生存模型讲稿(201009)(0920)
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Monday, September 20, 2010
《生存模型》讲稿
○模型适宜性讨论
在一个较长的时间间隔中，至少对人的生存模型，均匀分 布作为一个生存模型并不合适。然而，在历史上它正是为 此目的而被提出的第一个连续型概率分布（Abraham de Moivre, 1724）。 该分布的主要用于较短的时期。
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◎纵剖面研究（Longitudinal Studies）
不是选择一个时间区间，而是选择一研究群体并纵向地追踪该群体的经历至将来。 其中一种称为群体完整设计（cohort complete design）〖a group of people who share a
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○
S y F y
1 y 2 〖 ：中位数〗
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◎精算生存模型记号：
●总量模型： S ( x) （ x 0 ） ： x ， e0 ○死力（the force of mortality）
○ x 岁人群未来预期寿命（生命期望）
e[ x ] E T , x tf (t , x)dt
0
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◎参数生存模型举例
●均匀分布
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◎定义
随机变量T 表示一个研究对象从 t 0 到它失效的时间，因此常称为失
效时间随机变量（failure time random variable） 。
○
○
y dy ln S t
0
t
○
t S t exp y dy 0
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◎分布函数 F t 与生存分布函数 S t
●定义
F t Pr T t , S t Pr T t
如果T 是失效时间，那么在时间 t 该研究对象仍然运行的概率等于失 效时间迟于 t 的概率。也就是：
S (t) Pr(T t)
称为生存分布函数（survival distribution function）
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◎另一个例子：
相伴变量（日历年龄，性别，是否吸烟…）
○保险签约：保险签约是定义在 t 0 时的初始事件。 x 表示保险签约 时投保人的日历年龄。当 t 0 时， x 25 与 x 55 会使 S (t) 在有不同的 值…… 基于同样的理由：m 表示保险签约时投保人的性别，s（smoking）表 示 保 险 签 约 时 投 保 人 是 否 为 吸 烟 者 。 当 t 0 时 ， m "male" 与
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(t )
f (t ) ： S (t )
0
“常力” （分布）
1
E (T ) tf (t )dt
20
Var (T ) E (T 2 ) [ E (T )]2 ，
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f y dy
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◎危险率（函数）（hazard rate function, HRT）
●定义
t
f t S t
●含义
t 0时的群体中，那些生存到时间t的成员，在时间t处瞬间死亡的密 度〖单位时间内死亡人数〗
m " female" ， s "smoking " 与 s "no smoking " 都会使 S (t ) 在有不同的
值……
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◎定义
如果失效时间随机变量T 的生存分布函数与其他变量（ x ，m ，s …）有关，则称选
择模型（select models）,记为 S (t; x,m, s) 。 （ x ，m ，s …）称为相伴变量（Concomitant
variables） 。 S (t; x) 为常用的精算生存模型，其中 x 为某一选择年龄（select age） 。 如果， 定义在 t 0 时的初始事件是某人的实际出生日， 则T 亦即死亡时间， 通常用 X 表示，称死亡年龄（Age at death）或将来寿命随机变量（Future lifetime random variable） 。连同其生存分布，称综合模型，记为 S (x) 。
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● t ， f t 与 S t
d S t d dt t ln S t S t dt
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●指数分布
○指数分布生存模型：定义
S (t ) et , t 0, 0
○指数分布生存模型：性质
F t 1 e t ， f t e t
