第二章 生命函数与生命表理论
保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）
保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。
⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。
所以长期业务⼀般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。
所以短期业务⼀般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。
2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。
3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。
第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。
原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。
2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。
保险精算-生存函数
第二章 生存分布与生命表本章主要研究生存分布与生命函数第一节 生存分布本节主要研究：三个随机变量X 、T 、K 的分布，其中以X 的分布作为最基本的分布。
一、X 的分布X ：表示一个人从出生到死亡时间；个人寿命；连续型随机变量。
其分布函数记为()F x ，其密度函数记为()f x 。
于是 ()()F x P X x =≤ (0)x ≥()f x ='()F x =0()()limx F x x F x x∆→+∆−∆；其分子为在x 岁与x x +∆岁间死亡概率（不妨假设0x ∆>），当0x ∆→时，()f x 表示在x 岁这一瞬间的年死亡概率。
于是()F x =0()xf u du ∫12()P x X x <≤=21()()F x F x −=21()x x f u du ∫ ①记()s x =()P X x >=1()F x −为一个新生婴儿活过x 岁的概率。
在统计学中，常用分布函数()F x ；而在精算学中，则更多使用()s x 。
具有如下性质：①(0)1s = ； ②()0s +∞=；③()s x 是递减函数； ④()s x 一般为连续函数。
12()P x X x <≤=21()()F x F x −=12()()s x s x −. ()E X =()xf x dx +∞∫var()T =20(())()x E x f x dx +∞−∫=22()(())E x E x −。
二、T 的分布()T T x = 表示()x 未来能够生存的时间，或称为未来寿命或剩余寿命，连续型r.v 。
()T T x ==X x − 显然 (0)T X = T 的分布函数为 ()G t =(t)P T ≤=(|)P X x t X x −≤> =()()()s x s x t s x −+它表示()x 在未来t 年内的死亡概率。
密度函数为 ()g t ='()G t 表示()x 在x t +岁时的年度死亡概率。
流行病学中的生存分析与生命表计算
流行病学中的生存分析与生命表计算在流行病学研究中，生存分析和生命表计算是两个重要的统计方法，用于评估人群中发病率和死亡率的模式和趋势。
本文将介绍生存分析和生命表计算的原理和应用，并探讨其在流行病学研究中的重要性。
生存分析是一种研究个体从某个特定时间点到达某个特定事件的时间的统计方法。
在流行病学中，我们通常关心的特定事件可以是死亡、罹患某种疾病或其他特定的健康事件。
生存分析的目的是评估这些特定事件发生的概率和时间，并探索相关的影响因素。
在生存分析中，一个重要的概念是生存函数（Survival Function），它描述了个体在特定时间点之前生存下来的概率。
生存函数通常用Kaplan-Meier曲线来表示，它能够显示出随时间的推移，个体生存下来的比例。
通过比较不同人群的生存曲线，我们可以评估不同因素对生存的影响。
除了生存函数，另一个常用的统计量是累积风险（Cumulative Risk），它表示在某个时间点之前发生某个特定事件的概率。
累积风险通常用来比较不同人群在特定时间点之前罹患某种疾病的风险。
生命表是一种用于评估人群中死亡率和生存率的方法。
生命表主要包括年龄特定死亡率（Age-specific Death Rate）和年龄特定生存率（Age-specific Survival Rate）。
年龄特定死亡率表示在特定年龄段内，平均每单位人口中死亡的人数。
而年龄特定生存率则表示在特定年龄段内生存下来的人数占总人口的比例。
生命表计算可以帮助我们了解不同年龄段的人群死亡率和预期寿命。
通过比较不同群体或不同地区的生命表，可以评估不同因素对寿命的影响，并制定相关的健康政策。
生存分析和生命表计算在流行病学研究中具有广泛的应用。
在疾病流行病学研究中，生存分析可以帮助我们评估疾病的发展和预后，并了解不同因素对疾病生存率的影响。
在干预措施评估中，生存分析可以帮助我们评估干预措施对生存时间的影响，并比较不同干预组的效果。
第二章 生命表函数与生命表构造
设生存分布函数
s(t ) e , t 0, 其中 0为参数。 求死亡力（t）,（t）,F t）。 f （
t
例1.1答案
(t ) e t -s 根据定义：（t）= t s (t ) e f (t ) - s(t ) e
t t
死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x x t
px exp{ s ds} exp{ x s ds}
x 0
t
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
死力的性质
1、当x 0时， x 0； 2、对于任意x 0，都有 3、 x 是死力，则
＋ t 0 ＋ x
s ds ；
p x s ds 1
死力性质2的证明
s( x t ) 证：性质 、显然成立,由于t p x＝ 13 , 且 lim s( x) 0 s ( x) x 故有lim t p x＝lim
/(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
0
x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 fT (t ) & g (t )
s ( x) s ( x t ) FT (t ) t qx 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t fT (t ) FT (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
生命表算法
生命表函数及计算通过生命表可以得到任意年龄的人在任何期限内的生存概率、死亡概率等相关数据。
