竖直平面内的圆周运动
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动基本概念1、竖直平面内的圆周运动，明确绳子型、杆子型还是桥型，特别注意最高点的受力变化情况．2、一般在竖直面内的圆周运动，均要结合机械能守恒来做。
3、一些中间结论要明确。
（如：绳子型中，小球在最高点的速度，绳子型中小球在最高点和最低点时对绳子拉力的差值等于恒量6mg ）重点、难点突破1、如图所示，长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在过最高点的速度v ，下列叙述中正确的是 A ．v 极小值为gL B ．v 由零增大，向心力也逐渐增大 C ．当v 由gL 逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大 D ．当v 由gL 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小2、如图所示，放置在水平地面上的支架质量为M ，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m ，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动。
以下说法正确的应是 A ． 在释放瞬间，支架对地面压力为（m+M ）g B ． B 、在释放瞬间，支架对地面压力为MgC 、摆球到达最低点时，支架对地面压力为（m+M ）g D.摆球到达最低点时，支架对地面压力为（3m+M ）g 。
3．如图所示，质量为m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为g ，空气阻力不计，问： （１）要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？ （２）若盒子以第（１）问中周期的12做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O 点位于同一水平面位置时，小球 对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？4、如图所示，半径R=0.9m 的光滑的半圆轨道固定在竖直平面内，直径AC 竖直，下端A 与光滑的水平轨道相切。
一个质量m=1kg 的小球沿水平轨道进入竖直圆轨道，通过最高点C 时对轨道的压力为其重力的3倍。
高中物理重要方法典型模型突破11-模型专题(3) -竖直平面内圆周运动 (解析版)
专题十一模型专题（3）竖直面上的圆周运动【典型模型解读】1.竖直面内匀速圆周运动：注意匀速圆周运动的条件2.竖直平面内非匀速圆周运动的两类典型模型分析轻绳模型轻杆模型实例如球与绳连接、沿内轨道运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向指向圆心重力、弹力，弹力方向指向圆心或背离圆心受力示意图力学方程mg+F N=mrv2mg±F N=mrv2临界特征F N=0,v min=gr竖直向上的F N=mg,v=0过最高点条件v≥gr v≥0速度和弹力关系讨论分析①能过最高点时，v≥gr，F N+mg=mrv2，绳、轨道对球产生弹力F N②不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动①当v=0时，F N=mg，F N为支持力，沿半径背离圆心②当0<v<gr时，-F N+mg=mrv2，F N背离圆心，随v的增大而减小③当v=gr时，F N=0④当v>gr时，F N+mg=mrv2，F N指向圆心并随v的增大而增大【典例讲练突破】【例1】（2019高考江苏卷物理6）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（）A.运动周期为2πRω B.线速度的大小为ωRC.受摩天轮作用力的大小始终为mgD.所受合力的大小始终为m ω2R【解析】由于座舱做匀速圆周运动，由公式2πTω=，解得：2πT ω=，故A 错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，v R ω=，故B 正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为mg ，故C 错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：2F m R ω=合，故D 正确。
【答案】BD【练1】在考驾驶证的科目二阶段，有一项测试叫半坡起步，这是一条类似于凸型桥面设计的坡道。
20竖直平面内的圆周运动模型
竖直平面内的圆周运动模型考点规律分析(1)竖直平面内的圆周运动模型在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型。
一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力的，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接，小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。
(2)三种模型对比典型例题例1长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到()A．6.0 N的拉力B．6.0 N的压力C．24 N的拉力D．24 N的压力[规范解答]设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg ＝m v 20L得v 0＝gL ＝10×0.50 m/s ＝ 5 m/s 。
由于v ＝2.0 m/s< 5 m/s ，可知过最高点时，球对细杆产生压力，细杆对小球为支持力，如图所示，为小球的受力情况图。
由牛顿第二定律mg －N ＝m v 2L ，得N ＝mg －m v 2L ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3.0×10－3.0×2.020.50 N ＝6.0 N 由牛顿第三定律知，细杆OA 受到6.0 N 的压力。
[完美答案] B例2 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm ，g 取10 m/s 2。
求：(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小。
[规范解答] (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。
圆周运动中的临界问题
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件： v rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
如图所示，固定在竖直平点为轨道最高点，DB为竖
特点
在最高点时，没有物体支 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 ：
能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
轻绳模型
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没 有力的作用：
B、的压力 D、24N的压力
例3：长L＝，质量可以忽略的的杆，其下端
固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小 球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过 最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m／s时:
