章整式乘法与因式分解（提优）一．选择题（共8小题）1．已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（）A．0B．1C．2020D．2021【分析】先通过已知等式，找到a，b，c的关系再求值．【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）．∴a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0．∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0．∴（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0．∵a≠b．∵a2（b+c）＝2021．∴a（ab+ac）＝2021．∴a（﹣bc）＝2021．∴﹣abc＝2021．∴abc＝﹣2021．∴原式＝c（ac+bc）﹣2020＝c（﹣ab）﹣2020＝﹣abc﹣2020＝2021﹣2020＝1．故选：B．【点评】本题考查用因式分解求代数式的值，利用题中等式得到ab+bc+ac＝0是求解本题的关键．2．若x2+2mx+16是完全平方式，则（m﹣1）2+2的值是（）A．11B．3C．11或27D．3或11【分析】先根据完全平方式特征求m，再求代数式的值．【解答】解：∵x2+2mx+16是完全平方式．∴m2＝16．∴m＝±4．当m＝4时，（m﹣1）2+2＝9+2＝11．当m＝﹣4时（m﹣1）2+2＝25+2＝27．故答案为：C．故选：C．【点评】本题考查求代数式的值，根据完全平方式的特征求m的值是求解本题的关键．3．下列各数中，可以写成两个连续奇数的平方差的（ ）A ．520B ．502C ．250D ．205【分析】根据平方差公式，利用方程求解即可．【解答】解：设较小的奇数为m ，则与之相邻的较大的奇数为m +2，这两个奇数的平方差为：（m +2）2﹣m 2＝4m +4，因此这两个奇数的平方差能被4整除，而520÷4＝130，502÷4＝125……2，250÷4＝62……2，205÷4＝51……1，故选：A ．【点评】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．4．已知a ＝2018x +2018，b ＝2018x +2019，c ＝2018x +2020，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据题目中的式子，可以求得a ﹣b 、a ﹣c 、b ﹣c 的值，然后对所求式子变形，利用完全平方公式进行解答．【解答】解：∵a ＝2018x +2018，b ＝2018x +2019，c ＝2018x +2020，∴a ﹣b ＝﹣1，a ﹣c ＝﹣2，b ﹣c ＝﹣1，∴a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=2a 2+2b 2+2c 2−2ab−2ac−2bc 2=(a 2−2ab+b 2)+(a 2−2ac+c 2)+(b 2−2bc+c 2)2=(a−b)2+(a−c)2+(b−c)22=(−1)2+(−2)2+(−1)22 ＝3，故选：D ．【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，应用完全平方公式进行解答．5．利用因式分解简便计算69×99+32×99﹣99正确的是（ ）A ．99×（69+32）＝99×101＝9999B ．99×（69+32﹣1）＝99×100＝9900C ．99×（69+32+1）＝99×102＝10096D ．99×（69+32﹣99）＝99×2＝198【分析】利用提公因式分法将99提公因式进行计算即可判断．【解答】解：69×99+32×99﹣99＝99（69+32﹣1）＝99×100＝9900．故选：B．【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解．6．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．6858B．6860C．9260D．9262【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：（2k+1）3﹣（2k﹣1）3＝2（12k2+1）（其中k 为非负整数），然后再分析计算即可．【解答】解：（2k+1）3﹣（2k﹣1）3＝[（2k+1）﹣（2k﹣1）][（2k+1）2+（2k+1）（2k﹣1）+（2k﹣1）2]＝2（12k2+1）（其中k为非负整数），由2（12k2+1）≤2016得，k≤√1007 12∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为[13﹣（﹣1）3]+（33﹣13）+（53﹣33）+…+（173﹣153）+（193﹣173）＝193+1＝6860．故选：B．【点评】本题是一道概念型推理题目，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在．7．如图，4张边长分别为a、b的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【分析】假设大正方形的面积S1，小正方形的面积S2，则S1﹣S2＝4个长方形面积．【解答】解：设大正方形的面积S1，小正方形的面积S2，大正方形的边长为a+b，则大正方形面积S1＝（a+b）2，小正方形的边长为a﹣b，则小正方形面积S2＝（a﹣b）2，四个长方形的面积为4ab，∵S1﹣S2＝4ab，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故选：D．【点评】本题主要考查通过正方形面积的计算，列出代数式，得出两个完全平方公式相减等于4ab的正确性．难点在于小正方形边长的求解：用一个长方形的长a，减去另一个长方形的宽b，即a﹣b．8．如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（）A．100B．96C．90D．86【分析】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得S1，S2，S3的长、宽及面积如何表示，根据2S3+S1﹣S2＝2，可整体求得ab的值，即长方形ABCD的面积．【解答】解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：S1的长为：8﹣6＝2，宽为：b﹣8，故S1＝2（b﹣8），S2的长为：，8+6﹣a＝14﹣a，宽为：6+6﹣b＝12﹣b，故S2＝（14﹣a）（12﹣b），S3的长为：a﹣8，宽为：b﹣6，故S3＝（a﹣8）（b﹣6），∵2S3+S1﹣S2＝2，∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝2，∴ab﹣88＝2，∴ab＝90．故选：C．【点评】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键．二．填空题（共8小题）9．若25x2﹣mxy+9y2是完全平方式，则m的值为±30．【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．把所求式化成该形式就能求出m的值．【解答】解：由25x2﹣mxy+9y2＝（5x±3y）2，解得m＝±30．【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项求乘积项．10．若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为﹣8．【分析】首先利用多项式乘法法则计算出（x2﹣x+m）（x﹣8），再根据积不含x的一次项，可得含x的一次项的系数等于零，即可求出m的值．【解答】解：（x2﹣x+m）（x﹣8）＝x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m＝x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m，∵不含x的一次项，∴8+m＝0，解得：m＝﹣8．故答案为﹣8．【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数等于0．11．若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值﹣2021．【分析】将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减得出m+n＝﹣1，将m2＝n+2021两边乘以m，n2＝m+2021两边乘以n再相加便可得出．【解答】解：将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减，得m2﹣n2＝n﹣m，（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，（因为m≠n，所以m﹣n≠0），m+n＝﹣1，解法一：将m2＝n+2021两边乘以m，得m³＝mn+2021m①，将n2＝m+2021两边乘以n，得n³＝mn+2021n②，由①+②得：m³+n³＝2mn+2021（m+n），m³+n³﹣2mn＝2021（m+n），m³+n³﹣2mn＝2021×（﹣1）＝﹣2021．故答案为﹣2021．解法二：∵m 2＝n +2021，n 2＝m +2021（m ≠n ），∴m 2﹣n ＝2021，n 2﹣m ＝2021（m ≠n ），∴m 3﹣2mn +n 3＝m 3﹣mn ﹣mn +n 3＝m （m 2﹣n ）+n （n 2﹣m ）＝2021m +2021n＝2021（m +n ）＝﹣2021，故答案为﹣2021．【点评】本题考查因式分解的应用，代数式m 3﹣2mn +n 3的降次处理是解题关键．12．已知：x +1x =3，则x 2+1x 2= 7 ． 【分析】根据完全平方公式解答即可．