3.1生存模型与生命表教案资料
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第一章 生命表
60p20，2|3q50
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
生命表
静态生命表
• 适用于世代重叠的生物，表中的数据是根据在某一特定 时刻对种群年龄分布频率的取样分析而获得的，实际反映 了种群在某一特定时刻的剖面 。它是生命表的最常见形 式。
• 假设条件：（1）假定种群所经历的环境年复一年地没有 变化；（2）种群大小稳定；（3）年龄结构稳定。
• 优点：（1）易于看出种群的生存对策和生殖对策；（2） 易于编制。
将动态与静态生命表相结合。它所记载的内
容同动态生命表一致，只是该生命表把不同年份 同一时期标记的个体作为一组处理，即这组动物 不是同一年出生的。
•
野生动物专家可连续几年，每年都在同一时
期标记一批新孵化的幼鸟或新出生的仔兽，并对
每一批都进行跟踪观察和记录。然后再将汇集所
有动物的观察资料，作为同年出生的一组动物来
• 缺点：（1）工作量很大；（2）不易跟踪，且易因人为因 素造成较大的误差。
• 注意：（1）在某一时期内，坚持观察同一个自然种群； （2）在每一观察时刻，对种群大小进行估计。
静态生命表
根据某一特定时间对生物种群作一个年 龄结构调查，并根据调查结果而编制的生 命表.如去某村调查所有人口（规定时间特 别严）。它是某一个特定时间的静态横切 面，所研究的种群成员的各年龄组都是在 不同的年中所经历过来的，但在此假定了 种群所经历的环境条件是年复一年地没有 变化的。
一、生命表的编制方法与步骤
• 1、根据研究对象和目的，设计生命表类型及实验 方案
• 2、合理划分年龄组或发育阶段（X）的时间间隔 • 3、确定实验条件 • 4、建立同龄群的种群 • 5、跟踪观察和记录，收集实验数据 • 6、实验与田间调查相结合 • 7、资料整理与参数统计，制作生命表 • 8、生命表分析与构建种群动态数学模型
寿险精算学-ch2
未来寿命的生存函数示意图
• t p0 =S0 (t)
• 1 px 简记为 px
特别符号
• t u qx t px tu px
• tu px t px u pxt
未来寿命生存函数的性质
• 定理1： 0 px 1
•
定理2：
d dt
t
px
0
,t 0
•
定理3：
lim
t x
t
px
0
• 由于死亡是必然发生的, 所以还可以得到如下两个引理:
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。 在这段时间里, 身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。 通常一种疾病治好了, 不久又会 产生另外一种疾病。 人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将 变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 所以本例中, 40 岁的人在85 岁时未来寿命的密度函数和 死亡力函数（以年为最小计量单位） 为：
f40 (45)
3758 97369
0.0386
生命表
基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下，2003年8月， 正式启动了新生命表编制项目。
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
保险精算学3-生命表
dx列：各年龄间的死亡人数。
o
e
x
列：x岁人的余命的平均值。
三、用途和分类
1、用途：
生命表是过去经验的总结，而在寿险中，保 险金的给付、责任准备金的提取、保单现金 价值的估计、保单红利的分配都与被保险人 的死亡率息息相关，因此反映了被保险人生 命规律的生命表对于寿险经验有着非常重要 的作用。
know : s(x)
100 x ,0 x 100,to
10
find : 15q36, 36, e36
q 15 36
s(36) s(51) s(36)
1 8
36
s( x) s(x)
1 2(100
x)
1 128
e36
0
t
p36dt
1 80
64 tdt 128 3
思考：人们寿命的延长对寿险业的经营 有哪些影响？
k 0
k 0
k 0
T(x)的期望值是完全平均余命：
lxtdt
ex E(T (x)) t g(t)dt t t px xtdt td ( t qx ) t pxdt
两种余0 命之间的0关系：
0
0
0
lx
T (x) K(x) S(x)
E(T (x)) E(K (x)) E(S(x))
F(x)表示新生儿在x岁前死亡的概率，即xq0
设s(x) 1 F(x) Pr( X
x)
lx l0
,x0，
这是新生儿活到x岁的概率，即xp0，s(x)就是生
存函数。
新生儿在x~z岁间死亡的概率为：
Pr(x X z) F(z) F(x) s(x) s(z)
E(x)表示x的期望值，即新生儿的平均寿命。
第三章-单生命生存模型与生命表-第二节-生命表PPT课件
二、生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号
新生生命组个体数：l 0
年龄：x
极限年龄：
l 0 个新生生命能生存到年龄 x的期望个数：l x
-
4
二、生命表的构造
l 0 个新生生命中在年龄 x与xn之间死亡的期望个
数：n d x
实务中，通常设定一个年限r，当选择经过了r年后， 我们q 认[x 为k] 这k个j r年qx就j称;j为0 选,1 择, 期。
由选择期内的死亡率构造的生命表就称为选择表。 在选择期结束后，死亡率只与到达年龄有关，与 选择年龄无关。以选择影响消失后的死亡率构造 的生命表称为终极表。习惯上，将终极表并列在 选择表的右边，就构成了选择-终极表。
-
11
思考题
（1）相比较新旧两个生命表，从数据上反映了 十年间有哪些变化？
（2）试分析这些变化的原因。
（3）这些变化对保险公司开发险种，设立保险 条款，确定保险费以及准备金等将产生什么 影响？
注：以上问题没有标准答案，就其所能尽量
发挥。
-
12
三、选择-终极生命表
选择-终极生命表构造的原因
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新 成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成 员。因此那些在投保时健康状况良好的被保险人 的死亡率低于没有接受健康状况检查的人。
-
6
例2.10答案
利用旧生命表中的数据，有 （1）80p20ll1200098 31 91 14 100.003986.
