3.1生命表基本函数
合集下载
生命表函数与生命表构造
1 1 1 1 1 d t d t d t ... d 1 l0 2 t 0 t 1 t 2
1 1 1 1 1 [ d 0 (1 )d1 (2 )d 2 .... ( 1 )d 1 ] l0 2 2 2 2 (3.11)
ln
s ( x n) ln n p x s ( x)
xn x
故 n p x exp(
y dy) exp( x s ds
0 t 0
n
同样，对于t p x exp( x s ds)
• 死亡效力与生存函数的关系
s ( x) exp{ s ds}
0 x
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
s ( x) s ( x t ) G (t ) 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
• 概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
设S ( x)为( x)在死亡年所活过的不足 一年的部分，它是（ 0， 1 ）上的连续分布
T（x）=K(x)+S(x)
n t 0
p x x t dt 1
根据死亡力的定义公式 ，容易得出
n
q x t p x x t dt
0
nm
qx
nm t
保险精算学生命表基本函数
e x E [ K x ] k k p x q x k k k q x
k0
k0
而
p x t q x
t 1
2 p x t q x t2
故 k k q x
p k 1 x
k0
k0
由 于 T x K x S x ,故 E (T x ) E (K x ) E (S x )
t
1 2
d
xt
例子
Eg3.1已知lx=1000(1-x/120),计算20p30和 20I5q25.
解：
Ex：p69ex3.1,3.2
3.2 生存分布
主要内容： 1 新生儿的生存函数 2 x岁余寿的生存函数 3 死亡力（死亡力度） 4 整数平均余寿和中值余寿
3.2.1 新生儿的生存函数
生命表描述了人口在整数年龄上存活和死亡的规律， 但实际上年龄是人出生后存活时间的度量，它是一个连 续随机变量。
0
而且 ex E T x
0 t t pxxtdt
E
T
x2
0
t2
t
px xtdt
t2 d 0 dt
t qx
dt
t2 d 0 dt
t px
dt
t
p xt 2
0
பைடு நூலகம் 0
t
pxdt
2
0 2t t p x dt
Var T x E T x 2 E T x 2
g
x
d dt
tqx
d dt
[1
s
x t sx ]
d dt
sx t sx
sx t s x t sx t s x s x s x t t p x x t
所 以 ,
《保险精算》之三--生命表
�
定义：( x)
的瞬时死亡率，简记 µx
s′( x) f ( x) µx = − = = − ln[ s( x)]′ s( x) s( x)
�
死亡力与生存函数的关系
x
s ( x) = exp{− ∫ µs ds}
0
x +t t
px = exp{− ∫ µ s ds}
x
20
死亡力
21
对 µ y 从 x 到 x + n 积分，有
∫
x+n x
µ y dy = − ∫
x+n x
s'( y) +n d y = − lns(y) | x = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n ) = − ln n p x s( x)
x+ n
p x = e ∫x
−
µ ydy
l25 − l50 = 0.2 l 25
由 (**) 式 可 得 ： 0.8 l 25 = l 50 代 入 (*) 可 得 ： 0.125l50 = 0.3l75 由此可推知 = 25 p50 = l 50
l75
0.125 = 0.4167 0.3
11
例： 已知 lx =1000×(1− 解： 50 l50 (1) 20 p30 = = 120 = 77.78% l30 1− 30 120 1− 45 50 (1 − ) − (1 − ) l45 −l50 120 120 (2) 20|5 q 25 = = = 5.26% 25 l25 1− 120
qx
4
生命表基本函数
定义：( x)
的瞬时死亡率，简记 µx
s′( x) f ( x) µx = − = = − ln[ s( x)]′ s( x) s( x)
�
死亡力与生存函数的关系
x
s ( x) = exp{− ∫ µs ds}
0
x +t t
px = exp{− ∫ µ s ds}
x
20
死亡力
21
对 µ y 从 x 到 x + n 积分，有
∫
x+n x
µ y dy = − ∫
x+n x
s'( y) +n d y = − lns(y) | x = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n ) = − ln n p x s( x)