②当A的速率v2＝4m／s时:
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M的小球,上端连在轴 上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻 力，在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最 高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,
2
双体转动模型
如图所示，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直 面内转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的 小球A和B，球心到轴O的距离分别为，。已知 A球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时A、B 球对杆的作用力的大小和方向？
B
vB
vA
A
谢谢观赏
N
fA AB mg
变式训练
竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动一.竖直平面内的圆周运动属于圆周运动二.两种情况：1、没有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动①临界条件：小球到达最高点时绳的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球重力提供其圆周运动的向心力，即mg=mv02/R∴刚过最高点的临界速度（最小速度）v=②当v≥v0时小球通过最高点③当v＜v0时小球不能到达最高点。
2、有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动v=0弹力的大小b图中的弹力a图中的弹力速度范围课堂练习1、绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长=0.4m.求（1）桶在最高点水不流出的最小速率？（2）水在最高点速率=3m/s时水对桶底的压力？(g取10m/s2)2、细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力作业1.长度为0.5m的轻质细杆，A端有一质量为3kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s2，则此时轻杆OA将（）A．受到6.0N的拉力B．受到6.0N的压力C．受到24N的拉力D．受到54N的拉力2.一轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端以O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是()A、小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于0B、小球过最高点时的最小速度为√gRC、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力D、小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反3.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度值为V，当小球以2V的速度经过最高点时，对轨道的压力值是（）（A）0 （B）mg (C)3mg (D)5mg4.一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？（g=10m/s2）5. 如图，质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度是v，当小球以3v 的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是多少？6.用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管径远小于R）竖直放置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为m=0.2kg在环内做圆周运动，求:小球通过最高点A时，下列两种情况下球对管壁的作用力. 取g=10m/s2(1) A的速率为1.0m/s (2) A的速率为4.0m/s。
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动专题一、竖直平面内的圆周运动的特点竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，其合外力一般不指向圆心， 它产生两个方向的效果：因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F 1提供向心力．但在最高点和最低点时合外力沿半径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态． 二、圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周动物，其合外力一般不指向圆心，但在最高点和最低点时合外力沿半径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态，下面对临界状态进行分析：1． 没有物体支撑的小球（绳类约束）讨论在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图所示：①临界速度0v ：小球运动在最高点时，受的重力和弹力方向都向下，当弹力等于零时，向心力最小，仅由重力提供．由牛顿运动定律知mg=m Rv 2，得小球过圆周轨道最高点的临界速度为0v =gR ，它是小球能过圆周最高点的最小速度．②当mg<m Rv 2，即v>gR ，小球能过圆周的最高点，此时绳和轨道分别对小球产生拉力和压力．③当mg>m Rv 2，即v<gR ，小球不能过圆周的最高点，小球在达到最高点之前就已经脱离了圆轨道．小球脱离圆周的临界条件是弹力为零．【例题1】如图所示，一质量为0.5kg 的小球，用0.4m 长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：（1）当小球在圆上最高点速度为4m/s 时，细线的拉力是多少？（2）当小球在圆上最低点的速度为6m/s ，细线的拉力是多少？（g=10m/s 2）练1.用长为l 的细线拴一个小球使其绕细线的加一端在竖直平面内做圆周运动，当球通过圆周的最高点时，细线受到的拉力等于球重的2倍，已知重力加速度为g ，则球此时的速度大小为___ ，角速度大小为_ _，加速度大小为_ __。
2． 有物体支撑的小球（杆类约束）讨论在竖直平面内做圆周运动的情况，如图所示．①临界速度0v ：由于轻杆或管状轨道对小球有支撑作用，因此小球在最高点的速度可以为零，不存在“掉下来”的情况．小球恰能达到最高点的临界速度0v =0．②小球过最高点时，所受弹力情况：A ．小球到达最高点的速度v=0，此时轻杆或管状轨道对小球的弹力N=mg ．B ．当小球的实际速度v>gR 时，产生离心趋势，要维持小球的圆周运动，弹力方向应向下指向圆心，即轻杆对小球产生竖直向下的拉力，管状轨道对小球产生竖直向下的压力，因此N F =m Rv 2-mg ，所以弹力的大小随v 的增大而增大。
专题_竖直平面内的圆周运动详解
(1).当V1＝1m/s时,F1＝？ (2).当V2＝4m/s时,F2＝？ (3).通过最低点时,情况又如何呢? (4).如果和小球相连的是细绳而 不是细杆,情况又如何呢?
