基本不等式及应用——2021届新课改地区高三高考数学一轮专题复习
C．6 D．7
3、设 a，b 为正数，且
，则（ ）
A.
B.
C.
3
4、已知正实数 a，b 满足 a b ab 2 ，则 ab 的最小值为（
D. ）
A．1
B． 2
C．2
D．4
5、若正数 m, n 满足 2m n 1，则 1 1 的最小值为（ ） mn
A. 3 2 2
B. 3 2
变式 3、已知正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则 2a2 1 2b2 4 的最小值为
．
a
b
变式
9 4、 sin2
1 cos2
的最小值为（
A．18
B．16
） C．8
D．6
方法总结：1 的代换就是指凑出 1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，
凑的过程中要特别注意等价变形。基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常
数)变形为 1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式。(4)利用基
本不等式求解最值．
考点三、运用消参法解决不等式问题
例 3、(2017 苏北四市期末）.
若实数 x，y 满足 xy＋3x＝3
0＜x＜1 2
，则3＋
1
的最小值为________．
x y－3
变式 1：（徐州、宿迁三检）若 a 0,b 0 ，且 1 + 1 1，则 a + 2b 的最小值为 ． 2a + b b +1
2 均数不小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p (2)如果 x＋y 是定值 q，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是q2
4 4、基本不等式的两种常用变形形式
a＋b (1)ab≤ 2 2(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号)． (2)a＋b≥2 ab(a>0，b>0，当且仅当 a＝b 时取等号)．
5、几个重要的结论
a＋b (1)a2＋b2≥ 2 2.
2
(2)b＋a≥2(ab>0)． ab
(3) ab≤a＋b≤ 2
a2＋b2(a>0，b>0)． 2
三、自主热身、归纳总结
1、若 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy的最大值为( )
A．9
B．18
1 / 26
C．36 D．81 2．设 a>0，则 9a＋1的最小值为( )
D．ab 有最小值 3+2 ．
8、已知 a>0, b>0，且2＋3＝ ab，则 ab 的最小值是________． ab
9、一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为________m，宽为
________m 时菜园面积最大． 10．(一题两空)若 a>0，b>0，且 a＋2b－4＝0，则 ab 的最大值为________，1＋2的最小值为________．
4
Hale Waihona Puke 4x－5) D．5变式 4、已知 x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为________．
方法总结：运用不等式求函数的最值要满足三个条件，一正，二定，三相等；有时不满足几定要通过拼凑法； 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利 用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
变式 1、已知 x>0，y>0，且 2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x＋y 的最小值．
变式 2、已知 f (x) x2 3x 6 (x 0) ，则 f (x) 的最小值是( x 1
A．2
B．3
C．4
变式 3、已知 x＜5，则 f(x)＝4x－2＋ 1 的最大值为_______
C. 2 2 2
D.3
6、下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若 a＜0，b＜0，则
B．若 x，y∈R*，则 ݃ ݃
݃݃
C．若 x 为负实数，则
D．若 x 为负实数，则
7、设 a＞1，b＞1，且 ab﹣（a+b）＝1，那么（ ）
A．a+b 有最小值 2（ 1）
B．a+b 有最大值（ 1）2
C．ab 有最大值 3+2 ．
变式 1、若对于任意的 x>0，不等式 x ≤a 恒成立，则实数 a 的取值范围为( ) x2＋3x＋1
A．a≥1 5
B．a>1 5
C．a<1 D．a≤1
5
5
变式 2、(2016 徐州、连云港、宿迁三检）已知对满足 x＋y＋4＝2xy 的任意正实数 x，y，都有 x2＋2xy＋y2 －ax－ay＋1≥0，则实数 a 的取值范围是________．
变式 2、设实数 x，y 满足 x2＋2xy－1＝0，则 x2＋y2 的最小值是________．
方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为 常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
考点四、运用基本不等式解决含参问题
4 / 26
例 1、(2019 扬州期末）已知正实数 x，y 满足 x＋4y－xy＝0，若 x＋y≥m 恒成立，则实数 m 的取值范围为 _________．
第 5 讲：基本不等式及应用
一、课程标准
1.探索并了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
二、基础知识回顾 1、基本不等式 ab≤a＋b
2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b.
2、算术平均数与几何平均数 设 a＞0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋b，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平
ab
四、例题选讲
2 / 26
考点一、运用基本不等式求函数的最值
例 1、 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为________．
(2)已知 x<5，则 f(x)＝4x－2＋ 1 的最大值为________．
4
4x－5
(3)函数 y＝x2＋2(x>1)的最小值为________． x－1
考点二、基本不等式中 1 的运用
例 2、已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则1＋1的最小值为________． ab
3 / 26
变式
1、若正实数
x ，y
满足
x
y
1 ，则
y x
4 y
的最小值是
▲
．
变式 2、 已知 a，b 为正数，且直线 ax＋by－6＝0 与直线 2x＋(b－3)y＋5＝0 互相平行，则 2a＋3b 的最小值为________．
2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲 函数的单调性与最值
第2讲 函数的单调性与最值一、知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两个等价结论 设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增．(2)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错． 1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B ．设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)， 所以m ≤2. 答案：(－∞，2]考点一 确定函数的单调性(区间)(基础型) 复习指导| 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．核心素养：数学抽象角度一 判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性． 【解】 法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等． 角度二 利用函数图象求函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2]和(1，1＋2]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 可能是( ) A ．(－∞，0) B ．⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选B ．y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0－x （1－x ），x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0x 2－x ，x <0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C ．由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．判断函数y ＝2x 2－3x的单调性．解：因为f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x ，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y ＝2x和y ＝－3x 在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x －3x 在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．考点二 函数的最值(值域)(基础型) 复习指导| 理解函数的最大(小)值，并能利用函数的单调性求最值．核心素养：逻辑推理(1)(一题多解)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)(2020·福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x ＞0有最小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， 所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.(2)(基本不等式法)由题意知，当x >0时，函数f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a ，1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4.【答案】 (1)1 (2)[4，＋∞)求函数最值的五种常用方法1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中， 作出函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1. 答案：1考点三 函数单调性的应用(综合型) 复习指导| 利用函数单调性求解，要明确函数的所给区间，不同区间有不同的单调性．角度一 比较两个函数值已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立， 知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， 所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为________．【解析】 由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1，所以所求解集为(0，1)． 【答案】 (0，1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．角度三 求参数的值或取值范围(1)(2020·南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．1．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D ．因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D ．2．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)解析：选B ．因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．解析：由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6.答案：－6[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C ．