专题复习：竖直面内的圆周运动
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
竖直平面内的圆周运动专题
恰好通过B、C两点后的瞬间, 对轨道的压力.
A B
D C
二、复合场中竖直平面内的圆周运动
（以绳与小球的连接为例）
g l
E
F
qE
q
qE
mg mg mg
三、小结
一、几种常见物理模型 二、复合场中竖直平面内的圆周运动
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
A
O
一、几种常见物理模型
F mg R
光滑圆管内
（与轻杆相似）
ห้องสมุดไป่ตู้gR
mg R
光滑圆轨内侧
（与轻绳相似）
例3：如图所示, 光滑的水平轨道与竖直放置的光滑半圆形轨道顺 接, 圆半径为R . 一小球由D点出发向A运动, 通过B点时加速 度大小为2 g , 试求:小球通过B点时对轨道的压力.
B
O D
A
一、几种常见物理模型
R F mg
光滑下凹轨道
gR
mg R
光滑上凸轨道
例4：光滑的水平轨道和半径为R的竖直圆形轨道顺接, 弧顶 到水平面的高度为h , 且R > h , 如图所示, 一个质量为m 的小球以水平速度v0开始运动, 欲使小球能沿轨道运动 到达轨道右侧, 小球的初速度v0应满足什么条件?
v0
例4：如图所示, AB、CD为四分之一圆弧轨道, B、C切线水平,
竖直平面内的圆周运动专题
一、几种常见物理模型
V=0 F
mg
V= gl
mg
轻杆与球连结
轻绳与球连结
例1：绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的 质量m，绳长l=60cm，求： (1)最高点水不流出的最小速率？ (2)水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力？
专题 竖直面内的圆周运动 高一物理 (人教版2019)
专题5 竖直面内的圆周运动（解析版）一、目标要求目标要求重、难点向心力的来源分析重难点水平面内的圆周运动重难点火车转弯模型难点二、知识点解析1．汽车过桥模型(单轨，有支撑)汽车在过拱形桥或者凹形桥时，桥身只能给物体提供弹力，而且只能向上(如以下两图所示)．(1)拱形桥(失重)汽车在拱形桥上行驶到最高点时的向心力由重力和桥面对汽车的弹力提供，方向竖直向下，在这种情况下，汽车对桥的压力小于汽车的重力：mg－F＝2mvR,F ≤ mg，汽车的速度越大，汽车对桥的压力就越小，当汽车的速度达到v max＝gR，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．(2)凹形路(超重)汽车在凹形路上行驶通过最低点的向心力也是由重力和桥面对汽车的弹力提供，但是方向向上，在这种情况下，汽车对路面的压力大于汽车的重力：2-=mvF mgR，由公式可以看出汽车的速度越大，汽车对路面的压力也就越大．说明：汽车过桥模型是典型的变速圆周运动．一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题．2．绳模型(外管，无支撑，水流星模型)(1)受力条件：轻绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，圆形轨道对小球只能产生垂直于轨道向内的弹力，故这两种模型可归结为一种情况，即只能对物体施加指向轨迹圆心的力．(2)临界问题：①临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)如果刚好等于零，小球的重力充当圆周运动所需的向心力，这是小球能通过最高点的最小速度，则：2=v mg m R，解得：0=v gR说明：如果是处在斜面上，则向心力公式应为：20sin v mg m R α=，解得:0sin v gR α=②能过最高点的条件：v ≥0v ．③不能过最高点的条件：v ＜0v ，实际上小球在到0v 达最高点之前就已经脱离了圆轨道，做斜上抛运动．3．杆模型(双管，有支撑)(1)受力条件：轻杆对小球既能产生拉力又能产生支持力，圆形管道对其内部的小球能产生垂直于轨道用长为L 的轻绳拴着质量为m 的小球 使小球在竖直平面内作圆周运动 质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直外管内侧做圆周运动用长为L 的轻杆拴着质量为m 的小球使小球在竖直平面内作圆周运动 质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直双管内做圆周运动向内和向外的弹力．故这两种模型可归结为一种情况，即能对物体施加沿轨道半径向内和向外的力．(2)临界问题：①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度0=v 临，此时轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力：0-=N F mg ．②当0＜v gR N F ．由-mg N F 2=v m R 得：N F 2=-v mg m R．支持力N F 随v 的增大而减小，其取值范围是0＜N F ＜mg ．③当=v gR 时，重力刚好提供向心力，即2=v mg m R，轻杆或轨道对小球无作用力．④当v gR F 或轨道外侧对小球施加向下的弹力N F 弥补不足，由2+=v mg F m R 得：2=-v F m mg R，且v 越大F (或N F )越大．说明：如果是在斜面上：则以上各式中的mg 都要改成sin mg α． 4．离心运动做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者减小的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．(1)离心运动的成因做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞去的倾向．当2F mr ω=时，物体做匀速圆周运动；当0F =时，物体沿切线方向飞出；当2F mr ω<时，物体逐渐远离圆心．F 为实际提供的向心力．如图所示．(2)离心运动的应用离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，如离心干燥器、洗衣机的脱水筒等就是利用离心运动而设计的．离心干燥器：将湿物体放在离心干燥器的金属网笼里，当网笼转得较快时，水滴所受的附着力不足以提供其维持圆周运动所需的向心力，水滴就做离心运动，穿过网孔，飞离物体，使物体甩去多余的水分．(3)离心运动的防止有时离心运动也会给人们带来危害，如汽车、摩托车、火车转弯时若做离心运动则易造成交通事故；砂轮转动时发生部分砂块做离心运动而造成人身伤害．因此应对它们进行限速，这样所需向心力mvr2较小，不易出现向心力不足的情况，从而避免离心运动的产生．