V
.
O
例2.一细杆与水桶相连,水桶中装有水,水桶与细杆一起在竖 直平面内做圆周运动,如右图所示,水的质量是m＝0.5kg,水 的重心到转轴的距离L＝50cm. (1).若在最高点时水不流出来,求桶的最小速度; (2).若在最高点时水桶的速率V＝3m/s,求水对桶底的压力.
二.小球有支撑(在竖直平面内过最高点的情况)
V
V
r杆
丙
丁
1.临界条件: 由于轻杆和管壁的支撑作用,小球恰好能到达 最高点的临界速度V临界＝0
2.如图丙所示,小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情况:
(1).V＝0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力FN,且FN＝mg
(2).0＜V＜ gr 时, 轻杆对小球有竖直向上的支持力FN, 大小随速度的增大而减小,取值范 围:0＜FN＜mg
施力 特点
拉力
v gr v gr v gr
不可 通过
T=0
恰好通过 最高点
拉力
拉力
支持力 N=0
支持力
拉力
支持力
安全过 桥
N=0 恰好离 开桥
离开桥
三.例题
例1.长L＝0.5m、质量可以忽略的杆,其下端固定于O点,上 端连有质量＝2㎏的小球,它绕O点在竖直平面内做匀速圆周 运动.当通过最高点时,如图所示,在下列情况下,求杆受到 的力.(g＝10m/s2)
o B
2.如图所示,一个人用一根长为1m、只能承受46N拉力的绳子拴着 一个质量为1kg的小球在竖直平面内做圆周运动.已知圆心O离地 面的高度H＝6m,转动中,小球在最低点时绳子断了,g＝10m/s2,求: (1).绳子断时小球运动的角速度 (2).绳子断后小球落地点与抛出点的水平距离
竖直平面内的圆周运动
２
ｍ ｇ十Ｆ 』 ｖ ＝ｍ
②
一
＝
＋， ， ｍ ｇ 。２ Ｒ＋
物块能通过最高点 的条件是 Ｆ Ｎ １０ ③ ＞
由②③式得 ≥ ④ 由① ④ 式得 ｈ ＞ ｔ２ ． ５ Ｒ ⑤ 由题 意 可 知 ， Ｆ ＝５ ａｇ ｒ ， 由 ② 式 得 ＜
，
１
删
然后 沿圆形轨 道运 动． 要 求 物块 能通过 圆形轨 （ １ ）当 ＝ ０时 ， 轻 杆对 小 球 有竖 直 向上 道最高点 ， 且在 该最 高点与轨 道 间的压 力不 能 的支 持 力 （ 如 图 ２所 示 ） ， 其 大小 等 于 小球 重 超过 ５ ｍ ｇ （ ｇ为重 力加 速度 ） ． 求物块 初 始位 置
叮
Ｄ ：ｈ
ｈ≤ ５ Ｒ．
心 等高 ， Ｄ 点 为 轨 道 最 高 点， Ｄ Ｂ为 竖 直 线 ， Ａ Ｃ为 水
平线 ， Ａ Ｅ为水 平 面 ， 今 使 小 球 自Ａ点 正 上方 某 处 由 图６ 静 止 释放 ， 且 从 Ａ点 进入 圆形 轨 道运 动 ， 通过 适 当调整 释 放 点 的 高 度 ， 总 能 保 证 小 球 最 终
１ ．轻 绳 类
２
，
如 图 １所 示 ， 小 球 在一 轻绳 的 作 用 下 绕 中心 ０ 点 做 变 速 圆周运 动 ． 由于 绳 子 只能 提 供 拉 力 而 不 能 提 供
Ｆ ＝ ｍ ， 支持 力随速 度 的增大 而减 小．
，
（ ４ ）当 ＞ ｇ ｒ 时， 小球 的重 力不 足 以提 供 向心 力 ， 杆 对小球有指 向圆心的拉力 （ 如
周 运 动
钱秋 艳
竖直 平面 内 的圆周 运动一 般是 变速 圆周 力 ， 即Ｆ Ⅳ＝Ｇ ；
