五年级奥数学练习试卷思维培训资料
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 数论之数的整除性
第三讲 数论之数的整除性卷Ⅰ1. 熟练掌握整除性质及特殊数的整除特征；答案：因为432165a a a a a a 能被5整除，所以4a 是5；由于165432a a a a a a 、321654a a a a a a 和543216a a a a a a 分别能被2、4、6整除，因此1a 、3a 、5a 是偶数，取值为2、4、6，进而知道2a 、6a 是1和3；上述能被4整除的那个六位数的末两位32a a 应是4的倍数，而2a 是奇数，所以3a 只能为2和6．根据上面的分析，为使原六位数最大，1a 可取最大的数字6，2a 取1、3中的大数3，这样其余各数分别是3a =2，4a =5，5a =4，6a =1，所以最大值为632541．教学目标专题精讲数的整除性质：[性质1] 如果a 能被b 整除，b 能被c 整除，那么a 一定能被c 整除．例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除．[性质2] 如果a 、b 都能被c 整除，那么(a ±b ) 也一定能被c 整除． 例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除．[性质3] 如果c 能分别被两个互质的自然数a 、b 整除，那么c 一定能被ab 整除． 例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除．①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数数字和能被3整除，这个数就能被9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.⑤部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；10101=3×7×13×37；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73.（一）整除的性质【例1】（2005全国小学数学奥赛）某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？分析：可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除，因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495．注意：本题易错答案为990，提醒同学们注意.（拓展）一个各位数字均不为零的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字、个位数字分别划去后可以得到3个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个能被5整除，另一个能被6整除，还有一个能被7整除．那么原来的三位数是多少？分析：那个能被5整除的两位数的个位数字是0或5，且应是原三位数的十位数字或个位数字．注意到各位数字均不为零且本身是偶数，故必须有原三位数的是十位数字是5．三位数能被8整除意味着末两位数应能被4整除．在51~59之间只有52、56是4的倍数，但52不是5、6、7中任何一个数的倍数，故题设中的三位数个位数字一定是6．由上述分析可知，百位数字和6组成的两位数是6的倍数，可能为36、66、96，则得到三个三位数：356、656、956，经检验只有656是8的倍数．【例2】（第14届迎春杯考题）1）从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？（2）从1～3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？分析：（1）第一问比较简单，3998÷4=999…6所以1～3998中有996个能被4整除的（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的，因此我们考虑分组的方法，我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位，然后对这4000个数做如下分组：（0000，1000，2000，3000），（0001，1001，2001，3001），（0002，1002，2002，3002），…(0999，1999，2999，3999)，共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数，但注意到我们补充了一个0000进去．所以原来的3998个数里，有999个数字和是4的倍数．【例3】在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除？分析：如果2008+a 能被2007-a 整除，那么2008+a 2007-a 为自然数，2008+a 2008200712007-a 2007a++=-也是自然数， 4015能被（2007-a ）整除，所以4015=5×11×73，4015的约数中小于2007的数有1、5、11、73、55、365、803， 所以当a 取2006、2002、1996、1934、1952、1642、1204能使2008+a 能被2007-a 整除.【例4】 已知两个三位数abc 与def 的和abc def +能被37整除，证明：六位数abcdef 也能被37整除．分析：abcdef =abc ×1000+def =abc ×999+（abc +def ），因为999能被37整除，所以abc ×999能被37整除，而（abc +def ）也能被37整除，所以其和叶能被37整除.（前铺）已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？分析：因为□△□△□△=□△10101⨯，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△=10101．作质因数分解得37137310101⨯⨯⨯=，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有371321⨯⨯．注意到两位△□的十位数字和个位数字分别和另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21．即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132．（前铺）证明：形如abcabc 的六位数一定能被7，11，13整除． 分析：1001,100171113abcabc abc =⨯=⨯⨯，所以得证.（拓展）若4b+2c+d=32.试问abcd 能否被8整除?请说明理由．分析：由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可.10010bcd b c d =++，有(42)9688(12)bcd b c d b c b c -++=+=+，所以abcd 能被8整除.（拓展）已知a ，b 是整数，求证a+b,ab 、a-b 这三个数之中，至少有一个是3的倍数．分析：若a,b 之一是3的倍数，则ab 是3的倍数；若a,b 都不是3的倍数：1)a=b=3k+1或3k-1 （都余1或都余2），则a-b 是3的倍数； 2)a,b 一个是3k+1 一个是3k-1 （一个余1，一个余2），则a+b 是3的倍数； 所以a+b,ab,a-b 这三个数之中,至少有一个是3的倍数.（拓展）五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，那么abcde 的最小值是_______．分析：1）若a、b、c、d、e不同的字母代表相同的数值时，abcde=abcd×10+e=(abcd+e)+ abcd ×9，因为abcde是9的倍数，所以(abcd+e)是9的倍数，要abcde最小，我们希望abcd和e都能取最小，这样和也就最小．abcd是4的倍数，所以最小是1000，要让(abcd+e)是9的倍数，e最小是8，所以abcde最小值是10008.2）若a、b、c、d、e不同的字母代表不同的数值时，abcd是4的倍数，所以最小是1024，但e为2，矛盾，所以abcd最小是1028，即abcde最小值是10287.