弦切角定理及其逆定理PPT课件
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广东省广州市白云区汇侨中学九年级数学《弦切角定理》课件
小结：
你掌握了吗？
3、定理的证明
4、应用与推论
一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是 通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联 系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切 角或添切点处的半径应用切线的性质。
作业
• 1、课课练 /P.84 • 2、预习“弦切角”（2）
∵ AB是⊙O的切线，
∴
∠BAC＝90°
︵∵∠BAC＝180°－∠DAC
又∵ AmC 是半圆，
∴ ∠P＝90° ∠P＝180°－∠Q
∴ ∠BAC＝∠P
∠DAC＝∠Q
∴ ∠BAC＝∠P
课堂练习：
1、已知AB是⊙O的切线A为切点,由图填空：
30º
O 70º
2
1
A
B
O
O 80º
4
A
B
∠1= 30º ；∠2= 70º ；∠3= 65º ； ∠4= 40º 。 弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.
径，AC是弦，直线CE和⊙O切于
点C，AD⊥CE于D。
B
O
求证：(1)AC平分∠BAD
(2)AC2=2AD·AO
A
你还能用其他方法解答 吗？试试看！
E
C
D
有弦切角，常连结弦切角 所夹弧所对的圆周角。
例题解析(思路2)
例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.
QC
P
O
P
m
A
B
弦切角等于所夹弧对的圆周角。
( 1 ) 圆心O在∠BAC的外部 作⊙O的直径AQ，连结CQ
∵∠BAQ＝∠ACQ＝90°
九年级上数学《弦切角定理》课件
B
一边与圆相交，
另一边与圆相切 的角叫做弦切角
A
AmB 是弦切角∠PAB所夹的弧。
m
P
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边 与圆相切的角叫做弦切角。 下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？
C B A C C A
×
B
×
C
B
A
×
B
B C
×
A
A
√
从数学的角度看，弦切角能分成几大类？ C C C .O .O .O P P P D A B A A B D
BAC为直角， 圆心在AC上。 BAC为锐角， 圆心在角外。
B
BAC为钝角， 圆心在角内。
上图中BAC所夹的弧分别是：半圆、劣弧、优弧。
猜想：弦切角BAC与圆周角APC的关系 现在分别作出他们所对的圆周角APC, 如上图
︵ 已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，AmC 是弦切角∠BAC所 ︵ 夹的弧，∠P是AmC所对的圆周角。 求证：∠BAC＝∠P Q C
课堂练习：
1、已知AB是⊙O的切线A为切点,由图填空：
30º
O
70º
1 3
O
25º
O
2
80º 4 A ； B
A ∠1= 30º ∠4= 40º
B
A
B
；∠2= 70º ；∠3= 65º 。 弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.
2、选择： AB为⊙O直径，PC为⊙O的切线，C为切点， 若∠BPC=30°，则∠BCP=（ A ）。 A、 30°B、 60°C、 15°D、22. 5°
如图，DE切⊙O于点A，AB、AC是 ⊙O的弦，若 AB=AC，那么∠DAB 与∠EAC是否相等？为什么？
2020届一轮复习人教A版 弦切角定理 课件(22张)
即 BC2=BE·CD.
1234 5
5.如图,AB是半圆O的直径,C是圆周上一点(异于点A,B),过点C作圆 O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,垂足为点D.AD交半圆于点E.求 证:CB=CE.
分析转化为证明∠CBE=∠CEB.
题型一 题型二 题型三
证明连接BD,如图.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
又∠BCD=∠BAD,∠CBD=∠CAD,
∴∠BCD=∠CBD.∴BD=CD.
又BE为☉O的切线,
∴∠EBD=∠BAD,∠EBD=∠BCD.
故在△BED和△CEB中,
∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB,
∴△BED∽△CEB.
题型一 题型二 题型三
题型二 线段成比例问题
【例2】 如图,已知△ABC内接于☉O,∠BAC的平分线交☉O于点 D,CD的延长线交过点B的切线于点E.
求证:������������������������22 = ������������������������.
分析直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个比 例式的形式,然后借助相似三角形的性质得出结论.
又∠ACB=80°,
∴∠D=∠ACB-∠DAC=80°-35°=45°.
答案:A
对弦切角的理解 剖析弦切角的特点:(1)顶点在圆上;(2)一边与圆相交;(3)另一边与 圆相切.
弦切角定义中的三个条件缺一不可.如图①②③④中的角都不是 弦切角.图①中,缺少“顶点在圆上”的条件;图②中,缺少“一边和圆相 交”的条件;图③中,缺少“一边和圆相切”的条件;图④中,缺少“顶点
在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件.
题型一 题型二 题型三
题型一
1234 5
5.如图,AB是半圆O的直径,C是圆周上一点(异于点A,B),过点C作圆 O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,垂足为点D.AD交半圆于点E.求 证:CB=CE.
分析转化为证明∠CBE=∠CEB.
