中国精算师《寿险精算》章节题库(第1章 生存分布与生命表——第3章 生存年金的精算现值)【圣才出品】
保险精算第二版习题及答案
该趸交纯保费为：
3000
A1 50:20
1500
A1 50:20
其中
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
试计算：
（1） A1 。 x:20
（2）
A1 x:10
。改为求
A
1 x:20
4． 试证在 UDD 假设条件下：
(1)
A1 x:n
i
A1 x:n
。
(2)
Ā x:n
A1 x:n
i
A1 x:n
。
5． (x)购买了一份 2 年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任
范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金 1 元， qx 0.5,i 0,Var z 0.1771 ，试求 qx1 。
（1）法一：1000 A1 35:5
4
v k 1 k pxqxk
k 0
1 l35
(
d35 1.06
d36 1.062
d37 1.063
d38 1.064
d39 1.06
5)
查生命表 l35 979738, d35 1170, d36 1248, d37 1336, d38 1437, d39 1549 代入计算：
法二：1000 A1 1000 M 35 M 40
35:5
D35
查换算表1000 A1 1000 M35 M 40 1000 13590.22 12857.61 5.747
1、社会保障精算(第一章)寿险精算基础(3)
死亡率
0.003500 0.003000 0.002500 0.002000 0.001500 0.001000 0.000500 0.000000
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
0
4
8
年龄
1.2.1 基本函数（生命表的基本内容） 基本函数（生命表的基本内容）
已知： 已知： 求： 解：
1|
l20 = 1000
1|
l21 = 998
l22 = 992
q 20
d 20 +1 d 21 l 21 − l 22 = = = l 20 l 20 l 20
998 − 992 = = 0 . 006 1000
q 20
q 20
1|
已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率 已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率 40岁的死亡率为0.04 0.06，42岁的人生存到43岁的概率为0.92。 岁的人生存到43岁的概率为0.92 为0.06，42岁的人生存到43岁的概率为0.92。如果 40岁生存人数为100人 岁生存人数为100 43岁时的生存人数 岁时的生存人数。 40岁生存人数为100人，求43岁时的生存人数。
0
x
定义式
死亡 时点
ω −1
105
时间
s( x) = Pr( X > x)
s ( 0) = 1
s (105) = 0
lx s( x) = l0
s ( x ) = x p0
s( x) = 1 − F ( x)
岁的人在0～ 之间存活的概率 之间存活的概率） （表示0岁的人在 ～x之间存活的概率） 表示 岁的人在
寿险精算(第一章)
还可证明：
由于 X (t ) ( x t )
sT ( x ) '(t ) sT ( x ) (t ) (ln sT ( x ) (t )) ',
(ln sT ( x ) (t )) ' ( x t ), ln sT ( x ) (t ) (ln sT ( x ) ( s)) 'ds ( x s)ds,
结论与例子： 结论1.2.1 生存函数s(t)和密度函数f(t)可用死亡 力来 (t ) 表示:
( s )ds ( s )ds s(t ) e 0 , f X (t ) (t )e 0 .
t t
证明：
由于 (t )
f X (t ) ( FX (t )) ' (1 FX (t )) ' 1 FX (t ) s (t ) s (t )
i 1 l0
t
t
d x E ( Ix X i Ix t X i ) E ( t Dx ).
T ( x)
2) T(x)的死亡力
s ( x)
x (t )
fT ( x ) (t ) 1 FT ( x ) (t )
X与T(x)的分布、密度、生存、死亡函数的 关系
结论1.3.1
f X (x t) fT ( x ) (t ) , t 0; s ( x)
t
( x s ) ds sT ( x ) (t ) e 0 ;
人数.
L( x) I X i x
i 1
l0
lx E ( L( x)) E ( IX i x ) l0 P( X1 x) l0 s( x).
