3.3选择终极生命表分解
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生命表的编制
3.5.2生命表的种类与选用
• 国民生命表：根据全体国民或者特定地区 的人口的死亡统计数据编制的生命表。 • 经验生命表：保险公司 • 基础生命表：人寿保险公司计算保费所使 用的生命表。（终极表） • 年金生命表：根据年金购买者的死亡资料 编制的生命表。
3.5.3 注意事项
• 安全性 • 稳定性 • 合理性
选择表 终极表 选择和终极表 综合生命表
终极表的死亡率要比选择表的死亡率高，也比综合表的死亡 率高； 选择表的死亡率要比终极表的死亡率低，也比综合表的死亡 率低。分析课本p66,表3-3选择生命表的基本项目函数
0
l[ x ]+ n , d[ x ]+ n , q[ x ]+ n , e[ x ]+ n 等，它们之间的关系与生命表类似。 d[ x ]+ n = l[ x ]+ n − l[ x ]+ n +1 q[ x ]+ n = d[ x ]+ n l[ x ]+ n
Eg3.5 假设有选择和终极表3-4所示,求 2 [x] 30 31 32 33
p[31] ,2 q[31]+ 2 ,1 p[30]+1.
l[ x ]+ 2
995 988 982 970 X+2 32 33 34 35
l[ x ]
1000 996 994 987
l[ x ]+1
998 994 990 983
3.5 生命表的编制
• • • •
生命表编制的一般方法 生命表的种类及其选用 编制生命表的注意事项 选择生命表
3.5.1 生命表编制的一般方法
实际同批人生命表的优缺点的分析： 1 需要纵向跟踪一批人从生到死的全部过 程； 2 不能说明现在在某个时期的死亡水平； 3 很难取得完整的原始资料。 结论：实际中一般不采用这种方法。
寿险精算第二讲：生命表构成及应用
生命表构建和运用学习重点：掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。
从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分布理论。
研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。
在精算学中，生命表也称死亡率表或精算表。
生命表通常以10万（或100万）人作为0岁的生存人数，然后根据各年中死亡人数，各年末生存人数计算各年龄人口的死亡率、生存率，列成表格，直至此10万全部死亡为止。
生命表上所记载的死亡率、生存率是决定人寿保险费的重要依据。
是反映一个国家或一个区域人口生存死亡规律的调查统计表。
即追踪一批人，逐年记录该人群的死亡人数，得到该人群从出生到死亡为止的各年龄死亡率，并进一步构成表格式模型，称为生命表。
一、生命表简介1、生命表的编制生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制，即纵向跟踪这批人从出生到死亡的的全部过程。
这种生命表成为实际同批人生命表。
但在实际中取得这批人死亡事件的完整资料，而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。
通常采用假设同批人方法编制生命表，即把某一时期各个年龄的死亡水平当成同时出生的一批人各个年龄的死亡水平看待。
这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。
2、生命表的分类在人口分析中，可按性别、地区、种族等对人口进行分类，从而分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
（1）国民生命表和经验生命表：国民生命表根据全体国民或特定地区的人口统计资料编制的统计表；经验生命表是寿险公司根据被保险人的死亡记录所编制的生命表。
由于寿险公司要求被保险人体检合格后才予以承保，所以，经验生命表的死亡率通常低于国民生命表的死亡率。
（2）寿险生命表和年金生命表：由于逆选择现象的存在，选择年金的人一般对身体健康状况较为乐观，而选择寿险的人对身体状况不太乐观，这两类人群的死亡率是有明显区别的。
寿险精算
f x (t )
qx
例：已知
l x 10000 (1
x ) 100
分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：
0.5
q30 ,5.25 q50，30.5
解： 1、q30 l30 l31 1 e p30 69
l30 70
0.5 q30 UDD 0.5q30
经验数据表明： q[ x n ] n q[ x n 1] n 1的值随着n的增大迅速缩小。一般当n 10时
选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率 差异明显的时期，也称为选择明显期。
•
选择生命表： 依据q[ n ] n 编制的生命表。它表明随年龄和已投保期而变动 的死亡规律。
基本原理:插值法 常用方法
均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)
三种假定
均匀分布假定(线性插值)UDD假设
S0 ( x t ) (1 t ) S0 ( x) tS0 ( x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
3、 30.5 UDD
q30 1 1 0.5q30 69.5
69 ) 70 q30 1 30.5 Balducci p30 0.5q30 69.5
30.5 CF ln( p30 ) ln(
二、选择-终极生命表
在对被保险人依一定的健康标准加以选择后，一组被保险人的死亡率不仅 随年龄而变动，而且随已投保年限长短变动。以 q[ x ] n 表示 x岁加入保险， 经过n年在x n岁的死亡概率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2 ] 2 这一差异可以忽略不计。
第一章 生命表
60p20，2|3q50
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
3.3选择终极生命表
•选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率 差异明显的时期，也称为选择明显期。
选择生命表：依据q[n]n编制的生命表。它表明随年龄和已投保期而变动 的死亡规律。
当选择效果消失时，死亡率只与年龄有关，如果选择期为r年，
投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等。此时，死亡
概率可以用qx表示，有
q q q [xr]r
5 q50 0.1
5 p50 0.9
q55
1 45
5.25
q50UDD
0.1
0.9
0.25
