保险精算学3-生命表
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《保险精算》之三--生命表
�
定义：( x)
的瞬时死亡率，简记 µx
s′( x) f ( x) µx = − = = − ln[ s( x)]′ s( x) s( x)
�
死亡力与生存函数的关系
x
s ( x) = exp{− ∫ µs ds}
0
x +t t
px = exp{− ∫ µ s ds}
x
20
死亡力
21
对 µ y 从 x 到 x + n 积分，有
∫
x+n x
µ y dy = − ∫
x+n x
s'( y) +n d y = − lns(y) | x = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n ) = − ln n p x s( x)
x+ n
p x = e ∫x
−
µ ydy
l25 − l50 = 0.2 l 25
由 (**) 式 可 得 ： 0.8 l 25 = l 50 代 入 (*) 可 得 ： 0.125l50 = 0.3l75 由此可推知 = 25 p50 = l 50
l75
0.125 = 0.4167 0.3
11
例： 已知 lx =1000×(1− 解： 50 l50 (1) 20 p30 = = 120 = 77.78% l30 1− 30 120 1− 45 50 (1 − ) − (1 − ) l45 −l50 120 120 (2) 20|5 q 25 = = = 5.26% 25 l25 1− 120
qx
4
生命表基本函数
定义：( x)
的瞬时死亡率，简记 µx
s′( x) f ( x) µx = − = = − ln[ s( x)]′ s( x) s( x)
�
死亡力与生存函数的关系
x
s ( x) = exp{− ∫ µs ds}
0
x +t t
px = exp{− ∫ µ s ds}
x
20
死亡力
21
对 µ y 从 x 到 x + n 积分，有
∫
x+n x
µ y dy = − ∫
x+n x
s'( y) +n d y = − lns(y) | x = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n ) = − ln n p x s( x)
x+ n
p x = e ∫x
−
µ ydy
l25 − l50 = 0.2 l 25
由 (**) 式 可 得 ： 0.8 l 25 = l 50 代 入 (*) 可 得 ： 0.125l50 = 0.3l75 由此可推知 = 25 p50 = l 50
l75
0.125 = 0.4167 0.3
11
例： 已知 lx =1000×(1− 解： 50 l50 (1) 20 p30 = = 120 = 77.78% l30 1− 30 120 1− 45 50 (1 − ) − (1 − ) l45 −l50 120 120 (2) 20|5 q 25 = = = 5.26% 25 l25 1− 120
qx
4
生命表基本函数
《寿险精算学(第3版)》 PPT-ch2
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。 在这段时间里, 身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。 通常一种疾病治好了, 不久又会 产生另外一种疾病。 人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将 变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
f0 (t)
d dt
F0 (t)
lim
dt 0
F0 (t
dt) dt
F0 (t)
• 生存函数与分布函数具有补函数关系, 所以寿命的密度函 数也可以表达为生存函数导函数的负数
f0 (t)
d dt
S0 (t)
lim
dt 0
S0 (t)
S0 (t+dt) dt
人类寿命密度函数示意图
密度函数曲线展示的人类生存规律
• 寿险业务关心的是被保险人购买了寿险产品之后的未来生存状 况。 所以, 寿险研究的主要变量是被保险人的未来寿命。
• 从统计分析的角度而言, 对寿命变量和未来寿命变量的分析是不 一样的
• 寿命分布和未来寿命分布最主要的差别
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
f0 (t)
d dt
F0 (t)
lim
dt 0
F0 (t
dt) dt
F0 (t)
• 生存函数与分布函数具有补函数关系, 所以寿命的密度函 数也可以表达为生存函数导函数的负数
f0 (t)
d dt
S0 (t)
lim
dt 0
S0 (t)
S0 (t+dt) dt
人类寿命密度函数示意图
密度函数曲线展示的人类生存规律
• 寿险业务关心的是被保险人购买了寿险产品之后的未来生存状 况。 所以, 寿险研究的主要变量是被保险人的未来寿命。
• 从统计分析的角度而言, 对寿命变量和未来寿命变量的分析是不 一样的
• 寿命分布和未来寿命分布最主要的差别
保险精算 第三章 生命表基础(一)
s ( x) s ( x t ) t qx s ( x)
(3.1.8)
s( x t ) t px s ( x)
(3.1.9)
s( x t ) s( x t u ) t |u qx t px t u px s ( x)
(3.1.10)
9/17
s( x t ) s( x t u ) t |u qx s ( x) s( x t ) s( x t ) s( x t u ) t px u qx t s ( x) s( x t )
t |u
qx 和 t p x 分别表示T(x)的分布函数和(x)的生存函数
qx Pr[t T ( x) t u ] t|u qx t qx t px t|u px
8/17
当u=1时，t | qx 表示 (x)在(x+t)岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。 用生存函数表示死亡率和生存率：
0
14/17
3.1.6 s(x)的解析表达式 x De Moivre模型假设(1729) s ( x) 1
,
0 x
式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。 Gompertze模型假设(1825)
x Bc x
B x s( x) exp{ (c 1)} , B 0,c 1,x 0 ln c
11/17
概率函数
Pr ( K ( x) k ) Pr (k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k qx k px qx k
保险精算学生命表的编制
q n x
k
d n x
k
lx
T
.