（二）整除的特征【例5】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？分析：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．5，15=5×3，20=5×4，25=5×5，30=5×6，35=5×7，40=5×8，45=5×9，50=5×5×2，55=5×11，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个5，写到55时共出现11＋1＋1=13个因数5，所以至少应当写到55，最多可以写到59．[前铺] 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？分析：首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的数字5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有++147=+个0．124[巩固] 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？343=，则可知，在11个连续的两位数种，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一分析：因为37个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，就是说这连续的11个自然数应该“含有”4个5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．[拓展] 975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？分析：积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少4个2和4个5．975=5×5×39，935=5×187，972=2×2×243，共有3个5，2个2，方框内至少是2×2×5=20 答：在方框内最小应填20．卷Ⅱ【例6】 已知四十一位数55…55□99…99（其中5和9各20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？分析：因为555555和999999都是7的倍数，如果原数是能被7整除，那么由5个205555□ 9个209999=5个205555□99999910999969个14+⨯知 5个205555□ 9个149999也能被7整除；又 5个205555□9个149999可以表示成 5555552910⨯＋ 5个145555□ 9个149999，说明 5个145555□9个149999也能被7整除， 相当于将原数的前后分别去掉555555和999999后整除性不变，依次下去，得到55□99．因此□44是7的倍数，□3是7的倍数，所以得□=6．[前铺1] 已知10□8971能被13整除，求□中的数．分析：10□8-971=1008-971+□0=37+□0．上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8．[前铺2] 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？分析：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除.[巩固1] 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使得这个六位数能够被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？分析：（法1）这个六位数能够被17和19整除，那么也应当能被17×19=323整除，因为119911减去某个数□□00就可能是323的倍数.119911=323×371＋78，说明119911应当减去的四（三）位数满足□□00除以323也余78，也就是满足□□22除以323应当能够除尽.说明□□22是4522，那么□□00是4600，因此所求的六位数是119911－4600=115300.[巩固2] 应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被7整除?(其中数码6和5各重复了50次)666...66?555 (55)分析：可在“?”的位置上填上2或9．事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下66?55．从中减去63035，并除以10，即得3?2．此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？上填2或9.[拓展] 应当在如下的“□□”的位置上填上哪两个数码，才能使得所得的整数可被63整除？（其中数码2和7都重复了25次.222...22□□77 (777)分析：63=7×9，所以中间□□两个数的和能被9整除，又111111(6个1)可被7整除，所以去掉首尾24个数字后，剩下的2□□7，也能被7整除，2007=7×286+5，所以□□5也能被7整除，□□5-35能被7整除，所以两位数□□被7除余3，在两位数中被7除余3，且能被9整除的只有45. □□中所填的数是45.【例7】 （★★全国小学数学奥林匹克）200820082008200808n 个能被99整除，那么，n 的最小值为多少？分析：由于99=9×11，所以200820082008200808n 个能被11和9整除，200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6、17、28……时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6.200820082008200808n 个各位数字之和为（2+8）×n+8=10n+8，所以当n=1、10、19、28……等数时，能被9整除，所以n 的最小值为28.[前铺] 如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例8】 （奥数网原创题）已知多位数55…5599…99□□（其中5和9各n 个）能被7整除，那么当n取值为什么时，方格内的数字的不同的情况数为定值，并求出这个定值？分析：由例题1知当n=6k （k 为自然数），100÷7=14…2，所以共有15种不同的情况；当n ≠6k （k 为自然数）,情况不定．[前铺1] 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？分析：199300÷105余10，199300-10=199290，即它的最后两位数是90.[前铺2] 已知200520052005□□是72的倍数，求末两位数是多少？分析：72=8×9，因为被9整除，所以末两位数字和是被9除余6的，因为被8整除，注意到百位是奇数，所以末两位被8除余4，满足这2个条件的2位数就只有60.[拓展] 已知多位数□□55…5599…99（其中5和9各n 个）能被77整除，那么方格内的数字是多少？分析：由例题知当n=6k （k 为自然数），100÷77=1…23，方格内的数字是77；当n ≠6k （k 为自然数）,情况不定．【例9】 （奥数网原创题）已知四十一位数55…55□7□99…99（其中5和9各19个）能被77整除，那么方格内的数字分别是多少？分析：由上题知可化为5□7□9能被7整除，50709÷77=658…43，所以□0□0+43=7 k （k 为自然数），即□0□0+1=7 k （k 为自然数），又21+□+□=11 k （k 为自然数），所以□+□=10，设第一个□为x ，则第二个□为（10-x ），有1000x+10（10-x ）+1=7 k （k 为自然数），，所以x=6，即第一个□为6，所以第二个□为4，即所求的数为56749.[前铺1] 五位数329A B 能被72整除，问：A 与B 各代表什么数字？分析：已知329A B 能被72整除.因为72＝8×9，8和9是互质数，所以329A B 既能被8整除，又能被9整除．根据能被8整除的数的特征，要求29B 能被8整除，由此可确定B ＝6.再根据能被9整除的数的特征，329A B 的各位数字之和为A ＋3＋2＋9＋B ＝A ＋3－f －2＋9＋6＝A ＋20，因为l ≤A ≤9，所以21≤A ＋20≤29.在这个范围内只有27能被9整除，所以A ＝7.