第二章 生命函数与生命表理论

1 x
x2
2
0
0
剩余寿命


定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。 T(x)=X-x，如新生儿的剩余寿 命T(0)=X。 分布函数 t qx ：
t
qx Pr(T ( X ) t ) Pr( x X x t X x) s ( x) s ( x t ) s( x t ) 1 s ( x) s ( x)
t
0
t
px dt ex
o 2
剩余寿命期望的推导过程
E (T )
x
0
td (1 t px ) td t px
x

x
0
t t px |0
x
t 0

பைடு நூலகம்
x
t
0
px dt
px dt
剩余寿命方差的推导过程
Var (T ) E (T 2 ) [ E (T )]2
剩余寿命

剩余寿命的生存函数 t px ：
t
px Pr(T ( x) t ) Pr( X x t X t ) s( x t ) s ( x)

特别：
x
p0 s( x)
剩余寿命


qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1 qx
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 p x 1 px

De Moivre模型(1729)
x 1 s ( x) 1 x x , 0 x
注：死亡年龄X在[0，ω]上服从均匀分布。 Gompertze模型(1825)
x Bc x
s( x) exp{ B(c x 1) / ln c} , B 0,c 1, x 0



Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables
第一节 生命函数
寿命的分布函数
【例题1.1】下列函数表达式可以作为生存函数的有(
x ，x 0； （1）s x exp x 0.7 2 1
)
（2）s x
1
1 x
2
，x 0；
（3）s( x) exp( x 2 )，x 0。
A．（1）（2）（3） C．（1）（3） B．（1）（2） D．（2）（3） E．（1）
整值剩余寿命的期望与方差

( x ) 整值剩余寿命的期望值 期望整值剩余寿命： (均值),简记 e x
ex E ( K ( x)) k k px qx k k 1 px
k 0 k 0

整值剩余寿命的方差
2 2 2
Var ( K ( x)) E ( K ) E ( K ) (2k 1) k 1 px ex
死亡效力
【例题1.4】（2008春季考试真题）已知：
（1） ；（ 2） 3 p70 0.95 2 p71 0.96；（ 3） x dx 0.107
71 75
计算 5 p70=（ ）。 A．0.85 B．0.86 C．0.87
D．0.88
E．0.89
死亡效力
【例题1.4】（2008春季考试真题）已知：
x
0
t d (1 t px ) (
2
x
0
2 p dt ) t x
t (1 t px ) |0
2
x

x x
0
2t (1 t px )dt (
2 p dt ) t x
x
0
2 p dt ) t x
2
x
0
t t px dt (
0
k 0
Example1.3
假设 s( x) e0.05 x，x 0，求： (1)5|10 q30 (2) F (30) (3) e30 （4）Var[T (30)]

solutions
s(35) s(45) e1.75 e2.25 (1)5|10 q30 s(30) e1.5 (2) F (30) 1 s(30) 1 e1.5

40 e 0.05t dt 1 40 e 0.05t | 0 0.05 40 20 800 [ E (T )]2 400 Var[T (30)] 800 400 400
死亡效力

定义： ( x ) 的瞬时死亡率，简记 x
P( x X x x | X x ) x lim x 0 x f ( x) s( x) ln[ s ( x)] s ( x) s ( x)
）。 E．1/3
剩余寿命
【例题1.2】已知： s x
1 100 x ， 0 x 100 ，则年龄为19 10
岁的人在36岁至75岁之间死亡的概率为（ A．1/9 B．1/8 C．1/6 D．1/5
）。 E．1/3
【答案】E 【解析】
1 ( 64 25) s(36) s(75) 10 1 17|39 q19 1 s(19) 3 81 10
solutions
(4) E (T ) 2 tt p x dt
2 0
2 te 0.05t dt
0

2

0
t de 0.05t 40 tde 0.05t 0 0.05 0.05 t 0
40(te
0
| e 0.05t dt )
0
solutions
【答案】D 【解析】生存函数的性质有：s(0)=1；函数是单调递减的，且
lim s x 0。
x
(1) 由 于 s’(x)=exp[x － 0.7(2x － 1)](1 － 0.7×2x×ln2) ， s’(0)=0.5148＞0，说明该函数不满足单调递减的性质，所以它 不能作为生存函数；



定义X为一个0岁得初生婴儿将来的寿命。 则X的分布函数： F ( x) Pr( X x) 意义：新生儿在 x 岁之前死亡的概率。 dF ( x ) f ( x ) 与密度函数的关系： dx 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr( x X z) F ( z) F ( x)
tu
qx ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之
tu
间去世的概率
qx t u qx t qx t px t u px
剩余寿命
【例题1.2】已知： s x
1 100 x ， 0 x 100 ，则年龄为19 10
岁的人在36岁至75岁之间死亡的概率为（ A．1/9 B．1/8 C．1/6 D．1/5
(3) e30 E (T )
t 0
p x dt
s ( x t ) e 0.05( x t ) 0.05 t p e ， t x 0.05 x s( x) e 代入 e30
＋ 0 0.05 t e e 0.05t dt |0 20 0.05
生命表起源

生命表的定义

根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表. 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写 过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表 对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形 式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表 的创始人。 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）。
0.95 ， 2 p71 s 71
s 73 s 71
0.96 ，
75
－ x dx 3 p70 71 p p × p × p × e 0.89 70 1 70 4 71 4 71 5 s 70 2 p71
第二节 生命表的构造
有关寿命分布的参数模型

死亡效力与生存函数的关系
s ( x) exp{ s ds}
0 x x t
s( x t ) p exp{ s ds} t x s (t ) x
死亡效力

死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
（1） ；（ 2） 3 p70 0.95 2 p71 0.96；（ 3） x dx 0.107
71
75
计算 5 p70=（ ）。 A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 【答案】E 【解析】设s(x)为（x）的生命函数，则
E．0.89
3
p70
s 70
s 73
有关寿命分布的参数模型

Makeham模型(1860)
x A Bc x
s( x) exp{ Ax B(c x 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1, x 0

Weibull模型(1939)
x kx n
s( x) exp{kx
n 1
第二章
生命函数与生命表理论
本章重点

生命表函数

生存函数 剩余寿命（连续、离散） 死亡效力 有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表