圆锥曲线的内切圆专题
圆锥曲线与圆有关的专题（打印版）
圆锥曲线与圆有关的专题（打印版）专题六圆锥曲线与圆有关的专题【知识回顾】一. 园的性质圆的性质在平面解析几何中有广泛而灵活的应用，运用好圆的性质，不仅能免去解几中冗长的运算，还能充分地感受到平面几何的魅力。
1、圆心角定理、圆周角定理、弦切角定理； 2、垂径分弦定理、射影定理； 3、三角形内切圆和外接圆的性质； 4、圆的内接四边形的性质；5、圆幂定理（相交弦定理，割线定理，切割线定理，切线长定理）.6、圆的切线性质. 二、常见题型1、利用圆的性质求解（或证明）角的大小、弦长、最值等。
2、判定或证明四点共圆：方法1：用定义；方法2：若四边形的对角互补，则四边形的四顶点共圆；方法3：若四边形的外角等于它的内对角，则四边形的四个顶点共圆. 方法4：证明四点的坐标都满足同一个圆的方程。
【例题】一、关于四点共圆说明理由。
四点在同一个圆上？并，使得的）试判断是否存在这样（的方程；的取值范围，并求直线）确定（两点。
交于的垂直平分线与椭圆相的中点，线段是线段上的两点，点是椭圆、设例D ,C ,B ,A 2AB 1D ,C AB AB )3,1(N y 3x B ,A 122λλλ=+.03.A ACD ,,,A 2D 12,2CD 2321,22324CD AB 12.)12(2AB ,)3(2CD ),23,21(,044402y -x :CD ,CD ,AB CD ),,M(x CD 1)2(.04y x AB .120,1k ,3)1x (k y AB 122222200200=?=>∴=-=?=+==∴=-+=<>-=-=-=-++=+=-+>>?-=+-=AD AC DN CN AN D C B C B A AB d MB MA y x d AB M M x x y ：利用解法为直角为直角三角形，共圆：解法四点共圆。
、、、时，当）（的距离为到点。
时，因为当同理得求得与椭圆方程联立得由圆直径为所以若四点共圆，则此的垂直平分因为的中点为：（用定义）设解法方程为直线得由程，由中点公式得代入椭圆方程得二次方方程为）设解：（λλλλλλλ.D ,C ,B ,A 12,t t t t ,ND NC NB NA D ,C ,B ,A ,ND t ,NC t ,NB t ,NA t tsin453y tcos451x CD ,tsin1353y tcos1351x AB 443214321四点共圆时易证此式成立，即即四点共圆，则若组根，分别与椭圆联立得到两方程为方程为设圆幂定理则非常简单。
圆锥曲线内切圆专题
.圆锥曲线切圆专题1、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方，（1）求直线l 与x 轴交点的横坐标0x 的取值围； （2）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条直线上．2、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方（1）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条定直线上； （2）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．.3、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B（a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P 、Q 两点，求△PQF1的切圆半径r 的最大值4、已知圆C 过点P （1，1）且与圆M ：222)2()2(r y x =+++（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P （1，1）在直线l 的左上方． （1）求圆C 的方程．（2）证明：△PAB 的切圆的圆心在定直线x=1上． （3）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C和点B关于y轴对称．（1）求△ABC切圆的半径；（2）过O、A两点作⊙M，分别交直线AB、AC于点D、E，求证：AD+AE是定值，并求其值．6、已知椭圆122222=+tytx，圆C：222)2(ttyx=-+（t＞0），过椭圆右焦点F2作圆C切线，切点为A，B（1）当t=1时，求切线方程（2）无论t怎样变化，求证切点A，B分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．..7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QR AF P 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C . ①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．8、如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X 轴上的椭圆G 的离心率为e =A （-4,0），圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的接ABC ∆的切圆.(Ⅰ) 求椭圆G 的方程； (Ⅱ) 求圆O '的半径r ；（Ⅲ）过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆O '的位置关系，并证明.o '.1、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方，（1）求直线l 与x 轴交点的横坐标0x 的取值围； （2）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条直线上．2、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方（1）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条定直线上； （2）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．.3、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B（a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P 、Q 两点，求△PQF1的切圆半径r 的最大值4、已知圆C 过点P （1，1）且与圆M ：222)2()2(r y x =+++（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P （1，1）在直线l 的左上方． （1）求圆C 的方程．