2016年辽宁省锦州市中考数学试卷带答案解析

2016年辽宁省锦州市中考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．1．（2分）|﹣6|的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．2．（2分）下列运算中，正确的是（）A．a3（﹣3a）2=6a5 B．a3C．（﹣2a﹣1）2=4a2+4a+1 D．2a2+3a3=5a53．（2分）一个正方体的每个面上都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与“价”字相对的字是（）A．记B．心C．间D．观4．（2分）某商场试销售某品牌男款运动鞋，一个月内销售情况如下表：商场经理要想了解哪种型号需求量最大，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（）A．平均数B．方差C．中位数D．众数5．（2分）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于M、N两点，过M、N两点的直线交AC于点E，若AC=6，BC=3，则CE的长为（）A．B．C．D．7．（2分）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=的图象可能是（）A． B． C． D．8．（2分）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的x与y的部分对应值如下表：有下列结论：①a＞0；②4a﹣2b+1＞0；③x=﹣3是关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣3≤x≤n时，ax2+（b﹣1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．9．（3分）分解因式：ax4﹣ay4=．10．（3分）上海中信大厦是中国第一、世界第二高的摩天大楼，它塔冠上的风力发电机每年可以产生1189000千瓦时的绿色电力，1189000这个数用科学记数法可表示为．11．（3分）如图，直线AB经过原点O，与双曲线y=交于A、B两点，AC⊥y轴于点C，且△ABC的面积是8，则k的值是．12．（3分）关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是．13．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量为个．14．（3分）如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=．15．（3分）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．16．（3分）小明将量角器在桌面上进行连续翻转，如图为第1次、第2次翻转，若量角器的半径为1，则第2016次翻转后圆心O所走过的路径长为．三、解答题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．17．（6分）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；（2）请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2：1；（3）点P（a，b）为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为．四、解答题：本大题共2个小题，每小题7分，共14分．19．（7分）为了了解九年级学生参加体育活动的情况，某校对九年级部分学生进行问卷调查，其中一个问题是：“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项：A、1.5小时以上B、1﹣1.5小时C、0.5﹣1小时D、0.5小时以下（这里的1﹣1.5表示大于或等于1同时小于1.5，本题类似的记号均表示这一含义）根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请你根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查采用的调查方式是；共调查了学生名；（2）请补全条形统计图和扇形统计图；（3）若该校有1500名九年级学生，估计该校九年级有多少名学生平均每天参加体育活动的时间至少1小时．20．（7分）九年一班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，小强拿出一个箱子说：“这个不透明的箱子里装有红、白球各1个和若干个黄球，它们除了颜色外其余都相同，谁能同时摸出两个黄球谁就获得一等奖”．已知任意摸出一个球是黄球的概率为．（1）请直接写出箱子里有黄球个；（2）请用列表或树状图求获得一等奖的概率．五、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分．21．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN 的数量关系和位置关系，并加以证明．22．（8分）“五•一”期间，小亮与家人到某旅游风景区登山，他们沿着坡度为5：12的山坡AB向上走了1300米，到达缆车站B处，乘坐缆车到达山顶C处，已知点A、B、C、D在同一平面内，从山脚A处看山顶C处的仰角为30°，缆车行驶路线BC与水平面的夹角为60°，求山高CD．（结果精确到1米，）（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）六、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分．23．