当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤－2，－13上的最大值是( ) A ．32B ．－83C ．－2D ．2解析：选A ．函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x 2，则f ′(x )<0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，－13上单调递减，即f (－2)为最大值，且为2－12＝32.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ．由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C ．4．(多选)(2021·预测)已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f (x )是增函数的是( )A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0解析：选CD ．根据题意，依次分析选项：对于选项A ，对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B ，当f (x )为常数函数时，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，都有f (x 1)＝f (x 2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0，符合题意；对于选项D ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，设x 1>x 2，若f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，必有f (x 1)－f (x 2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．5．(创新型)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C ．由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是________．解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．答案：[1，2]7．函数y ＝2＋－x 2＋4x 的最大值是________，单调递增区间是________．解析：函数y ＝2＋－x 2＋4x ＝2＋－（x －2）2＋4，可得当x ＝2时，函数y 取得最大值2＋2＝4；由4x －x 2≥0，可得0≤x ≤4，令t ＝－x 2＋4x ，则t 在[0，2]上为增函数，y －2＋t 在[0，＋∞)上为增函数，可得函数y ＝2＋－x 2＋4x 的单调递增区间为[0，2]．答案：4 [0，2]8．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为________．解析：由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案：(－1，2)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．[综合题组练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1对任意的x 1≠x 2都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1，3)解析：选D ．由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0， 所以函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D ． 2．(多选)若函数f (x )满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立．则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是( ) A ．f (x )＝3x ＋1 B ．f (x )＝－2x －1 C ．f (x )＝x 2－2x ＋3D ．f (x )＝－x 2＋4x －3，x ∈(－∞，1)解析：选AD ．①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0，则函数f (x )在定义域为增函数；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立，则函数f (x )为“凸函数”．其中A ．f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2，故满足条件①②；B ．f (x )＝－2x －1在R 上为减函数，不满足条件①；C ．f (x )＝x 2－2x ＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，不满足条件①；D ．f (x )＝－x 2＋4x －3的对称轴为x ＝2，故函数f (x )＝－x 2＋4x －3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.综上，为G 函数的是AD ．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．(创新型)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________． 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞2时，f (x )单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x )单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈()0，＋∞，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间()0，＋∞上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)，由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x ) 在[2，9]上的最小值为－2.。
2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版
高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题2-2基本不等式及其应用教师版
专题2.2基本不等式及其应用练基础1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，则b的（）A B ．最大值是3C ．最小值是D ．最小值是3【答案】B 【解析】由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=，所以3323c a b =≤=+，等号成立当且仅当3a c =.故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案.【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤，反过来，若16ab ≤，则22ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2aba b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+，则ABC 的三个内角大小为（）A ．60ABC === B ．90,45A B C ===C ．120,30A B C ===D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C == .【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）.而ABC 的面积是1sin 2S bc A =,所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒.又因为b=c ，所以90,45A B C === .故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤，因此xy 的最小值是1-，5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
2021年新课标新高考数学复习课件：§2.2 基本不等式与不等式的综合应用
(2)
ab
b +a
≥2(a,b同号).
(3)ab≤
a
b 2 2 (a,b∈R).
(4)
a2 b2 ≥ a b ≥
2
2
ab
≥
1
2
1
(a,b∈R+).
ab
3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最① 小 值② 2 p (简记:积定和最小).
解题导引 (1)主要是求半个圆柱的侧面积及两个半圆的面积之和,先求出 每个半圆柱型大棚的底面半径,再求每个半圆柱型大棚的表面积(不含与 地面接触的面). (2)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r m,由已知条件知,n个半圆柱型大 棚间有(n-1)个1米宽的空地,分析出n,r之间的关系,即2nr+(n-1)×1=99,再把r 用n表示出来,将总建设造价均用n表示,求出费用关于n的函数关系,再求其 取最小值时n的值.
(1)若对于所有的实数x,不等式恒成立,求m的取值范围;
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.
解析 (1)当m=0时,不等式mx2-2x-m+1<0可化为1-2x<0,显然对所有的实
数x,不等式不恒成立.∴m≠0.设f(x)=mx2-2x-m+1,
∵f(x)<0恒成立,∴
则
g g
(-1) 1 a 2a-2 (1) 1-a 2a-2
3a-1 a-1 0,
0,
解得a≤1 .
3
∴实数a的取值范围为
-
,
1 3
.
2023年高考数学(文科)一轮复习——基本不等式及其应用
第3节 基本不等式及其应用考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0).4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为－5.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式a＋b2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)x>0且y>0是xy＋yx≥2的充分不必要条件.2.(易错题)已知x＞2，则x＋1x－2的最小值是()A.1B.2C.2 2D.4 答案 D解析∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立.3.若x<0，则x＋1x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2 答案 D解析因为x<0，所以－x>0，x＋1x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋⎝⎛⎭⎪⎫－1x≤－2（－x）·⎝⎛⎭⎪⎫－1x＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.4.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.9B.18C.36D.81 答案 A解析因为x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.答案1515 2解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号.6.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2×2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值例1 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x ＞54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为________.(3)(2021·沈阳模拟)若0＜x ＜12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为________. 