5绝对收敛级数和条件收敛级数的性质(精)
级数的条件收敛与绝对收敛
级数的条件收敛与绝对收敛级数是数学中一个重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
在研究级数时，一个重要的问题是判断级数的收敛性。
收敛性可以分为两种情况：条件收敛和绝对收敛。
本文将简要介绍这两种收敛性，并探讨它们的区别和应用。
我们来定义级数的概念。
对于一个给定的数列{an}，我们可以构造一个级数S，它的通项为an，表示为S = a1 + a2 + a3 + ...。
级数的收敛性描述了这个无穷级数的求和是否有一个有限的极限值。
条件收敛是指一个级数在某种条件下收敛。
具体来说，一个级数S 在条件收敛时，它的部分和序列Sn存在极限L，即lim(n→∞)Sn = L。
条件收敛是指级数的收敛性依赖于级数项的顺序。
如果我们改变级数项的顺序，可能会导致级数的收敛性发生变化。
绝对收敛是指一个级数在任何条件下都收敛。
具体来说，一个级数S在绝对收敛时，它的绝对值级数∑|an|收敛。
绝对收敛是指级数的收敛性与级数项的顺序无关。
无论我们如何改变级数项的顺序，只要级数的绝对值级数收敛，原级数就一定收敛。
条件收敛和绝对收敛的区别在于级数项的正负性。
在绝对收敛中，我们只考虑级数项的绝对值，而不关心它们的正负性。
这使得我们可以通过级数项的绝对收敛性来研究级数的性质，而不受级数项正负的影响。
而在条件收敛中，级数项的正负性对级数的收敛性起着决定性的作用。
绝对收敛的一个重要性质是它保持级数的求和操作的可交换性。
也就是说，对于一个绝对收敛的级数S，无论我们如何改变级数项的顺序，级数的求和结果都是一样的。
这个性质在实际计算中非常有用，可以简化级数求和的过程。
条件收敛与绝对收敛的关系也是一个重要的研究方向。
一个经典的结果是，如果一个级数绝对收敛，那么它一定条件收敛。
也就是说，绝对收敛是条件收敛的充分条件。
但反过来并不成立，也就是说，条件收敛不一定能推出绝对收敛。
这就意味着，对于一个条件收敛的级数，我们不能简单地改变级数项的顺序，而需要谨慎地处理级数的求和操作。
无穷级数的收敛性与绝对收敛性
无穷级数的收敛性与绝对收敛性无穷级数是数学中一个重要的概念，它有着丰富的性质和应用。
在研究无穷级数的性质时，我们常常关注它的收敛性与绝对收敛性。
本文将详细介绍无穷级数的收敛性与绝对收敛性，并探讨它们之间的关系。
一、收敛性无穷级数的收敛性是指该级数的部分和（也称为前n项和）在n趋向于无穷大时是否趋于某个常数。
如果存在这样的常数，我们就说该级数是收敛的；反之，如果该级数的部分和趋于无穷大或者无穷小，我们就说该级数是发散的。
那么如何判断一个无穷级数的收敛性呢？一个常用的方法是利用极限的性质。
设无穷级数的通项为an，其部分和为Sn。
如果存在一个数L，使得当n趋向于无穷大时，Sn趋于L，则我们可以说该级数是收敛的，并记为∑an = L。
例如，考虑级数1/2 + 1/4 + 1/8 + ...，我们可以发现该级数的部分和Sn = 1 - 2^(-n)。
当n趋向于无穷大时，Sn趋于1。
因此，该级数是收敛的，且和为1。
二、绝对收敛性绝对收敛性是收敛性的一个更为强烈的概念。
一个无穷级数被称为绝对收敛的，当且仅当它的绝对值级数收敛。
所谓绝对值级数，就是将原级数的每一项取绝对值所得到的级数。
绝对收敛性具有一些重要的特点。
首先，如果一个级数是绝对收敛的，那么它必定是收敛的；反之则不成立。
其次，对于绝对收敛的级数，它的任意重新排列都会收敛到同一个值。
这一点在实际应用中具有重要的意义。
如何判断一个无穷级数的绝对收敛性呢？根据绝对收敛级数收敛的定义，我们可以使用柯西收敛准则。
柯西收敛准则要求对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。
例如，考虑级数((-1)^n)/(n^2)，我们可以通过求和得到它的绝对值级数。
绝对值级数为1/(n^2)，而柯西收敛准则对于1/(n^2)成立。
因此，原级数绝对收敛。
三、收敛性与绝对收敛性的关系收敛性与绝对收敛性之间存在重要的关系。
特别地，我们有以下结论：1. 绝对收敛的级数必定是收敛的；2. 如果一个级数是收敛但不是绝对收敛的，那么它的任意重新排列都可能导致发散；3. 如果一个级数是可交换的（即级数中的项可以任意改变顺序而不影响部分和），并且它是绝对收敛的，那么它的任意重新排列都会收敛到同一个值。
级数的条件收敛和绝对收敛
级数的条件收敛和绝对收敛以级数的条件收敛和绝对收敛为标题，我们将探讨级数的收敛性质。
级数是由一系列项相加而得的无穷和，它在数学中占据重要地位。
在分析级数的收敛性质时，我们关注的是级数在无限项相加之后是否会趋于一个有限的值或者无穷大。
其中，条件收敛和绝对收敛是两种重要的收敛性质。
我们来介绍条件收敛。
一个级数在条件收敛的情况下，指的是当且仅当级数的项满足一定的条件时，级数才会收敛。
