【VIP专享】第四章 生命表47
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生命表
Tx—The sum of average life of all individuals, Tx=Σ Lx
ex— Average life expectance ex=Tx/nx
Lx— The sum of average life of this age , Lx=(nx+nx+1)/2
藤壶的生命表
Survivorship data are often shown as a survivorship curve for a particular population; a graph showing the proportion of survivors on a logarithmic scale through each phase of life.
0
1
722
857
232
0.271
0.137
300
2
527
625
250
0.400
0.222
620
3
316
375
204
0.544
0.342Βιβλιοθήκη 4304144
171
107
0.626
0.426
210
5
54
64
46.2
0.722
0.556
60
6
15
17.5
14.24
0.800
0.699
30
7
3
3.56
3.56
1.000
Generation time – average time from egg to egg, seed to seed T =Σ x lx mx / Ro
ex— Average life expectance ex=Tx/nx
Lx— The sum of average life of this age , Lx=(nx+nx+1)/2
藤壶的生命表
Survivorship data are often shown as a survivorship curve for a particular population; a graph showing the proportion of survivors on a logarithmic scale through each phase of life.
0
1
722
857
232
0.271
0.137
300
2
527
625
250
0.400
0.222
620
3
316
375
204
0.544
0.342Βιβλιοθήκη 4304144
171
107
0.626
0.426
210
5
54
64
46.2
0.722
0.556
60
6
15
17.5
14.24
0.800
0.699
30
7
3
3.56
3.56
1.000
Generation time – average time from egg to egg, seed to seed T =Σ x lx mx / Ro
生命表
1.年龄x临界年龄：刚过生日时的瞬间年龄，即刚进入某一年龄组的年龄。
临界年龄的0岁组人口数即为出生人数。
周岁年龄：已满x 岁而尚未满x ＋1岁的年龄。
确切年龄：精确到日历天数的年龄。
2、尚存人数指已活到x 岁的人数或每一年龄组起点存活的人数。
刚出生的人口。
通常把生命表的出生人数，即0岁人数规定为100000， 也叫生命表基数； 刚进入1岁组的人数；…… ……刚进入最高年龄组的人数。
由尚存人数的特点可见 （x=0,1,2……）可以构成一个数列：…… 。
此数列在生命表中称为生存序列 。
3、表上死亡人数（dx ）指已活到x 岁，但未活到x+1岁的人数或在两个年龄组之间死亡的人数。
在生命表上年龄为x 岁的死亡人数（非实际死亡人数）。
：从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数；：从满1岁到尚未满2周岁前在此期间死亡的人数；：从满2岁到尚未满3周岁前在此期间死亡的人数；：从满ω-1岁到尚未满ω周岁前在此期间死亡的人数；同样， （x = 0,1,2……）亦可构成一个数列： ……… 。
此数列在生命表中称为死亡序列。
生死平衡等式： 等式左端为同时出生的一批人，等式右端则表示同时出生的这批人，从0岁起开始陆续死去，直到最高年龄ω－1的人全部死去所实现的平衡关系。
4、死亡概率（qx ）已经活到x 岁的人们活满x+1岁之前可能出现的死亡比率。
仅仅是死亡概率的理论定义。
由于式中的 与 是根据计算出来的。
因此此式不能从实际数据中计算 ，而只能用于一些理论上的衍生推导。
5、平均生存人年数（Lx ）从x 岁到x + n 岁间的生存者所具有的人年数的平均数。
即具有各种生存时间的人数与对应时间的乘积。
是一个把人数和时间联系起来进行研究的一个复合计量单位的指标。
反映人口寿命长度的一般水平。
假定死亡在年龄x 与x ＋1间发生是均匀分布的（生命初始的几个年龄除外），具体方法有： 0l 1l 1-ωl x l ，，，210l l l 1-ωl 0d 1d 2d 1-ωd x d，，，210d d d 1-ωd ∑-==100ωx x d l x x x l d q =x l x d xx x m m q +=2200111111113,044,1234224,52,12x x x x x x x x L l l x l l d d L x l l L x l L x ωωω++-+--=+=+-=+=+=≥==-，，，生命表的元素及定义6、平均生存总人年数（Tx ）是生存人年数的累计数，也就是对生存人年数作累计求和。
生命表
501 2 1 1 1 1 1 0
506 5 3 3 2 1 1 0
0.5 2.0 4.6 3.9 3.1 2.3 1.4 0.5
67424 175 50 47 44 41 38 35