(4)几种常见的离心运动物理情景实物图原理图现象及结论洗衣机脱水筒当水滴跟物体之间的附着力F不能提供足够的向心力(即2ω<F m r))时，水滴做离心运动汽车在水平路面上转弯当最大静摩擦力不足以提供向心力(即2max<vF mr))时，汽车做离心运动三、考查方向题型1：汽车过桥模型典例一：如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，当滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Fμ，则( )A．Fμ=μmg B．Fμ＜μmgC．Fμ＞μmg D．无法确定Fμ的值【答案】：C【解析】在四分之一圆弧底端，根据牛顿第二定律得：2vN mg mR-=，解得：N=mg+ 2vmR，此时摩擦力最大，有：2＞v F N mg m mg R μμμμ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故C 正确确，ABD 错误．题型2：绳模型典例二：如图所示，杂技演员表演水流星节目．一根长为L 的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g ，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为( )A gLB 2g LC 5gLD 10gL【答案】：B【解析】：据题知，杯子圆周运动的半径2=Lr ，杯子运动到最高点时，水恰好不流出，由水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：22Lmg m ω= 解得：2g L ω=题型3：杆模型典例三：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】：A【解析】：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v gR A正确，B错误；若v gR最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m2vR，随v增大，F减小，若v gR高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m2vR，随v增大，F增大，故C、D均错误。
高中物理：物体在竖直面内的圆周运动
1、轻绳或细杆作用下物体在竖直面内的圆周运动（1）轻杆作用下的运动如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点A时，若杆与小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力提供：得=，由此可得小球在最高点时有以下几种情况：当=0时，杆对球的支持力F N = mg，此为过最高点的临界条件。
②当=时，，=0③当0＜＜时，m g＞＞0且仍为支持力，越大越小④当＞时，＞0，且为指向圆心的拉力，越大越大（2）细绳约束或圆轨道约束下的运动：如图所示为没有支撑的小球（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点时的情况。
①当，即当==时，为小球恰好过最高点的临界速度。
②当＜，即＞=时（绳、轨道对小球还需产生拉力和压力），小球能过最高点③当＞，即＜=时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。
竖直面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，而是变速圆周运动，此时由物体受到的合力沿半径方向的分力来提供向心力，一般只研究最高点和最低点，此情况下，经常出现临界状态，应注意：（1）绳模型：临界条件为物体在最高点时拉力为零（2）杆模型：临界条件为物体在最高点时速度为零例1、一根绳子系着一个盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水并不流出来，如图所示，为什么呢？解析：对杯中水，当=时，即=时，杯中水恰不流出，若转速增大，＜时，＞时，杯中水还有远离圆心的趋势，水当然不会流出，此时杯底对水有压力，即N+=，N=－；而如果＞，＜时，水会流出。
例2、如图所示，轻杆OA长l=0.5m，在A端固定一小球，小球质量m=0.5kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为=0.4m/s，求在此位置时杆对小球的作用力。
（g取10 m／s 2）解法一：先判断小球在最高位置时，杆对小球有无作用力，若有作用力，判断作用力方向如何小球所需向心力==0.5×=0.16 N小球受重力=0.5×10=5 N重力大于所需向心力，所以杆对小球有竖直向上的作用力F，为支持力以竖直向下为正方向，对小球有－F=解得：F= 4.84 N解法二：设杆对小球有作用力F，并设它的方向竖直向下，对小球则有－F=F=－=－4.84 N“－”表示F方向与假设的方向相反，支持力方向向上。
高考物理(热点+题型全突破)专题4.6 竖直面内的圆周运动问题(含解析)
专题4.6 竖直面内的圆周运动问题1. 轻绳模型绳或光滑圆轨道的内侧，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。
下面讨论小球(质量为m )在竖直平面内做圆周运动(半径为R )通过最高点时的情况：(1) 临界条件小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力来提供。
根据牛顿第二定律得，mg ＝m v 2临界R，即v 临界＝Rg .这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度，也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。
(2) 小球能通过最高点的条件：当v >Rg 时，小球能通过最高点，这时绳子对球有作用力，为拉力。
当v ＝Rg 时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。
(3) 小球不能通过最高点的条件：当v <Rg 时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道。
（如图）2. 轻杆模型杆和光滑管道，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。
下面讨论小球(质量为m )在竖直平面内做圆周运动(半径为R )通过最高点时的情况：(1) 临界条件由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度是：v 临界＝0。
此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。