保险精算李秀芳章习题答案
保险精算李秀芳章习题答案保险精算李秀芳章习题答案The document was prepared on January 2, 2021第⼀章⽣命表1．给出⽣存函数()2 2500 xs x e-=，求：(1)⼈在50岁～60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的⼈在60岁以前死亡的概率。
(3)⼈能活到70岁的概率。
(4)50岁的⼈能活到70岁的概率。
2.已知⽣存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)FT (t)(4)fT(f)(5)E(x)3. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=，Pr［T(60)＞5］=，求q65。
4.已知Pr［T(30)＞40］=，Pr［T(30)≤30］=，求10p60Pr［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S（30）= S（70）=×S(30)Pr［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)= S(60)=×S(30)∴10p60= S(70)/S（60）==5.给出45岁⼈的取整余命分布如下表：求：1）45岁的⼈在5年内死亡的概率；2）48岁的⼈在3年内死亡的概率；3）50岁的⼈在52岁⾄55岁之间死亡的概率。
(1)5q45=（++++）=6.这题so easy就⾃⼰算吧7.设⼀个⼈数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的⽣命表计算（取整）（1）3年后群体中的预期⽣存⼈数（2）在40岁以前死亡的⼈数（3）在45-50之间挂的⼈(1)l39=l36×3P36=l36(1-3q36)=1500×（）≈1492（2）4d36=l36×4q36=1500×（+）≈11（3）l36×9|5q36=l36×9P35×5q45=1500××=1500×≈338. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。
保险精算习题及答案
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
中国精算师《寿险精算》过关必做(含真题)习题集(生存分布与生命表)【圣才出品】
计算 80.5 岁的人在两年之内死亡的概率为（ ）。
A．0.0782
B．0.0785
C．0.0790
D．0.0796
E．0.0800
【答案】A
【解析】死亡服从 UDD 假设，故
x0.5
qx 1 0.5qx
所以 qx
x0.5
1 0.5x0.5
。
从而 q80
80.5
1 0.580.5
0.0202 1 0.5 0.0202
0.02 ，
q81
81.5 1 0.581.5
0.0408 1 0.5 0.0408
0.04
，
q82
82.5
1 0.582.5
0.0619 1 0.5 0.0619
0.06
故 80.5 岁的人在两年之内死亡的概率为：
q2
1 l80
p80 p81 1 0.5q82 l80 1 0.5q80
【解析】由于
， 。
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故 Var(K)=E(K2)－E2(K)=2.8－1.32=1.11。
7．（样题）设 A． B． C． D． E． 【答案】C 【解析】由于
故
，X 为整数，0≤t≤1，那么
为（ ）。
， 。
计算 5p70 的值为（ ）。
A．0.85
B．0.86
C．0.87
D．0.88
E．0.89
【答案】E
s 73
s 73
【解析】由于 3 p70 s 70 0.95 ， 2 p71 s 71 0.96 ，
故 5 p70
1 p70×4 p71
第一章 生命表
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
保险精算习题及答案
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
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（4）死亡服从 UDD 假设。 计算 80.5 岁的人在两年之内死亡的概率为（ ）。[2008 年真题] A．0.0782 B．0.0785 C．0.0790 D．0.0796 E．0.0800 【答案】A 【解析】死亡服从 UDD 假设，故
4．设（x）的未来寿命 T=T（x）的密度函数是
利率力为 δ=0.06，保额为一个单位的终身寿险的现值随机变量为 Z，那么满足 Pr（Z ≤ξ0.9）=0.9 的分位数 ξ0.9 的值为（ ）。[2008 年真题]
A．0.5346 B．0.5432
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C．0.5747
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D．0.5543
E．0.5655
【答案】E
【解析】令
解得：h=9.5,即 lnξ0.9=9.5lnv。 故 ξ0.9=exp（-9.5δ）=0.5655。