以下介绍生命表中揭示的那些栏目所代表的函数。
1、年龄区间[x,x+1][x,x+1]表示x到x+1岁的年龄区间，除最后一个年龄区间（如：89以上）为开区间以外，其余每一个区间都有两个确定的年龄值来定义。
通常，最后一个年龄区间的起点为ω，半开区间[ω,+∞]。
2、生存人数l x设正好活到某一确切年龄x岁的生存人数以l x表示生命表的基础是生存人数，它表示在一封闭区域一定数量的人口集团随着时间的推移因死亡而逐渐减少的人口生存状态。
生存人数l x表示正好活到某一确切整数年龄x岁的人数。
在人的生命表中，作为起点的出生人数l0称为生命表的基数，研究中可以任意取值，但为方便，一般设为100 000人。
3、死亡人数d xd x为年龄区间[x,x+1]内死去的人口数。
dx是生命表上年龄区间[x,x+1]内的死亡数，不同于实际人口死亡数。
根据定义可知l x+1=l x-d x x=0,1,……ω (7.23)4、死亡概率q xq x表示存活到确切年龄x岁的人在到达x+1岁前死亡的概率。
以x至x+1的死亡人数d z占x岁存活人数l x的比例表示。
q x＝d z/l x， x=0,1,……ω (7.24) q x这一指标是计算生命表的基础，在已知q x后，就可以依生命表基数l0由公式(7.1)和(7.2)计算出各年龄的存活人数l x和死亡人数d z。
l x+1=(1-q x)*l x , d z+1= q x*l x5、生存人年数L xx岁的人平均生存人年数L x是指年龄区间[x,x+1]的所有人在该区间内的存活年数，即活到确切年龄x岁的人群l z在到达x+1岁前平均存活的人年数。
人年是表示人均存活的符合单位，一人年表示一个人存活了一年。
把生存人数l x看作是在区间[t,t+1]内连续变化的函数，以此为基础的生存人年数L x的计算公式为：L x=1tx ttl dt++⎰ x=0,1……ω-1 (7.25)在死亡均匀分布（UDD）假设下，即我们假设l x曲线从x到x+1间是条直线那么，L x的计算公式可以写为：L x =(l x +l x+1)/2又根据公式(7.23)得：L x =(l x -d x +l x )/2=l x -d x /2 (7.26)注意到死亡均匀假设与l x 从0到ω是线性的假设不同，它仅在每一年年龄上假设是线性的，因此是l x 的比较精确的描述。
生命表分析
• 生命表正是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它是 以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出各年 龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
• 生命表分析方法不但可用于死亡研究，还可用 于初婚、离婚、再婚、生育、迁移、子女离家 等几乎所有人口过程的研究，因此将其作为人 口统计分析的工具之一重点研究。
规模的要求
• 要注意不是任何地区都可以计算完全生命表。对 于那些人口规模比较小的地区，若按1岁一组分， 某些年龄的死亡人数比较小，甚至会出现某些年 龄死亡人口为0的情况，这样计算的死亡率不具有 一般性或代表性，而是由于随机性产生的特殊情 况。这样的死亡率是没有意义的。因此只有当人 口总量达到一定规模后才可计算完全生命表。
一、生命表的产生和涵义
• 统计学的产生来源于英国的政治算术学派， 而政治算术学派的著名创始人之一格兰特的 代表性著作《关于死亡表的自然的和政治的 观察》一书，不仅对统计学产生具有极大影 响、而且为人口统计学的创立打下了一个良 好的基础。该书首次提出了死亡表的概念， 并且根据大量的实际死亡率资料，以百名出 生婴儿为基础，编制了死亡表。
的生存人数
• ndx ：number dying between ages x and x + n，
(x,x+n)内的死亡人数
• qn x ： probability of dying from age x to age x
+ n，(x,x+n)内的死亡概率
• nLx ： person-years lived between ages x and
L 0.276l 0.724l1
寿险精算学-ch2
未来寿命的生存函数示意图
• t p0 =S0 (t)
• 1 px 简记为 px
特别符号
• t u qx t px tu px
• tu px t px u pxt
未来寿命生存函数的性质
• 定理1： 0 px 1
•
定理2：
d dt
t
px
0
,t 0
•
定理3：
lim
t x
t
px
0
• 由于死亡是必然发生的, 所以还可以得到如下两个引理:
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。 在这段时间里, 身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。 通常一种疾病治好了, 不久又会 产生另外一种疾病。 人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将 变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 所以本例中, 40 岁的人在85 岁时未来寿命的密度函数和 死亡力函数（以年为最小计量单位） 为：
f40 (45)
3758 97369
0.0386
生命表基础课件
t
（7） t qx FT (x) (t) 0 s px (x s)ds ；
（8）
qx
lim
t
FT
(
x
)
(t
)
0 t px (x t)dt 1；
（9）
d dt
t
px
d dt
(1
t qx )
d dt
t qx
t
px ( x
t)；
（10） lim xn ( y)dy . n x
上式中，当 u=1 时，则可简记为 t| qx 。 注：由前面的讨论，我们有，
（1）t qx
SX (x) SX (x t) SX (x)
；
（2）t
px
SX (x t) SX (x)
（3）t|u qx t px tu
； px
SX
(x
t) SX (x SX (x)
t
u)
)
S
X '( SX
x (
t x)
)
注：关于T（x）的概率都是已知 X x 时相应的 X 的条件概率。
类似地，我们定义一个x 岁的人在 t 年后活着的概率 ST (x) (t)为： ST (x) (t)=Pr(T(x)>t)=1 FT (x) (t)
=1 SX (x) SX (x t) SX (x)
例1-4. 对于例1-1中的 X ，求 (x) 。
解：黑板演示
第二节 生命表函数
一、生命表的概念 二、 lx 函数 三、d x函数
一、生命表的概念
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(1) f ( x) 0;
(2) f ( x)dx F ( x), f ( x)dx S ( x); (3) f ( x)dx 1.
