函数的对称性
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性对于函数而言，它的对称性和奇偶性是一种重要的性质，可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。
在数学中，对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质，而奇偶性则是函数在自身的对称轴上的性质。
本文将重点讨论函数的对称性和奇偶性。
1. 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变。
常见的函数对称性包括中心对称和轴对称。
1.1 中心对称性中心对称性是指函数的图像以某个点为对称中心，对称轴上的任意两点关于对称中心对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有中心对称性。
例如，函数f(x) = x^2是一个具有中心对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一个抛物线，以原点为对称中心，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的。
1.2 轴对称性轴对称性是指函数的图像以某条直线为对称轴，对称轴上的任意两点关于对称轴对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有轴对称性。
举个例子，函数f(x) = sin(x)是一个具有轴对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一条波浪线，其对称轴为x轴，任意一点关于x轴的对称点的函数值是相等的。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身的对称轴上的性质。
奇函数和偶函数是两种常见的奇偶性。
2.1 奇函数奇函数是指函数在自身的原点上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
举个例子，函数f(x) = x^3是一个奇函数。
我们可以观察到，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于原点对称。
2.2 偶函数偶函数是指函数在自身的对称轴上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
偶函数的图像关于对称轴对称。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数。
我们可以观察到，任意一点关于y轴的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于y轴对称。
10、函数对称性
十、函数对称性一、函数对称性对称性是函数的一个基本性质，对称性不仅广泛的存在与数学问题之中，而且利用对称性往往能够更为简捷的解决数学问题，高考中也函数对称性的考察，列为高考的重点。
1、函数()y f x =自身图像的对称性定理：若函数()f x 满足()()f a x f b x +=-，则函数()f x 图像关于直线2a bx +=对称。
“()()f a x f b x +=-”表示当自变量取a x +和自变量取a x -时的函数值相等。
也就是说函数图像上的两点横坐标分别是a x +和a x -，且它们的纵坐标相等。
在直角坐标系中更能体现这一关系：2不同但是它们的纵坐标相等，从图像上可以看出这两点关于直线2a bx +=对称。
我们知道当x 在函数内取不同值时，a x +与a x -所表示的点的很坐标也不同如：当1x =时，两点的横坐标分别为1a +和1a -，它们的中点仍然是2a b+，并且同样有(1)(1)f a f b +=-，所以当1x =时所对应的两个点是关于2a bx +=对称的；当2x =时，两点的横坐标分别为2a +和2a -，它们的中点也是2a b+，并且同样有(2)(2)f a f b +=-，所以当2x =时所对应的两点也是关于2a bx +=对称的。
当x 取不同值时，a x +与a x -表示若干组不同的点，但是这些点都是关于直线2a bx +=对称的。
因此函数图像上所有的点都是关于直线2a bx +=对称的，所以只要函数()f x 满足()()f a x f b x +=-，则函数()f x 图像就关于2a bx +=对称。
定理的一些推论：①()()f a x f a x +=-⇔函数()y f x =的图象关于直线x a =对称 ②(2)()f a x f x -=⇔函数()y f x =的图象关于直线x a =对称 ③()()f x f x -=⇔函数()y f x =的图象关于直线y 轴对称 ④函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称因为函数)(a x f y +=是由函数()y f x =向左或向右平移而等到的，假设0a >，则)(a x f y +=是将函数()y f x =向左平移a 个单位而得到的，反过来，函数)(a x f y +=向右平移a 个单位就得到()y f x =，因为函数)(a x f y +=是偶函数，所以函数)(a x f y +=是关于y 轴对称的，将)(a x f y +=向右平移a 个单位，那么对称轴y 轴也向右平移a 个单位，所以函数()y f x =的对称轴为a x =。
函数的对称性
函数的对称性
（内容需原创）
1. 函数的对称性是指一个函数的值在某一点或几个点取到最大值或最小值的性质。
2. 函数的对称性是一种比较容易发现的函数性质。
掌握函数的对称性有助于提升函数分解、求导和求解数学问题的能力。
3. 常见的函数对称性有：
(1) 奇函数的对称性：如果它以某一点经过或以其为中心对称，则称其为奇函数。
例如，三次多项式函数y=ax^3+bx^2+cx+d，它以x = 0 为中心，应用自变量的变换x→-x，函数变化f（x）→-f（x），可知y=ax^3+bx^2+cx+d也是一个奇函数。
(2)偶函数的对称性：如果以某一点经过左右对称，则称其为偶函数。
