竖直平面内的圆周运动及实例分析
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
竖直平面内的圆周运动及实例分析
竖直平面内的圆周运动及实例分析竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。
一、两类模型——轻绳类和轻杆类1．轻绳类。
运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。
由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。
所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于，质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度。
2．轻杆类。
运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。
所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；（2）当时，；（3）当，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；（4）当时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小，；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度，才能运动到最高点。
过最高点的最小向心加速度。
过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向心加速度的表达式也相同，即。
质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力最低点的向心力，由机械能守恒，质点运动到最低点和最高点的向心力之差，向心加速度大小之差也等于。
圆周运动的实例分析3(高中物理10大难点突破)
圆周运动的实例分析3(高中物理10大难点突破)3．杂技节目“水流星”表演时，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面内做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如图所示，这是为什么？分析：以杯中之水为研究对象进行受力分析，根据牛顿第二定律可知：F 向＝m r v 2，此时重力G 与FN 的合力充当了向心力即F 向＝G ＋FN故：G ＋FN ＝m r v 2由上式可知v 减小，F 减小，当FN ＝0时，v 有最小值为gr 。
讨论：①当mg ＝m r v 2，即v ＝gr 时，水恰能过最高点不洒出，这就是水能过最高点的临界条件；②当mg ＞m r v 2，即v ＜gr 时，水不能过最高点而不洒出；③当mg ＜m r v 2，即v ＞gr 时，水能过最高点不洒出，这时水的重力和杯对水的压力提供向心力。
例8：绳系着装有水的水桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m ＝0.5 kg ，绳长L ＝60 cm ，求：①最高点水不流出的最小速率。
②水在最高点速率v ＝3 m/s 时，水对桶底的压力。
【审题】当v0=gR 时，水恰好不流出，要求水对桶底的压力和判断是否能通过最高点，也要和这个速度v 比较，v>v0时，有压力；v=v0时，恰好无压力；v ≤v0时，不能到达最高点。
【解析】①水在最高点不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力即mg ＜L mv 2，则最小速度v0＝gR ＝gL ＝2.42 m/s 。
②当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F ，由牛顿第二定律F ＋mg ＝m L v 2得：F ＝2.6 N 。
由牛顿第三定律知，水对水桶的作用力F ′＝－F＝－2.6 N ，即方向竖直向上。
【总结】当速度大于临界速率时，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因此桶底对水产生向下的压力。
例2：汽车质量m 为1.5×104 kg ，以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形路面，路面圆弧半径均为15 m ，如图3-17所示．如果路面承受的最大压力不得超过2×105 N ，汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率驶过路面的最小压力是多少？【审题】首先要确定汽车在何位置时对路面的压力最大，汽车经过凹形路面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形路面时，向心加速度向下，汽车处于失重状态，所以汽车经过凹形路面最图3-17低点时，汽车对路面的压力最大。
竖直平面内的圆周运动实例分析
(1)当 v gr 时，Ｎ＝０，水在杯中刚好不流 出，此时水作圆周运动所需向心力刚好完全由重力提 供，此为临界条件。
gr 时，Ｎ>０，杯底对水有一向下 (2)当 v 的力的作用，此时水作圆周运动所需向心力由Ｎ和重 力Ｇ的合力提供。
【精讲精析】 （1） 以 A 为研究对象，设其受到 杆的拉力为 F，则有 v2 mg＋F＝m L . (1)代入数据 v＝1 m/s，可得 2 2 v 1 －10N＝－16 N， F＝m L －g＝2× 0.5 即 A 受到杆的支持力为 16 N．根据牛顿第三定律 可得 A 对杆的作用力为压力 16 N， 方向竖直向下．
轻杆支撑型（轻杆模型）
类似模型：
·O
质点在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，
研究方法和轻杆模型一样！
课 堂 小 结
竖直平面内圆周运动的临界问题 对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问 题，中学物理中主要研究物体通过最高点和最低 点的情况，并且经常出现临界状态．对临界问题 简要分析如下：
模型 模型说明
a b c d
可能飞离路面的地段应是？
练习
2.如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥 面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力 情况，以下说法正确的是 ( BC )
A.在竖直方向汽车受到三个力：重力、 桥面的支持力和向心力 B.在竖直方向汽车只受两个力：重力 和桥面的支持力 C.汽车对桥面的压力小于汽车的重力 D．汽车对桥面的压力大于汽车的重力
汽车以大于或等于v的速度驶过 拱形桥的最高点时，汽车与桥面的 相互作用力为零，汽车只受重力， 又具有水平方向的速度的v，因此汽 车将做平抛运动。
2.3圆周运动实例分析(竖直面)
F⊥ O
F
一、汽车过拱形桥
例1：设汽车质量为m，以速度v通过桥面半径为R的拱桥， 求拱桥受到的压力是多大？
FN
a
FN
G
a
失重 G
超重
变式： 如果把拱桥变成凹桥，汽车以相同速度过桥，求 桥受到的压力是多大？
发散思维：汽车有无可能做这样的运动？
二、绳连物
例：一根长为L的绳子连一个小球绕其一端在竖直 一根长为 的绳子连一个小球绕其一端在竖直 平面内做圆周运动，在最高点速度为v时 平面内做圆周运动，在最高点速度为 时，求绳对 小球的拉力大小。 小球的拉力大小。