5.954 1.253 0.062 0.066 0.071 0.076 0.082 3.555
5.3 动态混合生命表：同时包括了存活率lx和出生率mx
第二章、种群生态学
§1 §2 §3 §4 §5
概论 种群的基本特征 生命表的特征和应用 种群增长 种群调节 种群进化对策
第二节、生命表 Life table
1. 概念
生命表是按种群生长的年龄或发育阶段的顺序而编制
的,是种群中个体存活、死亡和新生历程的系统记述。
简言之，生命表是直接记录种群内个体死亡和存活过程的一览表. 记录了与年龄或发育阶段相联系的某个种群特定年龄或特定时间的死 亡和生存情况。 统计预测特定年龄人群的生命期望（Life expectancy)。
There are three generalized patterns of age-specific survivorship depending on whether the probability of dying is highest later in life (Type I)
constant through life (Type II) or
0.067 0.137 0.222 0.342 0.426 0.556 0.699
0 300 620 430 210 60 30 10 —
5.2 静态生命表：
是根据某一特定时间对种群作年龄结构调查的资 料而编制的生命表。
Numerical data was obtained by investing age structure of population at one time.
生命表分析
组都有一部分人死亡。随着年龄的提高，确切 年龄上的人数越来越少。
• 生命表正是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它是 以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出各年 龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
• 生命表分析方法不但可用于死亡研究，还可用 于初婚、离婚、再婚、生育、迁移、子女离家 等几乎所有人口过程的研究，因此将其作为人 口统计分析的工具之一重点研究。
规模的要求
• 要注意不是任何地区都可以计算完全生命表。对 于那些人口规模比较小的地区，若按1岁一组分， 某些年龄的死亡人数比较小，甚至会出现某些年 龄死亡人口为0的情况，这样计算的死亡率不具有 一般性或代表性，而是由于随机性产生的特殊情 况。这样的死亡率是没有意义的。因此只有当人 口总量达到一定规模后才可计算完全生命表。
一、生命表的产生和涵义
• 统计学的产生来源于英国的政治算术学派， 而政治算术学派的著名创始人之一格兰特的 代表性著作《关于死亡表的自然的和政治的 观察》一书，不仅对统计学产生具有极大影 响、而且为人口统计学的创立打下了一个良 好的基础。该书首次提出了死亡表的概念， 并且根据大量的实际死亡率资料，以百名出 生婴儿为基础，编制了死亡表。
的生存人数
• ndx ：number dying between ages x and x + n，
(x,x+n)内的死亡人数
• qn x ： probability of dying from age x to age x
+ n，(x,x+n)内的死亡概率
• nLx ： person-years lived between ages x and
L 0.276l 0.724l1
• 生命表正是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它是 以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出各年 龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
• 生命表分析方法不但可用于死亡研究，还可用 于初婚、离婚、再婚、生育、迁移、子女离家 等几乎所有人口过程的研究，因此将其作为人 口统计分析的工具之一重点研究。
规模的要求
• 要注意不是任何地区都可以计算完全生命表。对 于那些人口规模比较小的地区，若按1岁一组分， 某些年龄的死亡人数比较小，甚至会出现某些年 龄死亡人口为0的情况，这样计算的死亡率不具有 一般性或代表性，而是由于随机性产生的特殊情 况。这样的死亡率是没有意义的。因此只有当人 口总量达到一定规模后才可计算完全生命表。
一、生命表的产生和涵义
• 统计学的产生来源于英国的政治算术学派， 而政治算术学派的著名创始人之一格兰特的 代表性著作《关于死亡表的自然的和政治的 观察》一书，不仅对统计学产生具有极大影 响、而且为人口统计学的创立打下了一个良 好的基础。该书首次提出了死亡表的概念， 并且根据大量的实际死亡率资料，以百名出 生婴儿为基础，编制了死亡表。
的生存人数
• ndx ：number dying between ages x and x + n，
(x,x+n)内的死亡人数
• qn x ： probability of dying from age x to age x
+ n，(x,x+n)内的死亡概率
• nLx ： person-years lived between ages x and
L 0.276l 0.724l1
第四章 生命表
生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规 律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量 的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了 整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概 率分布情况。
