中考数学 分类讨论思想中考训练题 华东师大版

用心 爱心 专心 1

分类讨论思想

? 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。

? 分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。

分类讨论思想

? 分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。

? 分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。

一.与概念有关的分类

1.一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是-3≤x ≤ 6，，相应的函数值的取值范围是-5≤y ≤-2 ，则这个函数的解析式 。

2. 函数y=ax 2-ax+3x+1与x 轴只有一个交点，求a 的值与交点坐标。

二.图形位置的分类

1如图，线段OD 的一个端点O 在直线a 上，以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a 上，这样的等腰三角形能画多少个?

2在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成腰三角形！

3. 如图，直线AB 经过圆O 的圆心，与圆O 交于A 、B 两点，点C 在圆O 上，且∠AOC=300，点P 是直线AB 上的一个动点（与点O 不

重合），直线PC 与圆O 相交于点Q ，问点P 在直线AB 的什么位置时，QP=QO ？这样的点P 有几个？并相应地求出∠OCP 的度数。

2题图 3题图 4．在半径为1的圆O 中，弦AB 、AC 的长分别是3、2，则∠BAC 的度数是 。

5．△ABC 是半径为2cm 的圆的内接三角形，若BC=32 cm,则角A 的度数是 。

6．在Ｒｔ△ABC 中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R 的值为多少？

7.半径为R 的两个等圆外切，则半径为2R 且和这两个圆都相切的圆有几个？

8、在一张长为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积？

三.与相似三角形有关的分类 1.在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 出发向B 以2cm 秒的速度移动;点Q 沿DA 边 从点D 开始向A 以1cm/秒的速度移动。如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间（0＜x ＜6）

那么：

（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与ABC 相似？

2。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点（点Ａ在点Ｂ的左边）， 与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １）与ｘ轴交于点Ｄ。

（１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标； （２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ＞１）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限），使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ 为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角形相似，求点Ｐ的坐标。

3. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠C=900 ,BC=16,DC=12AD=21。动点P 从点D 线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的 速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。

设运动的时间为（秒）。（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；

（2）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且BO=2AO 时，求∠BQP 的正切值

(3）当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ B A C 50° 110° 20° A B C P

O Q

Q

(4)是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。

答案一、1解析式为 Y= x-4, 或 y=- x-3

2当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（- ，0）；

当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0.

解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（，0）

二、1

2

4

5

6

7

3解：∵OQ=OC，OQ=QP ∴∠OQC=∠OCQ，∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x0 , 则有：

（1）如上图，当点P在线段OA上时，∵∠OQC=∠OCP=x,

∴∠QPO= （1800－∠OQP）= （1800－x)

又∠QPO=∠OCP+∠COP， (1800－x)=x+300,

解得x=400, 即∠OCP=400

（2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在线段OB上。

（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时，

∵∠OQC=∠OCQ=1800－ｘ，

∴∠OPQ= （1800－x)= x.

又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴1800－x=x+300

解得x=1000即∠OCP=1000

（4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时，

∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP,

∴∠QPO= ∠OQC= x,

又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程30=x+ x,

得到x=200即∠OCP=200

8解：分三种情况计算：⑴当AE=AF=5厘米时（图一）

⑵当AE=EF=5厘米时（图2）

⑶当AE=EF=5厘米时（图3）

三、1解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t,QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒）2）在△QAC中，S= QA·DC= （ 6－t)·12=36－６ｔ

在△APC中，S= AP·BC= ·２ｔ·６＝６ｔ四边形QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2)

由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变。

（3）根据题意，可分为两种情况来研究

在矩形ABCD中：①当 = 时，△QAP∽△ABC，则 = ，

解得t= =1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。

②当 = 时，△PAQ∽△ABC，则 = ，

解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。

2解（1）A（－1，0），B（1，0），C（０，－2）

(2) 当△ PDB ∽△ BOC时， = 有Ｐ（ｍ，－）

当△ PDB ∽△ COB时，有P（m, 2m－2）；

3解：（1）如图1所示，过点P作，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。

（2）如图2所示，由

ＡＤ

Ｐ

Ｃ

用心爱心专心 2

Ｂ

Ｑ

用心 爱心 专心 3

三角形是等腰三角形。

三点为顶点的

、、秒时，以秒或当综合上面的讨论可知：不符合题意，舍去）

解得，整理得：得：，由若。

无实数根，即得：（由）（中，。在若解得得：由中，。在若可分为三种情况；

等腰三角形，三点为顶点的三角形是、、若可知：）由图（Q P B t t t t t t t t PQ PB PQ PB ③BQ PB t t t t t t BQ BP t BP PMB Rt BQ BP ②t t t BQ PQ t PQ PMQ Rt BQ PQ ①Q P B t CQ t PD CM 316

27

(16,316

,0256643,12)216(120144323,

0704,0144323,

)16(12)21612216.27,)16(12.12,

,213212222222222222222222222222=====+-+-=+==≠∴=+-∴-=?=+--=+-=+-=?==-=+=+=?====