3.3选择终极生命表
生命表的编制
3.5.2生命表的种类与选用
• 国民生命表：根据全体国民或者特定地区 的人口的死亡统计数据编制的生命表。 • 经验生命表：保险公司 • 基础生命表：人寿保险公司计算保费所使 用的生命表。（终极表） • 年金生命表：根据年金购买者的死亡资料 编制的生命表。
3.5.3 注意事项
• 安全性 • 稳定性 • 合理性
选择表 终极表 选择和终极表 综合生命表
终极表的死亡率要比选择表的死亡率高，也比综合表的死亡 率高； 选择表的死亡率要比终极表的死亡率低，也比综合表的死亡 率低。分析课本p66,表3-3选择生命表的基本项目函数
0
l[ x ]+ n , d[ x ]+ n , q[ x ]+ n , e[ x ]+ n 等，它们之间的关系与生命表类似。 d[ x ]+ n = l[ x ]+ n − l[ x ]+ n +1 q[ x ]+ n = d[ x ]+ n l[ x ]+ n
Eg3.5 假设有选择和终极表3-4所示,求 2 [x] 30 31 32 33
p[31] ,2 q[31]+ 2 ,1 p[30]+1.
l[ x ]+ 2
995 988 982 970 X+2 32 33 34 35
l[ x ]
1000 996 994 987
l[ x ]+1
998 994 990 983
3.5 生命表的编制
• • • •
生命表编制的一般方法 生命表的种类及其选用 编制生命表的注意事项 选择生命表
3.5.1 生命表编制的一般方法
实际同批人生命表的优缺点的分析： 1 需要纵向跟踪一批人从生到死的全部过 程； 2 不能说明现在在某个时期的死亡水平； 3 很难取得完整的原始资料。 结论：实际中一般不采用这种方法。
dnd5e生命骰算法
dnd5e生命骰算法Dungeons & Dragons第五版（D&D 5e）是一款非常受欢迎的角色扮演游戏，其中生命骰算法是角色生成和成长中的一个重要部分。
在D&D 5e中，生命骰是用来确定角色的最大生命值的一种方法。
在以下的文章中，我将详细解释D&D 5e中生命骰的算法。
在D&D5e中，每个角色都有一个生命骰，该骰决定了他们每级获得的额外生命值。
每个职业都有不同的生命骰类型，表示了不同的耐久性和生命力。
以下是每个职业对应的生命骰类型：1.战士、圣武士和野蛮人使用d10生命骰。
2.圣职者、巫师、术士和刺客使用d8生命骰。
3.游侠、流浪者和吟游诗人使用d6生命骰。
4.牧师和德鲁伊使用d6或d8生命骰。
5.盗贼和法师使用d6生命骰。
在角色创建时，玩家需要掷一次自己的生命骰，并将结果加到他们的初始生命值上。
例如，一个使用d10生命骰的战士在第1级时掷骰，结果为6、这意味着他们的初始生命值为6加上他们的其他生命值加值（例如种族加值）。
当角色升级时，他们可以选择自动获得最大生命值（生命骰的最大值），或者他们可以决定掷一次生命骰，并将结果加到他们当前的生命值上。
当掷生命骰时，玩家只需掷一次他们的生命骰，并将掷出的结果加到他们当前的生命值上。
如果玩家不满意掷出的结果，他们可以选择再掷一次骰，并用新的结果替换原来的结果。
然而，玩家必须接受第二次掷骰的结果，无论它是好是坏。
这个算法的目的是在角色升级时给予玩家一些可选择的权力和风险。
选择获得最大生命值将确保角色有更多的生命值，但这也可能导致他们在后续升级时无法补充生命值的缺乏。
然而，掷骰会给予玩家一些机会，让他们有可能获得更高的生命值，但也可能导致获得较低的结果。
此外，在D&D5e中，一些特殊的类别或特性可能会影响生命骰的结果。
例如，对于一些职业或种族，他们可能会获得额外的生命骰。
这些额外的生命骰将按照上述算法进行掷骰，并将结果加到当前的生命值上。
精算考试大纲
A1数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。
通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。
考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。
考试内容：A、概率论（分数比例约为35％）1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式(第一章)2. 联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算(第二章)3. 随机变量的数字特征(§3.1、§3.2、§3.4)4. 条件期望和条件方差(§3.3)5. 大数定律及其应用(第四章)B、数理统计（分数比例约为25％）1. 统计量及其分布(第五章)2. 参数估计(第六章)3. 假设检验(第七章)4. 方差分析(§8.1)C、应用统计（分数比例约为10％）1. 一维线性回归分析(§8.2)2. 时间序列分析(平稳时间序列及ARIMA模型) (第九章)D、随机过程（分数比例约为20％）1. 随机过程一般定义和基本数字特征(第十章)2. 几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动）(第十一章)E、随机微积分（分数比例约为10%）1. 关于布朗运动的积分(§11.5、第十二章)2. 伊藤公式(§12.2)考试指定教材：中国精算师资格考试用书《数学》，肖宇谷主编李勇权主审中国财政经济出版社2010版A2 金融数学考试时间：3小时考试形式: 选择题考试要求:本科目要求考生具有较好的数学知识背景。
通过学习本科目, 考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。
考试内容：A、利息理论（分数比例约为30%）1 利息的基本概念（分数比例约为4%）2 年金（分数比例约为6%）3 收益率（分数比例约为6%）4 债务偿还（分数比例约为4%）5 债券及其定价理论（分数比例约为10%）B、利率期限结构与随机利率模型（分数比例: 16%）1 利率期限结构理论（分数比例约为10%）2 随机利率模型（分数比例约为6%）C、金融衍生工具定价理论（分数比例:26%）1 金融衍生工具介绍（分数比例约为16%）2 金融衍生工具定价理论（分数比例约为10%）D、投资理论（分数比例:28%）1 投资组合理论（分数比例约为12%）2 资本资产定价（CAPM）与套利定价（APT）理论（分数比例约为16%）考试指定教材:中国精算师资格考试用书《金融数学》徐景峰主编杨静平主审中国财政经济出版社2010年版，所有章节。
精算师考试大纲
A1数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。
