生存分布与生命表

所以
于是
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作业：F(x),f(x),S(x)和死力的关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F(x)
分布函数 密度函数 生存函数 死力 x
F(x)
f(x)
S(x)
f(x)
S(x)
x
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第二节 生命表
对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长 度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函 数作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可 能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来 描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x)。
对于任意的年龄x，对应的X在x时的条件概率密度
函数的值，我们将该函数记为μ(x)
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概念：表示年龄为岁的人将在某一瞬间死亡
的概率。 x
或称为瞬间死亡率，死亡密度
死力的性质以及F(x),f(x),s(x)和死力的关 系
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由上式，可以得到
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因为
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生命表举例，看书
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对于表1-2，我们将其看成是一群生命的生存情况表， 其中：
1．这群生命在开始时由l0个0岁生命组成； 2．该生命群是封闭的。其它任何生命不准进入，成
员减少的唯一原因是死亡；
3．lx是该群生命在x岁还活着的成员的个数；
这样，再根据上述有关生命表函数的讨论，我 们有：
第一章 生存分布与生命表
第一节引言（简单模型）
一、 生存状况与生存模型
例如，我们考虑一个人30岁的人购买一份期限为10年的生 存保险，保额为10 000元。也就是说，如果他活到40 岁，将得到10 000元的保险金；如果他在10年内死亡， 保险公司不会有任何给付。
二、新生婴儿的未来生存时间
一个刚刚出生的个体（0岁），其死亡年龄(或称存活时间) 可作为一个随机变量，我们用F(x)表示。
F (x)描述了随机变量X的分布函数， 且假设F (0) 0。
可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数
用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然， (x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一 个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未 来生命时间长度随机变量。
10000
1,
x0
sX
(
x)
(100 x)2 10000
,
0
x 100
0,
x 100
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（2）Pr(70<X≤80)= sX (70)- sX (80) 考虑一些概率分布
(x)将在y（>x）岁仍然生存的概率为：
-
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其在y岁之前死亡的概率为：
或者
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生命表就是一种行之有效的描述随机变量X和 T(x)近似特征的方法。
生命表函数与生存函数
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生命表函数
生存人数 l x 死亡人数 d x
生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx） o
平均余命，记作 e x
平均生存函数
考虑一群新生婴儿，共L0=100000名。每个婴儿的死亡 情况是相互独立并且具有相同的概率分布，他们的生存 情况由生存函数给出。
有 Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)<k+1]
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k
h| qx
h0
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在(1-5)用生存函数给出了0岁的人在活到x岁的前提下， 在(x,y)之间死亡的概率
该条件概率（已到达x岁的人在接下来y-x年内死亡的 概率）可以看成x的函数，利用微积分的技术，考虑yx为无穷小量（令y-x=∆x），则该概率可以成为一个 瞬间的死亡率
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引言
精算学里，通常用符号p、q来表示生存和死亡 的概率
t p x 表示x岁的人在x+t岁时仍然生存的概率
t qx 表示x岁的人在未来t年内死亡的概率。
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特别地，t=1时，可以将上述符号左下角的t 省略不写
qx= Pr[(x)将在未来1年内死亡]=Pr(T(x)≤1)
px= Pr[(x)将活到年龄x +1]= Pr(T(x)>1)
死亡概率对应，定义函数SX(x) 为：
1-FX(x)= Pr(X>x)
x≥0
{X>x}表示新生儿将于x岁之后死亡——即新生儿
将在x岁还生存的随机事件，所以，为新生儿将在x
岁仍然活着的概率
2020/5/7 称其为生存函数 ,简记为S(x)
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F(x)的概念及其分布函数
F(x) Pr X x x 0
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令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来 记这些人，则有
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因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)， 所以有
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下面讨论几个概念的关系：
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引言
例1-1 假设某地区人群的寿命随机变量分布函数为
f
X
(
x)
2(100 x) 10000
,
0 x 100
0,
其它
求：（1）该地区人群的生存函数； （2）该地区某人将在（70，80）之间死亡的概率。
解 （1）当0<x<100时，S(x) = Pr(X>x)=1-F(x)=...= (100 x)2
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事实上，生命表的编制是通过利用最近的一 段时期的数据
如中国人寿保险业经验生命表(2000-2003) 所使用的是2000-2003年期间中国人寿保 险业有关的数据
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第一节引言（简单模型）
符号(x)表示x岁的生命 ；用X表示(x)死亡时的年龄， 显然，X也是一个随机变量
记X的分布函数为FX(x)
FX(x)=Pr(X≤x) x≥0
显然，{X≤x}表示新生儿将于x岁之前死亡的随机 事件。于是，概率分布函数FX(x)对应的是一种死亡 概率。
另外，用t|来表示延期t（年）。因此，对于 (x)将在t年后的u年内死亡的概率，我们可 以用t|uqx来表示，即
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将连续型随机变量T(x)的整数部分用K(x)表示，即 K(x)=[T(x)]。
令S(x)=T(x)-K(x)。分别称K(x)和S(x)为(x)的简略 未来生命时间长度随机变量和(x)的死亡年残余时间长 度随机变量