(2) 如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：当v＝0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力F N，其大小等于小球的重力，即F N＝mg.当0<v<Rg时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<F N<mg.当v＝Rg时，F N＝0.这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力。
当v>Rg时，硬杆对小球有指向圆心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。
3. 两种模型分析比较如下：轻杆模型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球4. 分析物体在竖直平面内做圆周运动时的易错易混点（1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力。
高中物理必修二 第二章 专题强化5 竖直面内的圆周运动
6.在游乐园乘坐如图所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内 沿圆周轨道运动，已知重力加速度为g，下列说法正确的是 A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉
住，若没有保险带，人一定会掉下去 B.人在最高点时对座位仍会产生压力，但压力一定
小于mg C.人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
√D.人在最低点时对座位的压力大于mg
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
过山车上人经过最高点及最低点时，受力如图，
在最高点，由 mg＋FN＝mvR12，可得：FN＝m(vR12－g)
①
在最低点，由 FN′－mg＝mvR22，可得：FN′＝m(vR22＋g)
②
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
当 v1≥ gR时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位 有压力，大小因 v1 而定，A、B 错误. 最高点、最低点两处向心力大小不相等，向心加速度大小也不相等 (变速率)，C错误. 由②式知，在最低点FN′＞mg，根据牛顿第三定律知，D正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
导学探究
如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球在重 力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内 做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”. 1.分析求解小球通过最高点的最小速度. 答案 由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球 恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
2.(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周 运动.圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不 脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是(重力加速度为g) A.小球对圆环的压力大小等于mg
2022高考物理微专题28 竖直面内的圆周运动
微专题28 竖直面内的圆周运动1．“拱桥”模型特点：下有支撑，上无约束，最高点速度有最大值v m ＝gR .2.“绳—球”模型特点：下无支撑，上有约束，最高点速度有最小值v min ＝gR .3.“杆—球”模型特点：下有支撑，上有约束．最高点速度可以为0，但速度为gR 是对杆有压力还是拉力的分界点.4.通常情况下竖直平面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的运动情况，且由动能定理联系两点的速度．1.(2020·河南郑州市中原联盟3月联考)如图1所示，长为L 的轻杆，一端固定一个质量为m 的小球，另一端固定在水平转轴O 上，现让杆绕转轴O 在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ满足( )图1A ．sin θ＝ω2L gB ．tan θ＝ω2LgC ．sin θ＝gω2LD ．tan θ＝gω2L答案 A解析 小球所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，受力如图所示，根据牛顿第二定律有：mg sin θ＝mLω2，解得：sin θ＝ω2L g ，A 正确，C 错误；求出来是sin θ的表达式，而并非tan θ的表达式，B 、D 错误．2.(多选)如图2所示，可视为质点的、质量为m 的小球，在半径为R 的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g ，下列有关说法中正确的是( )图2A ．小球能够通过最高点时的最小速度为0B ．小球能够通过最高点的最小速度为gRC ．如果小球在最高点时的速度大小为2gR ，则此时小球对管道的外壁有作用力D ．如果小球在最高点时的速度大小为gR ，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力 答案 ACD解析 因为管道内壁可以提供支持力，故最高点的最小速度可以为零．若在最高点v >0且较小时，球做圆周运动所需的向心力由球的重力与管道内壁对球向上的弹力F N1的合力提供，即mg －F N1＝m v 2R ，当F N1＝0时，v ＝gR ，此时只有重力提供向心力．由此可知，速度在0<v <gR 时，球的向心力由重力和管道内壁对球向上的弹力提供；当v >gR 时，球的向心力由重力和管道外壁对球向下的弹力F N2提供，综合所述，选项A 、C 、D 正确，B 错误． 3．(2020·云南昆明市高三“三诊一模”测试)如图3所示，竖直平面内的光滑固定轨道由一个半径为R 的14圆弧AB 和另一个12圆弧BC 组成，两者在最低点B 平滑连接．一小球(可视为质点)从A 点由静止开始沿轨道下滑，恰好能通过C 点，则BC 弧的半径为( )图3A.25RB.35RC.13RD.23R 答案 A解析 设BC 弧的半径为r .小球恰好能通过C 点时，仅由重力提供向心力， 则有：mg ＝m v C 2r小球从A 到C 的过程，以C 点所在水平面为参考平面，根据机械能守恒定律得：mg (R －2r )＝12m v C 2联立解得：r ＝25R ，故选A.4.