[前铺2] 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除.分析：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数．因为9，25，8两两互质，由整除的性质知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4.这个七位数是4735800.[拓展1] 买28支价格相同的钢笔共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？分析：∵9□.2□元=9□2□分，28＝4×7，∴根据整除“性质2”可知4和7均能整除9□2□．4｜2□可知□处能填0或4或8．因为79020，79424，所以□处不能填0和4；因为7｜9828，所叫□处应该填8．又∵9828分=98.28元，98.28÷28＝3.51（元），即每支钢笔3.51元．[拓展２] 仓库有两个箱子，其中一个装了74个大杯子，另一个装了75个小杯子．地上有两个价格牌，一个写着总价“132.××元”，另一个写着“总价123.××元”．已知这两个价格牌原来贴在箱子上，但现在已经弄不清楚哪个价格牌贴在哪个箱子上了，唯一知道的是大杯子的单价比小杯子的贵，那么小杯子的单价是多少元？分析：设大杯子和小杯子的价格分别为S 和s ．如果s ×75=132.××，S ×74=123.××，因为S >s ，所以s >132.××－123.×× > 8元．可是如此小杯子的总价格大于8×75=300元，不符合题目要求．所以123.××是小杯子的总价钱．由此可得出123××是75=3×25的倍数，则××可以为00、25、50、75，经实验12300和12375是75的倍数．相应的s 分别为：12300÷75=1.64元、12375÷75=1.65元．【例10】 求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a ＋56的形式．由于100a ＋56能被56整除，所以a 能被14整除，所以a 应是14的倍数．而且a 的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺] 求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998.[拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1) 数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2) 数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.练习三专题展望1. （例1）有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和，例如：30满足上述要求，因为30=9＋10＋11；30=6＋7＋8＋9；30=4＋5＋6＋7＋8．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由．分析：3个连续自然数的和，一定能够被3整除；4个连续自然数的和，一定能够被2整除，且除以2所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，也即除以4所得余数为2；5个连续自然数的和，一定能够被5整除．3、4、5的最小公倍数是60．60以内满足上述三个条件的数是30，所以60的整数倍加上30就可以满足条件．700=60×11＋40，所以第一个符合题意的数是750=60×12＋30，最大的一个数是990=60×16＋30，共计16－12＋1=5个数，分别为750、810、870、930、960．关键是让学生把该问题转化到整除问题，也可简单复习连续自然数求和与项数的关系．2. （例3）在1，2，3，……，1995，这1995个数中找出所有满足下面条件的数a 来：（1995+a ）能整除1995×a. 分析：1995a 1995+a ⨯是自然数，所以1995a 199519951995-=1995+a 1995+a⨯⨯也是自然数，即1995+a 是1995×1995的约数.因为：1995×1995=32×52×72×192，，它在1995与2×1995之间的约数有 32×192=3249，7×192=2527，3×72×19=2793， 52×7×19=3325，32×5×72=2205，3×52×72=3675， 于是a 的值有6个，即3249-1995=1254，2527-1995=532，2793-1995=798， 3325-1995=1330，2205-1995=210，3675-1995=1680.3. （例4）已知p 、q 都是大于1的整数，并且qp 12-和p q 12-都是整数，那么p ＋q 的值是多少？分析：根据对称性，不妨设p q ≥，于是21q p-为大于0、小于2的整数，只能等于1.由于21q p -=，可将21p q -化为34q-，这样3q =，5p =，所以8p q +=.4. （例5）把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？分析：1到10的乘积里会出现2×5和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是49个0，还要扩大至220时加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．5. （例6）二百零一位数11…1□22…2（其中1和2各有100个）能被13整除，那么中间方格内应填什么数？分析：由111111被13整除，而100=6×16+4，故原来被13整除的算式即变为13｜1111□2222；还可变为13｜333-1□2，即可知方格应填1．6. （例7）已知数022983298329832983个 n 能被18整除，那么n 的最小值是多少？分析：13n+2=9k ，所以k=6 时，n=4位最小值.人生要学会遗忘人生在世，忧虑与烦恼有时也会伴随着欢笑与快乐的．正如失败伴随着成功，如果一个人的脑子里整天胡思乱想，把没有价值的东西也记存在头脑中，那他或她总会感到前途渺茫，人生有很多的不如意．所以，我们很有必要对头脑中储存的东西，给予及时清理，把该保留的保留下来，把不该保留的予以抛弃．那些给人带来诸方面不 利的因素，实在没有必要过了若干年还值得回味或耿耿于怀．这样，人才能过得快乐洒脱一点．众所周知，在社会这个大家庭里，你要想赢得别人的尊重，你首先必须尊重别人，多记住别人的优点，而学会遗忘别人的过失．其次，一个人要学会遗忘自己的成绩，有些人稍微做了一点成绩就骄傲起来，沾沾自喜，这显然是造成失败的一个原因．成绩只是过去，要一切从零开始，那样才能跨越人生新的境界．同时，一个人自己对他人的帮助，应该看作是一件微不足道小事，以至于遗忘．这样，你的处事之道方能获得他人的赞许．人生需要反思，需要不断总结教训，发扬优点，克服缺点．要学会遗忘，用理智过滤去自己思想上的杂质，保留真诚的情感，它会教你陶冶情操．只有善于遗忘，才能更好地保留人生最美好的回忆．成长故事。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料列方程解应用题
第十讲列方程解应用题小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。
他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？呵呵！认真学习今天的好方法，你就可以准确、快速的解答出上面的问题了！内容概述在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。
它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。
但是，两种解答方法的解题思路却不同。
由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用算术方法解答应用题，时常要用逆向思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。
用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。
特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。