具体来说，如果一个级数在去除掉某些项之后变成一个收敛的级数，那么我们称原级数是条件收敛的。
条件收敛的级数在去除掉某些项之后会发散，也就是说，这些项对于级数的收敛性至关重要。
一个经典的例子是调和级数，它是由倒数构成的级数：1+1/2+1/3+1/4+...。
调和级数在去除掉部分项之后可以变成一个收敛的级数，但原级数本身是发散的。
接下来，我们来探讨绝对收敛。
一个级数在绝对收敛的情况下，指的是当且仅当级数的每一项都满足一定的条件时，级数才会收敛。
具体来说，如果一个级数的每一项的绝对值都是收敛的，那么我们称该级数是绝对收敛的。
绝对收敛的级数在去除掉某些项之后仍然会收敛，也就是说，这些项对于级数的收敛性并不重要。
一个经典的例子是幂级数，它是由一系列幂函数的项相加而得的级数。
幂级数在其收敛半径内绝对收敛，而在收敛半径外则发散。
条件收敛和绝对收敛是两种不同的收敛性质，它们之间存在一定的关系。
事实上，绝对收敛的级数一定是条件收敛的，但条件收敛的级数不一定是绝对收敛的。
这是因为绝对收敛要求每一项的绝对值都满足收敛的条件，所以绝对收敛的级数更加严格。
而对于条件收敛的级数，它只要求去除掉某些项之后变成一个收敛的级数，所以条件收敛的级数的收敛性较弱。
在实际应用中，条件收敛和绝对收敛的性质都有其重要意义。
对于条件收敛的级数，我们可以通过去除掉某些项来使其变成一个收敛的级数，从而得到有限的结果。
这在一些实际问题中具有应用价值。
而对于绝对收敛的级数，它的性质更加稳定，不受部分项的影响，更容易进行计算和分析。
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
19
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛， 其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B， 则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和 普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律 和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1
n 1
n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ， 考虑它的更序级数 un
un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1
* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1
(2).若级数 un条件收敛,
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
（ u u u ）（ v v v ） 1 2 1 2
U* V*，
* 即 S 有界，这证明了级数 绝对收敛 . n n n 1
2019/2/12
17
再 应 用 定 理 2 , 也 的 更 序 级 数 绝 对 收 敛 , 且 它 们 和 相 同 ,
引
言
对于任意项级数，我们给出绝对收敛 与条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数 还是条件收敛级数,都具有本章第二节所 给出的1-4个性质,除此而外,对于这两种 不同的收敛级数,还具有各自不同的重要 性质.本节分别进行简单介绍和讨论.
2019/2/12
1
一.绝对收敛和条件收敛级数的性质
n 1
定理1: 若对级数 un， 将 它 所 有 正 项 保 留 而 负 项 换 为 0 ， 此 定 理 揭 示 的 规 律 ？
由 定 理知 1 ，
这 两 个 级 数 都 收 敛 .
设 它 们 的 和 分 别 为 V 和 W , 则 有
2019/2/12
8
u V W. 由 ( 1 ) 知 u 的更序级数 u 有 u V W , 绝对收敛 即更序级数 u .
n 1 n
u
V W ,
18
以下再证明这个和数恰 为UV.
考虑由正方形法排列所 构成的级数，并加括号 如下
a u v （ u v u v u v ）
n 1 n 11 12 22 21
（ u v u v u v u v u v ） ， 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1
* V v v v ， 即的 v 分 和 . 1 2 n 部 n 1
高等数学：第五讲 绝对收敛与条件收敛
1. 交错级数及其敛散性
定理1(莱布尼茨准则) 若交错级数 (1)n1un n1
满足以下两个条件：
(1) unun+1
(n=1, 2, …)
(2)
lim
n
un
0
则交错级数收敛，且其和S不超过u1.