答案 (1)98 (2)5 (3)14解析 (1)x (3－2x )＝12·2x (3－2x )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝98， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号. (2)∵x ＞54，∴4x －5＞0， ∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5. 当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号. (3)∵0＜x ＜12， ∴y ＝x1－4x 2＝x 2（1－4x 2）＝124x 2（1－4x 2）≤12·4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2，即x ＝24时取等号，则y ＝x1－4x 2的最大值为14.角度2 常数代换法求最值例 2 (2022·江西九校联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 3a ＋3b 的最小值为________. 答案 5解析 因为a ＋b ＝1，所以b 3a ＋3b ＝b 3a ＋3（a ＋b ）b ＝b 3a ＋3a b ＋3，因为a ＞0，b ＞0，所以b 3a ＋3ab ＋3≥2b 3a ·3a b ＋3＝5，当且仅当b 3a ＝3a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立， 即b 3a ＋3b 的最小值为5. 角度3 消元法求最值例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 法一(换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 所以13×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22≥9－(x ＋3y )， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，则x ＋3y ≤－18(舍去)或x ＋3y ≥6(当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号)，故x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y 1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9＋3y21＋y＝3（1＋y）2－6（1＋y）＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥23（1＋y）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.感悟提升利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.训练1 (1)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x＜－1)，则()A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4(2)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的最小值为________. 答案 (1)A (2)6解析 (1)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x ＜－1，所以x ＋1＜0，－(x ＋1)＞0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立. 故f (x )有最小值4.(2)∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≤－2(舍)或a ＋b ≥6(当且仅当a ＝b ＝3时取等号). 故a ＋b 的最小值为6.考点二 基本不等式的综合应用例4 (1)(2022·河南名校联考)已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( ) A.14B.12C.22D.1(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)A (2)B解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径r ＝1，由直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，得|－1|a 2＋4b 2＝1，则a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b ，即a ＝22，b ＝24时等号成立，故ab 的最大值是14.(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1＝(a ＋1)2， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴(a ＋1)2≥9，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4.感悟提升 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.训练2 (1)若△ABC 的内角满足3sin A ＝sin B ＋sin C ，则cos A 的最小值是( ) A.23B.79C.13D.59(2)当x ∈(0，＋∞)时，ax 2－3x ＋a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析(1)由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－⎝⎛⎭⎪⎫b＋c322bc＝89b2＋89c2－29bc2bc＝89b2＋89c22bc－19≥2×89b×89c2bc－19＝79.当且仅当b＝c时等号成立.综上可得，cos A的最小值是79.(2)ax2－3x＋a≥0，则a≥3xx2＋1＝3x＋1x，x∈(0，＋∞)，故x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，故y＝3x＋1x≤32，故a≥32.考点三基本不等式的实际应用例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为AMBN一组相对的顶点，当AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6B.12C.18D.24答案 D解析设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cos A ＝x 2＋y 2－622xy ＝（x ＋y ）2－362xy －1＝32xy －1≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－1＝3225－1＝725， 当且仅当x ＝y ＝5时等号成立， 此时(cos A )min ＝725， 所以(sin A )max ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫7252＝2425，所以四边形AMBN 的最大面积为2×12×5×5×2425＝24，此时四边形AMBN 是边长为5的菱形.感悟提升 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨. 答案 20解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用为之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小.1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A.a ＋b ≥2ab B.a b ＋ba ≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.4 2 C.2 D.2 2答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.3.若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2答案 C解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤（a ＋b ）24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为4.4.已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0答案 D解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.5.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件答案 B解析 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x＝x8，即x ＝80时取等号.6.对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2 B.2 2C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2nm 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为2 2.7.(2022·河南顶级名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 6，3a 5，a 7成等差数列，若{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.4 B.9C.23D.32答案 D解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0，由a 6，3a 5，a 7成等差数列，可得6a 5＝a 6＋a 7，即6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 解得q ＝2(q ＝－3舍去)，由{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，可得16a 21＝a m a n ＝a 21·2m ＋n －2， 化简可得m ＋n ＝6，m ，n ∈N *， 则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n ＝2m ＝4时，上式取得等号. 8.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3 B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号， ∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.9.(2021·宜昌期末)某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y (单位：元)与月处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝12x 2－300x ＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月的垃圾处理量应为________吨.答案 400解析 由题意知，每吨垃圾的平均处理成本为y x ＝12x 2－300x ＋80 000x ＝x 2＋80 000x －300，其中300≤x ≤600，又x 2＋80 000x －300≥2x 2·80 000x －300＝400－300＝100，所以当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400吨时，每吨垃圾的平均处理成本最低. 10.(2022·兰州诊断)设a ，b ，c 均为正实数，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c ≥________. 答案 9解析 ∵a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.11.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.12.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________. 答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b2＝8a ＋b，即a ＋b ＝4时，等号成立. 故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.13.(2022·宜春调研)已知x >0，y >0，x ＋2y ＝3，则x 2＋3yxy 的最小值为( )A.3－2 2B.22＋1C.2－1D.2＋1答案 B解析 x >0，y >0，x ＋2y ＝3， 则x 2＋3y xy ＝x 2＋y （x ＋2y ）xy＝x y ＋2yx ＋1≥2x y ·2yx ＋1＝22＋1. 当且仅当x ＝2y 时，上式取得等号， 则x 2＋3yxy 的最小值为22＋1.14.(2022·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B.a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a ＋b ）－b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a －b ），在Rt △OCF 中，由勾股定理可得 CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12（a 2＋b 2）， ∵CF ≥OF ，∴12（a 2＋b 2）≥12(a ＋b )(a >0，b >0).故选D.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *， 则g (x )＝x ＋8x ≥42， 当且仅当x ＝22时等号成立， 又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。