（8分）如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，过点D 作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AC=3，BC=9，求DE的长．24．（8分）某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．（1）图中点P所表示的实际意义是；销售单价每提高1元时，销售量相应减少件；（2）请直接写出y与x之间的函数表达式；自变量x的取值范围为；（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？七、解答题：10分．25．（10分）阅读理解：问题：我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上的任意一点，PD⊥AB于点D，PE ⊥AC于点E，求证：PD+PF是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？思路：我们可以将底边BC上的任意一点P移动到特殊的位置，如图②，将点P 移动到底边的端点B处，这样，点P、D都与点B重合，此时，PD=0，PE=BE，这样PD+PE=BE．因此，在证明这一命题时，我们可以过点B作AC边上的高BF （如图③），证明PD+PE=BF即可．请利用上述探索定值问题的思路，解决下列问题：如图④，在正方形ABCD中，一直角三角板的直角顶点E在对角线BD上运动，一条直角边始终经过点C，另一条直角边与射线DA相交于点F，过点F作FH⊥BD，垂足为H．（1）试猜想EH与CD的数量关系，并加以证明；（2）当点E在DB的延长线上运动时，EH与CD之间存在怎样的数量关系？请在图⑤中画出图形并直接写出结论；（3）如图⑥所示，如果将正方形ABCD改为矩形ABCD，∠ADB=θ，其它条件不变，请直接写出EH与CD的数量关系．八、解答题：12分．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+（其中a、b为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．（1）求该抛物线的表达式；（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2016年辽宁省锦州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．1．（2分）|﹣6|的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．【解答】解：|﹣6|=6，6的相反数是﹣6，故选：B2．（2分）下列运算中，正确的是（）A．a3（﹣3a）2=6a5 B．a3C．（﹣2a﹣1）2=4a2+4a+1 D．2a2+3a3=5a5【解答】解：A、原式=a39a2=9a5，故本选项错误；B、原式=a2•=a，故本选项错误；C、原式=（2a+1）2=4a2+4a+1，故本选项错误；D、2a2与3a3不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选C．3．（2分）一个正方体的每个面上都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与“价”字相对的字是（）A．记B．心C．间D．观【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“价”与“记”是相对面，“值”与“间”是相对面，“观”与“心”是相对面，故选A．4．（2分）某商场试销售某品牌男款运动鞋，一个月内销售情况如下表：商场经理要想了解哪种型号需求量最大，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（）A．平均数B．方差C．中位数D．众数【解答】解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的运动鞋的销售数量，即众数．故选：D．5．（2分）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图示，∵黑色区域的面积等于6块方砖的面积，总面积等于16块方砖的面积，∴小球最终停留在黑色区域的概率是：=．故选：D．6．（2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于M、N两点，过M、N两点的直线交AC于点E，若AC=6，BC=3，则CE的长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠CBA=90°，由作图可得MN是AB的垂直平分线，∴AE=EB=6﹣CE，∴CE2+BC2=BE2，即CE2+32=（6﹣CE）2，∴CE=，故选A．7．（2分）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：当a＞0时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故A、B错误，C正确；当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故D错误；故选：C．8．