1. 交错级数及其敛散性
说明: 1、定理中两个条件是交错级数收敛的充分条件 , 其中条件(1)可放宽为n从某个自然数起.
1、若是交错级数，先判断是否绝对收敛；如果 不是，再用莱布尼茨准则判断是否条件收敛；
2、若是任意项级数，先判断是否绝对收敛；如 果不是，再用级数收敛的定义和级数的性质等判 断是否条件收敛。
谢谢
主讲： 黄飞
条件收敛 ，
(1)n n2
n1
绝对收敛 。
2、绝对收敛与条件收敛
例2. 讨论级数
sin n
5
n2
n1
的敛散性.
sin n
解
令un
5 n2
,
sin n
由于 | un |
5 n2
1 n2
而
n1
1 n2
收敛，
由比较审敛法知，
| un |收敛，
n1
即原级数绝对收敛.
3. 小 结
．
判别交错级数与任意项级数敛散性的方法与步骤
2、 应用莱布尼茨准则判断交错级数敛散性必 须验证这两个条件，缺一不可 .
1. 交错级数及其敛散性
例1. 讨论级数 (1)n 的敛散性. n1 n
解
级数可写成
(1)nun，un
n1
1， n
因为
un
1 n
1 n 1
u
，
n1
级数的条件收敛和绝对收敛
级数的条件收敛和绝对收敛级数是数学中一种重要的数列求和形式，它在许多数学分支中都扮演着重要的角色。
在研究级数的性质时，我们常常关注两个重要的概念：条件收敛和绝对收敛。
我们来讨论条件收敛。
一个级数在条件收敛时，指的是当级数的各项按照某种次序相加时，其和存在但可能不收敛。
换句话说，条件收敛是指级数的各项次序的排列方式对级数的和有影响。
为了更好地理解条件收敛，我们来看一个例子：调和级数。
调和级数是指级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...，它的和是发散的。
然而，当我们改变级数的次序时，例如将正项和负项交替相加，即1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...，这个级数的和却是收敛的，而且和为ln2。
这就是条件收敛的一个例子。
接下来，我们来讨论绝对收敛。
一个级数在绝对收敛时，指的是当级数的各项按照任意次序相加时，其和都是收敛的。
换句话说，绝对收敛是指级数的各项次序的排列方式对级数的和没有影响。
为了更好地理解绝对收敛，我们再来看一个例子：幂级数。
幂级数是指形如Σan*x^n的级数，其中an是系数，x是变量。
对于幂级数，当其收敛半径大于0时，它是绝对收敛的。
也就是说，无论我们如何排列幂级数的各项次序，只要收敛半径大于0，级数的和都是收敛的。
这就是绝对收敛的一个例子。
条件收敛和绝对收敛的区别在于级数项次序的影响。
条件收敛的级数的和在不同的项次序下可能会收敛到不同的值，而绝对收敛的级数的和在任意项次序下都是收敛到同一个值。
那么，为什么条件收敛和绝对收敛如此重要呢？这是因为在实际应用中，我们常常需要对级数进行求和。
如果一个级数是绝对收敛的，我们可以放心地任意改变级数的项次序，而不用担心和的变化。
然而，如果一个级数只是条件收敛的，我们在改变项次序时就需要小心，因为和可能会发生变化。
绝对收敛还有一个重要的性质：绝对收敛的级数的部分和序列是一个柯西序列。
柯西序列是指序列的任意两个元素之间的差可以任意小。
绝对收敛级数
绝对收敛级数摘要：一、绝对收敛级数的定义二、绝对收敛级数的性质三、比较判别法与莱布尼茨定理四、应用与举例正文：绝对收敛级数是数学中一种特殊的级数，它具有以下特点：当级数各项的绝对值依次递减，且趋于零时，级数和有限或趋于有限。
本文将介绍绝对收敛级数的定义、性质、比较判别法与莱布尼茨定理，以及其在实际问题中的应用与举例。
首先，我们需要了解绝对收敛级数的定义。
设级数an=a_n^k，其中k 为非负整数，a_n^k 表示级数第n 项的k 次方。
若对于任意正整数k，都有|a_n^k|≤M（M 为常数），且当n 趋近于无穷时，M 与n 无关，则称级数an 绝对收敛。
其次，绝对收敛级数具有以下性质。
性质1：若级数an 绝对收敛，则其任意子序列也绝对收敛。
性质2：若级数an 绝对收敛，则其各项的符号相同。
性质3：若级数an 绝对收敛，则其和有限或趋于有限。
在了解绝对收敛级数的性质之后，我们来探讨如何判断一个级数是否绝对收敛。
比较判别法是一种常用的方法。