专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲(新高考地区专用)(解析版)
专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤(a +a 2)2(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a +a 2)2(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【题型1 利用基本不等式求最值（拼凑法）】【例1】（2020•德阳模拟）已知x ，y 为正实数，则4x x+3y+3y x的最小值为（ ）A ．53B ．103C ．32D ．3【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 【解答】解：∵x ，y 为正实数， ∴4x x+3y+3y x=41+3y x+（1+3yx ）﹣1 ≥2√41+3y x(1+3yx )−1＝4﹣1＝3， 当且仅当(1+3yx )2=4即x ＝3y 时“＝”成立， 故选：D ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道基础题． 【变式1-1】（2020•天津模拟）设x ＞y ＞0，则x +4x+y +1x−y 的最小值为（ ） A ．3√2B ．2√3C ．4D ．3√102【分析】原式可变形为x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y]，然后根据基本不等式即可求出原式的最小值． 【解答】解：∵x ＞y ＞0， ∴x ﹣y ＞0，∴x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y ]≥2√2+√2=3√2，当且仅当12(x +y)=4x+y，12(x −y)=1x−y，即x =3√22，y =√22时取等号．故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式求最小值的方法，利用基本不等式时需说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．【变式1-2】（2021•浙江模拟）已知正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则a 2+1a+2b 2b+1的最小值是（ ）A ．94B ．73C ．174D ．133【分析】变形利用基本不等式即可得出结论． 【解答】解：∵正实数a ，b 满足a +2b ＝2, ∴a 2+1a +2b 2b+1=a +1a +2b +2﹣4+2b+1=1a +2b+1, =14(a +2b +2)(1a+2b+1)=14(1+4+2b+2a +2a b+1)≥14×(5+2√2b+2a ×2a b+1)=94, 当且仅当a =43，b =13时，取得最小值， 故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式1-3】（2021•和平区校级模拟）实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．32D ．83【分析】利用基本不等式得到ab 的范围，可解决此题． 【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，∴4＝a +b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤4． ∴a 2a+1+b 2b+1=a 2(b+1)+b 2(a+1)(a+1)(b+1)=a 2+b 2+ab(a+b)ab+a+b+1=(a+b)2−2ab+4abab+5=16+2ab ab+5=2(ab+5)+6ab+5=2+6ab+5∈[83，165）．∴最小值为83． 故选：D ．【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题． 【题型2 利用基本不等式求最值（常数代换法）】【例2】（2021•丙卷模拟）若a ＞0，b ＞0，且ab ＝a +b ，则4a +9b 的最小值为（ ） A ．25B ．5C ．26D ．13【分析】由ab ＝a +b 可得1a+1b =1，再由4a +9b 转化（1a+1b）（4a +9b ）可解决此题．【解答】解：由ab ＝a +b 可得1a +1b=1，又a ＞0，b ＞0，∴4a +9b =(4a +9b)(1a +1b )=13+9b a +4a b ≥13+2×√9b a ×4a b=13+12=25， 当且仅当9b a=4a b，且1a+1b=1，即a =52，b =53时，等号成立，所以4a +9b 的最小值为25，故选：A ．【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．【变式2-1】（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数m ，n 满足m （n ﹣1）＝4n ，则m +4n 的最小值是（ ） A ．25B ．18C ．16D ．8【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为m （n ﹣1）＝4n ，可得mn ﹣m ＝4n ，整理可得1=4m +1n， 所以m +4n ＝（m +4n ）（4m+1n）＝8+m n +16n m ≥8+2√m n ⋅16n m=16， 当且仅当m n=16n m时，即m ＝8，n ＝2时等号成立，所以m +4n 的最小值为16． 故选：C ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题． 【变式2-2】（2021•辽阳一模）已知a ＞0，b ＞0，a +4b ＝4，则4a+9b 的最小值为 ．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解即可． 【解答】解：因为4a+9b=14(a +4b)(4a+9b)=14(40+16b a+9a b)，16b a+9a b ≥2√16b a⋅9a b=24，当且仅当a ＝1，b =34时，等号成立．所以4a+9b≥16．故答案为：16．【点评】本题考查均值不等式的应用，考查运算求解能力，是基础题． 【变式2-3】（2021•红桥区二模）已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为 ．【分析】将a 2+4a+b 2+1b变形再代入a +b ＝1，利用基本不等式可得答案．【解答】解：已知正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则a 2+4a+b 2+1b=a +4a +b +1b =a +b +4a +1b =1+4a +1b =1+（a +b ）（4a +1b）＝1+5+ab +4b a ≥6+2√a b ⋅4b a=10， 当且仅当a b=4b a且a +b ＝1时，取等号，即a =23，b =13时取等号，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为10；故答案为：10．【点评】本题考查基本不等式的运用，属于基础题． 【题型3 利用基本不等式求最值（消元法）】【例3】（2021•浙江模拟）若正实数x ，y 满足1x +1y+x y=4，则x +1x +1y的最小值为 ．【分析】先由已知关系式求出y 的表达式，代入所求的关系式中化简，然后利用基本不等式即可求解． 【解答】解：由1x +1y+x y=4可得：x+1y=4−1x=4x−1x,所以y =x(x+1)4x−1, 则x +1x+1y =x +1x +4x−1x(x+1)＝x +x+1+4x−1x(x+1)=x +5x+1=(x +1)+5x+1−1 ≥2√(x +1)⋅5x+1−1=2√5−1,当且仅当x +1=5x+1,即x =√5−1时取等号， 此时x +1x+1y的最小值为2√5−1, 故答案为：2√5−1．【点评】本题考查了基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 【变式3-1】（2021•海曙区校级模拟）已知正数a ，b 满足1a +1b=2，则3b+1−a 的最大值为 ．【分析】利用已知的等式，将所求的式子进行消元，得到关于a 的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：因为1a+1b=2，所以a +b ＝2ab ，当a =12时，1b=0，不符合题意，所以b =a 2a−1(a ＞12)， 则3b+1−a =3a2a−1+1−a =2−(13a−1+3a−13)−13，因为a ＞12,则a ＞13，所以3a ﹣1＞0，则13a−1+3a−13≥2√13a−1⋅3a−13=2√33， 当且仅当13a−1=3a−13，即a =1+√33时取等号， 所以2−(13a−1+3a−13)−13≤2−2√33−13=5−2√33, 则3b+1−a 的最大值为5−2√33． 故答案为：5−2√33． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．【变式3-2】（2021•鄞州区校级模拟）若实数x ，y 满足2x 2+xy ﹣y 2＝1，则5x 2﹣2xy +2y 2的最小值为 ． 【分析】由已知2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1，而5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2，然后利用基本不等式即可求解，【解答】解：因为2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1， 令t ＝2x ﹣y ,则x +y =1t,则5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2=t 2+1t 2≥2√t2⋅1t 2=2, 当且仅当t 2=1t 2，即t ＝±1时取等号，此时5x 2﹣2xy +2y 2取最小值2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．【变式3-3】（2021•嵊州市二模）已知x ＞0，y ＞0，若x •（y +1）＝2，则x −1y的最大值为 ． 【分析】根据条件可得x −1y =x−x 22−x ，设t ＝2﹣x ，则x −1y =−（t +2t ）+3，然后利用基本不等式求出最大值即可．【解答】解：因为x ＞0，y ＞0，x •（y +1）＝2，所以y=2−xx，则x−1y=x−x2−x=x−x22−x，设t＝2﹣x，则由0＜x＜2，得0＜t＜2，所以x−1y=−(2−t)2+2−tt=−（t+2t）+3≤3−2√2，当且仅当t=2t，即t=√2时取等号，所以x−1y的最大值3﹣2√2．故答案为：3﹣2√2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．【题型4 基本不等式的综合（求参数）】【例4】（2021•广东模拟）当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8【分析】当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，只需m≤（x+4x−4）min，求出x+4x−4的最小值即可．【解答】解：∵x＞4，∴x﹣4＞0，∴x+4x−4=x﹣4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x＝6时取等号，∵当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤（x+4x−4）min＝8．∴m的取值范围为：（﹣∞，8]．故选：A．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．