（2分）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的x与y的部分对应值如下表：有下列结论：①a＞0；②4a﹣2b+1＞0；③x=﹣3是关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣3≤x≤n时，ax2+（b﹣1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：根据表中x与y的部分对应值，画图如下：由抛物线开口向上，得a＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为x==﹣1，即﹣=﹣1，∴b=2a，则4a﹣2b+1=4a﹣4a+1=1＞0，故②正确；∵直线y=x过点（﹣3，﹣3）、（n，n），∴直线y=x与抛物线y=ax2+bx+c交于点（﹣3，﹣3）、（n，n），即x=﹣3和x=n是方程ax2+bx+c=x，即ax2+（b﹣1）x+c=0的两个实数根，故③正确；由图象可知当﹣3≤x≤n时，直线y=x位于抛物线y=ax2+bx+c上方，∴x≥ax2+bx+c，∴ax2+（b﹣1）x+c≤0，故④错误；故选：B．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．9．（3分）分解因式：ax4﹣ay4=a（x2+y2）（x+y）（x﹣y）．【解答】解：原式=a（x4﹣y4）=a（x2+y2）（x2﹣y2）=a（x2+y2）（x+y）（x﹣y）．故答案为：a（x2+y2）（x+y）（x﹣y）．10．（3分）上海中信大厦是中国第一、世界第二高的摩天大楼，它塔冠上的风力发电机每年可以产生1189000千瓦时的绿色电力，1189000这个数用科学记数法可表示为 1.189×106．【解答】解：1189000=1.189×106．故答案为：1.189×106．11．（3分）如图，直线AB经过原点O，与双曲线y=交于A、B两点，AC⊥y轴于点C，且△ABC的面积是8，则k的值是﹣8．【解答】解：设A（x，y），∵直线与双曲线y=交于A、B两点，∴B（﹣x，﹣y），=|xy|，S△AOC=|xy|，∴S△BOC∴S=S△AOC，△BOC∴S=S△AOC+S△BOC=2S△AOC=8，S△AOC=|k|=4，则k=±8．△ABC又由于反比例函数位于二四象限，k＜0，故k=﹣8．故答案为﹣8．12．（3分）关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是k≤6．【解答】解：当k=0时，原方程可化为12x+2=0，解得x=﹣；当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵方程3kx2+12x+2=0有实数根，∴△≥0，即△=122﹣4×3k×2≥0，解得k≤6．∴k的取值范围是k≤6．故答案为：k≤6．13．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量为7个．【解答】解：因为共摸了100次球，发现有71次摸到红球，所以估计摸到红球的概率为0.7，所以估计这个口袋中红球的数量为10×0.7=7（个）．故答案为7．14．（3分）如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵=，∴=，即=，∵AB=15，∴AE=10，∵DF∥CE，∴=，即=，解得：AF=，则EF=AE﹣AF=10﹣=，故答案为：15．（3分）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是m＞﹣2且m≠0．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．16．（3分）小明将量角器在桌面上进行连续翻转，如图为第1次、第2次翻转，若量角器的半径为1，则第2016次翻转后圆心O所走过的路径长为2016π．【解答】解：由图形可知，第1次翻转，圆心旋转圆的周长，再向前走的是一条线段，长度为半圆的周长，第2次翻转圆心旋转圆的周长，则第1次、第2次翻转圆心O运动路径的长度为：2π×1=2π，2016÷2=1008，所以2π×1008=2016π故答案为：2016π．三、解答题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．17．（6分）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=×4﹣﹣1，=2﹣﹣1，=﹣1．把x=﹣1代入得到：==．即=．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；（2）请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2：1；（3）点P（a，b）为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为（2a+2，2b）．【解答】解：（1）如图，△O1A1B1即为所求作三角形；（2）如图，△O2A2B2即为所求作三角形；（3）点P（a，b）为△OAB内一点，位似变换后的对应点P′的坐标为（2a+2，2b），故答案为：（2a+2，2b）．四、解答题：本大题共2个小题，每小题7分，共14分．19．（7分）为了了解九年级学生参加体育活动的情况，某校对九年级部分学生进行问卷调查，其中一个问题是：“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项：A、1.5小时以上B、1﹣1.5小时C、0.5﹣1小时D、0.5小时以下（这里的1﹣1.5表示大于或等于1同时小于1.5，本题类似的记号均表示这一含义）根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请你根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查采用的调查方式是抽样调查；共调查了学生40名；（2）请补全条形统计图和扇形统计图；（3）若该校有1500名九年级学生，估计该校九年级有多少名学生平均每天参加体育活动的时间至少1小时．【解答】解：（1）本次调查采用的调查方式是抽样调查；12÷30%=40（名）答：共调查了学生40名；（2）40﹣12﹣16﹣4=8（名）16÷40=40%4÷40=10%如图所示：（3）1500×（40%+30%）=1500×0.7=1050（名）答：该校九年级有1050名学生平均每天参加体育活动的时间至少1小时．