【解答】解：∵x +1x =3，∴（x +1x ）2＝x 2+2+1x 2=9， ∴x 2+1x 2=7， 故答案为：7．【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．13．如图，AB ＝5，C 为线段AB 上一点（AC ＜BC ），分别以AC 、BC 为边向上作正方形ACDE 和正方形BCFG ，S △BEF ﹣S △AEC =52，则S △BEC ＝ 3 ．【分析】设正方形AEDC 的边长是a ，正方形BCFG 的边长是b ，根据正方形的性质得出AE ＝DE ＝DC ＝AC ＝a ，CF ＝FG ＝BG ＝BC ＝b ，根据S △BEF ﹣S △AEC =52得出S 正方形ACDE +S 正方形BCFG +S △DFE ﹣S △ABE ﹣S △BGF ﹣S △AEC =52，求出b ﹣a ＝1，再根据a +b ＝AB ＝5求出a 、b 的值，再根据三角形的面积公式求出答案即可．【解答】解：设正方形AEDC 的边长是a ，正方形BCFG 的边长是b ，则AE ＝DE ＝DC ＝AC ＝a ，CF ＝FG ＝BG ＝BC ＝b ，∵S △BEF ＝S 正方形ACDE +S 正方形BCFG +S △DFE ﹣S △ABE ﹣S △BGF ，∵S △BEF ﹣S △AEC =52，∴S 正方形ACDE +S 正方形BCFG +S △DFE ﹣S △ABE ﹣S △BGF ﹣S △AEC =52，∴12a 2+12b 2+12（b ﹣a ）a −12×5×a −12b 2=52， 即52b −52a =52， ∴b ﹣a ＝1，∵AC +BC ＝AB ＝5，∴a +b ＝5，解得：a ＝2，b ＝3，即BC ＝3，AE ＝2，∴S △BEC =12×BC ×AE =12×3×2=3，故答案为：3．【点评】本题考查了整式的混合运算，正方形的性质，三角形的面积等知识点，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．14．如图是A 型卡片（边长为a 的正方形）、B 型卡片（长为a 、宽为b 的长方形）、C 型卡片（边长为b 的正方形）．现有4张A 卡片，11张B 卡片，7张C 卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是 ①③④ ．（只填序号）①可拼成边长为a +2b 的正方形；②可拼成边长为2a +3b 的正方形；③可拼成长、宽分别为2a +4b 、2a +b 的长方形；④用所有卡片可拼成一个大长方形．【分析】①②③利用完全平方公式和多项式乘多项式法则求出要拼成的图形的面积，各项系数即为各型号卡片的个数．④所有卡片面积和为4a 2+11ab +7b 2，将此多项式因式分解即可．【解答】①（a +2b ）2＝a 2+4ab +4b 2，要用A 型卡片1张，B 型卡片4张，C 型卡片4张， 所以可拼成边长为a +2b 的正方形．②（2a +3b ）2＝4a 2+12ab +9b 2，要用A 型卡片4张，B 型卡片12张，C 型卡片9张， 因为B 型卡片只有11张，C 型卡片只有7张，所以不能拼成边长为2a+3b的正方形．③（2a+4b）（2a+b）＝4a2+2ab+8ab+4b2＝4a2+10ab+4b2，可得A型卡片4张，B型卡片10张，C型卡片4张，所以可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形．④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2＝（4a+7b）（a+b）．所以所有卡片可拼长长为（4a+7b），宽为（a+b）的长方形．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了整式乘法、分解因式与几何图形之间的联系，解题时注意利用数形结合和熟记公式是解题的关键．15．三种不同类型的地砖的长、宽如图所示，若现有A型地砖4块，B型地砖4块，C型地砖2块，要拼成一个正方形，则应去掉1块地砖；这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为（2m+n）2＝4m2+4mn+n2．【分析】分别计算出4块A的面积和4块B的面积、2块C的面积，再计算这三种类型的砖的总面积，用完全平方公式化简后，即可得出多了哪种类型的地砖．【解答】解：4块A的面积为：4×m×m＝4m2；4块B的面积为：4×m×n＝4mn；2块C的面积为2×n×n＝2n2；那么这三种类型的砖的总面积应该是：4m2+4mn+2n2＝4m2+4mn+n2+n2＝（2m+n）2+n2，因此，多出了一块C型地砖，去掉一块C型地砖，这两个数的平方为（2m+n）2．这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2故答案为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2．【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，立意较新颖，注意面积的不同求解是解题的关键，对此类问题要深入理解．16．已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是等腰三角形．【分析】把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出b＝c，才能说明这个三角形是等腰三角形．【解答】解：b2+2ab＝c2+2ac，a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac，（a+b）2＝（a+c）2，a+b＝a+c，b＝c，所以此三角形是等腰三角形，故答案为：等腰三角形．【点评】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，分类讨论思想的应用是解题关键．三．解答题（共9小题）17．（1）（﹣3a3）2•a3+6a12÷（﹣a3）；（2）（﹣0.125）2019×22020×42018．【分析】（1）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；（2）先将原式变形，然后根据积的乘方可以解答本题．【解答】解：（1）（﹣3a3）2•a3+6a12÷（﹣a3）＝9a6•a3+6a12÷（﹣a3）＝9a9+（﹣6a9）＝3a9；（2）（﹣0.125）2019×22020×42018＝（−18）2019×（22018×42018×22）＝（−18）2019×（22018×42018×4）＝（−18）2019×82018×4＝（−18×8）2018×（−18）×4＝（﹣1）2018×（−18）×4＝1×（−18）×4=−12．【点评】本题考查整式的混合运算、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18．先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m﹣2＝0．【分析】先算乘方，再算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2＝2m2+2m﹣2＝2（m2+m）﹣2，∵m2+m﹣2＝0，∴m2+m＝2，当m2+m＝2时，原式＝2×2﹣2＝2．【点评】本题考查整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）判断28，50是否为“神秘数”？如果是，请写成两个连续偶数平方差的形式；（2）观察上式，猜想“神秘数”是4的倍数吗？并说明理由．【分析】（1）结合新定义，直接可以判断28是“神秘数”，可以设50是“神秘数”，根据新定义，列出方程，无整数解，即可否定；（2）利用新定义，列出“神秘数”的表达式，因式分解，即可解决．【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，∴28是“神秘数”，设50＝（2k+2）2﹣（2k）2，∴8k+4＝50，∴k=23 4，∴2k不是整数，故50不是“神秘数”，即28是“神秘数”，且28＝82﹣62，50不是“神秘数”；（2）“神秘数”是4的倍数，理由如下：∵（2k+2）2﹣（2k）2＝8k+4＝4（2k+1），∵2k+1是奇数，∴4（2k+1）是4的倍数，故“神秘数”是4的倍数．【点评】本题考查了因式分解的应用，理解新定义的原理是解决本题的关键．20．观察下列各式：（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．根据上面各式的规律可得（x n+1﹣1）÷（x﹣1）＝x n+x n﹣1+…+x+1；利用规律完成下列问题：（1）52021+52020+52019+…+51+1＝52022−14；（2）求（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）的值．【分析】根据各式规律即可确定出所求；（1）仿照题目中规律，将x＝5，n＝2021代入后再等式变形即可；（2）将x＝﹣3，n＝20代入题目中发现的规律，再等式变形计算即可求出答案．【解答】解：由题意得：x n+1﹣1；（1）将x＝5，n＝2021代入得：（52022﹣1）÷（5﹣1）＝52021+52020+52019+…+51+1，∴52021+52020+52019+…+51+1=52022−15−1=52022−14．（2）将x＝﹣3，n＝20代入得：[（﹣3）21﹣1]÷（﹣3﹣1）＝（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）+1，∴（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）=(−3)21−1−3−1=321+14−1=321−34．【点评】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题．21．