(多选)(2020·安徽皖江联盟名校联考)如图4所示，轻质细杆一端连接有质量为m 的小球，轻杆可绕另一端在竖直平面内转动，杆的长度为l ，小球可以当作质点，当杆转动到竖直平面的最高点时，小球的速度为v ＝gl2，忽略小球受到的阻力，g 为重力加速度．下列说法中正确的是( )图4A ．小球在最高点时，小球对轻杆的弹力方向向上B ．小球在最高点时，轻杆对小球的弹力大小为12mgC ．小球转动到最低点时，杆对小球的弹力大小为112mgD ．若小球在最高点受到杆的弹力大小为13mg ，小球在最高点的速度一定为23gl 答案 BC解析 对位于最高点的小球受力分析，设轻杆对小球的弹力F 方向向下，由牛顿第二定律有mg ＋F ＝m v 2l ，代入速度值，解得F ＝－12mg ，负号表示方向向上，轻杆对小球的弹力方向向上，则小球对轻杆的弹力方向向下，选项A 错误，B 正确．设轻杆在最低点对小球的弹力为F 1，根据动能定理可得12m v 12－12m v 2＝2mgl ，解得小球在最低点的速度v 1＝9gl2，由牛顿第二定律有F 1－mg ＝m v 12l ，则F 1＝112mg ，选项C 正确．若小球在最高点受到杆的弹力大小为13mg ，小球受到杆的力可能是拉力也可能是支持力，mg ±13mg ＝m v 2l ，v ＝ 23gl 或v ＝213gl ，选项D 错误． 5.(多选)(2019·辽宁省实验中学期末)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图5所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则()图5A．小球运动到最低点Q时，处于失重状态B．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大C．当v0>6gl时，小球一定能通过最高点PD．当v0<gl时，细绳始终处于绷紧状态答案CD解析小球运动到最低点Q时，由于加速度向上，故小球处于超重状态，选项A错误；小球在最低点时，设绳的拉力为F T1，有F T1－mg＝m v02l，在最高点时，设绳的拉力为F T2，小球的速度为v，有F T2＋mg＝m v2l ，其中12m v02－mg·2l＝12m v2，解得F T1－F T2＝6mg，故在P、Q两点绳对小球的拉力差与初速度v0无关，选项B错误；当v0＝6gl时，得v＝2gl，因为小球能经过最高点的最小速度为gl，而2gl>gl，则当v0>6gl时小球一定能通过最高点P，选项C正确；当v0＝gl时，由12m v02＝mgh得小球能上升的高度h＝12l，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0<gl时，小球将在最低点附近来回摆动，细绳始终处于绷紧状态，选项D正确．6.(多选)(2020·安徽十校联盟检测)如图6所示，半圆形圆弧轨道固定在竖直面内，直径AD水平，一个质量为m的物块从A点以一定的初速度沿圆弧轨道向下运动，物块恰好匀速率沿圆弧轨道运动到最低点C，运动到B点时物块与圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，物块可视为质点，则()图6A．物块在B点受到轨道支持力的大小等于mg cos θB ．物块在B 点受到轨道摩擦力的大小等于mg sin θC ．物块在B 点时与轨道间的动摩擦因数等于tan θD ．物块从A 点运动到C 点的过程中，受到轨道的作用力不断增大 答案 BD解析 对物块受力分析如图所示：物块在B 点时，有：F N －mg cos θ＝m v 2R ，因此物块在B 点受到轨道的支持力大于mg cos θ，故A 错误；在B 点沿切向方向加速度为零，即物块在B 点受到轨道摩擦力的大小等于mg sin θ，故B 正确；在B 点，μF N ＝mg sin θ，则μ＝mg sin θF N <mg sin θmg cos θ＝tan θ，故C 错误；由于轨道对物块的作用力F 和重力mg 的合力大小恒定，方向始终指向圆心，根据力的合成及动态分析可知，随着物块向下运动，轨道对物块的作用力逐渐增大，故D 正确．7．(多选)(2020·甘肃兰州一中模拟)如图7甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m 的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为F T ，小球在最高点的速度大小为v ，其F T －v 2图像如图乙所示，则( )图7A ．轻质绳长为mbaB ．当地的重力加速度为amC ．当v 2＝c 时，轻质绳最高点拉力大小为acb ＋aD ．若v 2＝b ，小球运动到最低点时绳的拉力为6a 答案 ABD解析 在最高点，F T ＋mg ＝m v 2L ，解得：F T ＝m v 2L －mg ，可知纵截距的绝对值为a ＝mg ，g ＝a m ，图线的斜率k ＝ab ＝m L ，解得绳的长度L ＝mba ，故A 、B 正确；当v 2＝c 时，轻质绳的拉力大小为：F T ＝m c L －mg ＝acb －a ，故C 错误；当v 2＝b 时拉力为零，到最低点时根据动能定理得：2mgL ＝12m v 22－12m v 2，根据牛顿第二定律得：F T ′－mg ＝m v 22L ，联立以上可得拉力为：F T ′＝6mg ＝6a ，故D 正确．。
第二章 专题强化5 竖直面内的圆周运动
竖直面内的圆周运动[学习目标] 会分析竖直面内的圆周运动，掌握轻绳、轻杆作用下圆周运动的分析方法并会求临界值．一、竖直面内圆周运动的轻绳模型如图所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例．(1)在最低点有：T 1－mg ＝m v 12L所以T 1＝mg ＋m v 12L(2)在最高点有：T 2＋mg ＝m v 22L所以T 2＝m v 22L－mg(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由T 2＋mg ＝m v 22L 可知，当T 2＝0时，v 2最小，最小速度为v 2min ＝gL .讨论：当v 2＝gL 时，拉力或压力为零． 当v 2>gL 时，小球受向下的拉力或压力． 当v 2<gL 时，小球不能到达最高点．例1 (多选)如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做完整的圆周运动，重力加速度为g .则下列说法正确的是( )A ．小球在最高点时所受向心力一定为小球重力B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C ．小球在最低点时绳子的拉力一定大于小球重力D ．