（2）证明：△PAB 的切圆的圆心在定直线x=1上． （3）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．.5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，点C 和点B 关于y 轴对称． （1）求△ABC 切圆的半径；（2）过O 、A 两点作⊙M ，分别交直线AB 、AC 于点D 、E ，求证：AD+AE 是定值，并求其值．6、已知椭圆122222=+ty t x ，圆C ：222)2(t t y x =-+（t ＞0），过椭圆右焦点F2作圆C 切线，切点为A ，B （1）当t=1时，求切线方程（2）无论t 怎样变化，求证切点A ，B 分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1，2，，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程；..(2)过点Q 作直线1QR AF P 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C . ①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上； ②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．解:(Ⅰ)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>, 当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3 ---3分而2216a b -=,所以225a =，故椭圆的标准方程为221204x y +=---5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+, 所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --,再由1QR AF P ,得(4,0)R t - ---8分 则线段1F R 的中垂线方程为2tx =-, 线段1PF 的中垂线方程为151628t y x -=-+,由1516282t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t -- 经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --, 再由1QR AF P ,得(4,0)R t - 设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则2222(4)(4)0(4)4088()022t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D t E t F t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩所以圆心坐标为7(,2)28t t--,经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上 ②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-=第20题P AR OF 1Qx y F 2.该方程可整理为227(216)(4)04x y y t x y ++-+-+=,则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或40x y =-⎧⎨=⎩, 所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432(,)1313(Ⅱ)设B02,r y +（），过圆心o '作O D AB '⊥于D ,BC 交长轴于H由O D HBAD AH '=06y r =+,即 0y =而点B 02,r y +（）在椭圆上,2220(2)124(2)(6)1161616r r r r r y +---+=-==- (2)- 由(1)、 (2)式得2158120r r +-=,解得23r =或65r =-（舍去）(2) 直线EF 与圆O '的相切设过点M(0,1)与圆224(2)9x y -+=相切的直线方程为:1y kx -=(3)则23=即2323650k k ++= (4) 解得12991616k k --== 将(3)代入22116x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161kx k =-+----------------------13分设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则121222123232,161161k k x x k k =-=-++ 则直线FE 的斜率为：221112211231164EF k x k x k k k x x k k -+===--于是直线FE 的方程为:2112211323231()1614161kk y x k k +-=+++ 即3743y x =- 则圆心(2,0)到直线FE 的距离23d ==故结论成立..。
(完整版)解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题(3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4)圆锥曲线的有关最值（范围)问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知---—-—--这类问题一般可用待定系数法解决. 2．曲线的形状未知-———-求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1〉r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法"，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，弦AB 中点为M （x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法,具体有：(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0，y 0），则有02020=+k b y a x 。
圆锥曲线内切圆专题