1 45
0.105
5.25 q50 CF
0.1 0.9 (1
44 0.25 )
45
0.1050422
0.25 5.25 q50 Balducci 0.1 0.9 44 0.25 0.1050847
1 1t t S0 (x t) S0 (x) S0 (x 1)
, 0t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 (x t) (1 t) S0 (x) t S0(x 1) (x为整数，0 t 1) S0 (x) t [S0 (x 1) S0 (x)]
＝0.5×0.006844 ＝0.003422 （b）由死亡力为常数，得：
log px log(1 qx )
于是，有：
＝1－ 0.5 q[56]1
p 0.5 [56]1
＝1－ e 0.50.006868 ＝0.003428
例：解释下列符号的意义，计算它们的值，假设死亡率符合 A1967－1970
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的 新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的 老成员。
选择生命表：依据q[n]n编制的生命表。它表明随年龄和已投保期而变动 的死亡规律。
当选择效果消失时，死亡率只与年龄有关，如果选择期为r年，
投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等。此时，死亡
概率可以用qx表示，有
q q q [xr]r
5 q50 0.1
5 p50 0.9
q55
1 45
5.25
q50UDD
0.1
0.9
0.25
1 45
0.105
5.25 q50 CF
0.1 0.9 (1
44 0.25 )
45
0.1050422
0.25 5.25 q50 Balducci 0.1 0.9 44 0.25 0.1050847
1 1t t S0 (x t) S0 (x) S0 (x 1)
, 0t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 (x t) (1 t) S0 (x) t S0(x 1) (x为整数，0 t 1) S0 (x) t [S0 (x 1) S0 (x)]
＝0.5×0.006844 ＝0.003422 （b）由死亡力为常数，得：
log px log(1 qx )
于是，有：
＝1－ 0.5 q[56]1
p 0.5 [56]1
＝1－ e 0.50.006868 ＝0.003428
例：解释下列符号的意义，计算它们的值，假设死亡率符合 A1967－1970
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的 新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的 老成员。
保险精算第3章(3)
s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21
2019-生命表的编制-文档资料
以 q[x]n表 示 x岁 的 人 加 入 保 险 ， 经 过 n年 在 x n岁 的 死 亡 率 ， 有
q[ x] q[ x1]1 q[ x2]2 .....
选择性
经 验 数 据 表 明 ： 这 种 选 择 性 随 着 n的 不 断 增 大 迅 速 缩 小 。 一 般 ，
假设同批人生命表：
即把某一时期各个年龄的死亡水平当 作同时出生的一批人在一生中经历各个年龄 时的死亡水平看待，这样编制的生命表称之 为时期生命表或者假设同批人生命表。
1 可以描述某一时期处于不同年龄人群 的死亡水平
2 反映了假定一批人按这一时期各年龄 死亡水平度过一生时的生命过程。
分年龄中心死亡率：
当 n 10时 ， 这 一 差 异 可 以 忽 略 不 计 。 把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期称为选择
效 果 明 显 期 或 者 选 择 期 。 把 依 据 q[x]n编 制 的 生 命 表 称 为 选 择 生 命表。
当 选 择 效 果 消 失 时 ， 死 亡 率 只 与 年 龄 相 关 ， 如 果 选 择 期 为 r年 ， 投 保 期 超 过 r年 同 一 年 龄 上 的 死 亡 率 相 同 ， 此 时 死 亡 率 用 qx表 示 。 则
在保险精算中，反映被保险人死亡规律的经验生命表与人 口生命表是不同的。
1 被保险人不是全部人口中的随机群体；
2 被保险人是经过选择符合保险条件的人群。
因此，在年龄相等时，可以认为刚买保险的人比已经买了 若干年保险的人，死亡率更低，对保单资料的经验分析也可以 证明之。
结论：在对被保险人依一定健康标准加以选择后，一组被保险 人的死亡率不仅随年龄而变动，也随已投保年限长短变动。
3.5 生命表的编制
第四章 生命表
生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规 律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量 的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了 整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概 率分布情况。
• 生命表的发展历史
– 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡 名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表 的最早起源。 – 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用 了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因 而把Halley称为生命表的创始人。
s '( x) f ( x) x [ ln s( x)]' s ( x ) 1 F ( x)
• 死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x
(1.4)
px exp{ s ds}
x
x t
• 含义：
s ( x) s ( x x ) x lim x0 x s ( x) P{x将在 x x岁之前死亡} lim x0 x x瞬间死亡的比率
生命表基本函数
• lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 • ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx • nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