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速度放置在球的最高点,现在 给其一扰动，则物体将（ ）
A、沿球面下滑至M点 B、沿球面下滑至某一点N，
便离开球面做斜下抛运动 C、立即离开半球面做平抛运
动 D、以上说法都不正确
m
R O
N M
动.(1)若过小球恰好能通过最高
N
点，则小球在最高点和最低点的
速度分别是多少？小球的受力情
mg O
况分别如何？(2)若小球在最低
R
点受到管道的力为6mg，则小球
在最高点的速度及受到管道的力
是多少？
例题3、如图所示，支架的质量
为M，转轴O处用长为L的轻绳悬
挂一质量为m的小球.若小球在
竖直平面内做圆周运动，到达
最高点时，恰好支架对地面无 O
m
压力.设M=3m.求：（1）小球在 M
最高点时的速度大小是多少？
（2）支架对地面的最大压力是
多少？
练习3、如图所示，支架的质量
为M，转轴O处用长为L的轻绳悬
挂一质量为m 的小球.若小球在
竖直平面内做圆周运动，到达最
高点时，恰好支架对地面的压力 O
m
mg.设M=3m.求：（1）小球在最 M
a v2 2 r
r
二、竖直平面内圆周运动的临界问题
由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、 轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条 件不同.
1、无物体支持小球圆周运动临界问题（绳和轨道圆周运动问题）
（1）过最高点临界条件： mg=mv2/R v临界 gR
（2）能过最高点条件:v≧ v临界 （3）不能过最高点条件：v＜v临界
（如图5）
火车转弯
火车能在高出路面的工字型轨道滚滚向前而不越轨 一寸，这是为什么？火车能安全的通过弯道，这又 是为什么？
介绍火车车轮的特殊构造； 直道行使时，火车受力情况：重力、铁轨的支持力、机车
的牵引力、空气及铁轨的阻力。轮缘并不与铁轨相互作用。 那么当火车转弯时需要的向心力是靠外轨对轮缘的挤压力。 则：F=mv2 /r。
其在竖直面内作圆周运动.(1)若
N
过小球恰好能通过最高点，则小
mg
球在最高点和最低点的速度分别
O
是多少？小球的受力情况分别如
何？(2)若小球在最低点受到杆
子的拉力为5.5mg，则小球在最
高点的速度及受到杆子的力是多
少？
练习2：如图所示，一质量为m的
小球，放在一个内壁光滑的封闭
管内，使其在竖直面内作圆周运
mg
O 绳
mg
O 轨道
2、有支持物体的小球圆周运动的临界条件（杆或管道类的问题）
N
N
mg O 杆 （1）过最高点临界条件：
mg 管道O
mg=FN v临界=0 （2）当0＜v＜ gR 时，FN虽v的增大而减小，且mg>FN>0. （3）当v= gR 时，FN =0 （4）当v＞ gR 时， FN虽v的增大而增大，且FN>0。（FN为拉力）
火车质量和速率都相当大，F 也相当大，根据牛顿第三定律， 轮缘对外轨的作用力F’与力F大 小相等，方向相反，外轨在这个 力的挤压下很容易损坏
火车能在高出路面的工字型轨道滚滚向前而不越 轨一寸，这是为什么？火车能安全的通过弯道， 这又是为什么？
FN
F合
G
汽车过拱桥
❖ 一辆载重汽车的质量为4m，通过半径为R的拱形桥，
例题1：如图所示，一质量为m
的小球，用长为L细绳系住，使
其在竖直面内作圆周运动.(1)