. z.1，2，，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .. z.(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？假设过，求出该点的坐标；假设不过，请说明理由．8、如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在*轴上的椭圆G 的离心率为154e =，左顶点A 〔-4,0〕，圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的接ABC ∆的切圆. (Ⅰ) 求椭圆G 的方程； (Ⅱ) 求圆O '的半径r ；〔Ⅲ〕过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆O '的位置关系，并证明.1、椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 〔23，2〕在直线l 的上方，〔1〕求直线l 与x 轴交点的横坐标0x 的取值围； 〔2〕证明：△PAB 的切圆的圆心在一条直线上．2、椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 〔23，2〕在直线l 的上方〔1〕证明：△PAB 的切圆的圆心在一条定直线上； 〔2〕假设∠APB=60°，求△PAB 的面积． 3、椭圆12222=+by a x 〔a ＞b ＞0〕的离心率36=e ，过点A 〔0，-b 〕和B 〔a ，0〕的直线与原点的距离为23 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P 、Q 两点，求△PQF1的切圆半径r 的最大值4、圆C 过点P 〔1，1〕且与圆M ：222)2()2(r y x =+++〔r ＞0〕关于直线*+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P 〔1，1〕第7题P AR OF 1Q *y F 2 xy ABCMEF. z.在直线l 的左上方． 〔1〕求圆C 的方程．〔2〕证明：△PAB 的切圆的圆心在定直线*=1上． 〔3〕假设∠APB=60°，求△PAB 的面积．5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=*+1与y 轴交于点A ，与*轴交于点B ，点C 和点B 关于y 轴对称． 〔1〕求△ABC 切圆的半径；〔2〕过O 、A 两点作⊙M ，分别交直线AB 、AC 于点D 、E ，求证：AD+AE 是定值，并求其值．6、椭圆122222=+t yt x ，圆C ：222)2(t t y x =-+〔t ＞0〕，过椭圆右焦点F2作圆C 切线，切点为A ，B 〔1〕当t=1时，求切线方程〔2〕无论t 怎样变化，求证切点A ，B 分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程；(2)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上； ②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？假设过，求出该点的坐标；假设不过，请说明理由． 解:(Ⅰ)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>, 当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3 ---3分而2216a b -=,所以225a =，故椭圆的标准方程为221204x y +=---5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+, 所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --,再由1QR AF ,得(4,0)R t ----8分则线段1F R 的中垂线方程为2tx =-, 线段1PF 的中垂线方程为151628t y x -=-+,第20题PAR OF 1Q *y F 2. z.由1516282t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t -- 经历证,该圆心在定直线7480x y ++=上解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --, 再由1QR AF ,得(4,0)R t -设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则2222(4)(4)0(4)4088()022t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D tE tF t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩ 所以圆心坐标为7(,2)28t t--,经历证,该圆心在定直线7480x y ++=上②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-=该方程可整理为227(216)(4)04x y y t x y ++-+-+=, 则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或40x y =-⎧⎨=⎩, 所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432(,)13138.解： (Ⅰ) c e a ==，4a =得1c b ==，椭圆G 方程为22116x y +=(Ⅱ)设B 02,r y +（），过圆心o '作O D AB '⊥于D ,BC 交长轴于H由O D HBAD AH '=06y r =+,即0y = (1) 而点B 02,r y +（）在椭圆上,2220(2)124(2)(6)1161616r r r r r y +---+=-==- (2)- 由(1)、 (2)式得2158120r r +-=,解得23r =或65r =-〔舍去〕 (2) 直线EF 与圆O '的相切设过点M(0,1)与圆224(2)9x y -+=相切的直线方程为:1y kx -= (3)则23=即2323650k k ++= (4). z.解得12991616k k -+--== 将(3)代入22116x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161kx k =-+----------------------13分 设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则121222123232,161161k k x x k k =-=-++ 则直线FE 的斜率为：221112*********EF k x k x k k k x x k k -+===--于是直线FE 的方程为:2112211323231()1614161k k y x k k +-=+++即3743y x =- 则圆心(2,0)到直线FE的距离23d ==故结论成立.。