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b 的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38作为整式代入即可求出．（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．【解答】解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）＝（a+b+c）2，各小矩形部分的面积之和＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，∴等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）a2+b2+c2 ＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝112﹣2×38＝45．（3）如图所示【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．22．如图所示，现有边长分别为b、a的正方形、邻边长为b和a（b＞a）的长方形硬纸板若干．（1）请选择适当形状和数量的硬纸板，拼出面积为2b2+3ab+a2的长方形，画出拼法的示意图；（2）从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为8ab的不同形状的长方形，则这些长方形的周长共有4种不同情况；（3）现有①类纸板1张，②类纸板4张，则应至少取③类纸板4张才能用它们拼成一个新的正方形；（4）已知长方形②的周长为20，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和．【分析】（1）将多项式2b2+3ab+a2进行因式分解，结合边长即可画出符合题意的图形；（2）利用8ab可以分解为：a，8b；8a，b；2a，4b；4a，2b即可得出答案；（3）利用图形直接得出答案；（4）利用长方形②的周长为20，面积为12，得出a，b的关系，利用完全平方公式得出小正方形①与大正方形③的面积之和a2+b2的值．【解答】解：（1）如图所示：S＝2b2+3ab+a2＝（a+b）（a+2b）；（2）从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为8ab的不同形状的长方形，∵8ab可以分解为：a，8b；8a，b；2a，4b；4a，2b．∴这些长方形的周长共有4种不同情况．故答案为：4．（3）设还需要③类纸片x张才能用它们拼成一个新的正方形；则新正方形面积为：a2+4ab+xb2，且它是完全平方式．∴x＝4．故答案为：4．（4）由已知得：a+b＝10，ab＝12，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76．【点评】此题考查了整式的运算和因式分解与几何图形设计，体现了数形结合思想．23．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，故答案为：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，则x﹣y＝±5；（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．24．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是（a+2b）•（a+b）；（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）画出拼图．【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案，（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），利用面积得出a2+3ab+2b2＝（a+2b）•（a+b），（4）先分解因式，再根据边长画图即可．【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；故答案为：2，3．（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）•（a+b），故答案为：（a+2b）•（a+b）．（4）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），如图，故答案为：（a+2b）（a+3b）．【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．25．阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝12；（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE ＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为384平方单位．【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可；（2）根据题意可得，a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，将ab化成=12[（a+b）2﹣（a2+b2）]的形式，代入求值即可；（3）根据题意可得，（20﹣x）（12﹣x）＝160，即（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，根据（1）中提供的方法，求出（20﹣x）2+（12﹣x）2的结果就是阴影部分的面积．【解答】解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b ＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；故答案为：12；（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b ＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab=12[（a+b）2﹣（a2+b2）]=12×（32﹣2020）=−20112；答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为−2011 2；（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），∵长方形CEPF的面积为160，∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；故答案为：384．【点评】本题考查完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键．。
七年级数学下册-第9章 整式乘法与因式分解(16个考点60题)强化训练(解析版)
第9章整式乘法与因式分解（16个考点60题）强化训练一．单项式乘单项式（共3小题）二．单项式乘多项式（共3小题）三．多项式乘多项式（共7小题）四．完全平方公式（共6小题）五．完全平方公式的几何背景（共5小题）六．完全平方式（共3小题）七．平方差公式（共5小题）八．平方差公式的几何背景（共3小题）九．整式的除法（共3小题）十．整式的混合运算（共5小题）十一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）十二．因式分解的意义（共3小题）十三．因式分解-提公因式法（共1小题）十四．因式分解-运用公式法（共2小题）十五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）十六．因式分解的应用（共4小题）一．单项式乘单项式（共3小题）1．（2023春•玄武区期中）计算23x x ⋅的结果是()A ．5xB ．6xC ．25xD ．26x 【分析】利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可得到正确的答案．【解答】解：2236x x x ⋅=．故选：D ．【点评】本题考查了单项式乘单项式的运算，单项式乘以单项式就是将系数相乘作为结果的系数，相同字母相乘作为结果的因式．2．（2023春•高港区期中）计算：162a ab ⋅=．【分析】根据单项式乘单项式即可求出答案．【解答】解：原式23a b =，故答案为：23a b ，【点评】本题考查单项式乘单项式，解题的关键是熟练运用单项式乘单项式运算法则，本题属于基础题型．3．（2023春•丹阳市期中）24(a b ⋅43)8a b =．【分析】根据乘法与除法互为逆运算解答即可．【解答】解：43222842a b a b a b ÷=．故答案为：222a b ．【点评】本题考查了单项式与单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．二．单项式乘多项式（共3小题）4．（2023春•溧阳市期末）计算：3(2)a a b -=．【分析】利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．【解答】解：23(2)63a a b a ab -=-．故答案为：263a ab -．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．（2023春•铜山区期中）计算：232(3)x x -=．【分析】根据单项式乘单项式的法则：系数的积作为积的系数，同底数的幂分别相乘也作为积的一个因式，进行计算即可．【解答】解：232(3)x x - 23(23)x x =-⨯ 56x =-．故答案为：56x -．【点评】本题考查了单项式乘单项式法则的应用，通过做此题培养了学生的理解能力和计算能力，题目比较好，难度不大．6．