5．设 s（x）=
A．40.5 B．41.6 C．42.7 D．43.8 E．44.9 【答案】C 【解析】
A．0.041 B．0.042 C．0.043 D．0.044 E．0.045 【答案】D 【解析】已知死亡服从均匀分布假设，故
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9．设 lx=10（100-x）2，0≤x≤100，计算 Var（T（x））=（ ）。 A． B． C．
【答案】E
【解析】由于 3
p70
s 73 s 70
0.95，2 p71
s 73 s 71
0.96，
故5 p70
1 p70×4 p71
s s
71 70
×4 p71
p ×e 3 70
－
75
71 xdx
2 p71
0.89。
2．已知： （1）μ（80.5）＝0.0202； （2）μ（81.5）＝0.0408； （3）μ（82.5）＝0.0619；
而 30p18=10p18·20p28,所以
，
故 20q28=1- =0.2105。
15．设 A．1＋y B．1-y C． D． E． 【答案】A 【解析】因为
所以
，则 T（y）的中值为（ ）。
，所以
， ，所以 m（y）=1＋y。
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D．
E． 【答案】A 【解析】由已知，得
10．设 x
x 100
，计算
20｜10q5=（
）。
A．
B．
C．
D．
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E．
【答案】C
【解析】由于
，
故
11．已知 T（0）的分布为：
。则新生婴儿在 30 岁和 50
岁之间死亡的概率为（ ）。 A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7 E．0.9 【答案】A 【解析】Pr[30<T（0）<50]=F0（50）-F0（30）=50/100-30/100=0.2。
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第 1 章 生存分布与生命表
选择题
1．已知：
（1）3p70＝0.95；
（2）2p71＝0.96；
（3）
=0.107。
计算 5p70 的值为（ ）。[2008 年真题]
A．0.85
B．0.86
C．0.87
D．0.88
E．0.89
12．已知：s（x）= 之间死亡的概率为（ ）。
A．119 岁的人在 36 岁至 75 岁
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D．1/5
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E．1/3
【答案】E
【解析】解法①：
解法②： 。
16．设某随机变量 X 的生存函数为：s（x）=ax3＋b,0≤x≤k。若 E（X）=90，则 Var （X）=（ ）。
故 80.5 岁的人在两年之内死亡的概率为：
3．已知 （1） =25；
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（2）lx=ω-x,0≤x≤ω； （3）T（x）为未来剩余寿命随机变量。 计算 Var[T（10）]的值为（ ）。[2008 年真题] A．65 B．93 C．133 D．178 E.333 【答案】C 【解析】由 lx=ω-x 可知 x 服从均匀分布，故由 =25=ω/2，得 ω=50， 所以
【解析】由于
，
7．设 A． B．μx
，x 为整数，0≤t≤1，那么 μx＋t 为（ ）。
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C．
D．
E．
【答案】C
【解析】由于
，
故
8．设 q70＝0.04，q71＝0.05，假定死亡是均匀分布的。计算（70）在年龄 70.5 与 71.5 之间死亡的概率为（ ）。
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则其现年 28 岁在达到 48 岁之前的死亡概率为（ ）。
A．0.2105
B．0.2308
C．0.2409
D．0.2503
E．0.3105
【答案】A
【解析】由题意知：10p18=0.95，30p18=0.75，
，0≤x≤100，则 =（ ）。
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6．给定生命表，如表所示。则整值剩余寿命 K（96）的方差 Var（K）=（ ）。 表 生命表
A．0.39 B．0.53 C．0.91 D．1.11 E．1.50 【答案】D
13．设 s（x）是生存函数，函数 φ（x）=
且 φ（x）＋s′（x）=0，则生存函
数 s（x）的极限年龄 ω 为（ ）。
A．121
B．122
C．125
D．128
E．130
【答案】C
【解析】由 φ（x）＋s′（x）=0 知：s′（x）=-φ（x）。
即 φ（x）为未来寿命的概率密度函数。
。
14．已知现年 18 岁的小王，再生存 10 年的概率为 0.95，再生存 30 年的概率为 0.75。