O
圆周运动实例分析（ 2.3 圆周运动实例分析（2）
——竖直面内的匀速圆周运动 竖直面内的匀速圆周运动
知识回顾
1.物体做匀速圆周运动时，合外力有何共同点？ 物体做匀速圆周运动时，合外力有何共同点？ 物体做匀速圆周运动时
合外力总是指向圆心
2.物体做变速圆周运动时，合外力一定指向圆心 物体做变速圆周运动时， 物体做变速圆周运动时 吗？ v 不一定。如图， 不一定。如图， F
三、杆连物
例：一根长为L的杆子连一个小球绕其一端在竖直 一根长为 的杆子连一个小球绕其一端在竖直 平面内做圆周运动，要使小球完成圆周运动， 平面内做圆周运动，要使小球完成圆周运动，试 分析杆对小球的作用力的情况。 分析杆对小球的作用力的情况。
O
1.过最高点的最小速度： 1.过最高点的最小速度： 过最高点的最小速度
0
.
2.过最高点的速度为 2.过最高点的速度为 gL ，杆对小 0 . 球的作用力为 3.过最高点的速度小于 3.过最高点的速度小于 小球的作用力为 支持力 4.过最高点的速度大于 4.过最高点的速度大于 小球的作用力为 拉力
圆周运动的实例分析(第4课时)
圆周运动的实例分析第4课时学习目标：1.理解“轻杆．．”或“双轨．．”约束下圆周运动的动力学特点，运动规律，掌握解题的一般方法。
2.熟练判断最高点时，轻杆中弹力的方向和双轨受力方向．．．．．．．．．．．．．．．3.培养学生的综合能力、物理思维及科学方法，强化规范解题能力的训练。
1.轻杆模型一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的条件是：在最高点．．．的速度 。
（杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力）①当0v =时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0<时，杆对小球的支持力 于小球的重力；③当v =时，杆对小球的支持力 于零；④当v >时，杆对小球产生 力。
【例1】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：（1）小球通过最高点时的最小速度；（2）若小球以速度v=3.0m/s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？【变式训练1】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）A .小球到达最高点的速度必须大于gL B .小球到达最高点的速度可能为0C .小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力D .小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力 【变式训练2】如图所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1g 的小球，试管的开口端加盖与水平轴O 连接．试管底与O 点相距5cm ，试管在转轴带动下，在竖直平面内做匀速圆周运动（g=10m/s 2，结果可以保留根号）．求：（1）转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍？（2）转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？m2.双轨模型一小球在竖直平面内的光滑管道里做圆周运动，小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的条件是：在最高点．．．的速度 。
物理沪科版2学案：2.3 圆周运动的案例分析含解析
2。
3 圆周运动的案例分析直平面内的圆周运动。
一、分析游乐场中的圆周运动 1．受力分析（1)过山车在轨道顶部时要受到重力和轨道对车的弹力作用,这两个力的合力提供过山车做圆周运动的向心力。
（2）当过山车恰好经过轨道顶部时，弹力为零,此时重力提供向心力。
2．临界速度（1）过山车恰好通过轨道顶部时的速度称为临界速度,记作v 临界，v临界＝错误!。
（2）当过山车通过轨道最高点的速度v ≥错误!时，过山车就不会脱离轨道;当v ＞错误!时,过山车对轨道还会产生压力作用。
（3）当过山车通过轨道最高点的速度v ＜错误!时，过山车就会脱离轨道，不能完成圆周运动. 预习交流1“水流星"是我国传统的杂技节目，演员们把盛有水的容器用绳子拉住在空中如流星般快速舞动，同时表演高难度的动作，容器中的水居然一滴也不掉下来。
“水流星"的运动快慢与绳上的拉力的大小有什么关系？如果绳上的拉力渐渐减小，将会发生什么现象？答案：“水流星”转得越快，绳上的拉力就越大。
若绳上的拉力减小，有可能使水流出来。
二、研究运动物体转弯时的向心力1．自行车转弯时要向转弯处的内侧倾斜,由地面对车的作用力与重力的合力作为转弯所需要的向心力。
2．汽车在水平路面上转弯时由地面的摩擦力提供向心力。
3．火车转弯时的向心力由重力和铁轨对火车的支持力的合力提供,其向心力方向沿水平方向。
预习交流2飞行中的鸟和飞机要改变方向转弯时，鸟的身体或飞机的机身要倾斜，如图所示,这是为什么？答案:鸟或飞机转弯时需要向心力，只有当鸟身或飞机的机身倾斜时,它们所受空气对它们的作用力和重力的合力才能提供它们转弯需要的向心力。
一、竖直面内的圆周运动实例分析1．汽车过拱形桥桥顶时，可认为是圆周运动模型，那么汽车过拱形桥顶时动力学特点有哪些？答案：汽车在桥顶受到重力和支持力作用，如图所示，向心力由两者的合力提供.（1)动力学方程: 由牛顿第二定律2=N v G F m R－解得22=N v v F G m mg m R R=－－。
高三物理圆周运动实例分析试题答案及解析
高三物理圆周运动实例分析试题答案及解析1.如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F一v2图象如图乙所示。
不计空气阻力，则A．小球的质量为B．当地的重力加速度大小为C．v2=c时，杆对小球的弹力方向向下D．v2=2b时，小球受到的弹力与重力大小不相等【答案】AC【解析】A、在最高点，若v=0，则N=mg=a；若N=0，则，解得，，故A正确，B错误；C、由图可知：当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2=c时，杆对小球弹力方向向下，所以小球对杆的弹力方向向上，故C正确；D、若c=2b．则，解得N=a=mg，故D错误．【考点】圆周运动及牛顿定律的应用。
2.如图所示，质量M＝2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于="4" m/s，g取10m/s2。
水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。
（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。
（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。
【答案】（1）2N（2）2m/s（3）【解析】（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为，在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。
则①②设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则③由②③式，得④由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为，方向竖直向上。