（2023春•东海县期中）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中A ，B 是两个关于x ，y 的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：（1）多项式A 为，多项式B 为，例题的化简结果为；（2）求多项式A 与B 的积．【分析】（1）根据单项式与多项乘法的逆运算可得A 和B ，然后合并同类项可得答案；（2）直接根据单项式乘多项式计算即可．【解答】解：（1）2A x y =+，2B x y =-，原式22242xy y x xy=++-224y x =+，故答案为：2x y +；2x y -；224y x +．（2）A B ⋅(2)(2)x y x y =+⋅-22(2)x y =-224x y =-．【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的方法是关键．三．多项式乘多项式（共7小题）7．（2023春•梁溪区校级期中）要使2(2)(1)x x ax +--的展开式中不含2x 项，则a 的值为()A ．2-B ．2C ．0D ．3【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则化简，再利用含2x 项的系数为零，进而得出答案．【解答】解：2(2)(1)x x ax +--32(2)22x a x x ax =+----32(2)(12)2x a x a x =+--+-，2(2)(1)x x ax +-- 的展开式中不含2x 项，20a ∴-=，解得：2a =．故选：B ．【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2023春•苏州期中）已知250a a +-=，代数式2(5)(1)a a -+的值是()A ．4B ．5-C ．5D ．4-【分析】先根据250a a +-=得到25a a -=-，再把25a a -=-整体代入，即可求解．【解答】解：250a a +-= ，25a a ∴-=-，25a a +=，2(5)(1)a a ∴-+(1)a a =-+2a a=--2()a a =-+5=-．故选：B ．【点评】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，掌握运算法则和具有整体代入思想是解题关键．9．（2023春•淮安区校级期末）如图，有A 、B 、C 三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为(32)a b +，宽为(2)a b +的大长方形，则需要A 类、B 类、C 类卡片的张数分别为()A ．5、3、6B ．6、3、7C ．6、2、7D ．5、2、6【分析】利用长方形面积列出式子，展开，找到不同卡片面积对应的系数，就是各自卡片的数量．【解答】解：22(32)(2)672a b a b a ab b ++=++，2A S a =，2B S b =，C S ab =，所以2a 、2b 、ab 系数分别是6、2、7．故选：C ．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出各类卡片的面积和对应的系数是解题的关键．10．（2023春•秦淮区期中）若2()(2)8x m x x nx -+=+-，则m n -的值是()A ．2B ．2-C ．6-D ．6【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则展开，再根据多项式相等时满足的条件求解即可．【解答】解：22()(2)(2)28x m x x m x m x nx -+=+--=+- ，∴228m n m -=⎧⎨-=-⎩，解得24n m =-⎧⎨=⎩，4(2)6m n ∴-=--=．故选：D ．【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．11．（2023春•苏州期中）若2()(3)12x m x x nx +-=+-，则n =．【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开即可求出m 与n 的值．【解答】解：22()(3)33(3)3x m x x x mx m x m x m +-=-+-=+--，3m n ∴-=，312m =，解得：4m =，1n =，故答案为：1．【点评】本题考查多项式乘以多项式的法则，解题的关键是将左边展开后合并同类项，然后利用待定系数法即可求出m 与n 的值．12．（2023春•鼓楼区校级期中）已知：化简2()(321)x a x x -++的结果中不含2x 项，则常数a 的值是．【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0列式求解即可．【解答】解：232()(321)3(23)(12)x a x x x a x a x a -++=+-+--， 不含2x 项，230a ∴-=，解得23a =．故答案为：23．【点评】本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键．13．（2023春•玄武区期中）如图，某体育训练基地，有一块长(35)a b -米，宽()a b -米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a 米，宽(2)a b -米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）（1）求长方形游泳池面积；（2）求休息区面积；（3）比较休息区与游泳池面积的大小关系．【分析】（1）利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可；（2）利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可；（3）利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可．【解答】解：（1）长方形游泳池面积为：(2)a ab -2(2)a ab =-平方米；（2） 长方形空地的面积为：(35)()a b a b --223355a ab ab b =--+22(385)a ab b =-+平方米，∴休息区面积222(385)(2)a ab b a ab =-+--2223852a ab b a ab=-+-+22(265)a ab b =-+平方米；（3）2222222222(265)(2)4544(2)0a ab b a ab a ab b a ab b b a b b -+--=-+=-++=-+> ，∴休息区的面积大于游泳池面积．【点评】本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，配方法，完全平方式，熟练掌握长方形的面积公式和配方法是解题的关键．四．完全平方公式（共6小题）14．（2023春•苏州月考）下列等式能够成立的是()A ．222()x y x xy y -=-+B ．222(3)9x y x y +=+C ．22211()24x y x xy y -=-+D ．2(9)(9)9m m m -+=-【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A 、原式222x xy y =-+，错误；B 、222(3)69x y x xy y +=++，错误；C 、原式2214x xy y =-+，正确；D 、原式281m =-，错误，故选：C ．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（2023春•玄武区期中）若2()1a b -=，2()1b c -=，则2()c a -的值是()A ．0B ．4C ．0或4D ．2或4【分析】由2()1a b -=，2()1b c -=得到1a b -=±，1b c -=±得到0c a -=或2±，然后利用整体思想计算即可．【解答】解：2()1a b -= ，2()1b c -=，1a b ∴-=±，1b c -=±，0c a ∴-=或2±，2()0c a ∴-=或4．故选：C ．【点评】本题考查了完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．也考查了整体思想的运用．16．（2023春•鼓楼区校级期中）若4a b +=，3ab =-，则2()a b -=．【分析】先把2()a b -变形为2()4a b ab +-，然后把4a b +=，3ab =-代入计算即可．【解答】解：22()()4a b a b ab -=+-，当4a b +=，3ab =-时，原式244(3)28=-⨯-=．故答案为：28．【点评】本题考查了完全平方公式，掌握22()()4a b a b ab -=+-是解题的关键．17．（2023春•泰兴市期末）请从①2()7a b +=，②2()3a b -=，③225a b +=，中任选两个作为条件，求ab 的值．你选择的两项为．（只填序号）【分析】选择①②，利用完全平方公式展开，合并同类项后可求得ab 的值；选择①③或者②③同理．【解答】解：选择的两项为①②，若选择①②，2()7a b += ，2()3a b -=，22()()734a b a b ∴+--=-=，2222224a ab b a ab b ∴++-+-=，44ab ∴=，ab ∴的值为1，故答案为：①②；选择的两项为①③若选择①③，2()7a b += ，225a b +=，222()()752a b a b ∴+-+=-=，222222a ab b a b ∴++--=，22ab ∴=，ab ∴的值为1，故答案为：①③；选择的两项为②③，若选择②③，2()3a b -= ，225a b +=222()()352a b a b ∴--+=-=-，222222a ab b a b ∴-+--=-，22ab ∴-=-，ab ∴的值为1，故答案为：①②（答案不唯一）．【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．