高中数学必修四正弦余弦函数图像与性质
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正弦、余弦、正切函数图象及其性质
函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。
2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。
当ω＜0时，要特别注意。
如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。
3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
x 10, 3 2 , 0, 2 , 3
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
人教版高中数学必修4A版正弦函数余弦函数的图像课件
（ 3 /2 ，-1），（2 ，0）
五个点：
x
y
0
0
y
π 2
π
3π 2
2π
1
0
-1
0
y=sinx(x∈[0,2π])
0
x
思考：你能根据诱导公式，以正弦函数的图 象为基础，通过适当的变形得到余弦函数的 图象吗？ sin(π/2+x)=cosx
y
y=cosx
y=sinx
0
x
余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平行移动/2个单位长度而得到
y=sinx
x
y=cosx y=-cosx
例1.画出下列函数的图象 (1)y=1+sinx，(x∈[0,2π]) (2)y=-cosx ，(x∈[0,2π]) y
0
1
π 2
π
3π 2
2π
0
-1
0
1
-1
0
-1
0
-1
y=cosx
0 x
从图象变换的角度出发， 利用y=sinx的图象如何得 到y=1+sinx的图象的？
y=f(x)────→y=-f(x)
y=f(x)────→y=-f(-x)
一、复习引入
三角函数线：1、三角函数的一种几何表示法；
2、用有向线段的长度来表示三 角函数值的大小，方向表示三角 函数的符号的一种方法。
一、复习引入
正弦线、余弦线：
设任意角的终边与单位圆相交于点P，过P作X 轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP叫做角的 正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线。
y=-cosx
三、小结
通过本节学习，要了解如何利用单位圆中
的正弦线作正弦函数的图象，并在此基础上由
高中数学必修四《正弦函数、余弦函数的图像》PPT
2
2
-1
3
2
x
2
〖练习 〗 画出函数y=-cosx，x[0, 2]的简
图.
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
0
1
0
-1
y
1
o
2
2
-1
3
2
x
2
y= - cosx，x[0, 2]
归纳与整理
1. 正弦曲线、余弦曲线
几何画法 五点法(画简图)
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
其中“五点法”最常用，要牢记五个关键点的 坐标。
课堂延伸 思考1、你能否从正弦函数、余弦函数 的图象发现函数的哪些性质呢？
思考2、在同一坐标系中画出函数 y=sinx ，x∈[0,2π]与y=cosx ，x∈[0,2π] 的图象，你还能发现什么？
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) 2 ,0)
x
3
0
2
2
2
sinx
0
1
0
-1
0
【正弦函数、余弦函数的图象】
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
正弦函数的图象
关系？
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象 y
-4 -3
正弦函数余弦函数的图像和性质
函数 y sin x, x R 的图象。
y
1_
4 3 2 o
_
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
2
3
正弦曲线
4 x
3.函数 y cos x, x R 的图象:
由诱导公式 y cos x sin( x )可以看出：
余弦函数
y
cos
x,
x
R
与函数
2
y
sin(
x
2
),
x
R
是同一个函数。余弦函数的图象可通过将正弦曲线向左
1 0 1 2 3
y
y x2 2x 3 0 1 0 3
(2) 描点 (3)连线
1
.. 2 1 0 1. 2 x
返回
1.能否用描点法作函数 y sin x, x 0,2 的图象?
只要能够确定该图象上的点 (x,sin x) 的坐标，就可以
x 用描点法作出函数图象。而该图象上点的坐标可通过
的值查三角函数表得到。
故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
3、y 2sin( 1 x ) x∈R
26
解：令 z 1 x ，那么x∈R必须并且只要
26
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
于
z 2
1
x
2
1 (x 4 ) 。所以自变量z只
图象的最高点(
2
,1)
y sin x, x 0,2 图象与x轴的交点(0,0)( ,0) (2 ,0)
图象的最低点(
3 2,
1)
图象的最高点(0,1)(2 ,1)
y cos x, x0,2
y
1_
4 3 2 o
_
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
2
3
正弦曲线
4 x
3.函数 y cos x, x R 的图象:
由诱导公式 y cos x sin( x )可以看出：
余弦函数
y
cos
x,
x
R
与函数
2
y
sin(
x
2
),
x
R
是同一个函数。余弦函数的图象可通过将正弦曲线向左
1 0 1 2 3
y
y x2 2x 3 0 1 0 3
(2) 描点 (3)连线
1
.. 2 1 0 1. 2 x
返回
1.能否用描点法作函数 y sin x, x 0,2 的图象?