【变式4-1】（2020•藁城区校级模拟）若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4＜m2﹣m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【分析】将不等式x+y4＜m2﹣m有解转化为m2﹣m＞（x+y4）min即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：若不等式x +y 4＜m 2﹣m 有解，即m 2﹣m ＞（x +y 4）min 即可， ∵1x +4y=2，∴12x+2y =1，则x +y4=（x +y4）（12x +2y）=12+24+2xy +y8x ≥1+2√2xy ⋅y8x =1+2×√14=1+2×12=1+1＝2， 当且仅当2x y=y 8x，即y 2＝16x 2，即y ＝4x 时取等号，此时x ＝1，y ＝4，即（x +y 4）min ＝2，则由m 2﹣m ＞2得m 2﹣m ﹣2＞0，即（m +1）（m ﹣2）＞0， 得m ＞2或m ＜﹣1，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）， 故选：D ．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键． 【变式4-2】（2020•湖北模拟）若不等式1x +11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1x+11−4x 的最小值为9，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，x ∈（0，14），则1﹣4x ＞0，则1x+11−4x=44x+11−4x=[4x +（1﹣4x ）]（44x+11−4x）＝5+4(1−4x)4x +4x1−4x≥5+2×√4(1−4x)4x ×4x 1−4x=9，当且仅当1﹣4x ＝2x 时等号成立， 则1x +11−4x 的最小值为9，若不等式1x+11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，即式1x+11−4x≥m 恒成立，必有m ≤9恒成立，故实数m 的最大值为9； 故选：C ．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形，属于基础题． 【变式4-3】（2021•浙江模拟）已知x ＞0、y ＞0，且2x +1y=1，若2x +y ＞m 2+8m 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（﹣1，9）B ．（﹣9，1）C ．[﹣9，1]D ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）【分析】先把2x +y 转化为（2x +y ）（2x+1y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x +y ＞m 2+8m 恒成立求得m 2+7m ≤9，进而求得m 的范围． 【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +1y=1，∴（2x +y ）（2x+1y）＝5+2x y +2y x ≥5+2√2x y ⋅2yx=9，当且仅当x ＝3，y ＝3时取等号， ∵2x +y ＞m 2+8m 恒成立， ∴m 2+8m ＜9，解得﹣9＜m ＜1， 故选：B ．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力． 【题型5 基本不等式与其他知识综合】【例5】（2021•河北模拟）已知函数f （x ）＝x +21+e x ，若正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2，则2m+1n的最小值为（ ） A ．8B ．4C ．83D ．89【分析】直接利用函数的单调性和对称性的应用及基本不等式的应用求出结果． 【解答】解：函数f （x ）＝x +21+e x ， 所以f （﹣x ）＝﹣x +21+e −x ， 所以f （x ）+f （﹣x ）＝2．由于函数f （x ）＝x +21+e x 在定义域上单调递增， 故正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2， 故9﹣m ＝2n ， 所以m +2n ＝9， 所以2m+1n=19⋅（m +2n ）（2m +1n）=19(4+4n m +m n )≥19×(4+2√4)=89（当且仅当买m ＝2n 时，等号成立）． 故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，函数的单调性和对称性的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【变式5-1】（2021•金凤区校级一模）已知函数f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn ＞0，则1m +2n的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．4【分析】由对数函数的性质可求A （﹣2，﹣1），代入直线方程可得2m +n ＝4，从而有1m+2n=14（1m+2n）（2m +n ），利用基本不等式即可求解．【解答】解：f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx +ny +4＝0上， ﹣2m ﹣n +4＝0即2m +n ＝4， ∵mn ＞0， ∴m ＞0，n ＞0， ∴1m+2n=14（1m +2n ）（2m +n ）=14(4+n m +4m n )≥14(4+4)=2，当且仅当4m n=n m且2m +n ＝4即m ＝1，n ＝2时取得最小值2．故选：C ．【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，试题具有一定的综合性． 【变式5-2】（2020•济宁模拟）已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N *，满足a m a n 2＝a 42，则2m+1n的最小值为 ，等号成立时m ，n 满足的等量关系是 ．【分析】设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)，根据a m a n 2＝a 42，可得到m ，n 的关系式，然后结合基本不等式求解即可．【解答】解：设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)， ∵a m a n 2＝a 42，∴a m +2n ＝a 8，∴m +2n ＝8，m ，n ∈Z +． ∴2m+1n=18(m +2n)(2m+1n)=18(4+4n m+m n)≥18(4+2√4n m×m n)=1．当且仅当n ＝2，m ＝4时取等号，此时m ＝2n ． 故答案为：1，m ＝2n ．【点评】本题主要是考查了基本不等式的应用．注意适用条件的判断．属于中档题．【变式5-3】（2020•河南三模）存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列．若点A （1，m ）在直线ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，则1a+2b 的最小值为 ．【分析】运用两角差的正弦公式，化简可得y ＝2sin （x −π6），可得0＜m ≤2，讨论m 的范围，结合三角函数的图象和等差数列的定义，可得m ＝2，将A 代入直线方程，可得a +2b ＝2，再由乘1法和基本不等式即可得到所求最小值． 【解答】解：由√3sin x ﹣cos x ＝2（√32sin x −12cos x ）＝2sin （x −π6）， 存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列， 即有0＜m ≤2．若0＜m ＜2，由y ＝2sin （x −π6）的图象可得：直线y ＝m 与函数y ＝2sin （x −π6）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若m ＝2，即有x −π6=2k π+π2，即为x ＝2k π+2π3，k ∈Z ， 可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π， 则m ＝2，由点A （1，2）在直线ax +by ﹣2＝0上， 可得a +2b ＝2，a ，b ＞0， 即b +12a ＝1， 则1a +2b =（1a+2b）（b +12a ）＝2+12+b a +ab≥52+2√b a ⋅ab =52+2=92．当且仅当a ＝b =23时，取得最小值92．故答案为：92．【点评】本题考查最小值的求法，注意运用基本不等式，运用乘1法，同时考查三角函数的化简，以及等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题． 【题型6 利用基本不等式解决实际问题】【例6】（2021•湖南模拟）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．【分析】先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．【解答】解：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x ，y 2=k2x∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20， ∴运费与仓储费之和为5x +20x∵5x +20x ≥2√5x ×20x =20，当且仅当5x =20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元 故答案为：2，20【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，正确确定函数解析式是关键．【变式6-1】（2020秋•浙江期中）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为y =x 210−30x +4000．问：（1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润； （2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成．【分析】（1）根据题意得出z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250），利用二次函数求解即可． （2）得出函数式子W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250），运用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）年产量为x ，年利润为z 万元，根据题意得： z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250）， 当x ＝230时，z max ＝1290（万元），（2）年产量为x 吨时，每吨的平均成本为W 万元，为y =x 210−30x +4000．∴W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250）， ∵x +40000x≥2√40000=400，（x ＝200等号成立）， ∴x ＝200时，W 最小=110×400﹣30＝10．故年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．【点评】本题考查了函数，基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．【变式6-2】（2020秋•虹口区期末）某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m 2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【分析】设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x+48，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x +48≥2√8x ⋅7200x+48＝528， 当且仅当8x =7200x ，即x ＝30（m ）时取等号，S min ＝96（m 2），此时1200x=40（m ）， 所以矩形停车场的南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，才能使人行通道占地面积最小， 最小面积是528m 2．【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．【变式6-3】（2020秋•大丰区校级期末）合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ．（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值．【分析】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，可得整个矩形广告面积，再利用基本不等式，即可求得最值．（2）由题意得b ≥2a ，b =20000a ，求得a 的范围，由（1）可得S ＝30（a +40000a）+60600，函数确定为减区间，即可得到何时取得最小值．【解答】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝20000，所以b=20000a，广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），广告的面积S＝（a+20）（3b+30）＝30（a+2b）+60600＝30（a+40000a）+60600≥30×2√a×40000a+60600＝72600，当且仅当a=40000a，即a＝200时，取等号，此时b＝100．故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm，时可使广告的面积最小为72600cm2．（2）由题意得，b≥2a，b=20000a，解得0＜a≤100，由（1）可得S＝30（a+40000a）+60600，当a＝100时，广告的面积最小为75600cm2．故当广告矩形栏目的高为100cm，宽为200cm，可使广告的面积最小为75600cm2．【点评】本题考查函数模型的构建，基本不等式的运用，解题的关键是正确表示整个矩形广告面积，属于中档题．。