若过小球恰好能通过最高点，
则小球在最高点和最低点的速
mg
度分别是多少？小球的受力情
O
况分别如何？(2)若小球在最低
点受到绳子的拉力为10mg，则
小球在最高点的速度及受到绳
子的拉力是多少？
练习1：如图所示，一质量为m的
若桥顶能承受的最大压力为 F 3，m为g 了安全
行驶，汽车应以多大速度通过桥顶？
❖
解析：如图所示，由向心力公式得
v2
❖
4mg FN 4m R
❖
FN
4mg
4m
v2 R
①
❖ 为了保证汽车不压坏桥顶，同时又不飞离桥 面，根据牛顿第三定律支持力的取值范围为
❖ 0 FN 3mg
❖ 将①代入②解得
例题5：如图所示，半径为R
的光滑半圆球固定在水平面上，
顶部有一小物体A。今给它一
m
v0
个水平初速度 v0 gR ,则
物体将（ ）
R
N
O
M
A、沿球面下滑至M点
B、沿球面下滑至某一点N，
便离开球面做斜下抛运动
C、立即离开半球面做平抛运
动
D、以上说法都不正确
练习5：如图所示，半径为R
的光滑半圆球固定在水平面上，
这就涉及到了有关竖直面内圆周运动的临界问题讨论： 首先就需要了解竖直面内的圆周运动如何分析。
一、竖直面的圆周运动
一般竖直面内的圆周运动，物体所受的合 外力除了具有与速度垂直的法向力以外， 还有与速度平行的切向力，那么物体的速 度不仅方向变化，大小也会变化.(对此，高
考只要求解决在最高点和最低点这两个特殊位置 上的动力学问题.关系式依然适用，只是不同位 置对应不同的v或ω而已.)
竖直面 内的圆周运动
下列物体做匀速圆周运动时，向心力分别由什么提供？ 1、人造地球卫星绕地球运动时。 2、小球在光滑的水平桌面上运动。 （如图1） 3、小球在水平面内运动。（如图2） 4、玻璃球沿碗（透明）的内避在水平面内运动。 （如图3）
（如图1）
（如图2）
（如图3）
5、使转台匀速转动，转台上的物体也随之做匀速圆周运动， 转台与物体间没有相对滑动。（如图5）
小球，在半径为R 光滑轨道上，
使其在竖直面内作圆周运动.(1)
若过小球恰好能通过最高点，则
小球在最高点和最低点的(2)若小球在最低点受到 轨道
轨道的弹力为8mg，则小球在最
高点的速度及受到轨道的弹力是
多少？
例题2：如图所示，一质量为m的
小球，用长为L轻杆固定住，使
②
1 Rg v Rg 2
杂技表演的“水流星”
“水流星”就是把总质量为M的盛有水的桶，系在长 L的绳子一端，使桶在竖直平面内绕绳另一端做圆 周运动，要使桶运动到最高点时水不流出。表演 过程中不管演员怎样抡，水都不会从杯里洒出， 甚至杯子在竖直面内运动到最高点时，已经杯口 朝下，水也不会从杯子里洒出。这是为什么？
的加速度大小为______，刚滑
过B点时的加速度大小为_____.
练习4:如图中圆弧轨道AB是
在竖直平面内的1/4圆周，在
B点，轨道的切线是水平的. A h
一质点自A点上方高h处从静
止开始下落，不计滑块与轨
B
道间的摩擦和空气阻力，则
在质点刚要到达B点时的加速
度大小为______，刚滑过B点
时的加速度大小为_____.
高点时的速度大小是多少？（2）
改变小球的速度，在保证小球仍
能作圆周运动的前提下，当小球
运动到最低点时，支架对地面的
最小压力是多少？
例题4:如图中圆弧轨道AB是在
竖直平面内的1/4圆周，在B点，
轨道的切线是水平的.一质点 A
自A点从静止开始下滑，不计
滑块与轨道间的摩擦和空气阻
B
力，则在质点刚要到达B点时