故答案为：抽样调查；40．20．（7分）九年一班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，小强拿出一个箱子说：“这个不透明的箱子里装有红、白球各1个和若干个黄球，它们除了颜色外其余都相同，谁能同时摸出两个黄球谁就获得一等奖”．已知任意摸出一个球是黄球的概率为．（1）请直接写出箱子里有黄球2个；（2）请用列表或树状图求获得一等奖的概率．【解答】解：（1）设箱子里有黄球x个，根据题意得=，解得x=2，即箱子里有黄球2个；故答案为2；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中同时摸出两个黄球的结果数为2，所以获得一等奖的概率==．五、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分．21．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN 的数量关系和位置关系，并加以证明．【解答】解：FM=EN，FM∥EN；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF，∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠BCF=∠DCF=∠DCB，∴∠BAE=∠DCF，在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEB=∠BCF，∴AE∥CF，∵点M、N分别为AE、CF的中点，∴ME∥FN，ME=FN，∴四边形MENF是平行四边形，∴FM=EN，FM∥EN．22．（8分）“五•一”期间，小亮与家人到某旅游风景区登山，他们沿着坡度为5：12的山坡AB向上走了1300米，到达缆车站B处，乘坐缆车到达山顶C处，已知点A、B、C、D在同一平面内，从山脚A处看山顶C处的仰角为30°，缆车行驶路线BC与水平面的夹角为60°，求山高CD．（结果精确到1米，）（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【解答】解：过B作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，则∠BEC=90°，∠AFB=90°，∠ADC=∠BFD=∠BED=90°，所以四边形BFDE是矩形，所以BE=DF，BF=DE，∵沿着坡度为5：12的山坡AB向上走了1300米，到达缆车站B处，∴DE=BF=500米，AF=1200米，∵∠CBE=60°，∴CE=BE，∵在Rt△ADC中，∠CAD=30°，∴AD=CD，∴1200米+BE=（500+BE）米，解得：BE=（600﹣250）米，∴CE=BE=（600﹣750）米，∴CD=DE+CE=（600﹣250）米≈789米．六、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分．23．（8分）如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，过点D 作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AC=3，BC=9，求DE的长．【解答】（1）证明：连接DO并延长交AC于M，如图1所示：∵∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，∴CD=AB=AD，∴，∴DM⊥AC，∴DM∥BC，∵DF⊥BC，∴DF⊥DO，∴DF为⊙O的切线；（2）解：由（1）得：AC∥DF，∵点D为AB的中点，∴DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5，作ON⊥CE于N，连接OA，如图2所示：则CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，设⊙O的半径为r，在△AOM中，由勾股定理得：1.52+（4.5﹣r）2=r2，解得：r=2.5，∴CN=EN=OM=4.5﹣2.5=2，∴CE=4，∴EF=4.5﹣4=0.5，∴DE===．24．（8分）某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．（1）图中点P所表示的实际意义是当售价定为35元/件时，销售数量为300件；销售单价每提高1元时，销售量相应减少20件；（2）请直接写出y与x之间的函数表达式y=﹣20x+1000；自变量x的取值范围为30≤x≤50；（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；第一个月的该商品的售价为：20×（1+50%）=30（元），销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为：（400﹣300）÷（35﹣30）=20（件）．故答案为：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；20．（2）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，将点（30，400）、（35，300）代入y=kx+b中，得：，，∴y与x之间的函数表达式为y=﹣20x+1000．当y=0时，x=50，∴自变量x的取值范围为30≤x≤50．故答案为：y=﹣20x+1000；30≤x≤50．（3）设第二个月的利润为w元，由已知得：w=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣20x+1000）=﹣20x2+1400x﹣20000=﹣20（x﹣35）2+4500，∵﹣20＜0，∴当x=35时，w取最大值，最大值为4500．