生存模型与生命表
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
.
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
1o S0(0) 1
2 o S 0 (x )单 调 下 降 ， 右 连 续 3 o S0(x) 0,x 时 。
.
（3）被保险人在未来某个时期的生死是不确 定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算 的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否， 他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一 起。
.
从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过 程，这个过程有以下特征：
（1）存在两个状态：生存和死亡；
（2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分 为生存者和死亡者；
第三章 生存模型与生命表
.
一、关于生存模型
（1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿 险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险 公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡 决定是否给付保险金；
（2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险 金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定 性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不 可预知）；
（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即定 价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
.
二、新生婴儿的生存分布
T0：一个刚出生的个体的寿命 假定T0的分布函数和密度函数
F0(t), f0(t)(t0), F 0(t)P [T 0t], f0(t)F 0 (t). 下面引入生存分布概念。
.
□ 生存函数（或生存分布）
定义：寿命X的生存函数（或分布）为
S 0 ( t) P ( T 0 t) , t [0 , ) 与分布函数的关系： S0(t)1F0(t)
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为 T x ，则 Tx T0 x 。
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
.
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
◆ 注明 从定义中可以看出： px 1qx
.
（二）未来任意期限内的生存与死亡概率
1） t p x : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再
活t年的概率；
2）t q x : 个体(x)未来t年内死亡的概率；
.
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et
et .
.
四、未来生存时间的密度函数 （一些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
.
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
.
■ 例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的
概率是 P(T050)S0(50) ；（2）而在60
岁之前死亡的概率可表示成
P(X060)F 0(60)
（3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为
P ( 5 0 X 0 6 0 ) F 0 ( 6 0 ) F 0 ( 5 0 )
.
三、 x岁个体的生存分布
.
□定理1 （1）生存概率
t
px
Hale Waihona Puke S0 (x t) S0 (x)
（2）对t 0,u0, 生存概率与死亡概率有如下 的关系：
tqx1tpx, t uP xtpxupx tupxtpx u u|tqxupxtqx u, u|tqxupxu tpx
（3）对 0ht，有 tpxhpxthpxh
.
■定理证明: (1) tp x P r(T x t) P r(X x tX x ) s( s x (x )t)
.
S0(t)与 Sx(t)的 关 系 ：
Sx(t)P(Tx t)P(T0 xtT0 x) P(T0 xt)S0(xt) P(T0 x) S0(x)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
3）u |t q x : 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的概率， 即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。
特别地， u| qx = u|1 qx .
◆ 注明 从定义中可以看出： tp x S x ( t ) P ( T x t ) ; t q x F x ( t ) P ( T x t )
（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”， 但不能相反；
（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从 生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型， 用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出 部分解释。
.
□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
(2)由 t q x 的定义可知
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ;
又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu)
P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
.
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
1o S0(0) 1
2 o S 0 (x )单 调 下 降 ， 右 连 续 3 o S0(x) 0,x 时 。
.
（3）被保险人在未来某个时期的生死是不确 定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算 的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否， 他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一 起。
.
从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过 程，这个过程有以下特征：
（1）存在两个状态：生存和死亡；
（2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分 为生存者和死亡者；
第三章 生存模型与生命表
.
一、关于生存模型
（1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿 险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险 公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡 决定是否给付保险金；
（2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险 金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定 性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不 可预知）；
（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即定 价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
.
二、新生婴儿的生存分布
T0：一个刚出生的个体的寿命 假定T0的分布函数和密度函数
F0(t), f0(t)(t0), F 0(t)P [T 0t], f0(t)F 0 (t). 下面引入生存分布概念。
.
□ 生存函数（或生存分布）
定义：寿命X的生存函数（或分布）为
S 0 ( t) P ( T 0 t) , t [0 , ) 与分布函数的关系： S0(t)1F0(t)
一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号 (x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为 一随机变量，记为 T x ，则 Tx T0 x 。
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
.
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
◆ 注明 从定义中可以看出： px 1qx
.
（二）未来任意期限内的生存与死亡概率
1） t p x : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再
活t年的概率；
2）t q x : 个体(x)未来t年内死亡的概率；
.
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et
et .
.
四、未来生存时间的密度函数 （一些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
.
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)
.