5
T q n x :x
nq
x n岁由所有减因产生的减少概率.
T nq
T x
d n Tx , lx
T x
k n qx .
k 1
m
6
T p n x :x
x n岁保留在原群体中的概率.
选择表 终极表 选择和终极表 综合生命表
终极表的死亡率要比选择表的死亡率高，也比综合表的死亡 率高； 选择表的死亡率要比终极表的死亡率低，也比综合表的死亡 率低。
分析课本p66,表3-3
选择生命表的基本项目函数
l[ x ] n , d[ x ] n , q[ x ] n , e[ x ] n 等，它们之间的关系与生命表类似。 d[ x ] n l[ x ] n l[ x ] n 1 q[ x ] n d[ x ] n l[ x ] n
0
Eg3.5 假设有选择和终极表3-4所示,求 2 [x] 30 31 32 33
p[31] ,2 q[31]2 ,1 p[30]1.
l[ x]2
995 988 982 970 X+2 32 33 34 35
l[ x ]
1000 996 994 987
l[ x]1
998 994 990 983
3.5.4 选择生命表
在人口分析中，可以按照性别、地区、种族等对人口进行 分类，分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
在保险精算中，反映被保险人死亡规律的经验生命表与人 口生命表是不同的。
1 被保险人不是全部人口中的随机群体； 2 被保险人是经过选择符合保险条件的人群。 因此，在年龄相等时，可以认为刚买保险的人比已经买了 若干年保险的人，死亡率更低，对保单资料的经验分析也可以 证明之。 结论：在对被保险人依一定健康标准加以选择后，一组被保险 人的死亡率不仅随年龄而变动，也随已投保年限长短变动。
生命表
国内的生命表
10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； 2、保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大 的改善； 3、保险精算技术获得了极大的发展，积累了一些死亡率 分析经验。 基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下， 2003年8月，正式启动了新生命表编制项目。新生命表编 制完成后，于2005年11月12日通过了以著名人口学专家、 全国人大副委员长蒋正华为主任的专家评审会的评审。于 2006年1月1日正式启用。
X=年龄 lx=在X岁生存的人数 dx=年龄在岁的人在一年内死亡的人数=lx-lx+1 qx=年龄在岁的人在一年内死亡的概率=dx/lx px=年龄在岁的人活过一年的概率 =lx+1/lx
生命表的分类
以死亡统计的对象为标准，生命表可分为 国民生命表和经验生命表。 国民生命表是根据全体国民或某一特定地 区人口的死亡资料编制而成的。 经验生命表是根据保险机构有关人寿保险、 社会保险的死亡记录编制而成的。
生命表概述
2009年10月
原理
现代保险学是建立在概率论和大数定律的基础上 大数法则：是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数 量规律的一系列定理的统称. 切比雪夫大数法则：在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保费与 其所能获得的赔款期望值相等。 贝努力定理大数法则：利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。 泊松大数法则：平均概率与观察结果所得的比例将无限接近。
国内的生命表
新生命表包括非养老金业务男女表和养老金业务男女表共 两套四张表，简称“CL(2000-2003)”。其结构与原生命表 相同，但取消了混合表。 之所以非养老金业务与养老金业务用表不同，是因为整体 而言，投保养老金的人群死亡的概率比投保非养老金的人 群要小。 本次非养老金业务表男性平均寿命为76.7岁，较原生命表 提高了3.1岁，女性平均寿命为80.9岁，较原生命表提高 了3.1岁。养老金业务表男性平均寿命为79.7岁，较原生 命表提高了4.8岁，女性平均寿命为83.7岁，较原生命表 提高了4.7岁。
保险精算生命表习题和答案
保险精算生命表习题和答案保险精算是保险行业中非常重要的一环，它通过精确的数学模型和统计分析，为保险公司提供风险评估和保费定价等重要数据。
而生命表作为保险精算中的核心工具之一，用于预测人口的寿命和死亡率，对于保险公司的经营和决策具有重要意义。
在这篇文章中，我们将介绍一些保险精算生命表的习题和答案，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们来看一个简单的习题：假设某个国家的年龄为x的人群的死亡率为qx，那么该国家的生命表中年龄为x的人群的存活率为多少？答案是1-qx。
这是因为存活率是指在某个年龄段内存活下来的人数与初始人数之比，而死亡率则是指在某个年龄段内死亡的人数与初始人数之比。
因此，存活率和死亡率之和必然等于1，即1-qx+qx=1。