（2023春•兴化市月考）若5a b +=，3ab =，（1）求22a b +的值；（2）求a b -的值．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）5a b += ，3ab =，2()25a b ∴+=，22225a ab b ∴++=，2225225619a b ab ∴+=-=-=；（2）2219a b += ，3ab =，22213a b ab ∴+-=，2()13a b ∴-=，a b ∴-=【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．19．（2023春•吴江区期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了()(n a b n +为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．则10()a b +展开式中所有项的系数和是()A ．2048B ．1024C ．512D ．256【分析】根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出()(n a b n +为非负整数）展开式的项系数和为2n ，求出系数之和即可．【解答】解：当0n =时，展开式中所有项的系数和为012=，当1n =时，展开式中所有项的系数和为122=，当2n =时，展开式中所有项的系数和为242=，当3n =时，展开式中所有项的系数和为382=⋯由此可知()n a b +展开式的各项系数之和为2n ，则10()a b +展开式中所有项的系数和是1021024=，故选：B ．【点评】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．五．完全平方公式的几何背景（共5小题）20．（2023春•海州区期中）如图，两个正方形边长分别为a ，b ，已知7a b +=，9ab =，则阴影部分的面积为()A ．10B ．11C ．12D ．13【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a 的正方形面积减去边长为a 的等腰直角三角形面积，再减去边长为a b -和b 的直角三角形面积，即可得221()2a ab b -+，根据完全平方公式的变式应用可得21[()3]2a b ab +-，代入计算即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，()221122S a a a b b=---阴221()2a ab b =-+21[()3]2a b ab =+-，把7a b +=，9ab =代入上式，则()21739112S =⨯-⨯=阴．故选：B ．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．21．（2023春•沭阳县期末）如图，正方形中阴影部分的面积为()A ．2()a b -B ．22a b -C ．2()a b +D ．22a b +【分析】用代数式表示各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出答案．【解答】解：4S S S =-阴影部分大正方形三角形21()42a b ab=+-⨯22a b =+．故选：D ．【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键．22．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，通过计算正方形的面积，可以得到的公式是()A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b +-=-D ．2()a a b a ab-=+【分析】从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示各自的面积，再由面积之间的关系得出答案．【解答】解：这个正方形的边长为a b +，因此面积为2()a b +，组成这个正方形的四个部分的面积分别为2a ，ab ，ab ，2b ，因此有222()2a b a ab b +=++，故选：A ．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的前提．23．（2023春•建邺区校级期中）数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：图1是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完全相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式2()a b +，2()a b -，ab 写出这个等式．（2）运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且3mn =-，5m n -=，试求2()m n +的值．（3）如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形，设9AB =，两正方形的面积和1251S S +=，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）由图2中阴影部分面积的两种不同表示方法可得答案；（2）把3mn =-，5m n -=代入22()()4m n m n mn +=-+进行计算即可；（3）设CF m =，AC n =．则9m n +=，2251m n +=，可得22222()()95130mn m n m n =+-+=-=，再利用阴影部分的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1） 图中阴影部分的面积可表示为：2()4a b ab +-或2()a b -；即有：22()4()a b ab a b +-=-；∴答案为：22()4()a b ab a b +-=-；（2）3mn =- ，5m n -=，222()()451213m n m n mn ∴+=-+=-=．（3）设CF m =，AC n =．则9m n +=，2251m n +=，22222()()95130mn m n m n =+-+=-=，17.52ACF S mn ∆==，即阴影部分的面积为7.5．【点评】本题考查完全平方公式及变形的应用，解题的关键是用不同方法表达同一图形面积．24．（2023春•铜山区期中）图（1）是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：，②：；（用m 、n 表示）（2）观察图（2），请写出2()m n +、2()m n -、mn 之间的一个等量关系；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若7a b +=，6ab =，求a b -的值．【分析】（1）根据正方形的面积公式，可得方法一，根据面积的和差，可得方法二；（2）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案；（3）根据（3）中的等量关系，可得答案．【解答】解：（1）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．①：2()m n -；②：2()4m n mn +-；故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-；（2）观察图（2），2()m n +、2()m n -、mm 之间的一个等量关系：22()()4m n m n mn -=+-；故答案为：22()()4m n m n mn -=+-；（3）因为7a b +=，6ab =，所以22()()4a b a b ab-=+-2746=-⨯25=，所以a b -的值是5±．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．六．完全平方式（共3小题）25．（2023春•高邮市期末）下列各式中，为完全平方式的是()A ．2124a a ++B ．214a a ++C ．221x x --D ．22x xy y -+【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．【解答】解：2211()42a a a ++=+，故选：B ．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．26．（2023春•吴江区期中）若二次三项式214x mx ++为完全平方式，则m 的值为()A ．2±B ．2C ．1±D ．1【分析】根据完全平方公式即可求出m 的值，【解答】解：2211(24x x x ±=±+ ，1m ∴=±，故选：C ．【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．27．（2023春•高港区期中）若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是．【分析】根据216x mx ++是一个完全平方式，利用此式首末两项是x 和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和4积的2倍，进而求出m 的值即可．【解答】解：216x mx ++ 是一个完全平方式，2216(4)x mx x ∴++=±，2816x x =±+．8m ∴=±，故答案为：8±．【点评】此题主要考查的是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．七．平方差公式（共5小题）28．（2023春•睢宁县月考）下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是()A ．