第一章_生存分布与生命表

这样，再根据上述有关生命表函数的讨论，我 们有：
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事实上，生命表的编制是通过利用最近的一 段时期的数据 如中国人寿保险业经验生命表(2000-2003) 所使用的是2000-2003年期间中国人寿保 险业有关的数据 通过先估计各年龄死亡率qx，然后再由qx衍 生出lx的。
在前面所作的三种假设中，线性假设下死亡力是递 增的；指数假设下的死亡力为常数；调和假设则产 生递减的死亡力。
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第四节 一些死亡解析律
人们通常利用带有少数几个参数的函数，作为描述人类生存模式 的公式，我们将这种带有少数几个参数的公式称为死亡的解析律。 有四个重要的死亡解析律，它们在历史上曾经得到过很多的应用，
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在保险精算领域，具有递增性质的死亡力是更合理 的，也是更常用的假设。
首先，因为保险精算实务中更多考虑的是处于稳定年龄 段的生命，这种生命的死亡力是递增的。 其次，当考虑的是低龄生命时，即使国民生命表相应死 亡力呈现先降而后升的形状，对保险公司来说，由于存 在选择的过程，所以往往可以将身体虚弱者挡在门外， 而只接纳那些身体条件较好者，而这些人的死亡力则是 递增的。
或者
或者 s(x+t)=(1-t)s(x)+t·s(x+1) 都称为死亡均匀分布
0
例，设（x) 在[x,x+1]上服从死亡均匀分布，试证： e x
ex 1 2
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事实上，我们有下面的公式成立
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这是一个非常简洁且非常实用的结果，它表明，在线性假设下，区间(x,x+1) 上的条件死亡密度为一个常数，并且这个常数就是在这个区间上的死亡概率。 这同时表明随机变量s在这个区间上是均匀分布的。 lx+s的线性假设通常被称为死亡的均匀分布假设，简称为UDD假设
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h0
k
h|
qx
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在(1-5)用生存函数给出了0岁的人在活到x岁的前提下， 在(x,y)之间死亡的概率 该条件概率（已到达x岁的人在接下来y-x年内死亡的 概率）可以看成x的函数，利用微积分的技术，考虑yx为无穷小量（令y-x=∆x），则该概率可以成为一个 瞬间的死亡率
q = Pr[(x)将在未来1年内死亡]=Pr(T(x)≤1) p = Pr[(x)将活到年龄x +1]= Pr(T(x)>1)
x x
另外，用t|来表示延期t（年）。因此，对于 (x)将在t年后的u年内死亡的概率，我们可 以用t q 来表示，即
|u x
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生命表举例，看书
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对于表1-2，我们将其看成是一群生命的生存情况表， 其中： 1．这群生命在开始时由l0个0岁生命组成； 2．该生命群是封闭的。其它任何生命不准进入，成 员减少的唯一原因是死亡；
3．lx是该群生命在x岁还活着的成员的个数；
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o
令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来 记这些人，则有
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因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)， 所以有
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下面讨论几个概念的关系：
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因为
所以
于是
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作业：F(x),f(x),S(x)和死力的关系
分布函数 密度函数 生存函数 死力 F(x) f(x) S(x)
F(x) f(x)
x
S(x)
x
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第二节 生命表
对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长 度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函 数作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可 能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来 描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x)。 生命表就是一种行之有效的描述随机变量X和 T(x)近似特征的方法。 生命表函数与生存函数
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将连续型随机变量T(x)的整数部分用K(x)表示，即 K(x)=[T(x)]。 令S(x)=T(x)-K(x)。分别称K(x)和S(x)为(x)的简略 未来生命时间长度随机变量和(x)的死亡年残余时间长 度随机变量 有 Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)<k+1]
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选择—终极生命表
国民生命表又可分为完全生命表（complete life table）和简易生命 表（abridged life table）。完全生命表是根据准确的人口普查 资料，依年龄分别计算死亡率、生存率．平均余命等生命函数而 编制的；简易生命表则采取每年的人口生存状况动态统计资料和 人口抽样调查的资料，按年龄段（如5岁或10岁为一段）计算的死 亡率、生存率、平均余命等生命函数。 经验生命表又可分为终极表（ultimate table）、选择表（select table）、总合表（aggregate table）等。 终极表是指根据被保险人最终的死亡率编制的生命表，也就是按照承 保选择的影响消失后的死亡率来编制生命表 选择表是一种不同于终极表的生命表。在人寿保险的承保过程中，经 过体检等选择的被保险人的死亡率等风险低于一般人口的风险， 而且最近几年选择的被保险人的死亡率风险低于前些年选择的被 保险人的死亡率风险，考虑到这种选择因素的影响之后编制的生 命表称为选择表
x n x n x
x
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第三节 分数年龄假设
关于尾龄的缘由及若干假设 死亡均匀分布假设 常值死力假设 Balducci假设 线性假设又叫均匀分布假设或均匀假设，在这种假 设下，lx+s具有线性形式，即lx+s可以写成a+bs的形 式。 由连续性，知道
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第三节 分数年龄假设
生命表所给出的数值都是相应函数在整数点的值。 对于非整数值，在表中是找不到的。 并且，在对一些其它函数的讨论中可以发现，仅有 l 在整数点上的值是不够的。事实上，只有 p 和 q 在x和n为整数时可以仅由生命表中的l 给出。 因此，还需要对s(0<s<1)，确定lx+s的值. 通常假设lx+s作为s的函数在[0，1]区间上具有某种 数学形式，常见假设有线性假设、指数假设和双曲 假设等。 也叫做尾龄的各种假设。