类型Ⅰ：列简易方程解应用题【例1】 （清华附中培训试题）（难度系数：★★）解下列方程： （1）357x x +=+ （2）452x x -=- （3）12(3)7x x +-=+（4）132(23)5(2)x x --=--（5）5118()2352x x ⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦（6）1123x x+-= （7）527x y x y +=⎧⎨+=⎩（8）2311329x y x y +=⎧⎨+=⎩分析：（1）375,22,21.1x x x x x -=-===移项得：注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；化简得：等式两边同时除以可得：把代入原式满足等式.以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验.（2）2541.x x x -=-=， （3）16277730.x x x x +-=+-==，， （4）13465219471974123 4.x x x x x x x x -+=-+-=--==，，-=，，（5）511154104101104()410.35236333333x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⨯⨯-=⨯-=-=-===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，， （6）31263326 3.x x x x x +=+-==（）-，，请教师强调学生在解答时要注意：移项变号、同类放在等式一边、（4）中去括号时每一项都要发生相应变化、（6）中每一项都同时扩大6倍、（5）中可以先简化运算的一定要先化简。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 (18)
第三讲 数论之数的整除性数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要. 本讲需要教授的内容有：1、掌握并熟练运用能被2、3、4、5、6、9、11等整除的自然数性质，这类知识在（Ⅰ、Ⅱ类）题中运用很多.2、训练对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）的分解情况对于解决（Ⅲ类）有很大的帮助.3、精英班、竞赛班的学生还应该掌握分式的化简方法.数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”和“朗兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究，本讲我们将学习一些最基本的数论知识.想挑战吗在下面的方框中各填一个数字，使六位数 11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是 .答案：17×19=323，而110011÷323余数为191，若□□00+191被323整除，商的个位为7，从而十位是1，□□00+191=5491，方框中的数为53.你还记得吗？教学目标①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.以上规律仅在十进制数中成立.⑤部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73. 10101=3×7×13×37.Ⅰ整除与数字谜题【例1】（★★★）要使26ABCD6能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C、D分别是多少？分析：因为36=4×9，所以D6能被4整除，从而D只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，A、B、C应尽可能小，先取A=0，B=1，又2+6+6+A+B+C+D=14+A+B+C+D=15+C+D，所以15+C+D是9的倍数，C=3，D=9时，取得最小值.[拓展]要使26ABCD6能被36整除，而且所得的商最大，那么A、B、C、D分别是多少？分析：先取A=9，则B=8，31+C+D是9的倍数，所以B+C=5或14，由于，B+C≤7+6=13，所以B+C=5，B=5，C=0时，取得最大值.【例2】（★★★祖冲之杯小学数学邀请赛）一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是 .分析：设这样的数为x，则20x-1=153a，a是整数，即20x=153a＋1，因为20x的末位数一定是0，所以a最小取3，从而x最小是23.[巩固](这一类型的题虽然也被分入Ⅰ类，但非常特殊，应当注意).一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？分析：20x=59a-7，59a个位是7，所以a的个位是3，a=3时，x不能取整数，a=13时，x=38.【例3】（★★★★）求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以a应是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺]：求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998.[拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1)数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2)数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.【例4】（★★★★）在1，2，3，……，1995，这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来：（1995+a）能整除1995×a.分析：1995a1995+a⨯是自然数，所以1995a199519951995-=1995+a1995+a⨯⨯也是自然数，即1995+a是1995×1995的约数.因为：1995×1995=32×52×72×192，，它在1995与2×1995之间的约数有32×192=3249，7×192=2527，3×72×19=2793，52×7×19=3325，32×5×72=2205，3×52×72=3675，于是a的值有6个，即3249-1995=1254，2527-1995=532，2793-1995=798，3325-1995=1330，2205-1995=210，3675-1995=1680.Ⅱ整除与数字组合【例5】目前日期的流行记法是采用6位数字，即将表示年份的后两位数字记在最左边，中间两个数字表示记载最左边，中间两个数字表示月份，最末两位数字表示日份（遇有月或日是个位数，前面加一个0.例如2008年8月8日记作080808），那么在今年（07年）365个日期中能被45整除的日期有多少个？分析：45=9×5，所以这个六位数只能是07***5或07***0，其中千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，对于07***5，千位、百位、十位上数字和为6或15、24，由于千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，所以三位数字之和不可能为15、24，如果为6，那么有070605、070515、070425三种情况；对于07***0，千位、百位、十位上数字和为2或11或20，由于千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，所以三位数字之和不可能为20，如果为11，那么只有070920、070830两种情况.如果三位数字之和为2，那么只有070110、071010两种情况，所以在今年（07年）365个日期中能被45整除的日期有7个.称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3， (18)除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是．