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◎三个例子：
失效时间（failure time）…
○一台空调机在室温很高的实验室中运转。空调机开始工作时相当 于时间 t 0 …… ○考虑注射了致癌物质的实验动物的生存研究。 注射致癌剂就是 t 0 的最初事件…… ○考虑己被诊断患某种疾病且已开始治疗的某些人的生存研究。如 果患病的那天记为 t 0 ……
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◎横截面研究（Cross_Sectional Studies）
首先定义研究群体 （study group） ,即一个可看作是相同人的总体。 如： 一个城市 （国 家，民族）的全部人口，一家人寿保险公司的保单持有人（policyholders），一个 养老金计划（a pension plan）的成员。 其次是观察期（observation period）的选择。这个时期一开始，作为研究群体成员 的许多人就被臵于观察之下。在观察期间，可能有其他人加入研究群体，也会有一 些人未死亡就退出了研究，这种进出活动称为迁移（migration） 。
0 t
，
t
t
S (t ) 1 F (t ) f ( y)dy
t
(t )
f (t ) 1 S (t ) t
E (T ) tf (t )dt
0
2
2
，
Var (T ) E (T ) [ E (T )]
2
2
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● t ， E T 与 var T
t t y dy ln S t 〖累积危险函数〗 S t e ，
0 t
○
○
E T tf t dt
0
0
S t dt ,
var T E T 2 ET
Topics:
■生存模型 （Survival Models） 与精算生存模型 （Actuarial Survival Models） ■研究方案设计（Study Design） ■生存模型数学（mathematical foundation） ■小结（summary）
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易纲论存货模型-两篇主题演讲+附录-19页精选文档
易纲：中国企业进入剧烈存货调整期2008年12月19日12月19日至21日，由北京大学北大汇丰商学院主办，北大私募股权投资同学会承办的“全球金融危机下中国经济的机遇与挑战论坛暨北京大学汇丰金融研究院成立暨北京大学PE首届年会”在北京万豪酒店举行。
嘉宾济济一堂，直面金融风暴来袭、大胆剖析世界未来经济走势，研讨中国下一步经济形式，探求最有效的迎战之术，以下是精彩观点易纲：人民银行副行长谢谢主持人！今天非常高兴有机会来参加这个会议！首先我向北京大学表示祝贺，祝贺北京大学汇丰商学院的成立，也祝祝贺北京大学汇丰金融研究院的成立！我今天演讲的题目有一点技术性，我想讲一个存货的模型，有这个存货的模型来解释为什么目前中国经济下滑的这么厉害，希望对在座的各位，研究中国经济周期问题、研究金融问题有所帮助。
我们首先看到，目前在数据上有些矛盾，一个最重要的事儿就是说，如果我们用支出法来测度GDP的话，我们会看到支出法的GDP我们仍然非常强劲。
什么是支出法呢？等于投资、消费、净出口相加，就是支出法的GDP。
我们固定资产的投资多高呢？1-11月份累计为26.8%，这是名义的，如果变成实际的投资还有18.7%，也就是说固定投产一年看起来相当强劲，这是城镇的固定资产投资，如果全国的固定资产投资而言这是一个很重要的值，也就是说投资是非常强劲的。
第二看消费，消费品零售总额1-10月份累计的名义增长是20.9%，实际增长也有14.7%，相当强劲。
再看看净出口，虽然11月份净出口是负的，但1-11月份的贸易顺差是2560亿美元，也就是说看中国的GDP，看三驾马车：投资、消费、净出口，从现在目前的数字来看都是相当强劲的。
第二，目前大家对经济增长下滑的担心非常大，这种下滑的担心主要是来自生产法计算的GDP，这是三次产业的加总，也就是我们平常熟悉的GDP等于什么呢？GDP等于第一产业的增加值加上第二产业的增加值加上第三产业的增加值，把这三次产业的增加值都加起来就是我们的GDP，实际上中国的第二产业是最大的，其中工业是最大的，接近48%点几。
3.1生存模型与生命表教案资料
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多 少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种 人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即 定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男 性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率； 称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质
【口才与演讲类范文精选】生存主题演讲
范文资料精选
生存主题演讲
独立不仅仅是一种生存方式，还是一种信念、一种力量、一种坚持。
这种独立的生存方式能使弱者变得强大，强者变得更强。
我坚信：独立一定是学会生存的答案。
下面是小编为您整理的关于生存主题演讲，希望对你有所帮助。
生存主题演讲篇一
尊敬的老师，亲爱的同学们：
大家好!