x+ n
p x = e ∫x
−
µ ydy
l25 − l50 = 0.2 l 25
由 (**) 式 可 得 ： 0.8 l 25 = l 50 代 入 (*) 可 得 ： 0.125l50 = 0.3l75 由此可推知 = 25 p50 = l 50
l75
0.125 = 0.4167 0.3
11
例： 已知 lx =1000×(1− 解： 50 l50 (1) 20 p30 = = 120 = 77.78% l30 1− 30 120 1− 45 50 (1 − ) − (1 − ) l45 −l50 120 120 (2) 20|5 q 25 = = = 5.26% 25 l25 1− 120
qx
4
生命表基本函数
生命表算法
生命表函数及计算通过生命表可以得到任意年龄的人在任何期限内的生存概率、死亡概率等相关数据。
以下介绍生命表中揭示的那些栏目所代表的函数。
1、年龄区间[x,x+1][x,x+1]表示x到x+1岁的年龄区间，除最后一个年龄区间（如：89以上）为开区间以外，其余每一个区间都有两个确定的年龄值来定义。
通常，最后一个年龄区间的起点为ω，半开区间[ω,+∞]。
2、生存人数l x设正好活到某一确切年龄x岁的生存人数以l x表示生命表的基础是生存人数，它表示在一封闭区域一定数量的人口集团随着时间的推移因死亡而逐渐减少的人口生存状态。
生存人数l x表示正好活到某一确切整数年龄x岁的人数。
在人的生命表中，作为起点的出生人数l0称为生命表的基数，研究中可以任意取值，但为方便，一般设为100 000人。
3、死亡人数d xd x为年龄区间[x,x+1]内死去的人口数。
dx是生命表上年龄区间[x,x+1]内的死亡数，不同于实际人口死亡数。
根据定义可知l x+1=l x-d x x=0,1,……ω (7.23)4、死亡概率q xq x表示存活到确切年龄x岁的人在到达x+1岁前死亡的概率。
以x至x+1的死亡人数d z占x岁存活人数l x的比例表示。
q x＝d z/l x， x=0,1,……ω (7.24) q x这一指标是计算生命表的基础，在已知q x后，就可以依生命表基数l0由公式(7.1)和(7.2)计算出各年龄的存活人数l x和死亡人数d z。
l x+1=(1-q x)*l x , d z+1= q x*l x5、生存人年数L xx岁的人平均生存人年数L x是指年龄区间[x,x+1]的所有人在该区间内的存活年数，即活到确切年龄x岁的人群l z在到达x+1岁前平均存活的人年数。
人年是表示人均存活的符合单位，一人年表示一个人存活了一年。
把生存人数l x看作是在区间[t,t+1]内连续变化的函数，以此为基础的生存人年数L x的计算公式为：L x=1tx ttl dt++⎰ x=0,1……ω-1 (7.25)在死亡均匀分布（UDD）假设下，即我们假设l x曲线从x到x+1间是条直线那么，L x的计算公式可以写为：L x =(l x +l x+1)/2又根据公式(7.23)得：L x =(l x -d x +l x )/2=l x -d x /2 (7.26)注意到死亡均匀假设与l x 从0到ω是线性的假设不同，它仅在每一年年龄上假设是线性的，因此是l x 的比较精确的描述。
初学生命表
生命表
生命表的基本概念
生命表是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它 是以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出 各年龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
生命表主要函数
1、尚存人数
lx
和死亡人数
dx
l 生命表基数：0 是指生命表的出生人数，也即0岁（确切年龄）的人 数，通常定 l 0 =100000。
静止人口
3. 基本性质
每年出生人数与死亡人数不变且相等 B=D 各年龄人数不变
Px B Lx, Lx表示出生婴儿活到 x岁的比例
出生率与死亡率相等且与平均预期寿命互为倒数
P
P
x 0
x
B L
x 0
x
B Lx B e0
x 0
B B 1 b d P B e0 e0
静止人口
4. 重新阐释生命表
l0 每年出生数及死亡数 lx 每日历年到达 岁的人数 x nLx 任何时间点存活的 到x n岁人数 N L x , Tx 任何时间点存活的 岁以上人数 x T0 总人口规模 ndx 每年x到x n岁死亡人数 e0 任何一年死亡人口的平 均年龄
静止人口
讨论：
静止人口是一种非常理想化的人口，在现实 中很难出现，那么研究静止人口的意义何在？
时期生命表
时期生命表
② 高龄组
l d m d a l a 1 m
时期生命表
7. 编制步骤
获取基础数据 mx n 选择一套nax 计算nqx n nmx n nmx nmx 1 选定l0 100000 计算lx
生命表的基本概念