(37)(37)x y x y +-B ．(5)(5)m n n m --C ．(0.20.3)(0.20.3)x x ---+D ．(3)(3)n mn n mn ---【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．【解答】解：A 、C 、D 选项符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；B 选项两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选：B ．【点评】本题主要考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．29．（2023春•南京期中）若()()a b p q ++能运用平方差公式计算，则p ，q 满足的条件可能是()①p a =，q b =；②p a =，q b =-；③p a =-，q b =；④p a =-，q b =-．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【分析】根据平方差公式的特点进行选项．【解答】解：()()a b p q ++ 能运用平方差公式计算，p a ∴=，q b =-或p a =-，q b =，故选：C ．【点评】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．30．（2023春•工业园区校级月考）若2222(1)(1)35a b a b +++-=，则22(a b +=)A ．3B ．6C ．3±D ．6±【分析】根据平方差公式即可求解．【解答】解：2222(1)(1)35a b a b +++-= ，2222[()1][()1]35a b a b ∴+++-=，222()135a b +-=，222()36a b +=，220a b + ，226a b ∴+=，故选：B ．【点评】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键，运用了整体思想．31．（2023春•玄武区期中）两个连续偶数的平方差一定是()A ．3的倍数B ．4的倍数C ．5的倍数D ．6的倍数【分析】设两个连续的偶数分别是2n ，22n +，根据题意列出等式22(22)(2)844(21)n n n n +-=+=+，即可求解．【解答】解：设两个连续偶数为2n ，22n +，则22(22)(2)n n +-(222)(222)n n n n =+++-(42)2n =+⨯4(21)n =+，因为n 为整数，所以4(21)n +中的21n +是正奇数，所以4(21)n +是4的倍数，故两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．故选：B ．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单．32．（2023春•东海县期中）计算：2202420222023⨯-=．【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．【解答】解：原式2(20231)(20231)2023=+⨯--22202312023=--1=-．故答案为：1-．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．八．平方差公式的几何背景（共3小题）33．（2023春•泗阳县期中）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是()A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()a b a b -=-C ．2()b a b ab b -=-D ．2()ab b b a b -=-【分析】图甲的总面积是长为()a b +，宽为()a b -的大矩形的面积，可表示为：()()a b a b +-，图乙的总面积可以表示边长为a ，与边长为b 的正方形的面积差．【解答】解：22()()a b a b a b +-=-，故选：A ．【点评】考查平方差公式，正确理解平方差公式的几何背景是得出结果的前提．34．（2023春•工业园区期中）如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是()A ．22()()a b a b a b -=+-B ．2()a a b a ab -=-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．2()a a b a ab+=+【分析】根据阴影部分面积的两种不同的计算求解．【解答】解：第一个图中阴影部分的面积为：22a b -，第二个图形中的阴影部分的面积为：()()a b a b +-，故选：A ．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握矩形的面积公式是解题的关键．35．（2023春•建湖县期中）如图，点C 、D 、E 在同一直线上，大正方形ABCD 与小正方形DEFG 的面积之差是60，则由两个三角形(BCG ∆、)BEG ∆组成的阴影部分面积是()A ．60B ．50C ．40D ．30【分析】设大正方形ABCD 的边长为x ，小正方形DEFG 的边长为y ，则BG x y =-，然后表示出阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案．【解答】解：设大正方形ABCD 的边长为x ，小正方形DEFG 的边长为y ，则BG x y =-，根据题意得：2260x y -=，则阴影部分的面积为：1122BG CD BG DE ⋅+⋅11()()22x y x x y y =⨯-⋅+-⋅2211112222x xy xy y =-+-221()2x y =-1602=⨯30=故选：D ．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正方形的性质及三角形面积，关键是正确运用算式表示出阴影部分的面积．九．整式的除法（共3小题）36．（2021春•金坛区期中）计算：22x x ÷=2x ．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：222x x x ÷=．故答案为：2x ．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．37．（2022春•江阴市校级月考）计算：52(2)a a -÷=32；若25m =，26n =，则22m n +=．【分析】根据单项式除单项式和幂的乘方与积的乘方的法则分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：523(2)2a a -÷=-；22222256180m n m n +==⨯= ；故答案为：32-，180．【点评】此题考查了整式的除法，用到的知识点是同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，注意指数的变化情况．38．（2021春•邗江区月考）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -÷-=+；32(1)(1)1x x x x -÷-=++；432(1)(1)1x x x x x -÷-=+++；⋯⋯（1）5(1)(1)x x -÷-=4321x x x x ++++；（2）试写出一般情况下(1)(1)n x x -÷-=；（3）根据以上结果计算：236263122222++++⋯++．【分析】（1）直接利用已知中式子变化规律得出答案；（2）结合（1）中规律得出原式8(1)(21)x =-÷-，进而得出答案．【解答】解：（1）5432(1)(1)1x x x x x x -÷-=++++；故答案为：4321x x x x ++++；（2）12(1)(1)1(2n n n x x x x x n ---÷-=++⋯++ 且为正整数）；故答案为：121(2n n x x x n --++⋯++ 且为正整数）；（3）2362636464122222(21)(21)21++++⋯++=-÷-=-．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．十．整式的混合运算（共5小题）39．（2023春•镇江期中）化简：（1）4232()x x x ⋅--；（2）(23)(23)a b a b +-++．【分析】（1）先计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再合并同类项即可；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）4232()x x x ⋅--66x x =-0=；（2）(23)(23)a b a b +-++2(2)9a b =+-22449a ab b =++-．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．40．（2022春•高新区期中）计算：（1）234()(2)(23)a a a a -÷++-．（2）(325)(325)a b a b +--+【分析】（1）先算幂的乘方，多项式乘多项式，再算除法，最后合并同类项即可；（2）可利用平方差公式及完全平方公式对所求的式子进行运算即可．【解答】解：（1）234()(2)(23)a a a a -÷++-6422346a a a a a =-÷+-+-222346a a a a =-+-+-26a a =+-；（2）(325)(325)a b a b +--+[3(25)][3(25)]a b a b =+---22(3)(25)a b =--229(42025)a b b =--+22942025a b b =-+-．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．