（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为，此时滑块的速度为V。
在上升过程中，因系统在水平方向不受外力作用，水平方向的动量守恒。
以水平向右的方向为正方向，有⑤在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则⑥由⑤⑥式，得⑦（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始位置点间的距离为，滑块向左移动的距离为，任意时刻小球的水平速度大小为，滑块的速度大小为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
竖直平面内的圆周运动及实例分析
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。
一、两类模型——轻绳类和轻杆类
1．轻绳类。
运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。
由于绳子只能提供拉力
而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。
所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力
全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是小球通过最高点的最小速度，
叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于，质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度。
2．轻杆类。
运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。
所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；（2）当时，；（3）当，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；（4）当
时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小，；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度，才能运动到最高点。
过最高点的最小向心加速度。
过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向心加速度的表达式也相同，即。
质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力最低点的向心力，由机械能守恒
，质点运动到最低点和最高点的向心力之差，向心加速度大小之差也等于。
二、可化为这两类模型的圆周运动
竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。
三、水流星运动中过最高点的速度和水不流出速度的区别
水流星是一种杂技表演，表演者在两个碗里装上水，用绳子系住碗，然后在竖直平面内舞动，碗中的水和碗一起作圆周运动，水不从碗中流出来。
水流星在竖直平面内作圆周运动过最高点的临界条件是满足轻绳类圆周运动，很多参考书就把这个速度当作是水不流出的最小速度，
其实这种理解是不正确的。
我们不能把这当作是水不流出的条件，这是因为当不但水
不能做圆周运动，碗也不能做圆周运动，即是，当碗运动到最高点之前就做斜抛运动了，碗中的水也随之作斜抛运动，在斜抛运动中，水和碗都处于完全失重状态，水也不从碗中流出。
所以不能把当作是水不流出的条件。
四、例子讲解
例1（07年全国2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。
一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。
要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。
求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。
解：设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得
mgh＝2mgR＋mv2①
物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N。
重力与压力的合力提供向心力，有
mg＋N＝m②
物块能通过最高点的条件是
N≥0 ③
由②③式得
V≥④
由①④式得
H≥2．5R ⑤
按题的需求，N＝5mg，由②式得
V＜⑥
由①⑥式得
h≤5R ⑦
h的取值范围是2．5R≤h≤5R
例2如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（）
A．速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动
B．当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
C．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
D．只要v≥，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg
解：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，由
机械能守恒知得，所以A错，得，此时即重力刚好能提供向心力，小球对轨道无压力。
最低点时的向心力为5mg，向心力相差4倍，B对，C错，最高点，最低点
由机械能守恒有，所以，D对。
例3（06重庆）如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。
小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）。
A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点
的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。
重力加速度为g。
试求：
（1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；
（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。
解：（1）由mgR＝+得β＝3
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则
设向右为正、向左为负，解得
v1＝，方向向左v2＝，方向向右
设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N /，方向竖直向上为正、向下为则N －βmg＝N /＝－N＝－4．5mg，方向竖直向下。
（3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1．V2，则
解得：V1＝－，V2＝0
（另一组：V1＝－v1，V2＝－v2，不合题意，舍去）
由此可得：
当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同。