只要能够确定该图象上的点 (x,sin x) 的坐标，就可以
x 用描点法作出函数图象。而该图象上点的坐标可通过
的值查三角函数表得到。
故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
3、y 2sin( 1 x ) x∈R
26
解：令 z 1 x ，那么x∈R必须并且只要
26
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
于
z 2
1
x
2
1 (x 4 ) 。所以自变量z只
图象的最高点(
2
,1)
y sin x, x 0,2 图象与x轴的交点(0,0)( ,0) (2 ,0)
图象的最低点(
3 2,
1)
图象的最高点(0,1)(2 ,1)
y cos x, x0,2
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦函数、余弦函数的图像和性质
-
图象的最高点 图象的最高点 与x轴的交点 轴的交点
x
1-
( 0 ,1 ) (2π ,1)
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,−1) 图象的最低点
-
应用“ 例1.应用“五点法”作图。 应用 五点法”作图。
π
π
例2.分别利用函数的图像和三角函数 先两种方法，求下列不等式的解集：
1 (1) sin x ≥ ; 2 1 5π (2) cos x ≤ (0 < x ≤ ); 2 2
例3.判断y = cos x + 1, x ∈ [0,2π ]与下列 直线交点的个数： 3 （ ）y = 2; (2) y = ; (3) y = 0. 1 2
图
y
1-
数、 图
数
图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
π
-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
图象的最低点 (32 ,−1 图象的最低点 π )
简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
图象的最高点 图象的最高点 与x轴的交点 轴的交点
x
1-
( 0 ,1 ) (2π ,1)
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,−1) 图象的最低点
-
应用“ 例1.应用“五点法”作图。 应用 五点法”作图。
π
π
例2.分别利用函数的图像和三角函数 先两种方法，求下列不等式的解集：
1 (1) sin x ≥ ; 2 1 5π (2) cos x ≤ (0 < x ≤ ); 2 2
例3.判断y = cos x + 1, x ∈ [0,2π ]与下列 直线交点的个数： 3 （ ）y = 2; (2) y = ; (3) y = 0. 1 2
图
y
1-
数、 图
数
图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
π
-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
图象的最低点 (32 ,−1 图象的最低点 π )
简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
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2
32
5
6
O1
7
6
4
3
3
2
y
Байду номын сангаас
终点连结起来
3
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
●
2 0 2 5
●
x
11
6 32 3 6
●
●
5
6
-1
●
●
●
3
终边相同角的三角函数值相等
即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y sin x (x [0, 2 ]) 利用图象平移
y sin x, x R
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
二、余弦函数y=cosx的图象
y
余弦曲线
1
x
-1
y cos x sin( x)
2
余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移
2
个单位长度而得到．
正弦曲线：y sin x x R y
正弦函数、余弦函数的图象
X
温故
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
-1
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有 向线段！
一、正弦函数y=sinx的图象
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描点：用光滑曲线 将这些正弦线的
x
用“五点法”画出函数y= cosx，x[0, 2]的简图
令2x=X用整体替换思想
用“五点法”画出函数 y= cos2x，x[0, 2]的简图：
练习： 画出函数y= cos2x，x[0, 2]的简图：
x
0
4
2x
0
2
2
3 4
3
2
2
cos2x 1
0
-1
0
1
y
y= cos2x，x[0, 2]
1
o
2
1-
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 y cos x, x [0, 2 ] 的图象上, 起关键作用的点有：
最高点：
(0,1) (2 ,1)
最低点： ( , 1)
与x轴的交点： ( 2 , 0)
(3 , 0)
2
用五点法画出正弦函数、余弦函数在[0, 2]的简图
课后作业：用“五点法”作下面函数的图象。 1、y=sin(x+1), x∈ [ 0,2π] 2、y=2sinx, x ∈[ 0,2π] 3、y=cos2x, x ∈[ 0,2π]
关键是把“五点”找准，并想一想 找 “五点”有什么规律？
2
-1
3
2
x
2
正弦、余弦函数的图象
几何画法
小 1. 正弦曲线、余弦曲线 五点法 结
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
思考：观察正弦曲线、余弦曲线，你能从图像上发现它们的性质吗？ （如定义域、值域、单调性？）
正弦、余弦函数的图象
1
-1
正弦曲 线
x
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦曲线：y cos x
y
xR
1
形状完全一样 只是位置不同
-1
x
余弦曲 线
三、正、余弦函数的简图
y
y sin x x [0, 2 ]
1-
五点画图法
-
-1
o
6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点：
( ,1) 2
最低点：
(
3
2
,1)
与x轴的交点： (0, 0) ( , 0)
在精度要求不 高的情况下， 我们可以利用 这5个点画出
(2 ,0)函数的简图。
y
y cos x x [0, 2 ]
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
例1 用“五点法”画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图 ：
x
0
sinx
0
1+sinx 1
y 2 1
o
2
2
-1
3
2
2
1
0
-1
2
1
0
y=1+sinx，x[0, 2]
3
2
2
2
0 1
步骤： 1.列表 2.描点 3.连线