通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。
考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。
考试内容：A、概率论（分数比例约为35%）1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式 (第一章)2. 联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算 (第二章)3. 随机变量的数字特征 (§3.1、§3.2、§3.4)4. 条件期望和条件方差 (§3.3)5. 大数定律及其应用 (第四章)B、数理统计（分数比例约为25%）1. 统计量及其分布 (第五章)2. 参数估计 (第六章)3. 假设检验 (第七章)4. 方差分析 (§8.1)C、应用统计（分数比例约为10%）1. 一维线性回归分析 (§8.2)2. 时间序列分析(平稳时间序列及ARIMA模型) (第九章)D、随机过程（分数比例约为20%）1. 随机过程一般定义和基本数字特征 (第十章)2. 几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动） (第十一章)E、随机微积分（分数比例约为10%）1. 关于布朗运动的积分 (§11.5、第十二章)2. 伊藤公式 (§12.2)考试指定教材：中国精算师资格考试用书：《数学》肖宇谷主编，李勇权主审，中国财政经济出版社 2010版，所有章节A2 金融数学考试时间：3小时考试形式: 选择题考试要求:本科目要求考生具有较好的数学知识背景。
通过学习本科目, 考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。
考试内容：A、利息理论 (分数比例约为30%)1. 利息的基本概念（分数比例约为4%）2. 年金（分数比例约为6%）3. 收益率（分数比例约为6%）4. 债务偿还（分数比例约为4%）5. 债券及其定价理论（分数比例约为10%）B、利率期限结构与随机利率模型(分数比例约为 16%)1. 利率期限结构理论（分数比例约为10%）2. 随机利率模型（分数比例约为6%）C、金融衍生工具定价理论(分数比例约为26%)1. 金融衍生工具介绍（分数比例约为16%）2. 金融衍生工具定价理论（分数比例约为10%）D、投资理论(分数比例约为28%)1. 投资组合理论（分数比例约为12%）2. 资本资产定价（CAPM）与套利定价（APT）理论（分数比例约为16%）考试指定教材:中国精算师资格考试用书：《金融数学》徐景峰主编，杨静平主审，中国财政经济出版社2010年版，所有章节。
第二章 生命表函数与生命表构造
第二章生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。
精算师考试内容
精算师考试内容数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。
通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。
考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。
考试内容：A、概率论（分数比例约为35%）1.概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式(第一章)2.联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算(第二章)3.随机变量的数字特征(§3.1、§3.2、§3.4)4.条件期望和条件方差(§3.3)5.大数定律及其应用(第四章)B、数理统计（分数比例约为25%）1.统计量及其分布(第五章)2.参数估计(第六章)3.假设检验(第七章)4.方差分析(§8.1)C、应用统计（分数比例约为10%）1.一维线性回归分析(§8.2)2011年春季中国精算师资格考试-考试指南2.时间序列分析(平稳时间序列及ARIMA模型)(第九章)D、随机过程（分数比例约为20%）1.随机过程一般定义和基本数字特征(第十章)2.几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动）(第十一章)E、随机微积分（分数比例约为10%）1.关于布朗运动的积分(§11.5、第十二章)2.伊藤公式(§12.2)考试指定教材：中国精算师资格考试用书《数学》，肖宇谷主编李勇权主审中国财政经济出版社2010版金融数学考试时间：3小时考试形式:选择题考试要求:本科目要求考生具有较好的数学知识背景。
通过学习本科目,考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。
考试内容：A、利息理论（分数比例约为30%）1利息的基本概念（分数比例约为4%）2年金（分数比例约为6%）3收益率（分数比例约为6%）4债务偿还（分数比例约为4%）5债券及其定价理论（分数比例约为10%）B、利率期限结构与随机利率模型（分数比例:16%）1利率期限结构理论（分数比例约为10%）2随机利率模型（分数比例约为6%）C、金融衍生工具定价理论（分数比例:26%）1金融衍生工具介绍（分数比例约为16%）2金融衍生工具定价理论（分数比例约为10%）D、投资理论（分数比例:28%）1投资组合理论（分数比例约为12%）2资本资产定价（CAPM）与套利定价（APT）理论（分数比例约为16%）考试指定教材:中国精算师资格考试用书《金融数学》徐景峰主编杨静平主审中国财政经济出版社2010年版，所有章节。
中国精算师考试指引——考试用书及考试形式
中国精算师资格考试指南第I部分中国精算师资格考试一准精算师部分A1数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。
通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。
考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。