人最宝贵的生命，人的生命只有一次，是父母和上天的恩赐。
生命本身是幸福的，但也是短暂的，总有一天会走到终点。
因此我们每个人在这短短的几十年中里面，应该学会生存。
那么生存是生命呢?生存是珍惜生命，生存就是有所追求，生存就是积极向上的人生态度。
我们在日常生活中一定要学会如何生存。
如果有一天灾难来临时，我们就首先应该学会如何避险，如何保护自己;在遇难的时候，我们应该沉着冷静，想想怎样去解决问题;当我们在生死边缘徘徊时，我们应该努力挣扎，学会如何不被阎王抓去，延长自己的生命。
而现在我们人类不断的胡乱破坏地球环境，真是在给自己挖坟墓。
地球上的资源和能源已经在慢慢枯萎，如果我们再这样无知得开发和浪费下去，我们人类
1。
生存函数模型
对皮卡车市场的现状和影响皮卡车市场需求因素的分析基础之上，对GDP 、城市化率、商品房销售面积、公路货运量、贸易进出口等相关因素进行分析，进而做出未来皮卡车市场的需求预测。
1. 模型构建从皮卡车最本质的驱动要素购买力出发，借鉴研究机构较成熟的预测模型——基于GDP 的基础预测模型，即探索建立以GDP 为核心变量，城市化率、商品房销售面积、公路货运量、贸易进出口为调整变量的皮卡销售量预测模型。
675121324354(*)****1+a a X a a X a X a X a X Y e+++++=Y 为皮卡销售量；5X 为GDP ；1X 为商品房销售面积； 2X 为公路货运量； 3X 为贸易进出口； 4X 为城市化水平；该模型是一非线性回归预测模型，是为探索以GDP 为核心的变量与皮卡车销售量之间的复杂函数关系。
我们以全国为例，收集数据对系数进行量化，数据来源于中国统计年鉴（2004—2010）。
我们用SPSS 统计软件的非线性回归分析来确定系数。
模型最终形式为：5871234(11110.00001)9.03610175324.6699026.9082293.689 5.285101+X X X X X Y e-+⨯⨯+⨯-⨯-⨯+⨯⨯=2. 分指标预测我们知道了2008-2010年的数据，要对2011-2015年的皮卡销售量进行预测，还需要知道第2004-2010年的GDP 、城市化率、商品房销售面积、公路货运量、贸易进出口的数据。
因此还需要对这5个指标分别进行预测，本文采用‘S 型曲线’回归预测。
运行程序可以得3. 皮卡销售量预测将上表的数据代入前面所求的回归模型，可以得到2011-2015年我国皮卡车销售量的预测值：模型的建立基于皮卡车最本质的驱动要素购买力，它适用于某一国家地区，换言之，需求预测可以基于全国层面，也可以对各个省进行预测。
生存模型的概念及生存模型数学
最小二乘估计
通过最小化误差平方和来估计未知参数，适 用于线性回归模型。
贝叶斯估计
利用先验信息结合样本数据来估计未知参数， 能够综合考虑已知和未知信息。
检验方法
01
显著性检验
通过比较不同样本或不同处理组 的结果，判断其差异是否具有统 计学上的显著性。
02
拟合优度检验
03
异方差性检验
检验模型是否能够很好地拟合实 际数据，常用的方法有卡方检验、 残差分析等。
应用场景
适用于具有已知或假设的分布形式的生存数据，如某些医学和工程领域的研究。
非参数生存模型
定义
非参数生存模型是一种不假定数据遵循特定 分布的模型，它根据数据本身的特点进行建 模。
特点
非参数生存模型不对生存时间的分布做出假设，而 是直接根据实际观测数据进行建模。
应用场景
适用于分布形式未知或多种分布形式可能的 生存数据，如某些生物学和环境科学领域的 研究。
06 生存模型的发展趋势与挑 战
生存模型的发展趋势
生存分析在医学领域的应用
随着医学研究的深入，生存分析在临床试验、流行病学和生物统计学等领域的应用越来越广泛，研究疾病发生、发展 和转归的过程，为临床决策提供依据。