41．（2023春•鼓楼区校级期中）计算：（1）2423()a a a ⋅+-；（2）2(2)(2)(23)a b a b a b +--+．【分析】（1）根据同底数幂的乘法以及积的乘方进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．【解答】解：（1）2423()a a a ⋅+-66a a =-0=；（2）2(2)(2)(23)a b a b a b +--+222244129a b a ab b =----21012b ab =--．【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及积的乘方，平方差公式以及完全平方公式，熟练掌握以上运算法则与乘法公式是解题的关键．42．（2023春•高港区期中）对于任意有理数a 、b 、c 、d ，我们规定符号(a ，)*(b c ，)1d ab cd =-+，例如：(1，3)*(2，4)134214=⨯-⨯+=-．（1）求(4，3)*(2-，5)的值；（2）若(1m =-，2)*(2a ，1)a -，(21n a =--，23)*(2a a -，2)．①若2210a a +-=，求m 的值；②判断m 、n 的大小，并说明理由．【分析】（1）根据规定符号运算即可；（2）①根据规定符号运算后，整体代入求值即可；②做差法进行比较即可．【解答】解：（1）根据规定符号运算得：(4，3)*(2-，5)43(2)511210123=⨯--⨯+=++=；（2）①2210a a +-= ，221a a ∴+=．(1m =-，2)*(2a ，2221)2(1)123(2)3132a a a a a a a -=---+=--+=-++=-+=，2m =；②(21n a =--，23)*(2a a -，2222)3(21)2(2)163241222a a a a a a a a =----+=---++=--+，2222223(222)2322210m n a a a a a a a a a -=--+---+=--+++-=+>，m n ∴>．【点评】本题考查了整式的混合运算，准确运用符号规定运算是解答本题的关键．43．（2023春•玄武区校级期中）如图，一个长和宽分别为2x y +，2x y +的长方形中剪下两个大小相同的边长为y 的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T ”型的图形（阴影部分）．（1）用含x ，y 的式子表示“T ”型图形的面积并化简；（2）若2|3|(2)0y x -+-=，请计算“T ”型区域的面积．【分析】（1）根据“T ”型图形的面积等于大长方形的面积减去2个正方形的面积列出代数式，根据多项式的乘法进行计算化简即可；（2）根据非负数的性质求得x ，y 的值，代入（1）中化简结果进行计算即可．【解答】解：（1）由图可得，“T ”型区域的面积为：2(2)(2)2x y x y y ++-2222422x xy xy y y =+++-225x xy =+；（2）2|3|(2)0y x -+-= 30y ∴-=，20x -=，解得3y =，2x =．225T x xy∴=+222523=⨯+⨯⨯24523=⨯+⨯⨯830=+38=，答：“T ”型区域的面积是38．【点评】本题考查整式的混合运算、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．十一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）44．（2023春•东海县期中）先化简，再求值：2(2)()()2m n m n m n mn ---++，其中12m =-，2n =．【分析】先展开，再合并同类项，化简后将m ，n 的值代入计算即可．【解答】解：原式222244()2m mn n m n mn=-+--+2222442m mn n m n mn=-+-++252n mn =-，当12m =-，2n =时，原式215(2)2()22=⨯--⨯-⨯542=⨯+202=+22=．【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．45．（2023春•高港区期中）先化简，再求值：2(21)2(2)x x x ---，其中2x =-．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式以及合并同类项法则把原式化简，把x 的值代入计算即可．【解答】解：原式2222(44)x x x x =---+222288x x x x =--+-78x =-，当2x =-时，原式7(2)822=⨯--=-．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式以及合并同类项法则是解题的关键．46．（2023春•建邺区校级期中）先化简，再求值：2(23)(23)(54)(1)x x x x x +-----，其中2x =-．【分析】根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将2x =-代入化简后的式子求值即可．【解答】解：2(23)(23)(54)(1)x x x x x +-----222495421x x x x x =--+-+-22610x x =-+-．当2x =-时，原式22(2)6(2)1030=-⨯-+⨯--=-．【点评】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解题关键．47．（2023春•吴江区期中）化简求值：22(2)(3)5()a b a b a a b +--+-，其中715a =，314b =．【分析】原式前两项利用完全平方公式展开，最后一项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a 与b 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式22222449655a ab b a ab b a ab=++-+-+-5ab =，当715a =，314b =时，原式731515142=⨯⨯=．【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．十二．因式分解的意义（共3小题）48．（2023春•东海县期中）下列变形是因式分解的是()A ．269(6)9x x x x ++=++B ．22(2)24x x x x +=+C ．2()x xy x x x y ++=+D ．223(3)(1)x x x x --=-+【分析】因式分解就是将一个多项式化为几个整式积的形式，据此进行判断即可．【解答】解：A ．等号右边不是积的形式，不符合因式分解的定义，则A 不符合题意；B ．该式是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，则B 不符合题意；C ．该式的左右两边不相等，不符合因式分解的定义，则C 不符合题意；D ．该式符合因式分解的定义，则D 符合题意；故选：D ．【点评】本题考查因式分解的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．49．（2023春•新吴区期中）已知在216()()x mx x a x b +-=++中，a ，b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 值的个数有()A ．4个B ．5个C ．8个D ．10个【分析】1611628444(4)2(8)1(16)a b -=-⨯=-⨯=-⨯=⨯-=⨯-=⨯-=⨯，m a b =+，m 的取值有五种可能．【解答】解：1611628444(4)2(8)1(16)a b -=-⨯=-⨯=-⨯=⨯-=⨯-=⨯-=⨯ ，116m a b ∴=+=-+或28-+或44-+或4(4)+-或2(8)+-或1(16)+-，即15m =±或6±或0．则m 的可能值的个数为5，故选：B ．【点评】本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键．50．（2023春•南京期末）若多项式3228x ax bx ++-有两个因式1x +和2x -，则a b +的值为6-．【分析】根据题意，可得3228(1)(2)(2)(x ax bx x x x k k ++-=+-+为任意实数），再根据多项式乘多项式的乘法法则，求出a 与b ，进一步求得a b +．【解答】解：由题意知：3228(1)(2)(2)(x ax bx x x x k k ++-=+-+为任意实数）．32228(2)(2)x ax bx x x x k ∴++-=--+．3232282(2)(4)2x ax bx x k x k x k ∴++-=+-+---．2k a ∴-=，4k b --=，28k -=-．4k ∴=．2a ∴=，8b =-．286a b ∴+=-=-．故答案为：6-．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键．十三．因式分解-提公因式法（共1小题）51．（2023春•淮安期末）多项式32339a b a bc +分解因式时，应提取的公因式是()A ．323a bB ．329a b cC ．333a bD ．33a b 【分析】公因式的找法：多项式各项系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一项中出现的字母不能作为公因式的因式，判断即可．【解答】解：多项式32339a b a bc +分解因式时，应提取的公因式是33a b ．故选：D ．【点评】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．十四．因式分解-运用公式法（共2小题）52．（2024•裕华区校级开学）若3a b +=，13a b -=，则22a b -的值为()A ．1B ．83C ．103D ．9【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可．【解答】解：3a b += ，13a b -=，221313a b ∴-=⨯=．故选：A ．【点评】此题主要考查了运用公式分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．。