专题9-1 圆锥曲线(选填)(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型
【答案】1 【详解】 抛物线 y2 8x ，
抛物线的准线为 x 2 ，焦点 F 2，0 ，
过点 P 作直线 l 的垂线交于点 C ，如图所示：
由抛物线的定义可知，| PF || PB || PA | p ， 2
则| PA || PF | p | PF | 2 ， 2
d | x0 || PC | | PF | 2, 当 F ， P ， C 三点共线时， | PC | | PF |取得最小值，即 d | x0 | 取得最小值， F (2, 0),
专题 9-1 圆锥曲线（选填）
目录 专题 9-1 圆锥曲线（选填） ................................................................................................................... 1
B． x2 y2 1
32 36
C． x2 y2 1 95
【答案】C 【详解】根据题意，作图如下：
D． x2 y2 1 59
易知 NM NQ ，则 NP NM 6 ，即 NP NQ 6 PQ 4 ，
故点 N 的轨迹是以 P,Q 为焦点且长轴长为 6 的椭圆，
设其方程为 x2 a2
③抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （其中定点 F 不在定直线 l 上）的距 离相等的点({M || MF | d} )的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做
抛物线的准线．
【变式演练】
1．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线
x2 9
y2 16
整理得 x2 2ax 2b2 0 ，
由于点 M 在第一象限， x a a2 2b2 ，
专题50 圆锥曲线(多选题部分)(解析版)
专题50 圆锥曲线（多选题部分）一、题型选讲题型一 、圆锥曲线定义与性质的考查例1、（202年山东卷）已知曲线22:1C mx ny +=（ ） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =，为两条直线，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n<<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确.例2、已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点 D．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为3y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确； 对于B ：由23a =，21b =，得2c =，∴双曲线C=，故B 错误； 对于C ：取20x +=，得2x =-，0y =，曲线21x y e +=-过定点(2,0)-，故C 正确；对于D ：双曲线的渐近线0x ±=，直线10x --=与双曲线的渐近线平行，直线10x -=与C 有1个公共点，故D 不正确．故选：AC ．例3、（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】ABCD【解析】由双曲线的定义知：， 由，在中，由余弦定理可得：，22221(0,0)x y a b a b-=>>12,,F F P122PF PF =12sin 4F PF ∠=,,,a b c e e =2e =b =b =12212,4PF PF PF a PF a -==∴=12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±12PF F △222416412244a a c a a +-=±⨯⨯解得或，， 或，又， 可得或故选：ABCD例4、已知双曲线，若的离心率最小，则此时（ ）A．BC ．双曲线的一个焦点坐标为D【答案】AB【解析】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲，故A ，B 正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C 错误；焦点，故D 错误.故选：AB ．题型二圆锥曲线的综合性问题例5、的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，12,A A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）224c a =226c a=2ce a∴==2c a ∴=c =222c a b =+b =b =()222:104x y C m m m m -=>-+C 2m =0y ±=)0m >C x 2a m =224b m m =-+224c m =+c e a =222244c m e m a m m+===+0m >244e m m =+≥=4m m=2m =C 22a =26b =28c =0y ±=±()0y +=2==A ．2112212A F F A F F ⋅= B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A BD ．四边形221AB A B 的内切圆过焦点1F ，2F【答案】BD【详解】∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>∴121212(,0),,0),(0,),(0,),(,0),(,)(0A a A a B b B b F c F c ---对于A ，若2112212A F F A F F ⋅=，则22()(2)a c c -=，∴2a c c -=，∴13e =，不满足条件，故A 不符合条件；对于B ，11290F B A ︒∠=，∴222211112A F B F B A =+ ∴2222()a c a a b +=++，∴220c ac a +-= ∴210e e +-=，解得e =e =，故B 符合条件； 对于C ，1PF x ⊥轴，且21//PO A B ，∴2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵21PO A B k k =∴2b c ab a =--，解得 ∵，∴b c =222a b c =+a =∴，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为c，∴∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件．