设级数an=a_n^k，若对于任意正整数k，都有|a_n^k|≤|a_n|，且当n 趋近于无穷时，|a_n|与n 无关，则级数an绝对收敛。
另外，莱布尼茨定理也为判断绝对收敛级数提供了一种方法。
若级数an=a_n^k 满足|a_n^k|≤M（M 为常数），且当n 趋近于无穷时，a_n^k 与n 的比值趋于零，则级数an 绝对收敛。
绝对收敛级数在实际问题中有很多应用，例如在求和公式、级数求极限、级数求和等问题中都有涉及。
以下是一个简单的例子：设级数an=(-1)^n，通过比较判别法可知，该级数绝对收敛。
又因为级数各项的符号相同，所以其和为0。
综上所述，绝对收敛级数是一种具有特殊性质的级数，通过比较判别法与莱布尼茨定理可以判断其是否绝对收敛。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
于是得知 wn 亦必为收敛.又由于 un vn wn ,所以
n 1
得知级数
u
n 1
u
n 1
n
n
v
n 1
n
wn
n 1
vn wn 两个级数 和 都发散. n 1 n 1
绝对收敛 ,此与已知条件矛盾,因此证明了
定理2
绝对收敛级数
n 1
证明
(i)若级数 u n 绝对收敛,由于
n 1
0 vn un ,0 wn un ,
按比较判别法,级数 vn 和级数 wn 都收敛.
un (ii)若 为条件收敛,用反证法证明定理的第二结论. n 1
n 1 n 1
假设级数 vn 和级数 wn 中至少有一个是收敛的,不妨 n 1 n 1 假设 vn 为收敛级数,那么,由于 w n v n un
' n 1 n 1 n 1
而 u ' n v' n w' n ,所以
' ' ' u v w n n n V W un . n 1 n 1 n 1
这样就证明了定理. 若级数 u n 和 vn 都绝对收敛,其 n 1 n 1 和分别为 U 和 K ,则它们各项之积 ui vi i, k 1,2,3, 按照任 何方法排列所构成的级数绝对收敛,且其和为 UV . 定理3(柯西定理)
所以,取 n 大于所有下标 n1 , n2 ,, nk 后,显然有
' 1
'
Sk u u2 uk u1 u2 u3 un Sn .
又由于正项级数 u n ,于是对一切 k 成立 S ' S , k n 1 按照正项级数收敛的基本定理,更序级数 u ' n 亦收敛,设其
ຫໍສະໝຸດ 1' u u n 的更序级数 n
n 1
对收敛,且其和相同,
un
un
n 1
n 1
仍为绝
'
证明
' u (i)我们先证明当 n为收敛的正项级数的情形. n 1
' u 考虑更序级数 n 的部分和 S n 1
' k
.因为
'
u un1 , u2 un2 ,, uk unk ,
n 1
这就表明了更序级数 u ' n 是绝对收敛的.
vn 和 w 的更序级数 再设 v ' n 和 w ' n 分别为级数 n n 1
n 1
.由(i)的结论知道
n 1
n 1
n 1
v
n 1
'
n
vn V , w n wn W ,
§5.绝对收敛级数和条件收敛级 数的性质
定理1 对于级数
un ,将它的所有正项保留而将负项
n 1
vn .将它的所以负项变号(乘 换为0,组成一个级数记为 n 1
上因子-1)而将正项换为0,也组成一个正项级数记为
亦即
un , un 0 un un vn { 0, un 0 2
有组成的级数.由定理1知道,这两个级数都收敛,设它们的
n 1 n 1
n 1
n 1
和分别是V 和W ,则有
由(i)中的结论知道,
' u n V W , n 1
u
n 1
n 1
u
n
n
V W , un V W .
n 1
的更序级数 u ' n 成立着
un , un 0 un un wn { 0, un 0 2
那么
vn 和级数 w 都 (i)若级数 u n 绝对收敛,则级数 n n 1 n 1 n 1 收敛;
散
wn 都发 (ii)若级数 u n 条件收敛,则级数 vn 和级数 n 1
n 1
S
'
' 1
'
'
和为 S ' ,故有S S , ,另一方面级数 u 也可视为级数 u ' n
n 1 n
n 1
n 1
的更序级数故又有S S ' , ,得知
S S',
(ii)再来证明 u n 为任意绝对收敛级数的情形.
仍旧记级数 vn 和 wn 分别为 u n 的所有正项和所