故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元．七、解答题：10分．25．（10分）阅读理解：问题：我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上的任意一点，PD⊥AB于点D，PE ⊥AC于点E，求证：PD+PF是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？思路：我们可以将底边BC上的任意一点P移动到特殊的位置，如图②，将点P 移动到底边的端点B处，这样，点P、D都与点B重合，此时，PD=0，PE=BE，这样PD+PE=BE．因此，在证明这一命题时，我们可以过点B作AC边上的高BF （如图③），证明PD+PE=BF即可．请利用上述探索定值问题的思路，解决下列问题：如图④，在正方形ABCD中，一直角三角板的直角顶点E在对角线BD上运动，一条直角边始终经过点C，另一条直角边与射线DA相交于点F，过点F作FH⊥BD，垂足为H．（1）试猜想EH与CD的数量关系，并加以证明；（2）当点E在DB的延长线上运动时，EH与CD之间存在怎样的数量关系？请在图⑤中画出图形并直接写出结论；（3）如图⑥所示，如果将正方形ABCD改为矩形ABCD，∠ADB=θ，其它条件不变，请直接写出EH与CD的数量关系．【解答】解：（1）EH=CD，如图1，过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥AD于Q，∴∠EQF=∠EPC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠CDB=∠ADC=45°，∴四边形EPDQ是正方形，∴EP=EQ，∠QEF+∠FEP=∠QEP=90°，又∵∠FEP+∠PEC=∠FEC=90°，∴∠QEF=∠PEC，在△EQF和△EPC中，∵，∴△EQF≌△EPC（ASA），∴EC=EF，过点C作CH⊥BD于点H，∴∠CHE=∠EHF，∵∠FEH+∠CEH=∠FEH+∠EFH=90°，∴∠CEH=∠EFH，在△EFH和△CEG中，∵，∴△EFH≌△CEG（AAS），∴EH=CG，在RT△CDG中，∵∠CDG=45°，∴EH=CG=CDsin∠CDG=CD，即EH=CD；（2）如图2，EH=CD，与（1）同理可得EF=EC，过点C作CG⊥BD于G，∴∠CGE=∠EHF=90°，∴∠FEH+∠EFH=90°，又∵∠FEH+∠CEG=90°，∴∠EFH=∠CEG，在△EFH和△CEG中，∵，∴△EFH≌△CEG（AAS），∴EH=CG，在RT△CDG中，∵∠CDG=45°，∴EH=CG=CDsin∠CDG=CD，即EH=CD；（3）EH=CDsinθ，如图3，作EQ⊥AD于Q，EP⊥CD于P，则四边形EPDQ是矩形，∴EP=QD，∠QEP=90°，即∠QEF+∠FEP=90°，∵∠FEP+∠PEC=90°，∴∠QEF=∠CEP，∴△EPC∽△EQF，∴=，过点C作CG⊥BD于G，∴∠CGE=∠EHF=90°，即∠CEG+∠ECG=90°，又∵∠CEG+∠FEH=90°，∴△ECG∽△FEH，∴==，∴EH=CGtanθ，∵在Rt△CDG中，∠DCG=∠ADB=θ，∴cosθ=，即CG=CDcosθ，∴EH=CDsinθ．八、解答题：12分．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+（其中a、b为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．（1）求该抛物线的表达式；（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+中，得：，解得：，∴该抛物线的表达式为y=﹣x2+x+．（2）当x=0时，y=．∴C（0，），∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4，AC=2，BC=2，∵AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形．且∠ABC=30°，设直线BC的解析式为y=kx+，将点B（3，0）代入y=kx+中，得：0=3k+，解得：k=﹣，∴直线BC的解析式为y=﹣x+．当x=1时，y=，∴D（1，）．设点P的坐标为（m，﹣m2+m+），如图1，过点P作PE⊥OB于点E，则BE=3﹣m，PE=﹣m2+m+，在Rt△ABC中，∵△DPB∽△ACB，∴∠ABC=∠DBP=30°，∴∠PBE=60°，则tan∠PBE=，即=，解得：m=2或m=3（舍），∴点P的坐标为（2，）．（3）根据题意，如图2，直线BC垂直平分OQ，且k BC=﹣，∴k OQ=，设直线OQ解析式为y=x，点Q的坐标为（a，a），则OQ的中点F坐标为（a，a），将点Q代入直线BC的解析式为y=﹣x+，得：﹣a+=a，解得：a=，∴Q（，），则BQ==3，①当BQ是四边形BQNM的边时，∵四边形BQNM是菱形，∴NQ∥BC，且NQ=BQ，∴k NQ=k BC=﹣，∴直线NQ解析式为y=﹣（x﹣）+，即y=﹣x+2，设N（m，﹣m+2），由NQ=BQ，即NQ2=BQ2可得（m﹣）2+（﹣m+2﹣）2=9，解得：m=，此时点N的坐标为（，）、（，）；若MQ∥BN，且BN=BQ，根据菱形的性质可知BM垂直平分NQ，∴点N与点O重合，即N（0，0）；②当BQ为四边形BMQN的对角线时，∵四边形BMQN是菱形，∴BQ、MN互相垂直平分，由B（3，0）、Q（，）可得y BQ=﹣x+3，BQ中点H（，），∴k MN=，则y MN=（x﹣）+=x，由可得点M（，），设点N坐标为（m，n），由M、N的中点H（，）可得：，解得：，即点N的坐标为（3，），综上，点N的坐标为（，）或（，）或（0，0）或（3，）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。