■ 例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的
概率是 P(T050)S0(50) ；（2）而在60
岁之前死亡的概率可表示成
P(X060)F 0(60)
（3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为
P ( 5 0 X 0 6 0 ) F 0 ( 6 0 ) F 0 ( 5 0 )
.
三、 x岁个体的生存分布
.
□定理1 （1）生存概率
t
px
Hale Waihona Puke S0 (x t) S0 (x)
（2）对t 0,u0, 生存概率与死亡概率有如下 的关系：
tqx1tpx, t uP xtpxupx tupxtpx u u|tqxupxtqx u, u|tqxupxu tpx
（3）对 0ht，有 tpxhpxthpxh
.
■定理证明: (1) tp x P r(T x t) P r(X x tX x ) s( s x (x )t)
.
S0(t)与 Sx(t)的 关 系 ：
Sx(t)P(Tx t)P(T0 xtT0 x) P(T0 xt)S0(xt) P(T0 x) S0(x)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
3）u |t q x : 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的概率， 即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。
特别地， u| qx = u|1 qx .
◆ 注明 从定义中可以看出： tp x S x ( t ) P ( T x t ) ; t q x F x ( t ) P ( T x t )
（3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”， 但不能相反；
（4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从 生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态；
（5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型， 用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出 部分解释。
.
□下面就是生存模型可给出回答的一些问题：
(2)由 t q x 的定义可知
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ;
又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu)
P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
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第二章 生命表函数与生命表构造
设生存分布函数
s(t ) e , t 0, 其中 0为参数。 求死亡力（t）,（t）,F t）。 f （
t
例1.1答案
(t ) e t -s 根据定义：（t）= t s (t ) e f (t ) - s(t ) e
t t
死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x x t
px exp{ s ds} exp{ x s ds}
x 0
t
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
死力的性质
1、当x 0时， x 0； 2、对于任意x 0，都有 3、 x 是死力，则
＋ t 0 ＋ x
s ds ；
p x s ds 1
死力性质2的证明
s( x t ) 证：性质 、显然成立,由于t p x＝ 13 , 且 lim s( x) 0 s ( x) x 故有lim t p x＝lim
/(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
0
x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 fT (t ) & g (t )
s ( x) s ( x t ) FT (t ) t qx 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t fT (t ) FT (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
生命表
501 2 1 1 1 1 1 0
506 5 3 3 2 1 1 0
0.5 2.0 4.6 3.9 3.1 2.3 1.4 0.5
67424 175 50 47 44 41 38 35
5.954 1.253 0.062 0.066 0.071 0.076 0.082 3.555
5.3 动态混合生命表：同时包括了存活率lx和出生率mx
第二章、种群生态学
§1 §2 §3 §4 §5
概论 种群的基本特征 生命表的特征和应用 种群增长 种群调节 种群进化对策
第二节、生命表 Life table
1. 概念
生命表是按种群生长的年龄或发育阶段的顺序而编制
的,是种群中个体存活、死亡和新生历程的系统记述。
简言之，生命表是直接记录种群内个体死亡和存活过程的一览表. 记录了与年龄或发育阶段相联系的某个种群特定年龄或特定时间的死 亡和生存情况。 统计预测特定年龄人群的生命期望（Life expectancy)。
There are three generalized patterns of age-specific survivorship depending on whether the probability of dying is highest later in life (Type I)
constant through life (Type II) or
0.067 0.137 0.222 0.342 0.426 0.556 0.699
0 300 620 430 210 60 30 10 —
5.2 静态生命表：
是根据某一特定时间对种群作年龄结构调查的资 料而编制的生命表。
Numerical data was obtained by investing age structure of population at one time.
3.1生存模型与生命表教案资料
（1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
第一章 生命表
60p20，2|3q50
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
3.1生存模型与生命表
■定理证明:
(1)
t
px Pr(Tx t ) Pr( X x t X x)
s( x t ) s ( x)
(2)由 t qx 的定义可知
t
qx P(Tx t ) 1 P(Tx t ) 1 t px ;
又由条件概率公式，有
u|t
qx P(u Tx t u ) P(Tx u ) P(Tx t u | Tx u )
S0 ( x) S ( x t ) f0 ( x t ) f x (t ) Fx (t ) 0 ; S0 ( x) S0 ( x)
xt
(2) S x (t )
S0 ( x t ) e S0 ( x)
s ds
x
e
xs ds
0
t
.