• 生命表的发展历史
– 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡 名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表 的最早起源。 – 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用 了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因 而把Halley称为生命表的创始人。
s '( x) f ( x) x [ ln s( x)]' s ( x ) 1 F ( x)
• 死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x
(1.4)
px exp{ s ds}
x
x t
• 含义：
s ( x) s ( x x ) x lim x0 x s ( x) P{x将在 x x岁之前死亡} lim x0 x x瞬间死亡的比率
生命表基本函数
• lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 • ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx • nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
生存分布
• 一、新生儿的生存函数
• 二、x岁余寿的生存函数
• 三、死亡力
• 四、整值平均余寿与中值余寿
• 人类的“浴盆曲线”意味着：
– 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都 会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。 – 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属 于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。 – 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老 化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。
生命表
基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下，2003年8月， 正式启动了新生命表编制项目。
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
生命表
国内的生命表
10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； 2、保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大 的改善； 3、保险精算技术获得了极大的发展，积累了一些死亡率 分析经验。 基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下， 2003年8月，正式启动了新生命表编制项目。新生命表编 制完成后，于2005年11月12日通过了以著名人口学专家、 全国人大副委员长蒋正华为主任的专家评审会的评审。于 2006年1月1日正式启用。
X=年龄 lx=在X岁生存的人数 dx=年龄在岁的人在一年内死亡的人数=lx-lx+1 qx=年龄在岁的人在一年内死亡的概率=dx/lx px=年龄在岁的人活过一年的概率 =lx+1/lx
生命表的分类
以死亡统计的对象为标准，生命表可分为 国民生命表和经验生命表。 国民生命表是根据全体国民或某一特定地 区人口的死亡资料编制而成的。 经验生命表是根据保险机构有关人寿保险、 社会保险的死亡记录编制而成的。
生命表概述
2009年10月
原理
现代保险学是建立在概率论和大数定律的基础上 大数法则：是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数 量规律的一系列定理的统称. 切比雪夫大数法则：在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保费与 其所能获得的赔款期望值相等。 贝努力定理大数法则：利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。 泊松大数法则：平均概率与观察结果所得的比例将无限接近。
国内的生命表
新生命表包括非养老金业务男女表和养老金业务男女表共 两套四张表，简称“CL(2000-2003)”。其结构与原生命表 相同，但取消了混合表。 之所以非养老金业务与养老金业务用表不同，是因为整体 而言，投保养老金的人群死亡的概率比投保非养老金的人 群要小。 本次非养老金业务表男性平均寿命为76.7岁，较原生命表 提高了3.1岁，女性平均寿命为80.9岁，较原生命表提高 了3.1岁。养老金业务表男性平均寿命为79.7岁，较原生 命表提高了4.8岁，女性平均寿命为83.7岁，较原生命表 提高了4.7岁。
第4章_死亡和死亡率理论、生命表
孕产妇死亡率不仅可以评价一个国家或地区的妇幼保 健工作，而且可以间接反映一个国家的卫生文化水平。
6.死因某年平均每 10万人口中死于某种疾病的人数。
计算公式：
死因别死亡率 =
同年死于某种疾病的人 数 某年平均人数
×100000/10万
意义：死因别死亡率是死因分析的主要指标， 它可以反映人群中各类病伤死亡的频率，即反 映各类病伤死亡对居民生命的威胁程度。