接下来，让我们来看一个稍微复杂一些的习题：假设某个国家的生命表中，年龄为x的人群的存活率为px，年龄为x的人群的死亡率为qx，那么该国家的年龄为x的人群的预期寿命是多少？答案是1/qx。
预期寿命是指在某个年龄段内平均还能活多少年，而预期寿命与存活率和死亡率之间存在着密切的关系。
根据生命表的定义，存活率px等于年龄为x的人群在未来一段时间内存活下来的概率，即px=1-qx。
那么，年龄为x的人群在未来一段时间内平均还能活多少年呢？根据概率的性质，我们可以得到以下等式：px*(1+x)+qx*(1+x+1)=1。
将px=1-qx代入该等式，化简可得1+x=qx/(1-qx)，再将qx=1-px代入该等式，化简可得1+x=(1-px)/px，进一步化简可得x=1/px-1。
因此，年龄为x的人群的预期寿命就是1/qx。
除了以上的习题和答案，保险精算生命表还有许多其他的应用和推导。
例如，通过分析不同年龄段的死亡率和存活率，可以预测某个年龄段的人口数量和年龄结构，为社会政策和养老金制度的制定提供参考依据。
此外，保险精算生命表还可以用于评估保险产品的风险和利润，根据不同年龄段的死亡率和存活率，计算出保险公司需要收取的保费，从而确保保险公司的盈利和稳定经营。
保险精算 第3章2 生命表.
经验生命表
经验生命表可分为 终极表（ultimate table） 选择表（select table） 总合表（aggregate table）等。 • 终极表是指剔除了被保险人投保后5至15年 的经验数据，根据被保险人最终的死亡率编 制的生命表，也就是按照承保选择的影响消 失后的死亡率来编制生命表。1958年美国保 险监督官标准普通生命表是一种终极生命表。
生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死 亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是 生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与 下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第 一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的 分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。
t 0
n 1
m|n
qx
m n 1 d d xm xm1 xmn1 t | qx lx t m q xm n
x 岁的人在 x m 与 x m n 岁之间死亡的概率
l x m l x m n d qx m |n lx
0
生命表的特点与原理
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、 不依赖总体分布假定（非参数方法） 原理 在大数定律的基础上，用观察数据计算各年 龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
生命表的种类
生命表一般分为 1.国民生命表（national life table） 2.经验生命表（experience life table）
x
m
xm
x m n
px
mn x m x
m |n
qx m px mn px q q m px qxm
保险精算第三章2
为998人，22岁的生存人数为992人。试求20岁的人在2l岁那 年死亡的概率1|q20 (0.06)
18/25
[例3.2.6] 已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06， 而42岁的人生存至43岁的概率为0.92。如果40岁生存人数为 100人，求43岁时的生存人数。
83.0208(人)
生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分 布假定（非参数方法）
4/25
3.2.2 生命表的内容
在生命表中，首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一 个合适的人数，这个数称为基数。一般选择0岁为初始年龄， 并规定此年龄的人数，通常取整数如10万、100万、1000万 等。 在生命表中还规定最高年龄，用w表示，满足lw+1=0。 一般的生命表中都包含以下内容： (1) x: 年龄. (2)lx: 生存数，是指从初始年龄至满x岁尚生存的人数。 例：l25表示在初始年龄定义的基数中有l25人活到25岁。 1) lx表示自出生至满x岁时尚存活人数的期望值。 2) lx为连续函数，随年龄x增加而递减。但生命表中则以
1/25
学习目标
掌握生命表中生存数的表示方法，含义。 掌握死亡数，死亡率的含义，计算。 掌握生存率的含义，计算。 掌握n年内生存概率，n年内死亡概率的计算公式， 掌握平均余命或生命期望值的计算。 掌握完全平均余命的计算
2/25
§ 3.2 生命表
生命表是寿险精算的科学基础,它是寿险费率和责任准备金 计算的依据，也是寿险成本核算的依据。
生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
5.
