初中函数解析式与图像画法

初中函数解析式及图象画法
一、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

1、 一次函数：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) 说明： ① k ≠0 的常数
② x 指数为1 ③ b 取任意实数
④自变量x 的取值为一切实数。

【x 的取值范围(定义域)：x ∈R 】 ⑤函数y 的取值是一切实数。

【y 的取值范围(值域)：y ∈R 】 2、反比例函数：x
k
y =
（k 为常数，k ≠0） 说明： ① 常数k 不为零（也叫做比例系数k ） ②分母中含有自变量x ，且指数为1. ③自变量x 的取值为一切非零实数。

【x 的取值范围(定义域)：{x ∈R ∣x ≠0}】（反比例函数有
意义的条件：分母≠0）④函数y 的取值是一切非零实数。

【y 的取值范围(值域)：{y ∈R ∣y ≠0}】
3、二次函数：一般式：2y ax bx c =++（0a ≠，a b c ，，是常数）
： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
二、函数图象的常规画法：（描点法画函数图形的一般步骤）
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数
值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

1、一次函数y=kx+b 图像（直线）的画法：两点法
① 计算必过点（0，b ）和（-k b ，0）[当x=o,时，y= b ，过点（0，b ）；当y=o,时，x=-k
b
过点（-
k
b ，0）]
② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的直线）
2、反比例函数x
k
y =图像（双曲线）的画法：---五点绘图法：
①列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的曲线）
3、二次函数2y ax bx c =++图象（抛物线）的画法---五点绘图法：
① 配方变形：2
2244,-2424b ac b b ac b y ax bx c a a a a
--=+++对于二次函数经过配方变形为顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，
② 确定三特征：开口方向（a 正朝上；b 负朝下）；)2x b a
对称轴(直线 =-；
2
4-24b ac b a a - 其顶点坐标为（，
） ③ 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
④ 选取五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，
、以及()0c ，关于对称轴对称的点b
c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（212,=0x x ax bx c ++是方程的解,若与x 轴没有交点，
则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点（无/有），与y 轴的交点.
画图
步
骤： 1列表
【列表中，
（1,1）点在正中间是对称点；另外4点关于y=x 对称。

需注意a 与b 不应相距太近】
（1/b,b ）（1/a ，a ）（1,1）（a ，1/a ）（b ，1/b ）
2描点（特征点）
（3对以上）
3连线
（图像：双曲线） （先做 x>0 的图像，然后再作 x<0 的部分）
反比例函数解析式 x 的取值 -2 -1
12- 12
1 2
直角坐标系中描出6点 从左到右，依次连结6点
x k
y =
k 2
- k 1
-
（-k ）
k 12
-
（-2k ）
k 12
（2k ）
k 1
（k ）
k 2
（-2，
k 2
-）（-1,-k ，）
（
1
2-，-2k ）（1
2
，2k ） （1，k ）（2，k
2
）
例
子
1y x -=
k=-1
-1122=-
-111
=- (2)(1)2
-⨯-=
2(1)2
⨯-=-
-1
12
- （-2，
12
）（-1,1，） （12
-，2） （1
2
，-2） （1，-1）
（2，12
-
）
练习1：
2y x -=
k=
练习2：223
(1);(2);(3);y y y x x x
-===
五点绘图法，画二次函数图象（抛物线）
画图步骤：
二次函数解析式
例子
x
y
2y ax bx c =++ 222y x x =++ 2-41y x x =+
计算数据
a= ,b= ,c= 2b a = ； 244ac b a
-= -b
a
=
a= 1 ,b= 2 ,c= 2 ；21221
b a ==⨯;
22441221441
ac b a -⨯⨯-==⨯
2
-
-=-21
b a = a= 1 ,b= -4 ,c= 1 ；-4
-2221b a ==⨯;
()2
2
411-443441
ac b a ⨯⨯--==-⨯ -4
-
-=41
b a = 1、配方变形 22424b a
c b a a
-+
y=a(x+)
21+y=(x+1)
23-y=(x-2)
2、开口方向
⑴a ＞0开口朝上； ⑵a ＜0)，开口朝下
a=1＞0，开口朝上
a=1＞0，开口朝上
3、顶点坐标 24-24b ac b a a -（，）
（-1，1）
（2，3）
4、对称轴
2x b a
直线 =-
1x 直线 =- 2x 直线 =
5、与y 轴的交点: （当x=0时，y= ） ()0c ，
()02，
()01，
6、()0c ，关于对称轴对
称的点
b c a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， ()22-，
()41，
7、计算△= ，判
断：
①△＞0,与x 轴有两个交点，继续第8步 以下两种情况，继续第9步：
②△=0,与x 轴只有一个交点，即为顶点； ③△＜0,与x 轴无交点
24b ac ∆=-=
224241240
b a
c ∆=-=-⨯⨯=-< 无实数根，即无交点
()22
44411164=120
b a
c ∆=-=--⨯⨯=-> 有两个不同的实数根，即有两交点,
8、①时，与x 轴的两个交点: （当y=0时，x 1= ,
x 2= ）
21224=22-4=
22b b b ac x a a b b b ac x a a
-+∆-+-=--∆--=
()10x ，，()20x ，
()()12--4+124+23
===2+3
2212
--4-12==2-3
221b x a b x a -+∆=
⨯--∆=⨯ ()()
2+
302-30，，，
9、②③时，与x 轴有1个或0个交点为，则取一组关于对称轴对称的点
与x 轴无交点：则取两组关于对称轴：1x 直线 =-对称的点（-3，6）和（1，6）
大致图象：抛物线。