万分率表示同。年孕产妇死亡数
算式为：
某年活产数 ×100000/10万
意义：国际疾病分类对孕产妇死亡定义为：“妇女在妊娠期 至产后42天以内，由于任何与妊娠有关的原因所致的死 亡称为孕产妇死亡，但不包括意外事故死亡。”这一定 义中“与妊娠有关的原因”可以分为两类：①直接产科 原因：包括对妊娠合并症（妊娠期、分娩期及产褥期） 的忽视、治疗不正确等。②间接产科原因：妊娠之前已 存在的疾病，由于妊娠使病情恶化引起的死亡。
滞后于死亡率下降，出现人口的迅速增长。
从1970年代到20世纪末
生育率已经稳定到相当低的水平，死亡率对人口自然 变动的影响的作用力相对增强；
人口老龄化过程迅速发展，老年人口比重上升的影响 下总人口死亡率有回升的趋向。
三、现代西方死亡率研究主要内容
计算公式： 同年5岁以下儿童死亡数
某年活产数
×1000‰
意义：许多发展中国家，由于婴儿死亡率的资料不 易准确，而5岁以下儿童死亡又很高，故联合国儿 童基金会常用5岁以下儿童死亡率作为综合反映婴
幼儿死亡水平及儿童生存大小的指标。
5.孕产妇死亡率
概念：MMR是指某年孕产妇死亡数与同年活产数之比。常用十
17世纪后半叶到19世纪末
西方各国公众对流行病和其他疾病控制的关怀，政府 公共卫生计划的推行，人寿保险事业的兴起和发展；
6.死因某年平均每 10万人口中死于某种疾病的人数。
计算公式：
死因别死亡率 =
同年死于某种疾病的人 数 某年平均人数
×100000/10万
意义：死因别死亡率是死因分析的主要指标， 它可以反映人群中各类病伤死亡的频率，即反 映各类病伤死亡对居民生命的威胁程度。
万分率表示同。年孕产妇死亡数
算式为：
某年活产数 ×100000/10万
意义：国际疾病分类对孕产妇死亡定义为：“妇女在妊娠期 至产后42天以内，由于任何与妊娠有关的原因所致的死 亡称为孕产妇死亡，但不包括意外事故死亡。”这一定 义中“与妊娠有关的原因”可以分为两类：①直接产科 原因：包括对妊娠合并症（妊娠期、分娩期及产褥期） 的忽视、治疗不正确等。②间接产科原因：妊娠之前已 存在的疾病，由于妊娠使病情恶化引起的死亡。
滞后于死亡率下降，出现人口的迅速增长。
从1970年代到20世纪末
生育率已经稳定到相当低的水平，死亡率对人口自然 变动的影响的作用力相对增强；
人口老龄化过程迅速发展，老年人口比重上升的影响 下总人口死亡率有回升的趋向。
三、现代西方死亡率研究主要内容
计算公式： 同年5岁以下儿童死亡数
某年活产数
×1000‰
意义：许多发展中国家，由于婴儿死亡率的资料不 易准确，而5岁以下儿童死亡又很高，故联合国儿 童基金会常用5岁以下儿童死亡率作为综合反映婴
幼儿死亡水平及儿童生存大小的指标。
5.孕产妇死亡率
概念：MMR是指某年孕产妇死亡数与同年活产数之比。常用十
17世纪后半叶到19世纪末
西方各国公众对流行病和其他疾病控制的关怀，政府 公共卫生计划的推行，人寿保险事业的兴起和发展；
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• 生命表的发展历史
– 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡 名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表 的最早起源。
0
对于x岁期望剩余寿命 e x ，可以证明：
0 t t px xt dt
d ( t px ) tdt 0 dt
t
pxt
0
0 t px dt
0
0 t pxdt ex
整值平均余寿
x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数， 不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x) 的期望值，以ex表示，
(t 0)
当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。
x岁余寿的生存函数
• 考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了 x岁 ，tqx实际是一个条件概率
t qx Pr[x X t x | X x] F (t x) F (x)
1 F(x) s(x) s(x t)
ex E[K (x)] kk px qxk k k｜qx
k 0
k 0
第二节
生命表的构造
人类死亡效力的规律
人类死亡效力的规律
• 人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结构， 被称为“浴盆曲线”。
• 人类的“浴盆曲线”意味着：
– 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都 会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。
有关寿命分布的参数模型
• Makeham模型(1860)
x A Bcx
s(x) exp{Ax B(cx 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0 • Weibull模型(1939)
x kxn
s(x) exp{kxn1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
• lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 • ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx
• nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