生命表是反映在封闭人口条件下一批人从出 生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它 是以各年龄死亡概率为依据，并以此计算出 各年龄的死亡人数，编制出相应的生命表。
生命表主要函数
1、尚存人数
lx
和死亡人数
dx
l 生命表基数：0 是指生命表的出生人数，也即0岁（确切年龄）的人 数，通常定 l 0 =100000。
静止人口
3. 基本性质
每年出生人数与死亡人数不变且相等 B=D 各年龄人数不变
Px B Lx, Lx表示出生婴儿活到 x岁的比例
出生率与死亡率相等且与平均预期寿命互为倒数
P
P
x 0
x
B L
x 0
x
B Lx B e0
x 0
B B 1 b d P B e0 e0
静止人口
4. 重新阐释生命表
l0 每年出生数及死亡数 lx 每日历年到达 岁的人数 x nLx 任何时间点存活的 到x n岁人数 N L x , Tx 任何时间点存活的 岁以上人数 x T0 总人口规模 ndx 每年x到x n岁死亡人数 e0 任何一年死亡人口的平 均年龄
静止人口
讨论：
静止人口是一种非常理想化的人口，在现实 中很难出现，那么研究静止人口的意义何在？
时期生命表
时期生命表
② 高龄组
l d m d a l a 1 m
时期生命表
7. 编制步骤
获取基础数据 mx n 选择一套nax 计算nqx n nmx n nmx nmx 1 选定l0 100000 计算lx
第三章 生命函数和生命表66
选择-终极表实例
[x] 选择表 终极5 76 77 .0175 .0191 .0209 .0228 .0249 .0273 .0298 .0326
q[ x ]+1 q[ x ]+2 q[ x ]+3 q[ x ]+4
.0249 .0272 .0297 .0324 .0354 .0387 .0424 .0464 .0313 .0342 .0374 .0409 .0447 .0489 .0535 .0586 .0388 .0424 .0463 .0507 .0554 .0607 .0664 .0727 .0474 .0518 .0566 .0620 .0678 .0742 .0812 .0889
lx = l0 .p(x > x) = l0 .s(x)
2. dx: 0岁的人在x岁和x+1岁间死亡的人数
dx = l0[s(x) − s(x +1)] = lx − lx+1
3. px :x岁的人在至少存活一年的概率
px
=P(T>1)
4. qx :x岁的人在一年内死亡的概率 qx ＝P(T<1)
yqt s(x + t) − s(x + t + y) = s(x + t) 1− tqx
q = y x+t
例2 ：设张某在3个月前满75岁，在年龄内均匀分布 假设下，求其在5年内死亡的概率。
5
p75.25 =0.75 p75.25⋅4 p76 ⋅0.25 p80
中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）
年龄 （x） 75 76 77 78 79 80 死亡率 生存人数 死亡人数 生存人年数 平均余命 0
保险精算 第三章 生命表基础(一)
s ( x) s ( x t ) t qx s ( x)
(3.1.8)
s( x t ) t px s ( x)
(3.1.9)
s( x t ) s( x t u ) t |u qx t px t u px s ( x)
(3.1.10)
9/17
s( x t ) s( x t u ) t |u qx s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) t px u qx t s ( x) s( x t )
t |u
qx 和 t p x 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数
qx Pr[t T ( x) t u ] t|u qx t qx t px t|u px
8/17
当u=1时，t | qx 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率：
0
14/17
3.1.6 s(x)的解析表达式 x De Moivre模型假设(1729) s ( x) 1
,
0 x
式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825)
x Bc x
B x s( x) exp{ (c 1)} , B 0,c 1,x 0 ln c
11/17
概率函数
Pr ( K ( x) k ) Pr (k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k qx k px qx k
《保险精算》3.1生命函数
4、Weibull假设（1939年）
kx n 1 s( x) exp( ), k 0, n 0, x 0 n 1
x kxn
3.1.6 s(x)的解析表达式