例6、已知椭圆()22:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F且122F F=，点()1,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP+的最小值为1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为⎛⎝⎭D．若11PF FQ=，则椭圆C【答案】ACD【详解】A.因为12||2F F，所以22(1,0),||1F PF=，所以122||||||||||1QF QP QF QP PF+=+≥=，当2,,Q F P，三点共线时，取等号，故正确；B．若椭圆C的短轴长为2，则1,2b a==，所以椭圆方程为22121x y+=，11121+>，则点P在椭圆外，故错误；C．因为点(1,1)P在椭圆内部，所以111a b+<，又1a b-=，所以1b a=-，所以1111+<-a a，即2310a a-+>，解得236(1244a+++>==，12+>，所以12=<e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故正确；2cea===1221A B A B12,F F1221A B A B ab=422430c a c a-+=42310e e-+=235e+=235e-=51e-=D ．若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以(3,1)Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得a ====，所以椭圆C，故正确．例7、（2020·山东高三开学考试）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（ ）A ．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于B ．若在双曲线的右支，则最短长度为C ．的最短长度为D ．满足的直线有4条 【答案】BD【解析】易知双曲线的右焦点为，设点、，设直线的方程为， 当时，直线的斜率为， 联立，消去并整理得. 则，解得. 对于A 选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，，B 选项正确； 对于C 选项，当直线与轴重合时，，C 选项错误； 对于D 选项，当直线与轴重合时，； 当直线与轴不重合时，由韦达定理得，， 22:1916x y C -=F l A B A B l 43A FA 2AB 32311AB =C ()5,0F ()11,A x y ()22,B x y l 5x my =+0m ≠l 1k m=225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩x ()221691602560m y my -++=()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩34m ≠0m =l x ⊥A B l min 532F c a A =-=-=l x 32263AB a ==<l x 2611AB a ==≠l x 122160169m y y m +=--122256169y y m =-由弦长公式可得，解得或.故满足的直线有条，D 选项正确. 故选：BD.例8、（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．的最小值为B ．椭圆的短轴长可能为2C ．椭圆的离心率的取值范围为D ．若，则椭圆【答案】ACD【解析】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；()2122961169m AB y y m +=-==-()226161611169m m +==-4m =±m =11AB =4()22:10x y C a b a b+=>>1F 2F 122F F =()1,1P Q 1QF QP +21a -C C ⎛ ⎝⎭11PF FQ =C 122F F =()221,0,1=F PF 1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a 2,,Q F P C 1,2b a ==22121x y +=11121+>P ()1,1P 111a b+<1a b -=1b a =-1111+<-a a 2310a a -+>(2136244++>==a >12=<e C 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以椭圆的，故正确.故选：ACD例9、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确； 若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，11PF FQ =1F PQ ()3,1Q --911+=a b1a b -=21190-+=a a 21122244++===a =C这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．二、达标训练1、（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等【答案】CD【解析】双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．双曲线，即：，它的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10． 所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等． 故选：．2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；221:1916x y C -=222:1916y x C -=-221:1916x y C -=(3,0)430x y ±=53222:1916y x C -=-221169x y -=(4,0)±340±=x y 54CDB 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =C ．