小球在最高点的速率至少为gL 答案 CD解析 小球在最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力的合力，取决于小球在该点的瞬时速度的大小，A 错误；小球在最高点时，若只有重力提供向心力，则拉力为零，B 错误；小球在最低点时向心力方向竖直向上，合力一定竖直向上，则拉力一定大于重力，C 正确；当小球刚好到达最高点时，仅有重力提供向心力，则有m v 2L ＝mg ，解得v＝gL ，D 正确．针对训练1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm.(g 取10 m/s 2)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字，5取2.24) (2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小． 答案 (1)2.24 m/s (2)4 N解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小． 由牛顿第二定律有：mg ＝m v 02l ，得桶的最小速率为：v 0＝2.24 m/s.(2)因v ＞v 0，故此时桶底对水有向下的压力，设为N ，由牛顿第二定律有：N ＋mg ＝m v 2l ，得：N ＝4 N ．由牛顿第三定律知，水对桶底的压力大小：N ′＝4 N. 二、竖直面内圆周运动的轻杆模型如图所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动．(1)最高点的最小速度由于杆或管在最高点能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v ＝0，此时小球受到的支持力N ＝mg .(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况①若v >gL ，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg ＋F ＝m v 2L ，所以F ＝m v 2L －mg ，F 随v 的增大而增大．②若v ＝gL ，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F ＝0，mg ＝m v 2L.③若0≤v <gL ，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mg －F ＝m v 2L ，所以F ＝mg －m v 2L ，F随v 的增大而减小．例3 如图所示，长为0.5 m 的轻杆OA 绕O 点在竖直面内做圆周运动，A 端连着一个质量m ＝2 kg 的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g 取10 m/s 2，π2＝10)：(1)杆做匀速圆周运动的转速为2 r/s ； (2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s. 答案 (1)140 N 方向竖直向上 (2)10 N 方向竖直向下解析 设竖直向下为正方向，小球在最高点的受力如图所示：(1)杆的转速为2 r/s 时，ω＝2πn ＝4π rad/s ， 由牛顿第二定律得F ＋mg ＝mLω2， 故小球所受杆的作用力F ＝mLω2－mg ＝2×(0.5×42×π2－10) N ≈140 N ，即杆对小球有140 N 的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为140 N ，方向竖直向上．(2)杆的转速为0.5 r/s 时，ω′＝2πn ′＝π rad/s ，同理可得小球所受杆的作用力F ′＝mLω′2－mg ＝2×(0.5×π2－10) N ≈－10 N.力F ′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的正方向相反，即杆对小球有10 N 的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10 N ，方向竖直向下．针对训练2 (多选)如图所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g ，关于小球在最高点的速度v ，下列说法正确的是( )A ．v 的最小值为glB ．v 由零逐渐增大，向心力也增大C ．当v 由gl 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D ．当v 由gl 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大 答案 BCD解析 由于是轻杆，在最高点可对小球提供支持力，因此v 的最小值是零，故A 错误．v 由零逐渐增大，由F 向＝m v 2l 可知，F 向也增大，故B 正确．当v ＝gl 时，F ＝m v 2l ＝mg ，此时杆恰好对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v 由gl 逐渐增大时，m v 2l ＝mg ＋F ，故F ＝m v 2l －mg ，杆对球的力为拉力，且逐渐增大；当v 由gl 逐渐减小时，杆对球的力为支持力，此时，mg －F ′＝m v 2l ，F ′＝mg －m v 2l ，支持力F ′逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，故C 、D 正确．例4 质量为m 的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的内径，圆管内径远小于轨道半径，如图所示．已知小球以速度v 通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg ，则小球以速度v2通过圆管的最高点时( )A ．小球对圆管内、外壁均无压力B ．小球对圆管外壁的压力等于mg2C ．小球对圆管内壁的压力等于mgD ．小球对圆管内壁的压力等于mg2答案 D解析 以小球为研究对象，小球通过最高点时，根据牛顿第二定律得mg ＋mg ＝m v 2r ；当小球以速度v 2通过圆管的最高点，根据牛顿第二定律得mg ＋N ＝m (v 2)2r ；联立解得：N ＝－12mg ，负号表示圆管对小球的作用力向上，即小球对圆管内壁的压力等于mg2，故D 正确．1.如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R ，人体重为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )A ．0 B.gR C.2gR D.3gR答案 C解析 由题意知F ＋mg ＝2mg ＝m v 2R，故速度大小v ＝2gR ，C 正确．2.(多选)(2021·河北省高二学业考试)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O 上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力( )A ．