1、de Moivre假设（1729年）： s ( x) 1
x
,0 x
qx
s ( x) s ( x 1) s( x)
第3章 生命表基础
3.1 生命函数
为什么要研究生命表？
人寿保险 人寿保险是以人的生命为保险标的的保险，即以被保险人在一定 时期内死亡或生存为给付条件 被保险人寿命的长短对于保险人来说非常重要 对生命表的研究是研究寿险精算的基础
3.1生命函数
3.1.1 分布函数
用X表示出生婴儿未来寿命的随机变量，X是连续型随机变量，则X的 分布函数是F(X) F(X) = Pr(X≤x)，x≥0 这是0岁的人在x岁之前死亡的概率，F(0)=0 X的概率密度函数极为f(x)，则 f(x)=F’(x), x≥0
k
q x s( x k ) s( x k 1)
s ( x)
1 xk
1
x
(1 1 x
x 1
)
x k 1 (1 ) 1 x
1 x
1 x
3.1.6 s(x)的解析表达式
1、de Moivre假设（1729年）： s ( x) 1
用fT(t)来表示T的概率密度函数： fT(t)=F’T(t)=-*s’(x+t)/s(x)] 用tqx表示x岁的人在x+t岁以前死亡的概率，则 tqx=Pr[T(x)≤t]，t≥0
kx n 1 s( x) exp( ), k 0, n 0, x 0 n 1
x kxn
3.1.6 s(x)的解析表达式
1、de Moivre假设（1729年）： s ( x) 1
x
,0 x
qx
s ( x) s ( x 1) s( x)
第3章 生命表基础
3.1 生命函数
为什么要研究生命表？
人寿保险 人寿保险是以人的生命为保险标的的保险，即以被保险人在一定 时期内死亡或生存为给付条件 被保险人寿命的长短对于保险人来说非常重要 对生命表的研究是研究寿险精算的基础
3.1生命函数
3.1.1 分布函数
用X表示出生婴儿未来寿命的随机变量，X是连续型随机变量，则X的 分布函数是F(X) F(X) = Pr(X≤x)，x≥0 这是0岁的人在x岁之前死亡的概率，F(0)=0 X的概率密度函数极为f(x)，则 f(x)=F’(x), x≥0
k
q x s( x k ) s( x k 1)
s ( x)
1 xk
1
x
(1 1 x
x 1
)
x k 1 (1 ) 1 x
1 x
1 x
3.1.6 s(x)的解析表达式
1、de Moivre假设（1729年）： s ( x) 1
用fT(t)来表示T的概率密度函数： fT(t)=F’T(t)=-*s’(x+t)/s(x)] 用tqx表示x岁的人在x+t岁以前死亡的概率，则 tqx=Pr[T(x)≤t]，t≥0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
岁之间死亡的人数，用公式表示即为：
n
d x lx lx n
4.qx : 死亡率，表示x岁的人在一年内死亡的概率。 (1)qx dx , x 0,1, , 1 lx d 1 l 1 l 1 l 1 l 1
2 q 1
0 0
计算平均余寿的定理
定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为: 1 1 1 x 1 1 e x lx 1 lx 2 l 1 t d x t lx 2 lx t 0 2
0
1 1 1 1 1 平均寿命为 : e0 l1 l2 l 1 t d t l0 2 l0 t 0 2
理论基础：个体的不可预测性 群体死亡的稳定性 编制方法：1 选择初始年龄且假定在该年 龄生存的一个合适的封闭人口数，这个 数称为确定基数。 2 根据各年龄的死亡人数与 生存人数，计算出死亡率等一系列数据。 极限年龄ω ：在极限年龄ω时，该群体的 存活人数为0。
生命表的通常函数
1.x : 年龄，在生命表中的范围， 1 岁。x取整数值。 0 2.lx : 存活到确切整数年龄x岁的人数。x 0,1, , 1。 l0 100000,1000000,
n
px : 表示x岁的存活人再活n年的概率，用公式表示即为：
n
px
6.n qx : 表示x岁的存活人，活过n年，并在第n 1年死亡的概率。
n
lx n lx n 1 d x n lx n d x n qx n px qx n lx lx lx lx n qx : 表示x岁的人在x n x n m岁之间死亡的概率，
0
例子
Eg3.1已知lx=1000(1-x/120),计算20p30和 20I5q25. 解：
Ex：p69ex3.1,3.2
n
qx : 表示x岁的存活人在x岁到x n岁之间死亡的概率，用公式表示即为： lx lx n n d x n qx lx lx 当n 1时， x qx . 1q px lx 1 , px qx 1 lx lx n ,n px n qx 1 lx
5. px : 生存率，表示x岁的人在一年内存活的概率，即到x 1岁时仍然存活的概率。
m
当n 0时， x qx . q 0
nm