考试内容：A、概率论（分数比例约为35%）1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式（第一章）2. 联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算（第二章）3. 随机变量的数字特征（§3.1、§3.2、§3.4）4. 条件期望和条件方差（§3.3）5. 大数定律及其应用（第四章）B、数理统计（分数比例约为25%）1. 统计量及其分布（第五章）2. 参数估计（第六章）3. 假设检验（第七章）4. 方差分析（§8.1）C、应用统计（分数比例约为10%）1. 一维线性回归分析（§8.2）2. 时间序列分析（平稳时间序列及ARIMA模型）（第九章）D、随机过程（分数比例约为20%）1. 随机过程一般定义和基本数字特征（第十章）2. 几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动）（第十一章）E、随机微积分（分数比例约为10%）1. 关于布朗运动的积分（§11.5、第十二章）2. 伊藤公式（§12.2）考试指定教材：中国精算师资格考试用书：《数学》肖宇谷主编，李勇权主审，中国财政经济出版社2010版，所有章节。
A2金融数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目要求考生具有较好的数学知识背景。
通过学习本科目，考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。
3.3选择终极生命表
[ x]n1 [ x]n
q ld m [ x]n
m [ x]n [ x]n
q l l l m｜ [ x]n
[ x]nm [ x]nm1 [ x]n
选择-终极表实例
[x]
选择表
终极表
q[ x]
q[ x]1
q q [ x]2
[ x]3
q[ x]4
qx5
x5
1 1t t S0 (x t) S0 (x) S0 (x 1)
, 0t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 (x t) (1 t) S0 (x) t S0(x 1) (x为整数，0 t 1) S0 (x) t [S0 (x 1) S0 (x)]
[ xr 1]r 1
[ xr2]r 2
qx
依据选择效果已经消失后的死亡概率资料编制的生命表
称为终极表。
注记： 由于终极表是选择表中选择效果消失后形成的表，
通常把他们放在一起，形成选择 终极表
由不分投保年数的死亡率资料编制的生命表，
称为综合表。
16
选择生命表
选择生命表构造的原因
60 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 65
61 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 66
62 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 67
63 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 68
t
px
e
0t
dt
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5 q50 0.1
5 p50 0.9
q55
1 45
5.25
q50UDD
0.1
0.9
0.25
1 45
0.105
5.25 q50 CF
0.1 0.9 (1
44 0.25 )
45
0.1050422
0.25 5.25 q50 Balducci 0.1 0.9 44 0.25 0.1050847
三种假定
均匀分布假定(线性插值)UDD假设
S0 (x t) (1 t)S0 (x) tS0 (x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
S0 (x t) S0 (x)(1t) S0 (x 1)t , 0 t 1
Balducci假定(调和插值)
yqx 1 (1 y t)qx
qx 1 (1 t)qx
px qx [1 (1 t )qx ]2
例：已知
lx
10000(1 x ) 100
分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：
0.5 q30 ,5.25 q50， 30.5
解： 1、q30
l30 l31 l30
•选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率 差异明显的时期，也称为选择明显期。
选择生命表：依据q[n]n编制的生命表。它表明随年龄和已投保期而变动 的死亡规律。
当选择效果消失时，死亡率只与年龄有关，如果选择期为r年，
投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等。此时，死亡
概率可以用qx表示，有
q q q [xr]r
① 5 p[60]
，② 2 q[48]1
，③ d57
，④ 3| q52
解： ①投保时年龄为 60 岁的人生存至 65 岁的概率，其值为：
l65 ＝0.92662 l[60] ②投保时年龄为 48 岁，已生存至 49 岁的人，在 51 岁前死亡的概率，其值为：
l[48]1 l51 ＝0.00795 l[ 48]1
[ xr 1]r 1
[ xr2]r 2
qx
依据选择效果已经消失后的死亡概率资料编制的生命表
称为终极表。
注记： 由于终极表是选择表中选择效果消失后形成的表，
通常把他们放在一起，形成选择 终极表
由不分投保年数的死亡率资料编制的生命表，
称为综合表。
16
选择生命表
选择生命表构造的原因
[ x]n1 [ x]n
q ld m [ x]n
m [ x]n [ x]n
q l l l m｜ [ x]n
[ x]nm [ x]nm1 [ x]n
选择-终极表实例
[x]
选择表
终极表
q[ x]
q[ x]1
q q [ x]2
[ x]3
q[ x]4
qx5
x5
例
假定有两位老人今年都是65岁。甲老人是今 年刚刚体检合格购买的保险，乙老人是10年 前购买的保险，至今仍在保障范围内。使用 上面给出的选择－终极生命表估计两位老人 分别能活到73岁的概率。
甲老人的生命表轨迹
甲老人由于刚进入保障范围，所以前5年使用死亡率相对较 小的选择生命表，五年选择期满回归到终极生命表。
67 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 72
乙老人的生命表轨迹
[x]
选择表
终极表
q[ x]
q[ x]1
q q [ x]2
[ x]3
q[ x]4
qx5
x5
60 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 65