生存分布
• 一、新生儿的生存函数
• 二、x岁余寿的生存函数
• 三、死亡力
• 四、整值平均余寿与中值余寿
• 人类的“浴盆曲线”意味着：
– 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都 会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。 – 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属 于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。 – 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老 化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。
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1t q x t
三种假定下的生命表函数
函数
t
均匀分布
常数死亡力
Ballucci
t qx 1 (1 t ) qx
qx
tq x
yqx 1 tq x qx 1 tq x
1 e t
e
t
t px
y q x t
e t
q ,
q ，30.5
解： 1、q30 l30 l31 1 e p30 69
l30 70
0.5 30
70
q UDD 0.5q30
1 140 69 70
0.5 1 0.5 q30 CF 1 e
0.5 q30 Balducci
0.5q30 1 p30 0.5q30 139
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
x t
S0 '( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1) qx S0 ( x t ) S0 ( x) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] 1 tqx
死亡力恒定假设
当假设死亡力在x~x+1上恒定时， x t (x为整数，0≤t≤1)， d ln t p x 由死亡力的定义， x t dt
t qx
( x为整数， 0 t 1)
S0 ( x) S0 ( x t ) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] tqx S0 ( x ) S0 ( x)
死亡均匀分布假设
t qx y
S0 ( x y ) S0 ( x y t ) tqx S0 ( x y ) 1 yqx
第五节 生命表的编制
一、有关分数年龄的假设
使用背景:
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分 数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生 存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数 年龄的生存状况
基本原理:插值法 常用方法
均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)
经验数据表明： q[ x n ] n q[ x n 1] n 1的值随着n的增大迅速缩小。一般 当n 10时
选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率 差异明显的时期，也称为选择明显期。
•
选择生命表：依据q[ n ] n 编制的生命表。它表明 随年龄和已投保期而变 动 的死亡规律。
1 1 t t S0 ( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1)
, 0 t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 ( x t ) (1 t ) S0 ( x) t S0 ( x 1) S0 ( x) t [ S0 ( x 1) S0 ( x)]
2、5.25 q50 5 q50 5 p50 0.25 q55
5 q50 0.1 5 p50 0.9
q55
1 45
5.25
q50 UDD 0.1 0.9 0.25
1 0.105 45 ) 0.1050422
44 q CF 0.1 0.9 (1 5.25 50 45
5.25 q50 Balducci 0.1 0.9
0.25
0.25 0.1050847 44 0.25
3、 30.5UDD
q30 1 1 0.5q30 69.5
69 ) 70 q30 1 30.5 Balducci p30 0.5q30 69.5
30.5 CF ln( p30 ) ln(
二、选择-终极生命表
在对被保险人依一定的 健康标准加以选择后， 一组被保险人的死亡率 不仅 随年龄而变动，而且随 已投保年限长短变动。 以 q[ x ] n 表示 x岁加入保险， 经过n年在x n岁的死亡概率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2] 2 这一差异可以忽略不计 。
三种假定
均匀分布假定(线性插值)UDD假设
S0 ( x t ) (1 t )S0 ( x) tS0 ( x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
S0 ( x t ) S0 ( x)(1t ) S0 ( x 1)t
, 0 t 1
Balducci假定(调和插值)
px 1 (1 t ) qx yqx 1 (1 y t )qx qx 1 (1 t )qx
px qx [1 (1 t ) qx ]2
f x (t )
qx
例：已知
l x 10000 (1
x ) 100
分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：
0.5 30 5.25 50
(1 t ) 1 t s( x t ) s ( x) s( x 1)
巴尔杜奇(Balducci)假设
此时，
t qx
tq x 1 (1 t )q x tq x 1 (1 y t )q x
(1 t )q x
t q x y
（其中，0≤t≤1, 0≤y≤1, 0≤t+y≤1）
t dt 0 e t px e
死亡力恒定假设
若以
x1 / 2表示 x t ，有
x 1/ 2 ln px
此时，
tμx1/ 2 p e ( px )t t x
巴尔杜奇(Balducci)假设
以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设 是当x为整数，0≤t≤1时，生存函数的倒数是t的 线性函数，即