（2）5 0q 2 0 1 5 0p 2 0 1 ll7 2 0 09 6 8 8 1 7 1 0 4 7 0 40 .2 9 9 7 2 .
生命表基础课件
t
（7） t qx FT (x) (t) 0 s px (x s)ds ；
（8）
qx
lim
t
FT
(
x
)
(t
)
0 t px (x t)dt 1；
（9）
d dt
t
px
d dt
(1
t qx )
d dt
t qx
t
px ( x
t)；
（10） lim xn ( y)dy . n x
上式中，当 u=1 时，则可简记为 t| qx 。 注：由前面的讨论，我们有，
（1）t qx
SX (x) SX (x t) SX (x)
；
（2）t
px
SX (x t) SX (x)
（3）t|u qx t px tu
； px
SX
(x
t) SX (x SX (x)
t
u)
)
S
X '( SX
x (
t x)
)
注：关于T（x）的概率都是已知 X x 时相应的 X 的条件概率。
类似地，我们定义一个x 岁的人在 t 年后活着的概率 ST (x) (t)为： ST (x) (t)=Pr(T(x)>t)=1 FT (x) (t)
=1 SX (x) SX (x t) SX (x)
例1-4. 对于例1-1中的 X ，求 (x) 。
解：黑板演示
第二节 生命表函数
一、生命表的概念 二、 lx 函数 三、d x函数
一、生命表的概念
第3章_生存模型与生命表
符号 p x 与 q x 可扩展到不只限于 1 年的死亡与生存概率。 定义：
t
p x ＝ S x (t ) ＝ P [ Tx ＞ t ]
t
q x ＝ Fx (t ) ＝ P [ Tx ≤ t ]
即， t p x 表示 x 岁的人在 x t 岁时仍然生存的概率； t q x 表示 x 岁的人在未来 t 年 中死亡的概率。显然，
x s 岁，并在一个很短的时间间隔 ds 里死亡的概率。这个定积分因此是这个人
在 x 岁到 x ＋1 岁之间任意一给定时刻死亡的概率的加总。这些事件当然都是独 立的，所以我们把它们的概率加起来得到总的概率 q x 。
（二） t p x 的公式
s ＝
即
( s p 0 ) s p0
d log( s p 0 ) ds
h x ≈ h q x
二、关于死亡力的一个重要公式：
1 x ＝ Iim PT0 x h | T0 x h0 h
1 F ( x h) F0 ( x) ＝ Iim 0 h0 h 1 F0 ( x)
＝
d 1 × F0 ( x ) 1 F0 ( x) dx
f x (t ) ＝
S (x t) 1 P[T x t h] P[T x t ] Iim S ( x) h0 h S (x t)
h 0
＝ S x (t ) × Iim ＝ S x (t ) × xt
1 P[T x t h | T x t ] h
t
p x ＝1－ t q x
且
t u
p x ＝ t p x × u p x t ＝ u p x × t p x u
容易理解：
t u
t
p x ＝ S x (t ) ＝ P [ Tx ＞ t ]
t
q x ＝ Fx (t ) ＝ P [ Tx ≤ t ]
即， t p x 表示 x 岁的人在 x t 岁时仍然生存的概率； t q x 表示 x 岁的人在未来 t 年 中死亡的概率。显然，
x s 岁，并在一个很短的时间间隔 ds 里死亡的概率。这个定积分因此是这个人
在 x 岁到 x ＋1 岁之间任意一给定时刻死亡的概率的加总。这些事件当然都是独 立的，所以我们把它们的概率加起来得到总的概率 q x 。
（二） t p x 的公式
s ＝
即
( s p 0 ) s p0
d log( s p 0 ) ds
h x ≈ h q x
二、关于死亡力的一个重要公式：
1 x ＝ Iim PT0 x h | T0 x h0 h
1 F ( x h) F0 ( x) ＝ Iim 0 h0 h 1 F0 ( x)
＝
d 1 × F0 ( x ) 1 F0 ( x) dx
f x (t ) ＝
S (x t) 1 P[T x t h] P[T x t ] Iim S ( x) h0 h S (x t)
h 0
＝ S x (t ) × Iim ＝ S x (t ) × xt
1 P[T x t h | T x t ] h
t
p x ＝1－ t q x
且
t u
p x ＝ t p x × u p x t ＝ u p x × t p x u
容易理解：
t u
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（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
1o S0(0)1
2 o S 0 (x )单 调 下 降 ， 右 连 续
3 o S 0(x) 0 ,x 时 。
■ 例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的概
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
S0(t)与 Sx(t)的 关 系 ：
Sx(t)P(Tx t)P(T0 xtT0 x) P(T0 xt)S0(xt) P(T0 x) S0(x)
（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”， 但不能相反；
（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从 生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型， 用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出 部分解释。
□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
（3）被保险人在未来某个时期的生死是不确 定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算 的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否， 他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一 起。
从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过 程，这个过程有以下特征：
（1）存在两个状态：生存和死亡；
（2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分 为生存者和死亡者；
率是 P(T050)S0(50)；（2）而在60岁
之前死亡的概率可表示成
P(X060)F 0(60)
（3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为
P ( 5 0 X 0 6 0 ) F 0 ( 6 0 ) F 0 ( 5 0 )
三、 x岁个体的生存分布
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为 T x ，则 Tx T0 x 。
tqx1tpx, t uP xtpxupx tupxtpx u u|tqxupxtqx u, u|tqxupxu tpx
（3）对 0ht，有 tpxhpxthpxh
■定理证明: (1) tp x P r(T x t) P r(X x tX x ) s( s x (x )t)