七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题练习题(含答案)100
七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题练习题(含答案)100一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．（1）计算并观察下列各式：________；________；________；（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格.________；（3）利用该规律计算： .2．某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________.（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式.如果不能，请说明理由.3．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为________．（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为________．（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=________．4．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如， ···，因此都是奇巧数.（1）是奇巧数吗？为什么？（2）奇巧数是的倍数吗？为什么？5．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形。
七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题训练经典题目(附答案)50
七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题训练经典题目(附答案)50一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．（1）计算并观察下列各式：________；________；________；（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格.________；（3）利用该规律计算： .2．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2=－1，这个数i叫做虚数单位.那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如计算：（2+i）+（3-4i）=5－3i.（1）填空：i3=________，i4="________"；（2）计算：① ；② ；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）+3i=（1－x）－yi，（x，y为实数），求x，y的值.（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式3．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 .例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出的两种不同形式的配方；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.4．若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数.例如：0＝02， 1＝12， 4＝22， 9＝32， 16＝42， 25＝52， 36＝62， 121＝112…. （1）若28+210+2n是完全平方数，求n的值.（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写出所有符合的正整数.5．有一个边长为m+3的正方形，先将这个正方形两邻边长分别增加1和减少1，得到的长方形①的面积为S1.（1）试探究该正方形的面积S与S1的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；（2）再将这个正方形两邻边长分别增加4和减少2，得到的长方形②的面积为S2.①试比较S1， S2的大小；②当m为正整数时，若某个图形的面积介于S1， S2之间（不包括S1， S2）且面积为整数，这样的整数值有且只有16个，求m的值.6．效学活动课上老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B 种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B 种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：________，方法2：________；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2， a2+b2， ab之间的等量关系________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；②已知（2019-a）2+（a-2018）2=5，求（2019-a）（a-2018）的值．7．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．（1）填空：（3i﹣2）（3+i）＝________；（1+2i）3（1﹣2i）3＝________；（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）a的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）的值．8．提出问题：“周长一定的长方形，当邻边长度满足什么条件时面积最大？”探究发现：如图所示，小敏用4个完全相同的、邻边长度分别为a、b的长方形拼成一个边长为（a+b）的正方形（其中a、b的和不变，但a、b的数值及两者的大小关系都可以变化）.仔细观察拼图，我们发现，如果右图中间有空白图形F，那么它一定是正方形（1）空白图形F的边长为________；（2）通过计算左右两个图形的面积，我们发现（a+b）2、（a﹣b）2和ab之间存在一个等量关系式.①这个关系式是________；②已知数x、y满足：x+y＝6，xy＝，则x﹣y＝________；问题解决：问题：“周长一定的长方形，当邻边长度满足什么条件时面积最大？”①对于周长一定的长方形，设周长是20，则长a和宽b的和是________面积S＝ab的最大值为________，此时a、b的关系是________；②对于周长为L的长方形，面积的最大值为________.活动经验：周长一定的长方形，当邻边长度a、b满足________时面积最大.9．已知A=2 a -7，B=a2- 4a+3，C= a2 +6a-28，其中．（1）求证：B-A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）阅读对B因式分解的方法：解：B=a2- 4a+3=a2- 4a+4-1=（a-2）2-1=（a-2+1）（a-2-1）=（a-1）（a-3）.请完成下面的两个问题：①仿照上述方法分解因式：x2- 4x-96；②指出A与C哪个大？并说明你的理由．10．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=________．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．11．阅读理解.因为，①因为②所以由①得：，由②得：所以试根据上面公式的变形解答下列问题：（1）已知，则下列等式成立的是（）① ；② ；③ ；④ ；A.①B.①②C.①②③D.①②③④；（2）已知，求下列代数式的值：① ；② ；③ .12．现有若干张如图1所示的正方形纸片A，B和长方形纸片C．（1）小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形，通过用两种不同的方法计算新正方形面积，由此，他得到了一个等式：________；（2）小王再取其中的若干张纸片（三种纸片都要取到）拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形，则n可取的正整数值是________，并请你在图3位置画出拼成的长方形________；（3）根据拼图经验，请将多项式a2+5ab+4b2分解因式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．（1）；；（2）（3）解：＝＝ .【解析】【解答】（1）（x-1）（x+1）=x2+x-x-1=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1；解析：（1）；；（2）（3）解：＝＝.【解析】【解答】（1）（x-1）（x+1）=x2+x-x-1=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4+x3+x2+x-x3--x2-x-1=x4-1；故答案为：x2-1，x3-1，x4-1.【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把它们的积相加，可得结果。