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x 0
F ( x)描述了随机变量 的分布函数， X
引言
例1-1 假设某地区人群的寿命随机变量分布函数为
2(100 x) , 0 x 100 f X ( x) 10000 0, 其它
求：（1）该地区人群的生存函数； （2）该地区某人将在（70，80）之间死亡的概率。
对于任意的年龄x，对应的X在x时的条件概率密度 函数的值，我们将该函数记为μ(x)
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概念：表示年龄为岁的人将在某一瞬间死亡 的概率。 x
或称为瞬间死亡率，死亡密度
死力的性质以及F(x),f(x),s(x)和死力的关 系
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由上式，可以得到
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第一节引言（简单模型）
符号(x)表示x岁的生命 ；用X表示(x)死亡时的年龄， 显然，X也是一个随机变量 记X的分布函数为FX(x) FX(x)=Pr(X≤x) x≥0 显然，{X≤x}表示新生儿将于x岁之前死亡的随机 事件。于是，概率分布函数FX(x)对应的是一种死亡 概率。 死亡概率对应，定义函数SX(x) 为： 1-FX(x)= Pr(X>x) x≥0 {X>x}表示新生儿将于x岁之后死亡——即新生儿 将在x岁还生存的随机事件，所以，为新生儿将在x 岁仍然活着的概率 2013-5-14 2 称其为生存函数 ,简记为S(x)
双曲假设
双曲假设又叫调和假设或Balducci假设，这 种假设下l 具有双曲线形式，即它可写成
x+s
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类似地，在双曲假设下，可以得到其它生命 表函数的表达式。
等等，见教材20页
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注意，在调和假设下，死亡力在(x，x+1)上是单 调递减的，这和直观的感觉有所不同。 一般死亡力描述了个体的瞬时死亡概率随时间变化 的情况，因此，具有递增性质的死亡力才是合乎情 理的，同时直觉也告诉我们，高龄人死亡的概率应 该比年轻人死亡的概率大。 当然，这种感觉并不一定总是正确的。 事实上，经验表明，人类生命有这样一种特性，由 于先天的缺陷或婴儿疾病，在婴幼儿阶段死亡率较 高，而后死亡率随年龄的增长而下降，并在30岁 左右趋于相对稳定，此后又随年龄的增长而升高。
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指数假设（常值死力假设）
指数假设又叫对数线性假设或常力假设，这 种假设下lx+s具有指数形式，即它可以写成的 形式
类似的有
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这表明S在(0，1)上服从参数为μ指数的指数分 布。所以有时又将指数分布称为常力分布。相应 地，将指数假设称为常力假设。
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第一章
生存分布与生命表
Baidu Nhomakorabea第一节引言（简单模型） 一、 生存状况与生存模型
例如，我们考虑一个人30岁的人购买一份期限为10年的生 存保险，保额为10 000元。也就是说，如果他活到40 岁，将得到10 000元的保险金；如果他在10年内死亡， 保险公司不会有任何给付。
二、新生婴儿的未来生存时间
一个刚刚出生的个体（0岁），其死亡年龄(或称存活时间) 可作为一个随机变量，我们用F(x)表示。
(100 x) 2 解 （1）当0<x<100时，S(x) = Pr(X>x)=1-F(x)=...= 10000
x0 1, (100 x) 2 s X ( x) , 0 x 100 10000 x 100 0,
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（2）Pr(70<X≤80)= sX (70)- sX (80) 考虑一些概率分布
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生命表函数
生存人数 l x 死亡人数 d x
生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx）
平均余命，记作 e x 平均生存函数 考虑一群新生婴儿，共L0=100000名。每个婴儿的死亡 情况是相互独立并且具有相同的概率分布，他们的生存 情况由生存函数给出。
F(x)的概念及其分布函数
F ( x) Pr X x 且假设F (0) 0。
可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数
用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然， (x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一 个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未 来生命时间长度随机变量。
d q 正式生命表经常含有一些基本函数如l x 、 x、 x
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生命表函数
生存人数 l x 死亡人数 d x
生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx）
平均余命，记作 e x 平均生存函数
o
生命表实例 选择终极生命表
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选择—终极生命表
(x)将在y（>x）岁仍然生存的概率为：
-

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其在y岁之前死亡的概率为：
或者
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引言
精算学里，通常用符号p、q来表示生存和死亡 的概率
t
p x 表示x岁的人在x+t岁时仍然生存的概率
t
qx
表示x岁的人在未来t年内死亡的概率。
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特别地，t=1时，可以将上述符号左下角的t 省略不写
并且直到现在，它们仍然具有重要的理论和应用价值。
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第5节 选择和终极生命表
生命表的概念
生命表（Life table）又称（mortality table），它是根 据一定时期的特定国家（或地区）或特定人口群体（如 寿险公司的全体被保险人、某企业的全体员工）的有关 生存状况统计资料，编制成的统计表。生命表是描述人 的寿命或（x)的未来寿命的概率分布的一种表示形式。 是寿险公司计算纯保险费的重要依据之一。
概念和原因
生命表一般分为国民生命表（national life table）和经 验生命表（experience life table）两大类。国民生 命表是以全体国民或特定地区的人口生存状况统计资料 编制成的，而经验表是人寿保险公司依据过去其承保的 被保险人实际的生存状况统计资料编制的。由于国民生 命表的资料来源于人口普查资料和抽样调查，其对象男 女老幼、体质强弱均有；而人寿保险公司的被保险人， 则一般要经体检后合格者才予承保。因此，在同一时期 内，国民生命的死亡率一般要高于经验表的死亡率。