生存分析与机器学习的结合
机器学习算法在生存分析中的应用逐渐成为研究热点，通过数据挖掘和预测模型，对生存时间进行更精确的预测和风 险评估。
R语言的灵活性和开放性使得用户可以根据自己的需求进行定制和扩展，实现特定的 生存分析方法。
Python实现
Python是一种通用编程语言，也广泛应用于数据分析和科学计算。
Python有许多生存分析库，如lifelines、survivalml等，提供了丰富的生 存分析方法和工具。
生命生存生活演讲稿(模板6篇)
生命生存生活演讲稿(模板6篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如职场文书、公文写作、党团资料、总结报告、演讲致辞、合同协议、条据书信、心得体会、教学资料、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, this store provides various types of classic sample essays for everyone, such as workplace documents, official document writing, party and youth information, summary reports, speeches, contract agreements, documentary letters, experiences, teaching materials, other sample essays, etc. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!生命生存生活演讲稿(模板6篇)演讲作为人类一种社会实践活动，它必须具备以下几个条件：演讲者、听众、沟通二者的媒介以及时间、环境。
2寿险2
2.3 多生命模型与单生命模型的关系
联合生存状态与最后生存者状态都与(x), (y) 中任一个体的生存状况相关; 基于集 合的观点, 二元函数满足对称性时, 关于 联合生存状态与最后生存者状态的函数 计算可转化为 T(x) 和 T(y) 的函数. 结论2.3.1 在不要求 T(x)与T(y) 相互 独立时, 有
2.7.1 UDD假设
设个体 (x) 在年龄段 [x,x+1) 假设成立, 个体 (y) 在年龄段 [y,y+1) 假设成立. 则 有 结论 2.7.1 对 t (0,1), fT ( xy ) (t ) qxy (1 2t )qx qy .
例 2.7.1 个体(x)和个体(y)在每一年龄年 UDD假设成立. 已知 qx qy 1, 求 exy .
cov(T ( xy), T ( xy)) (ex exy )(ey exy ).
2.4 联合生存状态
结论 2.4.1 在个体(x)和个体(y)独立的条件下, 有
t
pxy t px t py , xy (t ) x (t ) y (t ).
例 2.4.1 个体(60)和个体(65)独立, 都来自服从 de Moivre 死亡力的群体, 参数w=100. 计算 T(60:65)的密度,生存函数和死亡力函数. 计算 从现在起, 第一个死亡个体在未来10年至20年 之间死亡的概率.
30 40:50
2.7 单生命个体的假设
类似于个体在分数年龄的死亡分布的研究, 对 多生命模型, 可以基于以下2种情况讨论多生 命个体在分数年龄上的分布: (1) 多生命模型中的每一个体在每一年龄年死亡 均匀分布假设成立; (2) 由多个个体组成的群体在每一年龄年死亡均 匀分布假设成立.（联合生存状态或最后死亡 状态在每一年龄年死亡均匀分布假设成立） 我们只讨论第一种情况. 第二种情况类似于单生 命模型.