例如，二次多项式函数y=ax^2+bx+c，它以 x = 0 中心对称，若将自变量x变换x→-x，函数变化f(x)→f(x)，可知y=ax^2+bx+c也是一个偶函数。
(3) 关于y轴对称性：如果函数的每一对对称点，在y轴中对称，则称其为y轴对称性。
例如，三次多项式函数y= ax^3+bx^2+cx+d，它的每一对对称点（x1,y1）（x2,y2），在y轴中也是对称的，即（-x1,y1）（-x2,y2），因此y=ax^3+bx^2+cx+d也具有y轴对称性。
4. 位移与缩放函数作为其他对称性。
位移函数可以理解为在某一段函数上进行位移，缩放函数可以理解为改变某一段函数的显示大小。
5. 函数对称性可用已知特征函数作为依据来发现，其变换规律可以用三角函数，指数函数以及幂函数等来描述。
6. 对函数的对称性有所了解，能够从宏观和微观的角度更好的理解函数的定义及其变化规律，并有效的运用它们解决数学问题。
函数周期性对称性
一、对称性：1、函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x).f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x).若写成：f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=(a+b)/2对称。
2、函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b.f(a+x)+f(a-x)=2b也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b.若写成：f(a+x)+f(b-x)=c，则函数f(x)关于点（2ba+，2c）对称。
3、函数y=f(x)关于y=b对称：假设函数关于y=b对称，即关于任意一个x值，都有两个y值与其对应，这显然不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y=b对称。
但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于y=b对称，比如圆。
4、两个函数的图像对称性（1）、y=f(x)与y=f(-x)关于x轴对称。
（2）、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。
（3）、y=f(x)与y=f(2a-x)关于x=a对称。
（4）、y=f(x)与y=2a-f(x)关于y=a对称。
（5）、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）对称。
（6）、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线2ba x +=对称。
二、函数的周期性1、（定义）若f(x+T)=f(x) (T不等于0)⇔f(x)是周期函数，T是它的一个周期。
说明：nT也是f(x)的周期。
2、（1）f(x+T)=f(x) ⇔y=f(x)的周期为T。
（2）f(x+a)=f(b+x) (a<b) ⇔y=f(x)的周期为T=b-a。
（3）f(x+a)=f(x-a) ⇔y=f(x)的周期分为：偶函数T=2a；奇函数T=4a。
（4）f(a+x)=-f(x) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。
（5）f(a+x)=c/f(x) (c为常数) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。
函数的对称性
函数的对称性函数的对称性是指函数的图形在一条对称轴上的对称表现，或者说任意函数的定义域内的变化模式有着一定的对称特征。
通俗地讲，当给定一个函数，可以通过将它的图形翻转沿着某条对称轴的方式去考察其对称性，而是否存在某种对称性则会取决于函数的形式及其参数，也就是说它们会决定函数的对称轴甚至其非对称情况。
对称性非常重要，因为它有助于记忆和理解函数。
举个例子来说，如果你有一个函数f，它的定义域内具有左右对称性，那么你可以通过在x=0处切割它们，为此可以将函数中的x称为对称轴，这样就可以很容易地推断出它的行为规律。
而此外，如果一个函数的定义域内没有对称的规律，它可能不是很容易理解。
人们可以用三种方式来表达函数的对称性：反比例、反射和旋转。
反比例方式指的是在定义域内以反比例多少的方式进行调整，即以相同的数字翻转，使得变化的规律完全一致，但是具体的数字却不同。
反射方式指的是把一个函数的所有点的x坐标的值取反，使表达式（f（-x））成为另一个函数（f（x））的对称图形。
而旋转方式则是指以y轴或者x轴中心点旋转，使每个点的坐标的值发生变化，从而形成对称的函数图形。
另外，函数的对称性还受把某个参数称为平移向量或旋转角度所影响。
对于平移向量来说，可以将函数内部的某些坐标（x，y）向左右或上下方移动，使其变得更加对称，形成相对简单的函数图形。
而旋转角度则是指以一个定义域内某个点为中心，使整个函数的图像旋转一定的角度，使函数的变化模式更加简单。
总而言之，函数的对称性是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解函数的表现规律，还可以帮助我们把函数的参数和变量更好地对应起来。
各种不同的变换会使函数的定义域内的变化模式发生改变，这同样也影响了函数的对称性，所以理解函数的对称性也是重要的，也是一个要注意的问题。
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解和分析各种函数。
在本文中，我将总结函数对称性的基本概念、性质和应用，以及如何判断函数的对称性。
首先，什么是函数对称性？函数对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质。
具体来说，如果函数在某个变换下满足等式 f(x) = f(-x)，那么我们称这个函数具有对称性。
这个变换可以是关于原点对称、关于y轴对称、关于x轴对称等。