(3) f 0 ( x) S0 ( x) x , S0 ( x t ) S0 ( x) S x (t ), f x (t ) f0 ( x t ) S x (t ) x t t px x t S0 ( x)
S0 (64) 1 ) S0 (51) 8
□例3已知18岁的小王，再生存10年的概率为
0.95，再生存30年的概率为0.75.则其现年28岁 在48岁之前的死亡概率为。
□解:已知
10
p18 0.95， 30 p18 0.75
30
p18 10 p18 20 p28
0.75 0.2105 0.95
m n
注：生存函数 S0 (t ) 的性质
1
2
S0 (0) 1
S0 ( x)单调下降，右连续
寿险精算学-ch2
未来寿命的生存函数示意图
• t p0 =S0 (t)
• 1 px 简记为 px
特别符号
• t u qx t px tu px
• tu px t px u pxt
未来寿命生存函数的性质
• 定理1： 0 px 1
•
定理2：
d dt
t
px
0
,t 0
•
定理3：
lim
t x
t
px
0
• 由于死亡是必然发生的, 所以还可以得到如下两个引理:
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。 在这段时间里, 身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。 通常一种疾病治好了, 不久又会 产生另外一种疾病。 人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将 变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 所以本例中, 40 岁的人在85 岁时未来寿命的密度函数和 死亡力函数（以年为最小计量单位） 为：
f40 (45)
3758 97369
0.0386
生命表
基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下，2003年8月， 正式启动了新生命表编制项目。
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
由于不同年龄层次的人口死亡水平的高低 不同，反映在生存时间的长度上各有差异， 人口不同年龄层次分布计算
0岁组
1 3 L0 l0 l1 4 4
5岁以上各组的计算 1~4岁各年龄组的计算
1 Lx (l x l x 1 ) 2
1 1 Lx (l x l x 1 ) (d x 1 d x ) 2 24
指在生命表上年龄为x岁的死亡人数。其确切意义是指
已经活到x岁，但尚未活到x+1岁之前而死去的人数。
d0-从出生后到尚未满周岁前在此期间死亡的人数 d1-已满1岁到尚未满2周岁在此期间死亡的人数 d2-已满2岁到尚未满3周岁在此期间死亡的人数 …… d
1 d0，d1，d2， ……， d 1 ，此数列在生命表中为死亡序列
1995年我国发布的“中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)”(简 称原生命表)是我国第一张经验生命表。近年来，人民生活水平、 医疗水平有了较大的提高，保险公司核保制度逐步建立，未来保险 消费者群体的寿命呈延长趋势，原生命表已经不能适应行业发展的 要求。
与此同时，寿险业的快速发展也具备了编制新生命表的条件。主要 体现在三个方面： (1)10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； (2)保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大的改善； (3)保险精算技术获得了极大发展，积累了一些死亡率分析经验。
-已满 1 岁到尚未满 1 1 岁在此期间死亡的人数
生存序列和死亡序列间有着下列 关系：
l0 d 0 l1 l1 d1 l2 l2 d 2 l3 ...... l 1 d 1 l 11 l 0
第二章--生命函数与生命表理论
均匀分布下
0
ex
ex
1 2
第四节 死亡效力
瞬时死亡率，简记
x
lim
h0
S(x) S(x h) h S(x)
S ( x) S(x)
(ln S(x))
f (x) S(x)
死亡效力曲线称为“浴盆曲线”
死亡效力与生存函数关系：
x
S(x) exp{ 0 sds}
寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率， 后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t); (2)1qx记为qx ;
(3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u) Pr(x t X x t u X x) S(x t) S(x t u) S(x)
第八节 有关分数年龄的假设
基本原理:插值法
1）均匀分布假定(线性插值) 2）常数死亡力假定(几何插 值) 3）Balducci假定(调和插值)
均匀分布假定(线性插值)
s(x t) (1 t)s(x) ts(x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
s(x t) s(x)(1t) s(x 1)t , 0 t 1
例 假设某人群的生存函数为S(x) 120 x , 0 x 120. 求： 10
（1）39岁的人至少还能再活45年的概率； （2）56岁的人能活过71岁但活不过84岁的概率.