方向一定竖直向上B ．方向可能竖直向下C ．大小可能为0D ．大小不可能为0答案 BC解析 设杆长为R ，小球运动至最高点处，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此时有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，当v >gR 时，杆对小球提供竖直向下的拉力，当v <gR 时，杆对小球提供竖直向上的支持力，故B 、C 正确，A 、D 错误． 3.杂技演员在表演“水流星”时的示意图如图所示，长为1.6 m 的轻绳的一端，系着一个总质量为0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点时的速度为4 m/s ，g 取10 m/s 2，则下列说法正确的是( )A ．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B ．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器的底部受到的压力均为零C ．“水流星”通过最高点时处于完全失重状态，不受力的作用D ．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案 B解析 设水的质量为m ，当水对容器底压力为零时，有mg ＝m v 2r ，解得v ＝gr ＝4 m/s ，“水流星”通过最高点的速度为4 m/s ，知水对容器底压力为零，不会从容器中流出；设水和容器的总质量为M ，有T ＋Mg ＝M v 2r ，解得T ＝0，知此时绳子的拉力为零，故A 、D 错误，B 正确；“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，C 错误．4.如图所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，小球直径略小于管道内径，质量为m 的小球从管道最低点以某一速度v 1进入管内，在圆管道最低点时，对管道的压力为7mg ，小球通过最高点P 时，对管外壁的压力为mg ，此时小球速度为v 2，则v 1∶v 2为(g 为重力加速度)( )A ．7∶2 B.3∶ 2 C.3∶1 D.7∶ 2答案 C解析 在圆管道最低点时，有7mg －mg ＝m v 12R ，小球通过最高点P 时，有mg ＋mg ＝m v 22R ，解得v 1∶v 2＝3∶1，选项C 正确．5．(多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管道处于竖直平面内，其中管道半径为R .现有一个半径略小于弯管横截面半径(远小于 R )的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v 0，重力加速度为g ，则下列说法中正确的是( )A ．若v 0＝gR ，则小球对管内壁无压力B ．若v 0>gR ，则小球对管内上壁有压力C ．若0 <v 0<gR ，则小球对管内下壁有压力D ．不论v 0多大，小球对管内下壁都有压力 答案 ABC解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg ＝m v 02R ，解得v 0＝gR ，因此小球对管内壁无压力，选项A 正确．若v 0>gR ，则有mg ＋N ＝m v 02R ，表明小球对管内上壁有压力，选项B 正确．若0<v 0<gR ，则有mg －N ＝m v 02R ，表明小球对管内下壁有压力，选项C 正确．综上分析，选项D 错误．6.如图所示，一个可以视为质点的小球质量为m ，以某一初速度冲上光滑半圆形轨道，轨道半径为R ＝0.9 m ，直径BC 与水平面垂直，小球到达最高点C 时对轨道的压力是重力的3倍，重力加速度g ＝10 m/s 2，忽略空气阻力，求：(1)小球通过C 点的速度大小；(2)小球离开C 点后在空中的运动时间； (3)小球落地点距B 点的距离． 答案 (1)6 m/s (2)0.6 s (3)3.6 m解析 (1)小球通过最高点C ，重力和轨道对小球的压力提供向心力，有F ＋mg ＝m v C 2R ，F ＝F ′＝3mg ，解得小球通过C 点的速度v C ＝6 m/s.(2)小球离开C 点后在空中做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动有2R ＝12gt 2，解得小球离开C 点后在空中的运行时间t ＝0.6 s.(3)小球在水平方向上做匀速直线运动有x ＝v C t ，得小球落地点距B 点的距离x ＝3.6 m.7．某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面，重力加速度为g )( ) A ．mg B ．2mg C ．mg ＋m v 2RD ．2m v 2R答案 B解析 在最高点有：F 1＋mg ＝m v 2R ，解得：F 1＝m v 2R －mg ；在最低点有：F 2－mg ＝m v 2R ，解得：F 2＝mg ＋m v 2R，所以F 2－F 1＝2mg ，B 正确．8．(多选)如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O 在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v ，此时绳子的拉力大小为T ，拉力T 与速度的平方v 2的关系如图乙所示，图中的数据a 、b 及重力加速度g 都为已知量，下列说法正确的是( )A ．数据a 与小球的质量无关B ．数据b 与小球的质量无关C ．比值ba 只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关D ．利用数据a 、b 和g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径答案 AD解析 当v 2＝a 时，绳子的拉力为零，小球的重力提供向心力，则mg ＝m v 2r，解得v 2＝gr ，故a ＝gr ，与小球的质量无关，故A 正确；当v 2＝2a 时，对小球受力分析，则mg ＋b ＝m v 2r，解得b ＝mg ，与小球的质量有关，故B 错误；根据A 、B 可知b a ＝mr ，与小球的质量和圆周轨道半径都有关，故C 错误；由A 、B 的分析可知，b ＝mg ，a ＝gr ，故m ＝b g ，r ＝ag ，故D 正确．9．(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F ，小球在最高点的速度大小为v ，其F －v 2图像如图乙所示．