(2)由 t q x 的定义可知
◆ 注明 从定义中可以看出： px 1qx
（二）未来任意期限内的生存与死亡概率
1） t p x : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再
活t年的概率；
2）t q x : 个体(x)未来t年内死亡的概率；
3）u |t q x : 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的概率， 即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
T0：一个刚出生的个体的寿命 假定T0的分布函数和密度函数
F0(t), f0(t)(t0), F 0(t)P [T 0t], f0(t)F 0 (t). 下面引入生存分布概念。
□ 生存函数（或生存分布）
定义：寿命X的生存函数（或分布）为
S 0 ( t) P ( T 0 t) , t [0 , ) 与分布函数的关系： S0(t)1F0(t)
第三章 生存模型与生命表
一、关于生存模型
（1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿 险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险 公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡 决定是否给付保险金；
（2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险 金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定 性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不 可预知）；
特别地， u| qx = u|1 qx .
◆ 注明 从定义中可以看出： tp x S x ( t ) P ( T x t ) ; t q x F x ( t ) P ( T x t )
□定理1 （1）生存概率
t
px
S0 (x t) S0 (x)
（2）对t 0,u0, 生存概率与死亡概率有如下 的关系：
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
1o S0(0)1
2 o S 0 (x )单 调 下 降 ， 右 连 续
3 o S 0(x) 0 ,x 时 。
■ 例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的概
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
S0(t)与 Sx(t)的 关 系 ：
Sx(t)P(Tx t)P(T0 xtT0 x) P(T0 xt)S0(xt) P(T0 x) S0(x)
（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”， 但不能相反；
（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从 生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型， 用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出 部分解释。
□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
（3）被保险人在未来某个时期的生死是不确 定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算 的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否， 他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一 起。
从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过 程，这个过程有以下特征：
（1）存在两个状态：生存和死亡；
（2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分 为生存者和死亡者；
率是 P(T050)S0(50)；（2）而在60岁
之前死亡的概率可表示成
P(X060)F 0(60)
（3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为
P ( 5 0 X 0 6 0 ) F 0 ( 6 0 ) F 0 ( 5 0 )
三、 x岁个体的生存分布
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为 T x ，则 Tx T0 x 。
tqx1tpx, t uP xtpxupx tupxtpx u u|tqxupxtqx u, u|tqxupxu tpx
（3）对 0ht，有 tpxhpxthpxh
■定理证明: (1) tp x P r(T x t) P r(X x tX x ) s( s x (x )t)
(2)由 t q x 的定义可知
◆ 注明 从定义中可以看出： px 1qx
（二）未来任意期限内的生存与死亡概率
1） t p x : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再
活t年的概率；
2）t q x : 个体(x)未来t年内死亡的概率；
3）u |t q x : 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的概率， 即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
T0：一个刚出生的个体的寿命 假定T0的分布函数和密度函数
F0(t), f0(t)(t0), F 0(t)P [T 0t], f0(t)F 0 (t). 下面引入生存分布概念。
□ 生存函数（或生存分布）
定义：寿命X的生存函数（或分布）为
S 0 ( t) P ( T 0 t) , t [0 , ) 与分布函数的关系： S0(t)1F0(t)
第三章 生存模型与生命表
一、关于生存模型
（1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿 险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险 公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡 决定是否给付保险金；
（2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险 金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定 性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不 可预知）；
特别地， u| qx = u|1 qx .
◆ 注明 从定义中可以看出： tp x S x ( t ) P ( T x t ) ; t q x F x ( t ) P ( T x t )
□定理1 （1）生存概率
t
px
S0 (x t) S0 (x)
（2）对t 0,u0, 生存概率与死亡概率有如下 的关系：