高考数学专题复习7.3基本不等式及其应用-模拟练习题(附答案)
7.3基本不等式及其应用基础篇考点基本不等式及其应用1.(2023届安徽示范高中联考二,7)下列几个不等式中,不能取到等号的是()A.√x1√x≥2(x>0)B.|x|+2|x|≥2√2(x≠0)C.-4x −x16≥1(x<0)D.√x2+5√x2+5≥2(x∈R)答案D2.(2021云南曲靖第二中学二模,3)已知a,b,c∈(0,+∞),3a-2b+c=0,则√acb的()A.最大值是√3B.最大值是√33C.最小值是√3D.最小值是√33答案B3.(2021昆明一中模拟,9)函数y=ln x+1lnx的值域为()A.(-∞,-2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.[-2,2]答案C4.(2021新疆巴州第二中学模拟,11)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图所示,点F在半圆O上,点C在直径AB 上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为()A.a+b2≥√ab(a>0,b>0)B.a2+b2≥2√ab(a>0,b>0)C.2aba+b≤√ab(a>0,b>0)D.a+b2≤√a2+b22(a>0,b>0)答案D5.(2022陕西省西安中学一模,8)下列结论正确的是()A.当x>0且x≠1时,lg x+1lgx≥2B.x<0时,6+x+4x的最小值是10C.2√x2+45 2D.当x∈(0,π)时,sin x+4sinx的最小值为4答案C6.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.答案147.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是.答案 48.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为.答案4√3综合篇考法利用基本不等式求最值考向一配凑法求最值1.(2022山西怀仁一中二模,6)函数y=3x+43x−1(x>13)的最小值为()A.8B.7C.6D.5 答案D2.(2022江西十七校期中,8)函数f(x)=4x+2x+1+52x+1的值域为()A.[5,+∞)B.[4,+∞)C.(5,+∞)D.(4,+∞)答案B3.(2022南昌八一中学三模,8)已知实数a,b满足aa+1+bb+1=1,且a>2b,则a2+4b2a−2b的最小值为()A.1B.2√2C.4D.4√2答案C4.(2022陕西咸阳模拟,9)已知3a=5b=√15,则下列选项错误的是()A.a+b=2abB.ab>1C.log2a+log2b>0D.(a−12)2+(b−12)2<12答案D5.(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a +12b+8a+b的最小值为.答案 46.(2020江苏,12,5分)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.答案457.(2023届鄂西北六校期中,15)已知-3<x<0,则f(x)=x√9−x2的最小值为.答案-92考向二常数代换法求最值1.(2023届山西临汾期中,6)已知a>0,b>0,a+1b =2,则4a+b的最小值是()A.72B.4 C.92D.5答案C2.(2022哈尔滨尚志中学月考二,8)若实数x+3y=3(x>1,y>13),则xx−1+3y3y−1的最小值为()A.6B.4C.3D.2答案A3.(2022江西赣州期末,8)已知函数y=a x-1+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点A,且点A在直线mx-y+n=0(m>0,n>0)上,则1m +1n+1的最小值为()A.4B.3C.2D.1 答案D4.(2022天津河北一模,14)已知a>0,b>0,且a+b=1,则aa+1+bb+1的最大值为.答案23考向三两次及以上使用基本不等式求最值1.(2021天津,13,5分)若a>0,b>0,则1a +ab2+b的最小值为.答案2√22.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则a 4+4b4+1ab的最小值为.答案 4专题综合检测一、选择题1.(2023届安徽蚌埠质检一,2)若a,b∈R且ab≠0,则“ab<1”是“a<b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D2.(2020浙江,3,4分)若实数x,y满足约束条件{x−3y+1≤0,x+y−3≥0,则z=x+2y的取值范围是()A.(-∞,4]B.[4,+∞)C.[5,+∞)D.(-∞,+∞)答案B3.(2023届皖优联盟阶段测试一,6)下列说法正确的是()A.若a>b,c<0,则a2c<b2cB.若a>b,则a3c2>b3c2C.若a<b<0,则a2>ab>b2D.函数y=2√x2+42√2答案C4.(2023届江西贵溪实验中学月考一,6)已知关于x的不等式mx−1x+3>0的解集为(m,n),则m+n的值为()A.-5B.-103C.-4D.-5或-103答案B5.(2022河南开封模拟,6)一家黄金店铺使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客,若顾客实际购得的黄金为m g,则() A.m>10 B.m=10C.m<10D.以上都有可能答案A6.(2022安徽一模,8)曲线y =2x上存在点(x ,y )满足约束条件{x −y −3≤0,x +y −3≥0,y ≤m,则m 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B7.(2023届山西晋中平遥二中月考,8)已知a ,b ,c ∈R 且a +b +c =0,a >b >c ,则a 2+c 2ac 的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(-∞,-2]C.(−52,−2] D.(2,52] 答案 C8.(2022安徽协作体联考,9)若a >0,b >0,4ab +b -1=0,则a +b 的最小值为 ( )A.34 B.1 C.√17−18 D.√17+18答案 A9.(2022河南商丘模拟,9)若正实数a ,b 满足a >b ,且ln a ·ln b >0,则下列不等式一定成立的是( )A.log a b <0B.a -1b >b −1a C.2ab +1<2a +b D.a b -1<b a -1 答案 D10.(2022陕西咸阳二模,11)若x >0,y >0且x +y =2,则下列结论中正确的是 ( )A.x 2+y 2的最小值是1B.xy 的最大值是14C.2x +1y 的最小值是4√2 D.√x +√y 的最大值是2 答案 D11.(2022兰州西北师大附中期中,11)若关于x 的不等式(ax -1)2<x 2恰有2个整数解,则实数a 的取值范围是( )A.{a|−32<a ≤−43或43<a ≤32} B.{a|−32<a ≤−43或43≤a <32} C.{a|−32≤a <−43或43<a ≤32} D.{a|−32≤a <−43或43≤a <32} 答案 B12.(2022全国甲,12,5分)已知a =3132,b =cos 14,c =4sin 14,则 ( )A.c >b >aB.b >a >cC.a >b >cD.a >c >b 答案 A 二、填空题13.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 答案 3014.(2022江西新余月考,13)设0<m <12,若2m +21−2m ≥k 恒成立,则k 的最大值为 . 答案 6+4√215.(2022豫北名校联盟期中联考,15)在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A ={(x ,y )|x +y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B ={(x +y ,x -y )|(x ,y )∈A }的面积为 . 答案 116. (2022河南名校联盟11月月考,16)已知a >0,b ≠0,且a +|b |=3,则9a +b+3|b|的最小值为 . 答案 3+2√3。
考点12 基本不等式(新高考地区专用)(原卷版)
考点12 基本不等式一．基本不等式公式221.a R,b R,a b 2ab a b =2.a 0,b 0,a b a b =∈∈+≥=>>+≥=，当且仅当取“”当且仅当取“”二．几个重要结论 (1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (2)b a ＋ab ≥2(ab >0)． (3)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 三．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)考向一 公式的直接运用【例1（2020·辽宁高三期中）已知0a >，那么4a a+的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5知识理解考向分析【举一反三】1．（2020·河北高三月考）已知正数a，b满足1ab=，则49a b+的最小值为_______.2．(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为。
3．(必修5P100练习T1改编)设a>0，则9a＋1a的最小值为( )A．4 B．5C．6 D．7考向二配凑型【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）当04x<<时，则(82)y x x=-的最大值为（）A．2B．4C．6D．8（2）（2020·全国高三专题练习）函数131y xx=+-(1)x>的最小值是（）A．4B．3C．D．3（3）（2020·四川省阆中东风中学校高三月考）若正数a，b满足1a>，1b>，且3a b+=，则1411a b+--的最小值为（）A．4 B．6 C．9 D．16(4)（2021·全国高三专题练习）已知f(x)＝221x xx-+，则f(x)在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A．12B．43C．－1 D．0【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）设02x<<，则函数y=）A．2 B．2C D2．（2020·全国高三专题练习）已知42y xx=++，则y的取值范围为（）A．(,6][2,)-∞-⋃+∞B．(,4][4,)-∞-+∞C．(,2][2,)-∞-+∞ D．[2,)+∞3．若13x<<，则()13x x-取最大值时x的值是。
基本不等式及其应用(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
已知
，求
+
的最小值；解答过程：
≠
0
+
①
② 求函数 =
2 +5
2 +4
A．0个
2
即
−1
B．1个
≥2
的最小值；解答过程：可化得 =
③ 设 > 1，求 = +
当且仅当 =
2
的最小值；解答过程：
−1
×
= 2；
2 + 4 +
=+
= 2 时等号成立，把 = 2代入 2
【答案】B
【解析】由 + 2 − 2 = 0，得 =
2
，所以 4
+2
+=
8
+2
+=
4 2 − 2，
当且仅当 =
故选：B．
2
8
,
+2 +2
= + 2，即 =
2
2
, = 2 2 − 2 取等号．
8
��
+2