2BD BF =D ．4BF =【答案】ABC 【解析】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 【答案】BC【解析】2216x y += a ∴=，1b =c ∴===C 的焦距为c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ =. 故选：BC .6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC7、（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ） A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线仅有1条【答案】AC【解析】设点，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A 正确；又离心率，故B 不正确； 圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C 正确；直线与曲线的方程联立整理得，设， ，且，xOy P ()1F)2F 13P E l ()2y k x =-E A B E 221(3x y x -=≠E E ()2221x y -+=AB =l (),P xy 13=2213x y -=P E 221(3x y x -=≠e ==()2221x y -+=()20，E y x =1d ==()2221x y -+=l E ()2221(3y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩()222213+121230k x x k k ---=()()1122,,A B x y x y ，()()()224214441312312+1>0kk kk ∆=----=2130k -≠有，所以， 要满足，则需或或，当,此时，而曲线E 上，所以满足条件的直线有两条，故D 不正确，故选：AC .2122221212123+,1313x xx k x kk k ---==--)221+13k AB k===-AB =)221+13k k=-0k =1k =1k =-0k =)()AB ，x ≠。
素养视域下圆锥曲线的内切圆问题探究与反思——以2021年全国甲卷理科第20题圆锥曲线问题为例
素养视域下圆锥曲线的内切圆问题探究与反思——以2021年全国甲卷理科第20题圆锥曲线问题为例引言圆锥曲线作为高中数学中的重要内容，是培养学生数学素养和解决实际问题的重要手段之一。
2021年全国甲卷理科第20题是一道关于圆锥曲线的问题，要求研究曲线y=2x^2-16lnx与直线y=kx+k+4之间的内切圆。
本文通过对这道题目的分析与研究，旨在探究素养视域下圆锥曲线的内切圆问题，并对问题的解决方法与数学思维进行反思。
一、题目分析题目给定的曲线为y=2x^2-16lnx，直线为y=kx+k+4，要求求出曲线和直线之间的内切圆。
首先，我们需要明确内切圆的定义：内切圆是指一个圆与某个几何体的内表面，且该圆与几何体的内表面只有一个公共点。
在这道题目中，内切圆应该与曲线和直线的交点只有一个。
二、求解过程1. 求曲线和直线的交点首先，我们需要求出曲线y=2x^2-16lnx与直线y=kx+k+4的交点。
设交点坐标为(x0, y0)，代入曲线和直线的方程，得到方程组：2x0^2-16ln(x0)=kx0+k+4联立以上方程并化简，可得：2x0^2-(k+16)ln(x0)-kx0-(k+4)=0这是一个二元一次方程，我们可以通过求解此方程找到交点坐标(x0, y0)。
2. 求内切圆的半径和圆心求得交点坐标之后，我们可以将其代入曲线的方程，得到曲线在交点处的切线方程。
由于切线与曲线相切，所以切线也是直线y=kx+k+4。
因此，在交点处，曲线和切线的斜率应该相等。
根据导数的定义，我们可以求出曲线在交点处的斜率为2x0-16/x0。
联立切线的斜率等于曲线的斜率，即：2x0-16/x0=k解上述方程，即可求解出交点坐标的x0值。
将x0代入曲线的方程，就可以求出y0的值。
此时，交点坐标为(x0, y0)。
因为内切圆与直线相切，所以内切圆的圆心坐标应该是(x0, y0)。
又因为内切圆与曲线相切，所以内切圆的半径r可以通过计算两者斜率的差值倒数得到，即：r=1/|2x0-16/x0|三、数学思维的反思通过对上述题目的解析和求解过程的分析，我们可以看到解决这道问题需要运用到数学的多个知识点，并且需要进行数学思维的灵活运用。
利用圆锥曲线的定义解几类动圆圆心的轨迹问题
利用圆锥曲线的定义解几类动圆圆心的轨迹问题圆锥曲线是一种由圆半径和圆心构成的曲线，具有某种几何形态和特殊几何表示。
圆锥曲线可以被用来解决各种动圆圆心轨迹问题。
这里将介绍几类动圆圆心的轨迹问题，并使用圆锥曲线来解决它们。
首先是直线动圆法。
这是一种典型的动圆问题，要求圆心运动在一条水平线。
可以使用两个数值来确定运动轨迹：圆心的x轴坐标和圆心的起始位置。
为实现这一动圆问题，可以使用参数方程的表示形式：X=X0+At，其中A是一个常数，X0是起始位置，而t则表示时间。
该参数方程表示圆心的x轴坐标随时间的增大而恒定增加的过程。
当x距离初始位置X0的距离超过圆的半径时，其轨迹会呈现侧锥曲线，这正是圆锥曲线的表示形式。
其次是圆周动圆法。
在这种情形下，圆心沿着圆圆心运动，要求圆心坐标随时间恒定变换。
由于圆是零自由度的共振系统，所以，可以使用三个参数表示这一动圆问题的运动轨迹，即X=X0+rCos（ωt+φ），其中X0是起始位置，r表示圆的半径，ω表示圆心的角速度，而φ表示起始角度。
由此可见，当x距离初始位置X0的距离超过圆的半径时，其轨迹也会呈现侧锥曲线，即圆锥曲线。
最后是旋转动圆法。
在这种情形下，圆心沿着圆圆心运动，要求圆心坐标随时间恒定旋转变换。
该动圆问题也可以使用参数方程的表示形式： X=X0+rCos（αt+β），其中X0是起始位置，r表示圆的半径，α表示圆心的角加速度，而β表示起始角度；当x距离初始位置X0的距离超过圆的半径时，其轨迹也会呈现侧锥曲线，即圆锥曲线。
以上就是几类动圆圆心轨迹问题的解决方案，也是通过圆锥曲线实现这一解决方案的过程。
圆锥曲线是一种具有某种几何形态和特殊几何表示的曲线，它可以被用来解决各种动圆圆心轨迹问题，比如直线动圆法、圆周动圆法和旋转动圆法，这是通过使用坐标变换方法和参数方程进行解答的。
因此，圆锥曲线是一种非常有效的解决动圆问题的方法，能够较好的描述和表示不同形态的动圆问题。
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7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .
(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QR
AF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .
①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；
②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
8、如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X 轴上的椭圆G 的离心率为
e =
A （-4,0），圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的内接ABC ∆的内切圆.
(Ⅰ) 求椭圆G 的方程； (Ⅱ) 求圆O '的半径r ；
（Ⅲ）过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆O '的位置关系，并证明.
o '
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(x+
4、已知圆C过点P（1，1）且与圆M：)2
直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l与圆C
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7、如图，在平面直角坐标系中，已知1，2，，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .
(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程；
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(2)过点Q 作直线1QR
AF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .
①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；
②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为
22
221(0)x y a b a b
+=>>, 当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3 ---3分
而2
2
16a b -=,所以2
25a =，故椭圆的标准方程为
22
1204x y +=
---5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+, 所以可得88(
,),(,)22
t t
P t Q t --,再由1QR AF ,得(4,0)R t - ---8分
则线段1F R 的中垂线方程为2
t
x =-
, 线段1PF 的中垂线方程为151628
t y x -=-+,
由1516282
t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩,解得1
PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t -- 经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上
解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得
88(
,),(,)22
t t
P t Q t --, 再由1QR AF ,得(4,0)R t -
设1PRF ∆的外接圆C 的方程为2
2
0x y Dx Ey F ++++=,
则22
22(4)(4)0(4)40
88
()022
t t D F y D F t t t D tE F ⎧
⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D t E t F t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩
所以圆心坐标为7(,
2)28
t t
--,经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上 ②由①可得圆C 的方程为2
2
7
(4)41604x y tx t y t +++-
+-=
第20题
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该方程可整理为2
2
7
(216)(4)04
x y y t x y ++-+-+=,
则由224160740
4x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或40x y =-⎧⎨=⎩, 所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432
(,)1313
(Ⅱ)设B 0
2,r y +（），过圆心o '作O D AB '⊥于D ,BC
交长轴于H
由
O D HB
AD AH '=
06y r =+,即 0y =而点B 02,r y +（）在椭圆
上,222
0(2)124(2)(6)
1161616
r r r r r y +---+=-==- (2)- 由(1)、 (2)式得2
158120r r +-=,解得23r =或65
r =-（舍去）
(2) 直线EF 与圆O '的相切设过点M(0,1)与圆224
(2)9
x y -+=相切的直线
方程为:1y kx -= (3)
则23=即2323650k k ++= (4) 解得12k k =
= 将(3)代入2
2116x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161
k
x k =-
+----------------------13分
设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则12
12
22123232,161161
k k x x k k =-
=-++ 则直线FE 的斜率为：22111221123
1164
EF k x k x k k k x x k k -+=
==--
于是直线FE 的方程为:21122
1132323
1()1614161
k k
y x k k +-=+++ 即37
43
y x =
- 则圆心(2,0)到直线FE 的距离23d ==故结论成立.
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