分析：这个十全数能被10整除，个位数必为0；能被4整除，十位数必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，必有b＋d-(a＋c)=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一个．经检验，它是4 876 391 520．【例7】（★★俄罗斯数学奥林匹克）为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能被3或4所整除．试求出这个密码．分析：密码中的2比3要多，所以2可能有4、5、6或7个．当2有4个时，密码的数字和为17；当2有5个时，数字和为16；当2有6个时，数字和为15；当2有7个时，数字和为14．我们知道如果一个数能被3整除，那么它的数字和也能被3整除，所以2应当有6个，这样3就只能有1个．另外，一个数能被4整除，那么它的末两位数也应当能被4整除，所以末两位数必定是为32．所以，密码是2222232．[拓展] 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3．在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3或16所整除．试问密码是多少？分析：密码由7为数字组成，如果有一个3的话，那么至少有二个2，如果有三个2，那么1至少有四个，总共至少有1+3+4=8个数字，所以2只有二个，1有4个，如此，各数位数字和为4+4+3=11，不是3的倍数，所以密码中只有1、2，由1、2组成的四位数中只有2112能被16整除（从个位向高数位推得），所以密码的后四位是2112，所以前三位数字和是3的倍数，只有111和222（2多于1，排除）满足条件，所以这个密码是1112112.【例8】（★★★）用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?分析：现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被¨除尽，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：偶位奇位(1) 1，8 9，8(2) 1，9 8，8(3) 9，8 1，8(4) 8，8 1，9经过验证，第(1)种分组法满足前面的要求：A=1＋8=9，B=9＋8＋3=20，B－A=11能被11除尽．但其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第(1)分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．[拓展] 用1、2、3、4、5、6这6个数字能组成多少个被11除余5的六位数？分析：1+2+3+4+5+6=21，六位数被11除余5的话，奇数位数字和减去偶数位的数字和再减去5能被11整除，21只能分拆成13和8两个差为5的数字，所以组成的六位数的奇数位的和为13，偶数位的数字和为8，1到6这6个数字能组成13的只有6+4+3和6+5+2两种.对于其中任意一种，例如奇数位数字分别为6、4、3，偶数位数字分别为1、2、5，这种情况下的六位数一共有3×3=9种，同理另一种情况也有9种，所以用1、2、3、4、5、6这6个数字能组成18个被11除余5的六位数.【例9】（★★★★）已知一个6位数abcdef ，将它的前三位整体移到末尾变成defabc ，然后将两个六位数相加，已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①1460470；②460459；③1460459；④1460472；⑤1460466，这个和到底是多少？分析：这个和可以表示为：（a+d ）×100100+（b+e ）×10010+（c+f ）×1001，所以这个和是1001的倍数，所以这个和是7、11、13的倍数[前铺]一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?分析：设这个4位数是abcd ，则新的4位数是bcda .两个数的和为abcd +bcda =1001×a+1100×b+110×c+11×d,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867.Ⅲ 多位数整除【例10】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面这个199位整数：19910010010011001位被13除，余数是多少？分析：100100能被13整除，每六位能被13整除，所以余数是1[拓展]199100000位被13除余多少？分析：19910010010011001位-199100000位=19610010011001位显而易见19610010011001位也是1001的倍数，所以也是13的倍数，所以199100000位与19910010010011001位被13除所得的余数相同,余数是1.[拓展]（★★★）49100200300470080090080074003002001共位…………被7除的余数为多少？分析：原式=1001001001001001001001001×1001001001001001001001001，由【例10】的方法1001001001001001001001001被7除余1，所以49100200300470080090080074003002001共位…………被7除的余数为1.【例11】200820082008200808n 个能被99整除，那么，n 的最小值为多少？分析：由于99=9×11，所以200820082008200808n 个能被11和9整除，200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6、17、28……时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6.200820082008200808n 个各位数字之和为（2+8）×n+8=10n+8，所以当n=1、10、19、28……等数时，能被9整除，所以n 的最小值为28.[前铺]（★★全国小学数学奥林匹克）如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例12】（★★★★）应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被7整除?(其中数码6和5各重复了50次)666...66?555 (55)分析：可在“?”的位置上填上2或9．事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下66?55．从中减去63035，并除以10，即得3?2．此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？上填2或9.[拓展]应当在如下的问号“？”的位置上填上哪个数码，才能使得所得的整数可被41整除？（其中数码2和6都重复了36次）222...22?66 (666)分析：11111=41×271，所以我们可以将数的头和尾各去掉35个数码，并不改变对41的整除性，于是还剩下2?6，在200到300之间只有246能被41整除，并且个位数字为6.所以“？”上应填入4.[拓展] 应当在如下的“□□”的位置上填上哪两个数码，才能使得所得的整数可被63整除？（其中数码2和7都重复了25次.222...22□□77 (777)分析：63=7×9，所以中间□□两个数的和能被9整除，又111111(6个1)可被7整除，所以去掉首尾24个数字后，剩下的2□□7，也能被7整除，2007=7×286+5，所以□□5也能被7整除，□□5-35能被7整除，所以两位数□□被7除余3，在两位数中被7除余3，且能被9整除的只有45. □□中所填的数是45.数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.1、（★例1）六位数20□□08能被49整除，□□中的数是 .分析：方法一：20□□08被49除商4081余39，所以□□00+39能被49整除，□□39除以49应当商至少为11，49×11=539，所以□□中的数应该为05，当然5+49=54也成立，□□中的数可以为05也可以输542、（★★★例1）某个7位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数依次是什么？分析：2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520. 