+ ( + 2) − 2 ⩾ 2
8
+2
⋅ ( + 2) − 2 =
=
++
模 型 四 ： ( − ) =
=时等号成立． Nhomakorabea ≤
(
+
(−)
≤
⋅
> , > )，当且仅当 =
+−
（
2021年高考数学(新高考专版)一轮专题复习：基本不等式(学生版+解析版)
第03讲 基本不等式一、 考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．二、 知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.6.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.三、 经典例题考点一 不等式的性质【例1】 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A.ab >ac B.c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④【解析】(1)由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立.(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.规律方法 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 考点二 利用均值不等式【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【解析】0x，0y >且121x y+=，则()12422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2y x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为8. 故选：C.【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =时，等号成立. 故选：D【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知ABC 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC 周长的取值范围为（ ） A． B．(4,C．4+D．(4+【答案】C【解析】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin a R A ==ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ， c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=，即4a b c <+++≤.故ABC 周长的取值范围为4+.故选：C【例2-4】（2020·全国高三月考）若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163 D ．173【答案】C【解析】因为3log (2)1a b +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C.规律方法 在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. 考点三 一元二次不等式的解法【例3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则AB =（ ） A ．1,0,1,2B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--【答案】A 【解析】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A.【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.【例3-3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C【解析】∵()2020sin2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x xf t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤， 故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【例3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5(30)2R -万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需530160%1282R R ⎛⎫-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭， 整理得212320R R -+≤，解得48R ≤≤，因此，实数R 的取值范围是[]4,8. 故选A.【例3-5】（2020·江苏省高三一模）已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+【解析】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()33m n m n n m+=++≥+当且仅当m m n mn⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即1,m n =+=.故答案为：3+【例3-6】（2020·河北省邢台一中高三月考（理））在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________. 【答案】4【解析】由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4.[方法技巧]1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.3.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.四、 课时作业1．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．92．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222b ac a c +=+，且2a c +=，则ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(]2,3B ．[)3,4C ．(]4,5D ．[)5,63．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16B ．24C ．50D ．254．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<5．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -6．已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（ ）A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．1[,0]2-8．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-19．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（ ） A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<12．（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A．3a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭C22a b ≥+ D≥13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 14．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________. 15．已知正数a 、b 满足2a b +=，则12a b a b +++的最大值为______.16．ABC ∆中，23AB AC ⋅=若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.17．设集合{}13A x x x =+-≤，413B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC △ABC 的周长的小值． 19．（1）已知2x >，求12y x x =+-的最小值； （2）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值.第03讲 基本不等式五、 考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．六、 知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.6.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.七、 经典例题考点一 不等式的性质【例1】 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A.ab >ac B.c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④【解析】(1)由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立.(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.规律方法 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 考点二 利用均值不等式【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【解析】0x，0y >且121x y+=，则()12422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当2y x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为8. 故选：C.【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =时，等号成立. 故选：D【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知ABC 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC 周长的取值范围为（ ） A． B．(4,C．4+D．(4+【答案】C【解析】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin a R A ==ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ， c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=，即4a b c <+++≤.故ABC 周长的取值范围为4+.故选：C【例2-4】（2020·全国高三月考）若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163 D ．173【答案】C【解析】因为3log (2)1a b +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C.规律方法 在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. 考点三 一元二次不等式的解法【例3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则AB =（ ） A ．1,0,1,2B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--【答案】A 【解析】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A.【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.