0 0 w x x w
第二节 剩余寿命
x岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称(T ( x) t ) t qx , t 0.
剩余寿命的方差：
0
o
0
t
px dt
w x
Var (T ( x)) E (T ( x) 2 ) E (T ( x)) 2 2
例.已知 s ( x) (1
0
t
0
t
px dt ex
o 2
x ) 0 x 100 计算： 100 1) Pr( X 40 | X 10)
寿命的生存函数
随机变量X的生存函数
S ( x) Pr( X x) 1 F ( x), x 0.
假定寿命极限为w，满足：
(1) S (0) 1;
(2) S ( w) 0.
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率
Pr( x X z ) s( x) s( z )
（1）刚出生婴儿活过60岁的概率；
x 例 假设某人群的生存函数为 S ( x) 1 , 0 x 100.求： 100
（2）刚出生婴儿在70~80岁间死亡的概率； （3）活到40岁的人活不到70岁的概率；
寿命的密度函数
f ( x) F ( x) S ( x).
概率意义为在x点附近极小区间失效的速率； 满足属性：
剩余寿命的生存函数
ST ( x ) (t ) Pr(T ( x) t ) Pr( X t x | X x) S (x t) t px 1 t qx S ( x)
特别地.
(1) x p0 S ( x); (2) px 1 px ;
(3) t|u qx t px t u px t px u qx t
x Bc x
S ( x) exp{ B(c x 1) / ln c}, B 0,c 1,x 0
中值余寿(m(x))是余寿T(x)的中值
Pr[T ( x) m( x)] Pr[T ( x) m( x)]
均匀分布下
1 2
1 e x ex 2
0
第四节 死亡效力
瞬时死亡率，简记
S ( x ) S ( x h) S ( x) f ( x) x lim (ln S ( x)) h 0 h S ( x) S ( x) S ( x)
2) 10 p40， e40
第三节 整值剩余寿命
(x)未来存活的完整年数（整值余寿），简记
K ( X ) k,
整值余寿的分布函数
k T ( x) k 1, k 0,1,
Pr( K ( X ) k ) Pr(T ( x) k 1) k 1 qx
整值余寿的生存函数
例. 如果40岁以前死亡效力恒定为0.04，40岁之后死亡效力 提高到0.06，求25岁的人未来的期望存活时间。 在未来25年内的期望存活时间
第五节 有关寿命分布的参数模型
De Moivre模型(1729)
1 x x S ( x) 1
Gompertze模型(1825)
x
,
0 x
死亡效力曲线称为“浴盆曲线” 死亡效力与生存函数关系：
S ( x) exp{ s ds}
0
t
x
px exp{
x t
x
s ds} exp{ s x ds}
0
t
1 , 求 t px ,5|5 q20 . 例 设死亡力度 x 1 x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数
Pr( K ( X ) k ) Pr(T ( x) k 1) k 1 px
整值余寿的密度函数
Pr( K ( X ) k ) Pr(k T ( x) k 1) k qx
k
qx k 1 qx k qx k px k 1 px k px qx k
f ( x) x S ( x) x exp{ s ds}
0
x
S ( x) S ( x t ) G (t ) t qx 1 t px S ( x) d d S ( x) S ( x t ) S ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt S ( x) S ( x)
整值余寿的期望与方差 整值剩余寿命的期望值
w x 1 k 0
ex E ( K ( x))
整值剩余寿命的方差
k
k
px qx k
w x 1
k 0
k 1
px
2 Var[ K ( x)] E[ K 2 ( x)] E 2 [ K ( x)] (2k 1) k 1 px ex k 0
t
qx Pr(T ( x) t ) Pr ( X x t X x) S ( x) S ( x t ) S ( x)
寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率， 后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t ); (2)1 qx记为qx ;
(3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u ) Pr ( x t X x t u X x ) S ( x t ) S ( x t u) S ( x)
120 x 例 假设某人群的生存函数为 S ( x) , 0 x 120.求： 10
（1）39岁的人至少还能再活45年的概率； （2）56岁的人能活过71岁但活不过84岁的概率.
剩余寿命的期望和方差
w x
期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记 e x
o
ex E (T ( x)) t fT (t )dt