当选择效果消失时，死亡率只与年龄有关，如果选择期为r年， 投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等。此时，死亡 概率可以用qx 表示，有 q[ x r ] r q[ x r 1] r 1 q[ x r 2] r 2 qx 依据选择效果已经消失后的死亡概率资料编制的生命表 称为终极表。 注记： 由于终极表是选择表中选择效果消失后形成的表， 通常把他们放在一起，形成选择 终极表 由不分投保年数的死亡率资料编制的生命表， 称为综合表。
三种假定下的生命表函数
函数
t
均匀分布
常数死亡力
Ballucci
t qx 1 (1 t ) qx
qx
tq x
yqx 1 tq x qx 1 tq x
1 e t
e
t
t px
y q x t
e t
q ,
q ，30.5
解： 1、q30 l30 l31 1 e p30 69
l30 70
0.5 30
70
q UDD 0.5q30
1 140 69 70
0.5 1 0.5 q30 CF 1 e
0.5 q30 Balducci
0.5q30 1 p30 0.5q30 139
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
x t
S0 '( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1) qx S0 ( x t ) S0 ( x) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] 1 tqx
死亡力恒定假设
当假设死亡力在x~x+1上恒定时， x t (x为整数，0≤t≤1)， d ln t p x 由死亡力的定义， x t dt
t qx
( x为整数， 0 t 1)
S0 ( x) S0 ( x t ) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] tqx S0 ( x ) S0 ( x)
死亡均匀分布假设
t qx y
S0 ( x y ) S0 ( x y t ) tqx S0 ( x y ) 1 yqx
第五节 生命表的编制
一、有关分数年龄的假设
使用背景:
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分 数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生 存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数 年龄的生存状况
基本原理:插值法 常用方法
均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)
经验数据表明： q[ x n ] n q[ x n 1] n 1的值随着n的增大迅速缩小。一般 当n 10时
选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率 差异明显的时期，也称为选择明显期。
•
选择生命表：依据q[ n ] n 编制的生命表。它表明 随年龄和已投保期而变 动 的死亡规律。
1 1 t t S0 ( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1)
, 0 t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 ( x t ) (1 t ) S0 ( x) t S0 ( x 1) S0 ( x) t [ S0 ( x 1) S0 ( x)]
2、5.25 q50 5 q50 5 p50 0.25 q55
5 q50 0.1 5 p50 0.9
q55
1 45
5.25
q50 UDD 0.1 0.9 0.25
1 0.105 45 ) 0.1050422
44 q CF 0.1 0.9 (1 5.25 50 45
5.25 q50 Balducci 0.1 0.9
0.25
0.25 0.1050847 44 0.25
3、 30.5UDD
q30 1 1 0.5q30 69.5
69 ) 70 q30 1 30.5 Balducci p30 0.5q30 69.5
30.5 CF ln( p30 ) ln(
二、选择-终极生命表
在对被保险人依一定的 健康标准加以选择后， 一组被保险人的死亡率 不仅 随年龄而变动，而且随 已投保年限长短变动。 以 q[ x ] n 表示 x岁加入保险， 经过n年在x n岁的死亡概率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2] 2 这一差异可以忽略不计 。
三种假定
均匀分布假定(线性插值)UDD假设
S0 ( x t ) (1 t )S0 ( x) tS0 ( x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
S0 ( x t ) S0 ( x)(1t ) S0 ( x 1)t
, 0 t 1
Balducci假定(调和插值)
px 1 (1 t ) qx yqx 1 (1 y t )qx qx 1 (1 t )qx
px qx [1 (1 t ) qx ]2
f x (t )
qx
例：已知
l x 10000 (1
x ) 100
分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：
0.5 30 5.25 50
(1 t ) 1 t s( x t ) s ( x) s( x 1)
巴尔杜奇(Balducci)假设
此时，
t qx
tq x 1 (1 t )q x tq x 1 (1 y t )q x
(1 t )q x
t q x y
（其中，0≤t≤1, 0≤y≤1, 0≤t+y≤1）
t dt 0 e t px e
死亡力恒定假设
若以
x1 / 2表示 x t ，有
x 1/ 2 ln px
此时，
tμx1/ 2 p e ( px )t t x
巴尔杜奇(Balducci)假设
以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设 是当x为整数，0≤t≤1时，生存函数的倒数是t的 线性函数，即
当选择效果消失时，死亡率只与年龄有关，如果选择期为r年， 投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等。此时，死亡 概率可以用qx 表示，有 q[ x r ] r q[ x r 1] r 1 q[ x r 2] r 2 qx 依据选择效果已经消失后的死亡概率资料编制的生命表 称为终极表。 注记： 由于终极表是选择表中选择效果消失后形成的表， 通常把他们放在一起，形成选择 终极表 由不分投保年数的死亡率资料编制的生命表， 称为综合表。