常见的函数对称性包括：1. 关于原点对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点处对称，即图像的左右两侧是镜像关系。
2. 关于y轴对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴上对称，即在图像的左右两侧相互重合。
3. 关于x轴对称：如果一个函数满足 f(x) = -f(-x)，则称该函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上对称，即图像关于x轴对称。
函数对称性的性质也值得我们注意：1. 对称性可以简化函数的分析和计算。
例如，如果一个函数是关于y轴对称的，那么我们只需要计算出函数在y轴右侧的部分，然后将结果镜像到左侧即可。
2. 对称性可以帮助我们发现函数的特点。
例如，如果一个函数是关于x轴对称的，那么当 x = a 是函数的零点时，可以确定 x = -a 也是函数的零点。
现在，让我们来看看如何判断一个函数是否具有对称性。
一般来说，我们可以通过一些简单的方法来进行判断。
1. 对称性的代数判断方法：通过代数运算，我们可以验证函数的对称性。
例如，对于关于原点对称的函数，我们可以将 x 替换为 -x，然后将两边进行比较来判断函数是否具有对称性。
2. 对称性的图形判断方法：通过函数的图形来判断函数是否具有对称性。
我们可以绘制函数的图像，并观察图像是否在某个变换下保持不变。
3. 对称性的性质判断方法：通过函数的性质来判断函数是否具有对称性。
函数对称性公式大总结
函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是指函数在某种变换下保持不变的特性。
函数对称性广泛应用于各个数学分支，如代数、几何和微积分等。
本文将对常见的函数对称性公式进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
2. 对称轴对称轴是函数对称性的一个重要概念。
对称轴是指函数图像关于某一直线对称。
对称轴上的点与其对称点关于对称轴对称。
对称轴的方程可以通过观察函数的特性或运用特定的公式来确定。
2.1 y轴对称性若函数满足f(x) = f(-x)，则函数具有y轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于y轴对称；对于偶函数来说，其图像与y 轴重合。
常见的函数对称于y轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)2.2 x轴对称性若函数满足f(x) = -f(x)，则函数具有x轴对称性。
对于奇函数来说，其图像关于x轴对称；对于偶函数来说，其图像与x 轴重合。
常见的函数对称于x轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)3. 极限和导数对称性在微积分中，极限和导数也可以与函数的对称性相关联。
3.1 极限对称性若函数f(x)在某一点x=a的极限存在，并且与x=a的对称点x=-a的极限相等，即lim(x->a) f(x) = lim(x->-a) f(x)，则函数具有极限对称性。
常见的函数具有极限对称性的公式有：•正弦函数的极限对称性：lim(x->0) sin(x) = lim(x->0) sin(-x)•余弦函数的极限对称性：lim(x->0) cos(x) = lim(x->0) cos(-x)3.2 导数对称性若函数f(x)在某一点x=a可导，并且其导数与x=a的对称点x=-a的导数相等，即f’(a) = f’(-a)，则函数具有导数对称性。
常见的函数具有导数对称性的公式有：•正弦函数的导数对称性：(sin(x))’ = cos(-x)•余弦函数的导数对称性：(cos(x))’ = -sin(-x)4. 对称性的应用函数对称性是解决许多数学问题的重要工具。
函数对称性
函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。
例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。
函数的对称性公式推导1.对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a原函数与反函数的对称轴是y＝x．而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R．f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0，还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．如f（x－3）＝x－3。
令t＝x－3，则f（t）＝t。
可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。
同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T ＝π．y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2上面的2个方程T＝π（T＝2π/W）而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T ＝π所以它的周期为T＝π而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3对称函数在对称函数中，函数的输出值不随输入变数的排列而改变。
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函数的对称性
集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
函数的对称性
一、教学目标
函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。
1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到；
2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。