1993000÷2520=790 (2200)2520-2200=320，所以最后两位数是3、2、0.3、（★★★例2）一个数的40倍减1能被97整除，这样的自然数中最小的是 .分析：设这样的数为x ，则40x-1=97a ，a 是整数，即40x=97a ＋1，因为40x 的末位数一定是0，40x-1的末尾数一定是9，所以a 最小取7，从而x 最小是17.4、（★★★例12）已知39393939……中39一共重复了20次.那么这个数被37除得的余数是多少？ 分析：10101=3×7×13×37，所以393939是37的倍数.所以这个40位数裁掉前36位数后剩下的四位数与原来的数同余，所以只要求出3939被37除后的余数.3939=37×106+17,所以余数为17. 练习三专题展望5、（★★★★例4）在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a 整除？分析：如果2008+a能被2007-a整除，那么2008+a2007-a为自然数，2008+a2008200712007-a2007a++=-也是自然数，4015能被（2007-a）整除，所以4015=5×11×73，4015的约数中小于2007的数有1、5、11、73、55、365、803，所以当a取2006、2002、1996、1934、1952、1642、1204能使2008+a能被2007-a整除.时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系.可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的.原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了.譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的.因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数.时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍.以1/60作为单位，就正好具有这个性质.譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示.时间和角度都用分、秒作小数单位.这个小数的进位制在表示有些数字时很方便.例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数.这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天.数学知识。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 (10)
第四讲 奇数与偶数本讲需要学生掌握并熟练运用以下知识. 1、奇数与偶数的四则运算性质（掌握并熟练运用）；2、利用奇偶数的性质巧妙运用反证法等数学方法（掌握并熟练运用）.奇数与偶数问题一般分为两类，一类（Ⅰ）主要考查运用奇数与偶数的四则运算性质的能力，这一类题往往有常规解法，通常只要经过简单的逻辑判断便能得出答案，教师在讲授这类题型时应该着重强调奇数与偶数的四则运算性质在这一类题中的运用，另一类题（Ⅱ）条件隐含，需要特殊的逻辑思维过程，奇偶数有时候仅仅作为一种判断模型，这类题说简单很简单，说难很难，完全靠学生悟性，教师应当注重思维引导.想挑战吗？奇数与偶数作为数学概念非常简单和浅显，但奇数与偶数在解题过程中的妙用却有很多，学会这些妙用，首先应该复习一下奇数与偶数的一些性质：① 偶数±偶书=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±偶数=奇数；奇数±奇数=偶数.② 偶书×偶数=偶数；偶数×奇数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数.③偶数个偶数相加减还是偶数；偶数个奇数相加减也是偶数；奇数个偶数相加减还是偶数；奇数个奇数相加减还是奇数；专题精讲 教学目标 有一只蚂蚁停在某个正方体的一个顶角上，每一天，这只蚂蚁都从正方体的一个顶角爬过一条棱到达另一个端点，那么这只蚂蚁是否有可能在10天后恰好到对顶角？ 分析：不可能，蚂蚁如果要爬到对顶点，必须竖直棱、横向棱、纵向棱都爬奇数次，而3个奇数的和为奇数，所以不可能在10天后恰好到达对顶角.也可以对正方体的 8个顶点进行相间染色,用染色的方法进行解释.【例1】（★）能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于28.分析：因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.[巩固]：能否从1、3、5、7、9、11、13、15这8个数中选出3个数来，使它们的和为24？分析：不能，奇数个奇数相加的和为奇数不可能为偶数.【例2】是否存在自然数a、b、c，使得（a-b）（b-c）（a-c）=27043？分析：不存在.如果(a-b)、(b-c)中有一个偶数则原式不成立，如果（a-b）、（b-c）为奇数，那么a-c=(a-b)+(b-c)为偶数还是不成立.[拓展]是否存在自然数a、b、c,使得（5a-3b）（5b-3c）（25a-9c）=36342？分析：不存在，（25a-9c）=5（5a-3b）+3（5b-3c），所以如果（5a-3b）、（5b-3c）为奇数，那么（25a-9c）为偶数，所以（5a-3b）、（5b-3c）、（25a-9c）三个数中不可能都是奇数，所以不存在符合条件的a、b、c.[拓展]是否存在自然数a、b、c、d,使得（a-b）（b-c）（c-d）（a-d）=36342？分析：不存在.因为（a-d）=（a-b）+（b-c）+（c-d），所以如果（a-b）、（b-c）、（c-d）、（a-d）这四个数中有三个数是奇数，那么第四个数一定也是奇数，所以（a-b）、（b-c）、（c-d）、（a-d）中偶数不可能单独出现，所以这四个数的积要么是4的倍数，要么是奇数，而36342既不是4的倍数，也不是奇数，所以不可能存在自然数a、b、c、d使等式成立.【例3】（★★★）用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：a×b×c×d-a=2001a×b×c×d-b=2003a×b×c×d-c=2005a×b×c×d-d=2007试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在.分析：a、b、c、d中如果有一个偶数，那么以偶数作为减数的等式等号左边值应该为偶数，与右边的奇数出现矛盾，如果a、b、c、d都是奇数，那么四条式子的等号左边都是偶数，四条等式都不成立.【例4】（★★★）（圣彼得堡数学奥林匹克）沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．分析：任何相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个，所以任何相邻两丛植物上所结浆果数目和都是奇数．这样一来，8丛植物上所结的浆果总数是4个奇数之和，必为偶数，所以不可能结有225个浆果．[拓展] 能否将1～16这16个自然数填入4×4的方格表中(每个小方格只填一个数)，使得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数?如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由．分析：不能．将所有的行和与列和相加，所得之和为4×4的方格表中所有数之和的2倍．即为(1＋2＋3＋…＋15×16)×2=16×17．而8个连续的自然数之和设为k＋(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋(k＋4)＋(k＋5)＋(k＋6)＋(k＋7)=8k＋28若4×4方格表中各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数，应有8k＋28=16×17，即2k＋7=4×17 ①显然①式左端为奇数，右端为偶数，得出矛盾．所以不能实现题设要求的填数法．【例5】（★★★）有7只正立的茶杯，要求全部翻过来.规定每次翻动其中6只.试问此事能否办成？若茶杯是10只，每次只翻动7只，又能否把正立的茶杯全部翻过来？