生存分布
• 一、新生儿的生存函数 • 二、x岁余寿的生存函数 • 三、死亡力 • 四、整值平均余寿与中值余寿
k T (x) k 1,k 0,1,L
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px k1 px k px qxk k qx
• 2．死力
•
（1）定义：达到x岁的人中，在一瞬间里
死亡的人所占的比率，记为μx：
x
s '( x) s(x)
参数模型的问题
• 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模 型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
• 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产 生很大的误差。
•
寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，
而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命
的分布。
•
在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命
的分布。
生命表基本函数
s(x)
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u qx ，以
概率的方式表示为：
t｜u qx Pr[t T (x) t u] tu qx t qx t px tu px t px u qxt
整值剩余寿命
• 定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X) k, • 概率函数
Pr(x X z) F(z) F(x) s(x) s(z)
• 概念解释：
• 1．生存函数s(x)
•
（1）定义：假设某一新生婴儿群体的
死亡年龄X的分布函数为F(x)，则s(x)=1－
F(x) 称 为 该 新 生 婴 儿 的 生 存 函 数 ， 即 ：
s(x)=1－F(x)
• =Pr(X>x)
1
f
(x) F(x)
[ln
s(x)]'
(1.4)
• 死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) exp{ sds}
0
xt
t px exp{ sds}
x
• 含义：
x
lim
x0
s(x) s(x x) xgs( x)
P{x将在x x岁之前死亡}
lim
x0
x
x瞬间死亡的比率
死力
• 死亡效力与密度函数的关系
新生儿的生存函数
F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。
F(x) Pr( X x)
(x 0)
f x F 'x,x 0
s(x)：生存函数，它是新ຫໍສະໝຸດ 儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。
s(x) 1 F(x) Pr( X x)
(x 0)
新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
第四章 生命表
第一节 生命表函数
• 人类的生存死亡是怎样一个存在规律， 在历史上不少学者进行探讨，其目的并不 是为了保险。
有关寿命分布的参数模型
• De Moivre模型(1729)
x
1
x
s(x) 1 x , 0 x
• Gompertze龚珀兹模型(1825)
x Bcx
s(x) exp{B(cx 1) / ln c} , B 0,c 1,x 0
x
f (x) x s(x) x exp{ sds}
0
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数
g(t)
s(x) s(x t) G(t) 1 t px s(x)
g(t)
d dt
G(t)
d dt
s(x) s(x t)
s(x)
s(x t)xt
s(x)
t
px
xt
死亡力下x岁期望剩余寿命
• =Pr{新生儿在 x 岁之后死亡}
• =Pr{新生儿在 x 岁时仍然活着}
x岁余寿的生存函数
x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
t qx Pr[T(x) t]
(t 0)
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示
x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
t px 1t qx Pr[T(x) t]
– 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属 于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。
– 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老 化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。
生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规 律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量 的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了 整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概 率分布情况。