题型一 题型二 题型三
证明连接BD,如图.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
又∠BCD=∠BAD,∠CBD=∠CAD,
∴∠BCD=∠CBD.∴BD=CD.
又BE为☉O的切线,
∴∠EBD=∠BAD,∠EBD=∠BCD.
故在△BED和△CEB中,
∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB,
∴△BED∽△CEB.
题型一 题型二 题型三
题型二 线段成比例问题
【例2】 如图,已知△ABC内接于☉O,∠BAC的平分线交☉O于点 D,CD的延长线交过点B的切线于点E.
求证:������������������������22 = ������������������������.
分析直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个比 例式的形式,然后借助相似三角形的性质得出结论.
又∠ACB=80°,
∴∠D=∠ACB-∠DAC=80°-35°=45°.
答案:A
对弦切角的理解 剖析弦切角的特点:(1)顶点在圆上;(2)一边与圆相交;(3)另一边与 圆相切.
弦切角定义中的三个条件缺一不可.如图①②③④中的角都不是 弦切角.图①中,缺少“顶点在圆上”的条件;图②中,缺少“一边和圆相 交”的条件;图③中,缺少“一边和圆相切”的条件;图④中,缺少“顶点
在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件.
题型一 题型二 题型三
题型一
弦切角定理及推论
弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB ∵∠BOC=180-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC 是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧（2）圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于 D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理）弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长. 解：连结OA，OB. ∵在Rt△ABC中, ∠C=90 ∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半）例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF∥BC. 证明：连DF. AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于 D ∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于 C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.。
弦切角PPT课件
2
教学重点、难点
重
1、弦切角的概念和定理的证明。
点
2、弦切角定理的运用。
难 点
3、通过作辅助线把“一般情况”
转化为“特殊情况”。
2020年10月2日
3
教学方法
在复习圆心角、圆周角的概念的 基础上，通过几何画板的动画演 示，由学生通过观察动画，抽象 总结出弦切角的定义，并揭示出 弦切角与圆周角的关系，然后引 导学生观察思考、阅读教材、分 析议论得到弦切角定理。
2020年10月2日
4
教学过程
复习引入 探求新知 例题选讲
课堂练习 小结
2020年10月2日
5ห้องสมุดไป่ตู้
复习引入
复习 1、在贺 1、
我们已学过了两个与圆有
关的角，即圆心角和圆周角，那么怎样的角 是圆心角、圆周角？
2. 引入
2020年10月2日
6
弦切角定理教学
探求定理
演示及证明过程
2020年10月2日
7
演讲完毕，谢谢观看！
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
8
教学目的 教学重点、难点
教学方法 教学过程
2020年10月2日
1
教学目的
1、使学生理解弦切角的定义，掌握弦切角定理 并能初步加以运用。
2、运用运动的观点进行概念教学，逐步培养学 生探讨问题从感性认识上升到理性认识的抽 象思维能力求。
3、通过对定理的证明，训练学生认识事物由特 殊到一般的思想方法。
2020年10月2日
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弦切角精品PPT教学课件
教学目的 教学重点、难点
教学方法 教学过程
2020/12/6
1
教学目的
1、使学生理解弦切角的定义，掌握弦切角定理 并能初步加以运用。
2、运用运动的观点进行概念教学，逐步培养学 生探讨问题从感性认识上升到理性认识的抽 象思维能力求。
3、通过对定理的证明，训练学生认识事物由特 殊到一般的思想方法。
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1、弦切角的概念和定理的证明。
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转化为“特殊情况”。
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在复习圆心角、圆周角的概念的 基础上，通过几何画板的动画演 示，由学生通过观察动画，抽象 总结出弦切角的定义，并揭示出 弦切角与圆周角的关系，然后引 导学生观察思考、阅读教材、分 析议论得到弦切角定理。
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教学目的
1、使学生理解弦切角的定义，掌握弦切角定理 并能初步加以运用。
2、运用运动的观点进行概念教学，逐步培养学 生探讨问题从感性认识上升到理性认识的抽 象思维能力求。
3、通过对定理的证明，训练学生认识事物由特 殊到一般的思想方法。
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演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
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教学重点、难点
重
1、弦切角的概念和定理的证明。
点
2、过作辅助线把“一般情况”
转化为“特殊情况”。
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3
教学方法
在复习圆心角、圆周角的概念的 基础上，通过几何画板的动画演 示，由学生通过观察动画，抽象 总结出弦切角的定义，并揭示出 弦切角与圆周角的关系，然后引 导学生观察思考、阅读教材、分 析议论得到弦切角定理。
【人教版】九年级上册数学《弦切角》ppt教学课件
连结OC,由切线性质, 可得OC∥AD,于是 有∠2=∠3,又由于 B ∠1=∠3,可证得 ∠1=∠2
E
·O 1A 32 CD
小结：
1、概念的引入
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相 切的角叫做弦切角。
2、定理的发现
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论：两个弦切角所夹的弧相等，
那么这两个弦切角相等。
的度数是（ B ）。
A、38°B、52° C、68° D、42°
O
A
B
38°
M
C
D N
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 推论：两个弦切角所夹的弧相等， 那么这两个弦切角相等。
如图，DE切⊙O于点A，AB、AC是 ⊙O的弦，若 AB=AC，那么∠DAB 与∠EAC是否相等？为什么？
∠ DAB＝ ∠EAC
C
B O
E
A
D
例题解析
例1：如图：已知AB是⊙O的直
径，AC是弦，直线CE和⊙O切于
点C，AD⊥CE于D。
B
O
求证：(1)AC平分∠BAD
(2)AC2=2AD·AO
A
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E
C
D
有弦切角，常连结弦切角 所夹弧所对的圆周角。
例题解析(思路2)
例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.