分析：（1）每一次操作都只能改变偶数个茶杯的放置状态，被翻过来的茶杯永远是偶数，所以不能将所有正立的茶杯翻过来.（2）能，将10个杯子编号后，分四次将所有杯子全部翻过来.第一次翻编号为1、2、3、7、8、9、10的杯子，第二次翻编号为4、5、6、7、8、9、10的杯子，第三次翻编号为1、2、3、4、5、7、8的杯子，第三次翻编号为1、2、3、4、5、9、10的杯子.[拓展] 有7面时钟，都指向12点，现在做一些操作，每次将其中六面钟往前或往后拨6小时，那么是否有可能将这7面钟都归于6点？分析：这道题与原题无任何区别，过渡到下一拓展.[拓展]有9面时钟，其中有3面指向12点，有三面指向3点，另外三面指向6点，现在做一些操作，每次将其中两面钟往前或往后拨3小时，那么是否有可能将这9面钟都归于6点？分析：不可能,不妨将一面种往前或往后拨3小时称为一个操作，那么将这9面钟归于6点，需要经过奇数个操作，但是，每次都要进行两个操作，因此不可能经过若干次偶数个操作完成技术个操作.【例6】（★★★奥数网原创）36盏灯排成6×6的方阵，这36盏灯中只有9盏灯是亮着的，现在作一些操作，每次操作拉一下同一行或同一列灯的开关，请问能否经过若干次操作，使这36盏灯全部亮.分析：不能，每一次改变6盏灯的状态，无论这6盏灯原来的状态如何，等只能增加或减少偶数盏亮着的灯，所以无论拉多少次都不能将这36盏灯全部亮.[拓展]如果36盏灯当中有两盏灯是亮着的，那么是否有可能经过若干次操作，使这36盏灯全部亮.分析：不能，如果两盏灯是亮着，而且经过若干次操作，使这36盏灯全部亮的话，那么原来亮着得灯要拉偶数下，原来不亮的灯要拉奇数下，两盏灯若在同一行（或同一列），那么该行（或该列）被拉的次数，与这两盏灯所在的列（或行）被拉的次数同奇偶，与其他列（或行）被拉的次数的奇偶性质相反，那么其他行（或列）被拉的次数无论是奇数还是偶数，都不能使该行所有灯同熄同亮，若两盏原来两着的灯【例7】有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 综合试卷 (27)
综合评价（五）一 精学精练1.填空1）95分=（ ）小时 1250千克=（ ）吨（填分数）2）0.28立方分米=（ ）升=（ ）毫升 1.2立方米=（ ）立方分米 3）的分数单位是，它有41个这样的分数单位，这个带分数是（ ），一个带分数19减去（ ）个这样的分数单位后结果是最小的合数。
4）一条路，修了它的，表示把（ ）看成单位“1”把它平均分成（ ）份，修27了的长度是这样的（ ）份。
5）12的因数有（ ），其中（ ）是质数，（ ）是合数。
6）一个数去除28,42和56正好都能整除，这个数最大是（ ）。
7）。
45千米可以看作1千米的()()，也可以看作4千米的()() 8）中，能化成有限小数的是（ ）。
1715、512、2316、2130 9）甲乙两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，已知甲数是18，乙数是（ ）。
10）两个完全相同的长方体，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和减少（ ）平方厘米。
答案：1） ， 。
2）0.28 ，280 ，1200 。
3） ，5 。
4）这条路，7 ，2 。
5）17121144591、2、3、4、6、12 ，2、3 ，4、6、12 。
6）14 。
7） 。
8） 45 ，152316、2130 。
9）48。
（解析：两个数的乘积=它们的最大公因数×最小公倍数） 10）24 。
2.判断1）两个数的公因数一定比这两个数都小。
（ ）2）如果两个数的最小公倍数是两个不同质数的积，这两个数一定是互质数。
（ ）3）一个正方体的表面积是6平方厘米，如果这个正方体的棱长都扩大2倍，那么它的表面积也扩大2倍，是12平方厘米。
（ ）4）任何一个奇数加上1以后，一定能被2整除。
（ ）答案：1）×。
2）√。
3）×。
4）√。
二 活学活用1.印刷厂原计划12天装订图书271万册，前5天装订了109万册，后来改进操作方法每天可以装订27万册，这样可以提前几天完成任务？答案： 1天2.水果店运进20筐苹果，卖出255千克以后，还剩9筐零20千克，求每筐苹果多少千克？答案：25千克3.植物园绿化环境，种植常绿树求植物园共植134万株，种植的果树比常绿树多215万株，树多少万株？答案：万株57104.把一块长25厘米，宽20厘米的长方形铁皮，从4个角上剪去边长5厘米的正方形，所剩下的部分正好焊接成一个无盖的长方体铁盒，如果在这个长方体铁盒的里面涂上油漆，油漆的面积是多少平方厘米？答案：400平方厘米5.一个长方体铜块，长2.8分米，宽1.2分米，高0.5分米，每立方分米的铜重8.9千克，10块这样的铜块重多少千克？答案：149.52千克。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料简易方程(三)
简易方程（三）一、精学精练1.判断①含有未知数的式子叫方程。
（）②方程一定是等式，等式一定是方程。
（）③x=2.4是方程3.4×4+x=15的解。
（）④解方程2.6x-0.4x=72可以整理为2.2x=72。
（）⑤方程6x+83=12x可以理解为12x+6x=83。
（）⑥5+7.2=x是方程。
（）⑦方程6x+6=18的解是2。
（）⑧x=0是方程。
（）⑨a×a=2×a。
（）答案：①×。
（含有未知数的等式叫方程）②×。
（方程是等式，但等式不一定是方程。
）③×。
（方程3.4×4+x=15的解是x=1.4 ）④√。
⑤×。
⑥√。
⑦√。
⑧√。
⑨×。
（a×a=a2）2.解下列方程x-3.7=8.5 x+3×0.7=6.5 9.1+x=12.56x-x=41.6 2.6+2x=19.3 x-12=63答案：x=12.2 ，x=4.4 ，x=3.4 ，x=8.32 ，x=8.35 ，x=75 。
二、活学活用1.列方程，并求方程的解：①一个数的3倍减去90的差是15，求这个数。
答案：3x-90=15，x=35②x与16.5的差的4倍是13.6，求x。
答案：4（x-16.5）=13.6，x=19.9③一个数的3倍减去40除以2.5的商，差是29，求这个数。
答案：3x-40÷2.5=29，x=15④比x的2倍多2.8的数是17.2，求x。
答案：2x+2.8=17.2,x=7.2⑤x的4倍比它的3.5倍多10.8，求x。
答案:4x-3.5x=10.8,x=21.6⑥一个数与32的和的一半是96，求这个数。
答案：（x+32）÷2=96，x=160⑦一个数的8倍比这个数的5倍多15，求这个数。
答案：8x-5x=15，x=5⑧一个数的5倍比2.8除以0.7的商多3，求这个数。
答案：5x-2.8÷0.7=3，x=1.4。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 (2)
第二讲立体图形（一）卷Ⅰ（一）巧解复杂的组合图形表面积【例1】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【例2】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？【例3】（奥数网原创题）按照上题的堆法一直堆到N层（N＞3），要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N的最小值是多少？（二）表面积的最值问题【例4】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？【例5】边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？【例6】用10块长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?【例7】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？（1）当b=2h时，按图几打包？（2）当b＜2h时，按图几打包？（3）当b＞2h时，按图几打包？卷Ⅱ（三）立体图形的切、拼、挖【例8】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【例9】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【例10】有一个棱长为 5 cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（右上图），求这个立体图形的内、外表面的总面积．【例11】如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积．【例12】如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？（三）展开图【例13】在小于16 的自然数中选出6个不同的数，分别写在正方体的6个面上，要求各组相对的两个面上的数的乘积都相等，下图是正方体的展开图，并填上了1，请将其它数填上。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料圆与扇形