《生存模型》习题参考答案（第一章）
《⽣存模型》习题参考答案（第⼀章）《⽣存模型》习题参考答案1．1 解：（1）0.5()()0.05(100),0100df t S t t t dt-=-=-?0.50.05(36)0.05(10036)80.00625f -=-==（2）0.510.5()0.05(100)()0.5(100),0100()0.1(100)f t t t t t S t t l ---===-?-1(50)0.5(10050)0.01l -=-=（3）10()()0.5(100)0.5ln(1100),0100t t t s ds s ds t tl -L ==-=--?蝌(75)0.5ln(175100),01000.693147t L =--唬<（4）1001001000.50200[]()()0.1(100)366.66E T tf t dt S t dt t dt ===-==蝌& （5）10010022[]()2()0.4800000.2(100)(100)315E T tf t dt tS t dtt t dt t dt ===-=-=蝌蝌{}2228000020040000var[][][]15345888.88T E T E T 骣÷?=-=-==÷?÷?桫& 1．2 解：（1）{}{}201()exp ()exp ()exp (),02tt S t x dx a bx dx at bt t l 禳镲=-=-+=-+?睚镲镲铪蝌（2）21()()()()exp (),02f t t S t a bt at bt t l 禳镲==+-+?睚镲镲铪（3）令22211()exp ()()exp ()022d f t b at bt a bt at bt dt 禳禳镲镲=-+-+-+=睚睚镲镲镲镲铪铪，得：t =。
此时，(),0f f t t 吵桫，即t =为分布的众数。
生存模型
例2.2 根据 S (t ; x)求出所选取的 x 岁人活到 ( x + 10) 岁，并在 ( x + 20) 岁前死亡的概率。 解：先求 ( x + 10) 岁的人在 ( x + 20) 岁前死亡的 概率 10 q[ x]+10 。于是：
10
q[ x ]+10 = 1 − Pr 在（x + 20）岁仍生存 活到（x + 10）岁后
t
f ( y )dy
显然有：
∫
t
+∞
0
f ( y )dy = 1
概率密度函数表示开始时刻 t = 0的实体在时间 t 失效（或死亡）的密度，或者称为在时间的非 条件死亡密度
2. 危险率函数:
在生存到时间 t 的条件下，在时刻 t 处的瞬间 死亡密度称为时间 t 处的危险率，记为 λ (t )。显 然 λ (t ) 是在生存到时间 t 的条件下的死亡密度， 从而有：
2、选择模型 选择模型
S （1） (t ; x ) 符号定义 考虑这样一个生存模型，其用于年龄为 x (假设是一整数)为保险保障而挑选来的人的保 险计算。此时，保险签约前述定义在 t = 0 时的 初始事件，因而一般地说模型给出了时刻 t 仍 然活着的概率。例如，如果我们仍然想用 S (t ) 函数的话，那么 S (10) 就给出了在时刻 t = 10 时存 活的概率(可能是以年来度量)。我们当然也会 x 赞同当 t = 0 时， = 25与 x = 55 会使 S (10) 有不同 的值。
0
ω
ω
2
2
（5）
Var (T ) = E (T ) − [ E (T )] =
2
ω
2
3.1生存模型与生命表PPT
又记 T x 的整数部分为 K x ，小数部分为 S x 则
Tx Kx Sx
1
同时， T x 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 Fx(t),Sx(t)和fx(t) 表示。
2 |2 q 2 2 2p 2 22 q 2 4 S S 0 0 ( (2 2 4 2 ) )(1 S S 0 0 ( (2 2 6 4 ) )) 0 .0 1 9 6
5p20
S0(25) S0(20)
0.9512
1
例8 设(x)的未来寿命的密度函数为
fx(t)
1
，0t
95
95
0,
其他
利息力=0.06， 保额为一个单位的终身寿险的现值
P(Tx u)P(Tx t u)
u px tu px
（3）对 0ht，
QP(Tx
t)|Tx
h)
P(Tx t,Tx h) P(Tx h)
P(Tx t) P(Tx h)
tpxP (T xt)P (T xh )P (T xt|T xh ) hpxt hp x h
1
□例2 已知生存函数 S0(x)(110 x0)1/2,0x100
Tx的分布函数：
Fx(t)P(Tx t)
生存函数（生存分布）：S x(t) P (T x t) 1 F x(t)
密度函数： fx(t)F x(t)Sx (t)
1
F0(t)与 Fx(t)的 关 系 ：
Fx(t) P(Tx t) P(x T0 x t T0 x) P(x T0 x t) P(T0 x) F0(x t) F0(x) 1 F0(x)