则( )A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 答案 ACD解析 当小球受到的弹力F 方向向下时，F ＋mg ＝m v 2R ，解得F ＝mR v 2－mg ，当弹力F 方向向上时，mg －F ＝m v 2R ，解得F ＝mg －m v 2R ，对比F －v 2图像可知，b ＝gR ，a ＝mg ，联立解得g＝b R ，m ＝aRb ，A 正确，B 错误．v 2＝c 时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C 正确．v 2＝2b 时，由F ＝m R v 2－mg 及g ＝bR 可知小球受到的弹力与重力大小相等，D 正确．10.如图所示，长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间的距离也为L .重力加速度大小为g .现使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根绳的拉力大小为( )A.3mgB.433mg C ．3mg D ．23mg答案 A解析 设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r ，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则r ＝L cos 30°.根据题述小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg ＝m v 2r ；小球在最高点速率为2v 时，设每根绳的拉力大小为F ，则有2F cosθ＋mg ＝m (2v )2r，联立解得：F ＝3mg ，故A 正确．11.(2021·湘潭一中月考)现有一根长L ＝1 m 的不可伸长的轻绳，其一端固定于O 点，另一端系着质量m ＝0.5 kg 的小球(可视为质点)，将小球提至O 点正上方的A 点处，此时绳刚好伸直且无弹力，如图所示．不计空气阻力，g 取10 m/s 2.(1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A 点至少应施加给小球多大的水平速度？ (2)在小球以速度v 1＝4 m/s 水平抛出的瞬间，绳所受拉力为多少？(3)在小球以速度v 2＝1 m/s 水平抛出的瞬间，绳若受拉力，求其大小；若不受拉力，试求绳子再次伸直时所经历的时间．答案 (1)10 m/s (2)3 N (3)不受拉力 0.6 s解析 (1)小球做完整的圆周运动的临界条件为在最高点重力刚好提供小球所需的向心力，则 mg ＝m v 02L解得施加给小球的最小速度v 0＝10 m/s(2)因为v 1>v 0，故绳受拉力．根据牛顿第二定律有T ＋mg ＝m v 12L代入数据得绳所受拉力T ′＝T ＝3 N(3)因为v 2<v 0，故绳不受拉力．小球将做平抛运动，其运动轨迹如图所示， 设经过时间t 绳子再次伸直，则L 2＝(y －L )2＋x 2x ＝v 2ty ＝12gt 2代入数据联立解得t ＝0.6 s.。
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教学年级：高三年级 3、6 班. 教学时间：2014年10月 27 日，第节.课题专题:竖直面内的圆周运动课时 2 课型复习课教学资源多媒体课件巩固案复习资料金榜新学案教学目标1.了解竖直平面内的圆周运动的特点。
2.知道轻杆、轻绳、管道内的小球做圆周运动的临界条件。
3.掌握竖直面内的圆周运动的处理方法。
教学重点1. 绳、杆两类模型中经过最高点时的受力特点分析。
2．学会应用牛顿定律和动能定理解决竖直面内的圆周运动问题。
教学难点用牛顿定律和动能定理解决竖直面内的圆周运动问题教法与学法简述教师引导，学生积极参与，互动教学教学内容设计二次备课设计【知识回顾】竖直面内做圆周运动的临界问题由于物体在竖直面内做圆周运动的依托物(绳、轻杆、轨道、管道)不同,所以物体在通过最高点时临界条件不同。
1. 绳或轨道圆周运动问题要使小球恰好能在竖直平面内做完整圆周运动,则通过最高点时的速度应满足: ；2. 杆或管道类问题（1）要使小球能通过最高点, 则小球通过最高点时的速度应满足: ；（2）要使小球到达最高点时对支撑物的作用力为零, 则小球通过最高点时的速度应满足: ；【例题】半径为R的光滑圆环轨道竖直放置，一质量为m的小球恰能引导学生分析:①小球在轨道最高点的受力情况和通过最在此圆轨道内做圆周运动，求小球在轨道最低点处对轨道的压力大小。
解析:小球通过最高点时：从最高点到最低点的过程中，运用动能定理，小球通过轨道最低点时 解得：根据牛顿第三定律，球对轨道的压力为6mg ；【变式1】如图，一质量为m 的小球，放在一个内壁光滑的封闭管内，使其在竖直面内做圆周运动.试分析(1)若小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度；小球的受力情况 (2)若小球在最低点受到管道的力为6mg ，则小球在最高点的速度及受到管道的力是多少解析：（1）小球在最高点时：v 0=0；受重力和支持力； 从最高点到最低点的过程中，运用动能定理，解得： （2）小球在轨道最低点时从最低点到最高点的过程中，由动能定理得：解得： 受到管道的力为零【方法总结】求解竖直平面内的圆周运动问题：“两点一过程”是解决此类问题的基本思路。
1.对最高点和最低点进行受力分析，寻找向心力的来源，根据牛顿第二定律列方程；2. 即在研究的某个过程中运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）列方程求解。
【变式2】如图，一质量为M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大圆环上的质量为m 的小环（可视为质点），从大圆环的最高处由静止滑下，重力加速度为g 。
当小圆环滑到大圆环的最低点时，求大圆环对轻杆拉力的大小.高点的速度条件 ②小球在轨道最低点的速度和受力情况也可使用机械能守恒通常情况下，由于弹力不做功，只有重力（或其它力）对物体做功，因此，运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此类问题的有效方法.20221212mv mv R mg -=⋅Rvmmg F N 2=-mgF N 6=02122-=⋅mv R mg gRv 2=Rv m mg F N 20=-20221212mv mv R mg -=⋅-gRv =22021221mv R mg mv +⋅=解析：小环在最低点时 ，根据牛顿第二定律 从最高点到最低点的过程中，由动能定理得 解得：对大环分析，有【课堂练习】1. 一质量为m 的小球恰好能在光滑的圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径不同的圆形轨道，小球通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力.则随着半径R 的增大，则小球通过最低点时对轨道的压力如何变化解析：对于半径不同的圆形轨道，小球通过最高点时都有：Rvm mg 20=从最高点到最低点的过程中，由动能定理知：最低点时： 解得： 故小球通过最低点时对轨道的压力没有变化。