【例3-3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C【解析】∵()2020sin2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x xf t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤， 故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【例3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5(30)2R -万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需530160%1282R R ⎛⎫-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭， 整理得212320R R -+≤，解得48R ≤≤，因此，实数R 的取值范围是[]4,8. 故选A.【例3-5】（2020·江苏省高三一模）已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+【解析】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()33m n m n n m+=++≥+当且仅当m m n mn⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即1,m n =+=.故答案为：3+【例3-6】（2020·河北省邢台一中高三月考（理））在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________. 【答案】4【解析】由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4.[方法技巧]1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.3.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.八、 课时作业1．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】∵3613a b +=（36a b+）（a +2b ） ＝13(366b aa b+++12)≥13=9 等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等 所以36a b+的最小值为9． 故选：D ．2．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222b ac a c +=+，且2a c +=，则ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(]2,3 B ．[)3,4 C ．(]4,5 D ．[)5,6【答案】B【解析】因为2a c +=，根据三角形的性质可得，2b a c <+=，又由222b ac a c +=+得222()3434312a c b a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，即1b ≥， 故12b ≤<，所以ABC 周长的取值范围是34a b c ≤++<. 故选：B.3．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D【解析】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4mm n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n+的最小值为25， 故选D ．4．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【答案】A【解析】已知11ln 202x ln ==-<,122 x e -=()0,1,33ln x e x -=>0,31x ∴> 进而得到123x x x <<. 故答案为A.5．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -【答案】D【解析】10∴二项式展开式为：(10)113211012kk k k T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设系数绝对值最大的项是第1k +项，可得11101011101011221122kk k k k k k k C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 可得11112101112k k k k -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得81133k ≤≤*k N ∈ ∴3k =在10的展开式中， 系数的绝对值最大的项为：3711310523241215x x T C x -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎭- ⎪⎝⎭⎝故选：D.6．已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（ ） A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠. 两边同时除以2y ，有：21120x x y y y⎛⎫⎛⎫+-=>⎪⎪⎝⎭⎝⎭.所以120x x y y⎛⎫⎛⎫+->⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2x y >或1x y <-.故选：C7．已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．1[,0]2-【答案】D【解析】作出函数图象：结合图象可得，要使|()|2f x ax ≥恒成立， 当x ＞0，必有0a ≤，当0x ≤时，只需22x x ax -≥，即12x a -≤恒成立， 所以12a ≥-综上所述1[,0]2a ∈- 故选：D8．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C【解析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，21f x ，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C.9．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D【解析】因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D.10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.11．（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（ ） A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<【答案】BC【解析】∵正数a ，b 满足4a b +=，∴242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，即ab 的最大值为4t =，当且仅当2a b ==时，取等号.∵2340x x +-<的解集为M ，∴{}|41M x x =-<<. 故选：BC.12．（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A．3a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ C22a b ≥+ D≥ 【答案】AD【解析】对于A，3a b ++≥≥<，当且仅当2a b ==时等号同时成立；对于B ，()11224a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号；对于C()2222a b a b a b a b ++≥≥=++，当且仅当a b =时取等号；对于D ，当12a =，13b=1===><. 故选：AD.13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.14．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________.【答案】())1,1-⋃+∞【解析】由已知，224,4()44,4x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，(3)3f =，若(2)(3)3f a f +>=，则224(2)4(2)3a a a +≥⎧⎨+-+>⎩或2(2)4(2)4(2)3a a a +<⎧⎨-+++>⎩解得a >11a -<<，所以不等式(2)(3)f a f +>的解集为())1,1-⋃+∞.故答案为：())1,1-⋃+∞15．已知正数a 、b 满足2a b +=，则12a ba b +++的最大值为______.【答案】75- 【解析】正数a 、b 满足2a b +=，()()125a b ∴+++=.1122121211212121212a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭，由基本不等式得()()12125121212a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭()21233321a b b a ++=++≥+=+++123125a b ++≥++，当且仅当)21b a +=+时，等号成立，3721255a b a b +-∴+≤-=++，因此，12a b a b +++.16．在面积为2ABC ∆中，23AB AC ⋅=若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.【答案】3-【解析】由△ABC 12|AB ||AC |sin ∠BAC所以|AB ||AC |sin ∠BAC ，①又23AB AC ⋅=即|AB ||AC |cos ∠BAC =②由①与②的平方和得:|AB ||AC |= 又点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =， 所以()()2132BN CM BA AN CA AM AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22421332AB AC AC AB =⋅--222221832183233233AC AB AC AB =--≤-⋅=-当且仅当22212332AC AB AB AC =⇒=时，取等号，即BN CM ⋅--17．设集合{}13A x x x =+-≤，413B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值. 【解析】（1）先解不等式13x x +-≤.①当0x ≤时，由13x x +-≤得1213x x x -+-=-+≤，解得1x ≥-，此时10x -≤≤； ②当01x <<时，由13x x +-≤得113x x +-=≤，成立，此时01x <<； ③当1x ≥时，由13x x +-≤得1213x x x +-=-≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 所以，不等式13x x +-≤的解集为[]1,2A =-. 解不等式413x >+，即411033x x x --=<++，解得31x -<<，()3,1B ∴=-. 因此，[)1,1⋂=-A B ； （2）不等式220x ax b ++<的解集为B ，3∴-、1是方程220x ax b ++=的两实根.根据韦达定理得312312ab ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⋅⎪⎩，解得4a =，6b =-.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin (2cos )A a B =+． （1）求B ；（2）若△ABC△ABC 的周长的小值． 【解析】（1sin (2cos )A a B =+，()sin sin 2cos B A A B =+．因为(0,)A π∈，所以sin A ＞0cos 2B B -=，所以2sin()26B π-=，因为(0,)B π∈，所以62B ππ-=，即23B π=． （2）依题意4=ac ＝4．所以4a c +≥=，当且仅当2a c ==时取等号．又由余弦定理得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a ＝c ＝2时取等号． 所以△ABC的周长最小值为4+． 19．（1）已知2x >，求12y x x =+-的最小值； （2）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值.【解析】（1）2x >，20x ->，而11222422y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当()1222x x x -=>-，即当3x =时，该函数取得最小值4； （2）102x <<，102x ∴->，则211122216x x y x x ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =-时，即当14x =时，该函数取得最大值116.。