如果
x
2 2 x 1 100
x
,0
x
100
若 l0 10000 则
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[例3.2.6] 已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率为0.06， 而42岁的人生存至43岁的概率为0.92。如果40岁生存人数为 100人，求43岁时的生存人数。
83.0208(人)
生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分 布假定（非参数方法）
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3.2.2 生命表的内容
在生命表中，首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一 个合适的人数，这个数称为基数。一般选择0岁为初始年龄， 并规定此年龄的人数，通常取整数如10万、100万、1000万 等。 在生命表中还规定最高年龄，用w表示，满足lw+1=0。 一般的生命表中都包含以下内容： (1) x: 年龄. (2)lx: 生存数，是指从初始年龄至满x岁尚生存的人数。 例：l25表示在初始年龄定义的基数中有l25人活到25岁。 1) lx表示自出生至满x岁时尚存活人数的期望值。 2) lx为连续函数，随年龄x增加而递减。但生命表中则以
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学习目标
掌握生命表中生存数的表示方法，含义。 掌握死亡数，死亡率的含义，计算。 掌握生存率的含义，计算。 掌握n年内生存概率，n年内死亡概率的计算公式， 掌握平均余命或生命期望值的计算。 掌握完全平均余命的计算
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§ 3.2 生命表
生命表是寿险精算的科学基础,它是寿险费率和责任准备金 计算的依据，也是寿险成本核算的依据。
生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
5.
如果
x
2 2 x 1 100
x
,0
x
100
若 l0 10000 则
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2、分类
按照计算死亡率的资料来源不同：
国民生命表：源于人口普查资料，反映一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表：源于寿险公司的承保经验，反映 被保险人群的寿命分布情况。
经验生命表的分类
按应用范围不同：
寿险生命表vs年金生命表
按性别不同：
男性生命表vs女性生命表
按统计范围不同
第三章 生命表
英汉单词对照
死亡年龄
Age-at-death
生命表
Life table
剩余寿命
Time-until-death
整数剩余寿命 Curtate-future-lifetime
死亡效力
Force of mortality
极限年龄
Limiting ate
选择与终极生命表 Select-and-ultimate tables
3、lx：从初始年龄0岁到满x岁还生存的人数。
二、生命表中的各类概率
1、qx：x岁的人在x~x+1岁之间死亡的概率。
2、tqx：x岁q的x 人d在lxx x~lxx +lxltx岁1 之间死亡的概率。
3、px：x岁的t qx人在tldx1x 年 后lx 仍lxlx生t 存的概率。
4、tpx：x岁的px人 1到xq+x t岁llx仍x1 生存的概率。
dx列：各年龄间的死亡人数。
o
e
x
列：x岁人的余命的平均值。
三、用途和分类
1、用途：
生命表是过去经验的总结，而在寿险中，保 险金的给付、责任准备金的提取、保单现金 价值的估计、保单红利的分配都与被保险人 的死亡率息息相关，因此反映了被保险人生 命规律的生命表对于寿险经验有着非常重要 的作用。
二、特点与构成
1、特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依 赖总体分布假定（非参数方法）
2、构成
原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各 年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
主要项目：一般有5列。
X列：按周岁计算的各年龄。