2.长L=0.5m 的轻杆，其一端连接着一个零件A ，A 的质量m=2kg ．现给A 以某一速度，让其在竖直平面内绕O 点做圆周运动，如图所示：（1）若小球恰能做完整的圆周运动，说出小球最高点的速率． （2）若当A 在最高点的速度为4m/s 时，零件A 对杆的作用力．引导学生分析： 当A 在最高点的速度为1m/s 时，零件A 对杆的作用力．(让学生知道杆对小球的作用力可能是拉力、也可20221212mv mv R mg -=⋅Rv m mg F N 2=-mgF N 6=R v m mg F N 2=-2212mv R mg =⋅Mg mg Mg F T N+=+=5'mgF N 5=另解：规定竖直向下为正方向，杆对A 的作用力为F ，则L v mmg F 2=+ mg LvmF -=2（1）若速度为1m/s ，则N F 16-=，即杆对A 的作用力为支持力，方向竖直向上；（2）若速度为4m/s ，则N F 44= 即杆对A 的作用力为拉力，方向竖直向下；3.如图，两个3/4竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R 相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右侧轨道由金属圆管制成，且均可视为光滑．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A 和B 由静止释放，若两小球均能到达轨道的最高点,则小球释放点距离地面的高度h A 和h B 至少为多少. 解析：对于A 球，在轨道的最高点：Rvmmg 2=从A 点到轨道的最高点，由动能定理知：0212-=mv mgh解得 R h 5.0= 即R h A 5.2= 对于B 球，在轨道的最高点：0=v 故R h B 2=【巩固训练】1.如图所示，一质量为0.5kg 的小球，用0.4m 长的细线拴住，在竖直面内做圆周运动，求：（1）当小球在圆上最高点速度为4m/s ，细线的拉力F 1是多少；能是支持力)对于B 球，可引导学生分析：若要使小球B 从最高点飞出后刚好落到轨道的右端，则释放的高度为多少拓展：通过计算判断第二种情况下小球能否过最高点（2）当小球在圆上最低点速度为4m/s ，细线的拉力F 2是多少；（g=10m/s 2） 解析：（1）当小球在圆上最高点时，由受力分析可得：rv mmg F 211=+ 解得N F 151= （2）当小球在圆上最低点时，由受力分析可得：rvm mg F 222=- 解得N F 452=拓展：从最低点到最高点的过程中，由动能定理得：22221212mv mv r mg -=⋅- 解得s m gr v /20=<= 所以不能到达最高点。
2.如图，光滑圆管形轨道AB 部分平直，BC 部分是处于竖直平面内半径为R 的半圆，圆管截面半径r 《R ，有一质量m ，半径比r 略小的光滑小球以水平初速v 0射入圆管，则：（1）若要小球能从C 端出来，初速v 0多大（2）在小球从C 端出来的瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速v 0各应满足什么条件解析：（1）当小球恰好能从C 端出来时，0=C v 由动能定理得：20212mv R mg =⋅ 解得：gR v 20=所以要使小球能从C 端出来，初速度gR v 20≥（2）在小球从C 端出来的瞬间，对管壁压力有三种典型情况： ①当管壁对小球无作用力时，即N=0，则Rv m mg C2=，gR v C = 由动能定理得：22021212C mv mv R mg -=⋅ 解得：gR v 50=②当管壁对球的作用力方向向下时，球对管壁的压力方向向上，此时gR v 50> ③当管壁对球的作用力方向向上时，球对管壁的压力方向向下，此时gR v gR 520<≤3.一根轻绳一端系一小球，另一端固定在O 点，在O 点有一个能测量绳的拉力大小的力传感器，让小球绕O 点在竖直平面内做圆周运动，由传感器测出拉力F 随时间t 变化图象如图所示，已知小球在最低点A 的速度v A =6m/s ，轻绳的长度L=0.5m ，g=10m/s 2．则有（ ）A ．小球做圆周运动的周期T=1sB ．小球做圆周运动的周期T=2sC ．小球的质量m=1kgD ．小球在最高点的速度v B =4m/s解析：在最低点时，拉力最大， Rv m mg F A 2=-解得：kg m 1=在最高点时，绳子提供拉力，Rv mmg F B2'=+ 解得：s m v B /4=ANS ：BCD4.如图，杂技演员在表演水流星节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动，当杯4经过最高点时，里面的水也不会流出来，若杯和水的总质量为0.4kg ，用2m 长的细绳拴住在竖直平面内做圆周运动，求：（1）当杯子在圆周最高点速度为5m/s 时，细绳的拉力是多少（2）若绳子能承受的最大拉力为44N ，则小球运动到最低点时速度最大是多少解析：（1）根据牛顿第二定律：Rv m mg T 21=+解得：N T 15=（2）若绳子能承受的最大拉力为44N ，在最低点时：在最低点时，拉力最大，绳的拉力和球的重力的合力提供向心力Rv m mg F 22=-解得s m v /102=5.如图，匀强电场中有一半径为r 的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平行。
a 、b为轨道直径的两端，该直径与电场方向平行。
一电荷为 q(q>０)的质点沿轨道内侧运动.经过a 点和b 点时对轨道压力的大小分别为N a 和N b ，不计重力，求电场强度的大小Ｅ、质点经过a 点和b 点时的动能。
解析：质点所受电场力的大小为 设质点质量为m ，经过a 点和b 点时的速度大小分别为v a 和v b ，由牛顿第二定律有：设质点经过a 点和b 点时的动能分别为E ka 和E kb从b 点到a 点的过程中，由动能定理得解得：6.在水平方向的匀强电场中有一个竖直放置的光滑绝缘轨道，轨道的半径为R ，其所在的平面平行于电场线．一个带电量为+q 的带电圆环从轨道上的A 点沿切线方向以速度v 开始运动，且圆环在A 点恰好对绝缘轨道无压力，圆环的质量为m ．求： （1）匀强电场的方向和大小；（2）小环运动到绝缘环最低点B 时的速度大小及轨道对圆环的支持力．解析：（1）圆环在A 点恰好对绝缘轨道无压力，说明电场力提供向心力，电场力向右，场强方向向右；根据牛顿第二定律有：Rv mqE 2= 解得：qRmv E 2=（2）从A 到B 的过程，根据动能定理有：qEF =rv mF N aa 2=+rv mF N bb 2=-221b kb mv E =rF E E kb ka 2⋅-=-qN N E ab 6-=)5(12a b ka N N rE +=)5(12a b kb N N rE +=221a ka mv E =。