剩余寿命的期望和方差
o
e 期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记 x
o
wx
ex E(T (x)) t fT (t)dt t pxdt
生命表基础课件
t
（7） t qx FT (x) (t) 0 s px (x s)ds ；
（8）
qx
lim
t
FT
(
x
)
(t
)
0 t px (x t)dt 1；
（9）
d dt
t
px
d dt
(1
t qx )
d dt
t qx
t
px ( x
t)；
（10） lim xn ( y)dy . n x
上式中，当 u=1 时，则可简记为 t| qx 。 注：由前面的讨论，我们有，
（1）t qx
SX (x) SX (x t) SX (x)
；
（2）t
px
SX (x t) SX (x)
（3）t|u qx t px tu
； px
SX
(x
t) SX (x SX (x)
t
u)
)
S
X '( SX
x (
t x)
)
注：关于T（x）的概率都是已知 X x 时相应的 X 的条件概率。
类似地，我们定义一个x 岁的人在 t 年后活着的概率 ST (x) (t)为： ST (x) (t)=Pr(T(x)>t)=1 FT (x) (t)
=1 SX (x) SX (x t) SX (x)
例1-4. 对于例1-1中的 X ，求 (x) 。
解：黑板演示
第二节 生命表函数
一、生命表的概念 二、 lx 函数 三、d x函数
一、生命表的概念
第3章_生存模型与生命表
符号 p x 与 q x 可扩展到不只限于 1 年的死亡与生存概率。 定义：
t
p x ＝ S x (t ) ＝ P [ Tx ＞ t ]
t
q x ＝ Fx (t ) ＝ P [ Tx ≤ t ]
即， t p x 表示 x 岁的人在 x t 岁时仍然生存的概率； t q x 表示 x 岁的人在未来 t 年 中死亡的概率。显然，
x s 岁，并在一个很短的时间间隔 ds 里死亡的概率。这个定积分因此是这个人
在 x 岁到 x ＋1 岁之间任意一给定时刻死亡的概率的加总。这些事件当然都是独 立的，所以我们把它们的概率加起来得到总的概率 q x 。
（二） t p x 的公式
s ＝
即
( s p 0 ) s p0
d log( s p 0 ) ds
h x ≈ h q x
二、关于死亡力的一个重要公式：
1 x ＝ Iim PT0 x h | T0 x h0 h
1 F ( x h) F0 ( x) ＝ Iim 0 h0 h 1 F0 ( x)
＝
d 1 × F0 ( x ) 1 F0 ( x) dx
f x (t ) ＝
S (x t) 1 P[T x t h] P[T x t ] Iim S ( x) h0 h S (x t)
h 0
＝ S x (t ) × Iim ＝ S x (t ) × xt
1 P[T x t h | T x t ] h
t
p x ＝1－ t q x
且
t u
p x ＝ t p x × u p x t ＝ u p x × t p x u
容易理解：
t u
t
p x ＝ S x (t ) ＝ P [ Tx ＞ t ]
t
q x ＝ Fx (t ) ＝ P [ Tx ≤ t ]
即， t p x 表示 x 岁的人在 x t 岁时仍然生存的概率； t q x 表示 x 岁的人在未来 t 年 中死亡的概率。显然，
x s 岁，并在一个很短的时间间隔 ds 里死亡的概率。这个定积分因此是这个人
在 x 岁到 x ＋1 岁之间任意一给定时刻死亡的概率的加总。这些事件当然都是独 立的，所以我们把它们的概率加起来得到总的概率 q x 。
（二） t p x 的公式
s ＝
即
( s p 0 ) s p0
d log( s p 0 ) ds
h x ≈ h q x
二、关于死亡力的一个重要公式：
1 x ＝ Iim PT0 x h | T0 x h0 h
1 F ( x h) F0 ( x) ＝ Iim 0 h0 h 1 F0 ( x)
＝
d 1 × F0 ( x ) 1 F0 ( x) dx
f x (t ) ＝
S (x t) 1 P[T x t h] P[T x t ] Iim S ( x) h0 h S (x t)
h 0
＝ S x (t ) × Iim ＝ S x (t ) × xt
1 P[T x t h | T x t ] h
t
p x ＝1－ t q x
且
t u
p x ＝ t p x × u p x t ＝ u p x × t p x u
容易理解：
t u