qx列：各年龄间的死亡概率。
lx列：到x岁尚生存的人数。
1、tLx：x岁的人在x~x+t岁间的生存人年数。
人年数（复合单位）：人群存活时间的复合单位。1 个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人 年。
在死亡均匀分布的假设下，x~x+t岁间死亡的人数
tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人则存活t年，故有：
t Lx
t lxt
t 2
t dx
t 2
（1） q4=0.000358
（2）2p4=p4 * p5=p4 * （1-q5） =（1-0.000358）*（1-0.000323） =0.999319
（3）26p4=l30/l4=984635/997762 （4）（l30-l35）/l4=（984635-979738）/997762
三、生命表中的各类时间
第二节 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命表基本函数
初始年龄为0岁，初始人数l0，极限年龄w=105，lw=0
一、生命表中的各类人数
1、dx：x岁的人在未来一年内（x岁~x+1岁之间）
死亡的人数。
dx lx lx1
2、tdx：x岁的人在x岁~x+t岁间死亡的人数。
t dx lx lxt dx dx1 ... dxt1
ex
lx1
lx2 lx
...
完全平均余命：x岁人群未来生存的平均时间，
含非整年的月份数。
ex
Tx lx
t
0
pxdt
lxt
0 lx
dt
第三节 生命函数（生存分布）
一、新生儿的生命函数
年龄是人出生后存活时间的度量，是一个连续随
机变量，设新生儿未来死亡年龄为X，其分布函数
为：F(x) Pr(X x), x 0
5、t m qx：x岁t p的x 人1在 t未qx来tl年lxxt到t+m年之间死亡的概率。
t m qx
t
px m qxt
lxt l
lxt
lxtm l
lxt
lxtm l
d m xt l
例3-1 根据中国人寿保险业经验生命表 （2000-2003，非养老金-男）中的数据， 计算以下概率： （1）4岁的人在5岁前死亡的概率； （2）4岁的人2年后还活着的概率； （3）4岁的人活过30岁的概率； （4）4岁的人在30至35岁间死亡的概率。
(lx
lxt )
2、Tx：x岁的人群未来累x1积的生 存人年数。
Tx Lx Lx1 ... L1 Lxt lxtdt
t0
0
在死亡均匀分布假设下：Tx
t 0
1 2
(lxt
lxt 1 )
3、平均余命(生命期望值) ：X岁人群未来 的平均剩余寿命。
简约平均余命：x岁人群未来生存的整年数。
第一节 生命表的概念和种类
一、定义
生命表又称为死亡表、寿命表、死亡率表，它是根据已往一 定时期内，各种年龄的死亡统计资料编制成的、由每个年龄 死亡率所组成的汇总表，是一种描述寿命分布的工具。
1662年，Jone Graunt根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名 单，写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最 早起源。
率签单<死亡率终极
思考：一般情况下，保险公司更愿意使用国 民生命表还是经验生命表，为什么？
因为国民生命表中的调查对象没有经过保 险公司的风险选择，其反映的死亡率一般 情况下与经验生命表中的死亡率不同—— 经过体检、核保等程序，被批准的保单中 的被保险人的平均健康状况要优于全体国 民，经验生命表所反映的死亡率也相对较 低，基于稳健经营的考虑，因此保险公司 使用的是经验生命表。
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生 命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把 Halley称为生命表的创始人。
1995年，我国编制了第一张寿险行业经验生命表，即“中 国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”，实现了从无 到有的飞跃。
检选生命表vs终极生命表vs综合生命表
四、各类生命表之间的关系
国民生命表与经验生命表
死亡率经验<死亡率国民
寿险生命表与年金生命表
死亡率年金<死亡率寿险
男性生命表与女性生命表
死亡率女性<死亡率男性
检选生命表与终极生命表
死亡率随承保期的增加而增加 检选生命表基于签单年龄而设计 由于验体效力的作用，在相同的年龄段，死亡