第二讲 圆与扇形内容概述这一讲我们一起研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
基本公式：圆的面积=πr 2，圆的周长=2πr；例题精讲【例1】 求下列各图阴影部分的面积。
（π取3）分析：（1）22111122 1.542422ππ=-=∙∙-∙∙=阴影部分面积的大圆的小圆（）（2）法1：如右图所示，过B 做BD 垂直于AC ，我们就容易得到BD=AD=DC ，所以BD=3，三角形ABC 的面积=3×6÷2=9， 阴影部分面积=扇形面积-三角形ABC 的面积=4.5×3-9=4.5 ；法2 ：直角三角形的三边有一个特殊的关系，那就是著名的勾股定理：如右图所示，三角形ABC 是直角三角形，最长边是AC ，较短的两条边是AB 、BC ，那么有222AC AB BC =+。
反之，若三角形中有222AC AB BC =+，那么这个三角形就是直角三角形，且AC 边为最大边，所对的角是直角。
最经典的直角三角形三边为：3、4、5 （222534=+）。
在题目中，三角形ABC 是等腰直角三角形，所以有222AC AB BC =+，且AB=BC ， 可得， 2222112AB 6AB 18ABC =AB BC AB 922⨯==∙∙=∙=，，三角形的面积， 阴影部分面积=扇形面积-三角形ABC 的面积=4.5×3-9=4.5 。
（3）22111114244=1022222ππ=--∙∙-∙∙-∙∙阴影部分面积大圆面积小圆面积三角形面积=（4）22314444+2416044π=+-∙∙=阴影部分面积正方形个圆个圆=（+）（5）阴影部分面积= 一 半小圆 + 一 半中圆 + 三角形 – 一 半大圆 ；因为5×5=4×4+3×3 ，三角形是直角三角形，面积为：3×4÷2=6 ，可得阴影部分面积=6。
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义务教育基础课程小学教学资料
第一讲 直线型面积（一）
卷Ⅰ
把图中的十字形纸在不剪断的情况下，做成一个长方形（可以使用剪刀和浆糊）.
想
挑 战
吗
【例1】 如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长
线于F ，若S △ADE=1，求△BEF 的面积．
【例2】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC=2DE ，F 是DG 的中
点．四边形EFGC 的面积是多少平方厘米?
【例3】 如图，长方形ABCD 中，BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，三角形DFG
的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．
【例4】 如图，在平行四边形ABCD 中，BE=EC ，CF=2FD ．求阴影面积与空
白面积的比．
专题精讲
G
F E
D C
B
A
G
F
E
D C
B
A
F
E D
C
B
A
卷Ⅱ
【例5】 （奥数网原创题）如图，60AOB BOC ∠=∠=，在射线
OB 上任取一点P ，使得OP=6，过P 点能做几条直线交射线OA 、OC 于M 、N ，使得OM 、ON 均为正整数．
【例6】 奥数网原创题） 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，
使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．
【例7】 如图，已知AE=
15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC
三角形的面积三角形的面积等于多少?
【例8】 （奥数网原创题）如图，在△ABC 中，延长BD=AB ，CE=
1
2
BC ，F 是AC 的中点，若△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是多少？
F E
D
C
B A
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
【例9】 （奥数网原创题）如图，平行四边形ABCD ，BE=AB ，
CF=2CB ，GD=3DC ，HA=4AD ，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.
【例10】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，
DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．
H
G
F
E
D C
B
A
H
G F
E
D C B
A
卷Ⅲ
【例11】（全国华罗庚金杯数学邀请赛）2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成
一个大正方形，如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，
那么直角三角形中，最短的直角边长度是几米？
【例12】（2004全国华罗庚金杯数学邀请赛）如图，P是正方形ABCD外面一点，PB=12厘米，△APB的面积是90平方厘米，△CPB的面积是48平方厘米.
请问：正方形ABCD的面积是多少平方厘米？
【例13】如图所示，直角三角形PQR的直角边为5厘米，9厘米.问：图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？
【例14】如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外作半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向
外作半圆，形成8个“月牙形”，这8个“月牙形”的总面积为5平方厘
米.问大正方形EFGH的面积是多少平方厘米？
1. 如图，
1,5,4,,ABC
S
BC BD AC EC DG GS SE AF FG ======，
求FGS
S
.
2. （例1、5）如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是
CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？
3. （例3）如右图，正方形ABCD 的边长为l ，E 、F 分别是BC 、DC 的中点，求四
边形MECN 的面积为多少？
4. （例3）如图，长方形ABCD 中，E 为AD 中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、
H ，已知AH=5cm ，HF=3cm ，求AG ．
5. （例11）（2004全国华罗庚金杯数学邀请赛）如图，智能机器猫从平面上的
O 点出发，按下列规律行走：由O 向东走12厘米到1A ，由1A 向北走24厘米到2A ，由2A 向西走36厘米到3A ，由3A 向南走48厘米到4A ，……依此规律到达的6A 点与O 点的距离是多少厘米？ 练习一
G
F
E
D C
B
A H
G
F E D
C
B
A
S
G
F E D
C
B
A
6.（例13）（2005全国华罗庚金杯数学邀请赛）如图1，长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对
角线折起压平，如图2所示，求重叠部分（阴影部分）的面积.
数学知识
拼图欣赏
七巧板是我国传统的启智游戏之一，又名智慧板．它是由正方形、平行四边形和三角形等七块简单几何图板组成，可以拼出各种各样的几何图形和许许多多美丽而有趣的图案．拼简单几何图形：
拼各种造型：
你能拼成其他动物的造型吗？拼拼看．。