二、举例分析
例1． 设()f x 是定义在R 上的函数，
（1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2
a b x +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。
选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。
思路分析：
（1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2
a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。
事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即得点
()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。
特别地，当,a b 都为0时，就是偶函数的特征了。
（2）要证明()f x 图象上任意一点()00,A x y 关于点(),a b 的对称点
()002,2B a x b y --也在()f x 的图象上。
事实上，由()00,A x y 在的图象上及()()22f x f a x b +-=可得，()00y f x =及()()0022f x f a x b +-=，则有
()()000222b y b f x f a x -=-=-，从而得到()002,2B a x b y --也在()f x 的图象上。
特别地，当,a b 都为0时，就是奇函数的特征了。
例2．对于定义在R 上的函数()f x 有下列命题：
（1）若()f x 是奇函数，则函数()1f x -的图象关于点()1,0对称；
其中正确命题的个数是--------------------------------------------------( )
.2 C
选题目的：学生通过此题学习，加深理解图象具有对称性函数的特征，掌握图象平移后的形状保持不变，所变的是对称位置；另外要清楚是函数图象本身的对称特征还是两个函数图象的对称关系。
思路分析：（1）、（2）两小题较为简单，就是平移后图象问题；
（3）是函数()f x 自身的对称问题，函数()f x 满足关系：
()()22f x f x -+=，由例1中的结论知， 函数()f x 图象关于点()1,1成中心对称。
也可以从对应点的关系中获取，设图象上任意点()(),P x f x ，则图象上必存在与之对应的点()()2,2Q x f x --，则P 、Q 的中点为定点()1,1，即为对称中心。
（4）首先要清楚这是两个函数图象的对称问题，它们都是由函数()
y f x =图象变换得到的；()y f x =图象?−−→()1y f x =-的图象；
()y f x =图象?−−→()y f x =-?−−→()1y f x =-
例3．如图，正比例函数和反比例函数的图象相交于A 、B 两
点。
分别以A 、B 两点为圆心，画出与y 轴相切的两个圆。
若点A 的坐标为（1，2），则图中两个阴影部分面积的和是
___________。
选题目的：充分运用正比例函数和反比例函数的图象都是关于坐
标原点成中心对称的特点，注重图形的割补法来求解；
思路分析：分别求两个阴影部分面积显然不可行。
由于正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，可知A 、B 两点关于原点对称。
从而⊙A 与⊙B 也关于原点对称，故阴影部分面积和等于⊙A （或⊙B ）的面积。
⊙A 与y 轴相
切，则⊙A 的半径为1，故阴影部分的面积和等于。
例4．曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿X 轴、Y 轴的正向分别平移,t s 个单位
长度后得到曲线1C ，求证：曲线C 与1C 关于点,22t s A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称。
选题目的：学会证明两曲线的对称的方法，培养运算能力；
思路分析：两条曲线的对称问题证明必须是双向的，即曲线C 上的任意一点关于点A
的对称点在曲线1C 上；曲线1C 上的任意一点关于点A 的对称点也在曲线C 上。
三、巩固练习
1．已知函数()1
a x f x x a -=--图象的对称中心为()3,1-，则的值为 A ．4- B ．2- C ．2 D ．3
2．二次函数()f x 满足：()()22f x f x +=-，且()()21,03f f ==。
若在区间
[]0,m 上有最小值1，最大值3，则的取值范围是
A ．02m <≤
B ．2m ≥
C ．0m >
D ．24m ≤≤
π=⨯π21
3．定义在R 上的非常数函数()f x 满足：()10f x +是偶函数，且
()()55f x f x -=+，则()f x 一定
A ．是偶函数且是周期函数
B ．是偶函数但不是周期函数
C ．是奇函数且是周期函数
D ．是奇函数但不是周期函数
4．()f x 是R 上的函数，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则()3f x +的奇偶性是
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数也不是偶函数
5．函数()f x 满足：1344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且方程()0f x =有三个不同的根，则这三个根的和等于 ；
6．设方程35x x =+的根为1x ，方程3log 5x x =+的根为2x ，则12x x +的值为 ；
10．研究函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠的对称性。
（1）()33f x x x =-；
（2）()32133
f x x x x =-- 上述两个函数的对称性给我们什么启示，能否得出
()()320f x ax bx cx d a =+++≠对称性的一般结论。