4
A
B
∠1= 30º ；∠2= 70º ；∠3= 65º ； ∠4= 40º 。 弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.
2、选择： AB为⊙O直径，PC为⊙O的切线，C为切点，
高中数学 1.2.3弦切角定理课件 北师大版选修41
3.正确使用弦切角定理 剖析:要正确使用弦切角定理,第一步要找到弦切角,弦切角的特点是:(1)顶点在 圆上;(2)一边与圆相交;(3)一边与圆相切,这三个条件缺一不可,第二步要准确找到 弦切角所夹的弧,再看这段弧上的圆周角,然后用弦切角定理解题,如果没有圆周角, 有这段弧所对的圆心角也可以.
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
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A.∠ADB
B.∠AOB
C.∠ABC D.∠BAO
解析:∠ADB 是圆周角,∠AOB 是圆心角,∠ABC 是弦切角,∠BAO 不是
弦切角.
答案:C
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知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
圆相切”两个条件.
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知识梳理
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随堂演练
UITANGYANLIAN
2.圆心角、圆周角、弦切角的比较 剖析:如下表所示.
圆心角
圆周角
顶点在圆心的 定义
角
顶点在圆上,两边和 圆相交
知识梳理
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
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12
1.弦切角 顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角称为弦切角.
名师点拨弦切角可分为三类:(1)圆心在角的外部,如图①所示;(2)圆心在 角的一边上,如图②所示;(3)圆心在角的内部,如图③所示.
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汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
2020年9月28日
9
2020年9月28O于A、B两点，AE是⊙O的
直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作 CD⊥PA于D. （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长.
2020年9月28日
4
提高练习
练3.已知直线l切△ABC外接圆于点C， AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，EG⊥l于点G ，DF⊥l于点F. 求证：EG=DF.
回味无穷
2020年9月28日
7
课后作业
《优等生数学》九年级 P66-67 T1、 T2 、T3、T4 写在作业本上. 预习《优等生数学》九年级的第29、30节
2020年9月28日
8
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XUSUHUA
第二十七章 圆
27.16 弦切角定理及其逆定理
2020年9月28日
1
经典例题
例. 如图，从圆上一点A作直径BC的垂线AD，
过A作圆的切线MN. 证明：AB、AC分别平分
MN与AD的夹角.
2020年9月28日
2
巩固练习
练1. 如图，四边形ABCD内接于圆O，AD是圆O 的直径，直线MN切圆O于B点，∠MBA=40°， 求∠BCD.
2020年9月28日
5
挑战自己 练3. （牛顿定理3）圆的外切四边形的对角线的 交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合 .
牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点 和两条对角线的中点，三点共线. 这条直线叫做这个四边形的牛顿线. 牛202顿0年定9月2理8日2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆6 心，三点共线.
2020年9月28日
9
2020年9月28O于A、B两点，AE是⊙O的
直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作 CD⊥PA于D. （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长.
2020年9月28日
4
提高练习
练3.已知直线l切△ABC外接圆于点C， AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，EG⊥l于点G ，DF⊥l于点F. 求证：EG=DF.
回味无穷
2020年9月28日
7
课后作业
《优等生数学》九年级 P66-67 T1、 T2 、T3、T4 写在作业本上. 预习《优等生数学》九年级的第29、30节
2020年9月28日
8
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XUSUHUA
第二十七章 圆
27.16 弦切角定理及其逆定理
2020年9月28日
1
经典例题
例. 如图，从圆上一点A作直径BC的垂线AD，
过A作圆的切线MN. 证明：AB、AC分别平分
MN与AD的夹角.
2020年9月28日
2
巩固练习
练1. 如图，四边形ABCD内接于圆O，AD是圆O 的直径，直线MN切圆O于B点，∠MBA=40°， 求∠BCD.
2020年9月28日
5
挑战自己 练3. （牛顿定理3）圆的外切四边形的对角线的 交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合 .
牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点 和两条对角线的中点，三点共线. 这条直线叫做这个四边形的牛顿线. 牛202顿0年定9月2理8日2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆6 心，三点共线.