d x n lx n lx m m n px m n px n px m qx n n m qx lx lx 7. e x : 完全平均余寿或生命期望值，即表示x岁的存活人在以后可望 生存的平均年数。 e0 表示确定基数的一个群体的平均寿命。
第3章 生命表
生命表是研究人口死亡规律的有力工具， 它用表格的形式简单清楚地表述了同时 出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡 的全部过程。
本章主要内容
• • • • • 生命表基本函数 生存分析 非整数年龄存活函数的估计 几个死亡时间的解析分布 生命表的编制
3.1 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。 地位：生命表是人寿保险用以测定死亡或 生存概率的基础。 根据以往死亡人数的统计资料，推测出未 来死亡或生存概率，是计算保险费率的必要依 据。
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t l t 2 d x t lx lx t 0 lx t 0 2 x t 0
1 l0 l1 l2
(1)lx lx 1 d x lx
n
2 l
0
1
x 0
3.d x : x岁的存活人在x岁这一整年内的死亡人数。 (2)l0 d 0 d1 d 2 d 1 d x
x 1
t 0
d x t
n
d x lx lx n
4.qx : 死亡率，表示x岁的人在一年内死亡的概率。 (1)qx dx , x 0,1, , 1 lx d 1 l 1 l 1 l 1 l 1
2 q 1
0 0
计算平均余寿的定理
定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为: 1 1 1 x 1 1 e x lx 1 lx 2 l 1 t d x t lx 2 lx t 0 2
0
1 1 1 1 1 平均寿命为 : e0 l1 l2 l 1 t d t l0 2 l0 t 0 2
理论基础：个体的不可预测性 群体死亡的稳定性 编制方法：1 选择初始年龄且假定在该年 龄生存的一个合适的封闭人口数，这个 数称为确定基数。 2 根据各年龄的死亡人数与 生存人数，计算出死亡率等一系列数据。 极限年龄ω ：在极限年龄ω时，该群体的 存活人数为0。
生命表的通常函数
1.x : 年龄，在生命表中的范围， 1 岁。x取整数值。 0 2.lx : 存活到确切整数年龄x岁的人数。x 0,1, , 1。 l0 100000,1000000,
n
px : 表示x岁的存活人再活n年的概率，用公式表示即为：
n
px
6.n qx : 表示x岁的存活人，活过n年，并在第n 1年死亡的概率。
n
lx n lx n 1 d x n lx n d x n qx n px qx n lx lx lx lx n qx : 表示x岁的人在x n x n m岁之间死亡的概率，
0
例子
Eg3.1已知lx=1000(1-x/120),计算20p30和 20I5q25. 解：
Ex：p69ex3.1,3.2
n
qx : 表示x岁的存活人在x岁到x n岁之间死亡的概率，用公式表示即为： lx lx n n d x n qx lx lx 当n 1时， x qx . 1q px lx 1 , px qx 1 lx lx n ,n px n qx 1 lx
5. px : 生存率，表示x岁的人在一年内存活的概率，即到x 1岁时仍然存活的概率。
m
当n 0时， x qx . q 0
nm
d x n lx n lx m m n px m n px n px m qx n n m qx lx lx 7. e x : 完全平均余寿或生命期望值，即表示x岁的存活人在以后可望 生存的平均年数。 e0 表示确定基数的一个群体的平均寿命。
第3章 生命表
生命表是研究人口死亡规律的有力工具， 它用表格的形式简单清楚地表述了同时 出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡 的全部过程。
本章主要内容
• • • • • 生命表基本函数 生存分析 非整数年龄存活函数的估计 几个死亡时间的解析分布 生命表的编制
3.1 生命表基本函数
生命表是反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。 地位：生命表是人寿保险用以测定死亡或 生存概率的基础。 根据以往死亡人数的统计资料，推测出未 来死亡或生存概率，是计算保险费率的必要依 据。
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t l t 2 d x t lx lx t 0 lx t 0 2 x t 0
1 l0 l1 l2
(1)lx lx 1 d x lx
n
2 l
0
1
x 0
3.d x : x岁的存活人在x岁这一整年内的死亡人数。 (2)l0 d 0 d1 d 2 d 1 d x
x 1
t 0
d x t