61 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 66 62 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 67 63 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 68
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的 新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的 老成员。
需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时 间而逐渐消失
17
选择生命表函数关系
d[ x] n l[ x] n l[ x] n1
q[ x]n
d[ x]n l[ x]n
p ll [ x]n
第五节 生命表的编制
一、有关分数年龄的假设
使用背景:
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分 数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生 存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数 年龄的生存状况
基本原理:插值法 常用方法
均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)
＝0.5×0.006844 ＝0.003422 （b）由死亡力为常数，得：
log px log(1 qx )
于是，有：
＝1－ 0.5 q[56]1
p 0.5 [56]1
＝1－ e 0.50.006868 ＝0.003428
例：解释下列符号的意义，计算它们的值，假设死亡率符合 A1967－1970
S0 '(x t) S0 (x t)
S0 (x) S0 (x 1) S0 (x) t[S0 (x) S0 (x 1)]
qx 1 tqx
死亡力恒定假设
当假设死亡力在x~x+1上恒定时， xt
(x为整数，0≤t≤1)，
由死亡力的定义， xt
d dt ln t px
例：假设（a）整数年龄之间，采用死亡均匀分布假设 （b）整数年龄之间，采用死亡力为常数的假设
试依据 A1967－1970 选择表的数据计算：
q 0.5 [56]1
解：（a）由题意，死亡均匀分布，所以有 t qx t qx （0≤ t ≤1）
和
xt
qx 1 t qx
于是
0.5 q[56]1 ＝0.5× q[56]1
64 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 69 65 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 70 66 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 71
67 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 72
③年龄为 57 岁的人恰在 57-58 岁之间死亡的人数，表中数据为 326.69876。 ④年龄为 52 岁的人，在 55-56 岁之间死亡的概率，其值为：
d55 ＝0.00827 l52
64 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 69
65 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 70
66 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 71
67 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 72
[x]
选择表
终极表
q[ x]
q[ x]1
q q [ x]2
[ x]3
q[ x]4
qx5
x5
64 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 69
65 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 70
66 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 71
t qx
S0 (x) S0 (x S0 (x)
t)
t[S0 (x) S0 (x S0 (x)
1)]
tqx
死亡均匀分布假设
qt x y
S0 (x
y) S0 (x S0 (x y)
y t)
tqx 1 yqx
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
xt
60 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 65
61 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 66
62 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 67
63 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 68
1 1t t S0 (x t) S0 (x) S0 (x 1)
, 0t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 (x t) (1 t) S0 (x) t S0(x 1) (x为整数，0 t 1) S0 (x) t [S0 (x 1) S0 (x)]
1 (1 t) t s(x t) s(x) s(x 1)
巴尔杜奇(Balducci)假设
此时，
t qx
tqx
1 (1 t)q x
t qx y
tqx
1 (1 y t)q x
（其中，0≤t≤1, 0≤y≤1, 0≤t+y≤1）
1t qxt (1 t)qx
解:
则甲老人能活到73岁的概率为
8 p[65] (1 q[65] )(1 q[66] )(1 q[67] )(1 q[68] )(1 q[69] )(1 q70 )(1 q71)(1 q72 ) 0.575403
则乙老人能活到73岁的概率为
8 p65 (1 q65 )(1 q66 )(1 q67 )(1 q68 )(1 q69 )(1 q70 )(1 q71)(1 q72 ) 0.52941