弹塑性力学 第9章热应力汇总
u , v , w
x
y
z
则称 为热弹性位移势。
➢ 满足平衡方程的位移势必须满足
2 1 T
(1)
➢ 相应的应力解为
1
x
2G
2 y 2
z
1 E
[ z
( x
y )] T ,
xy
2(1
E
)
xy
yz
2(1
E
)
yz
zx
2(1
E
) zx
或
x 2G x ET /(1 2 ), xy G xy
y 2G y ET /(1 2 ), yz G yz
z 2G z ET /(1 2 ),
1 2 x
代替弹性问题中的体力fx
(x,
y,
z)，用
ET 1 2
l
(l, m, n)
代替弹性问题中的面力Fx (x, y, z)，则热弹性问题 可以用线性弹性问题的解法去求解。
热弹性问题的基本解法
➢ 应力解法——以应力为基本未知量，用应力表示 边界条件和协调方程，求得应力分量后，再计算 应变分量和位移分量。
变形协调条件，各层纤维的变形受到附近纤维的 约束，因此在板中将产生热应力。板的l >> c，且 温度与x无关，可做为一维问题，在板中仅有x方
向的应力x。
➢➢ 两端约束合力引起的应力
x
E
2c
c
T( y)dy
c
➢
两端约束弯矩引起的应力
x
3 yE
2c 3
c
T( y) ydy
x
e x
T x
0
y
e y
T y
0
由物理方程及平面应力问题性质（z = 0），有
x
1 E
x y
T 0
y
1 E
y x
T 0
x
y
1
1
ET
热弹性问题的基本解法
➢ 位移解法——以位移为基本未知量，用位移表示 物理方程、平衡方程和边界条件，求得位移分量 后，再计算应力分量。
➢ 要点——用 E T (x, y, z)
9－2 热弹性基本方程及解法
➢ 热传导基本概念
非定常温度场 = (x, y, z, t)
定常温度场 = (x, y, z)
热源强度
变温 热传导方程 变温分布 二维热传导方程
无源定常 温度场
2T 0
T
= - 0
2
r
/
c
T 2T r / c
比热
T
2T x 2
2T y 2
r
/
c
➢ 上述各式中，c为比热，即单位质量的物体升温一 度所需的热量；r为物体内热源的强度r = r(x, y, z, t)，即单位时间内单位质量的热源所产生的热量；
c
➢ 扳中的热应力为
x
ET( y)
E
2c
c
3 yE
T( y)dy
c
2c 3
c
T( y) ydy
c
➢ 若物体边界上没有位移约束及边界力，且不计体 力，则当物体内的变温为坐标的线性函数时，物 体内将不产生热应力。根据叠加原理，在自由边 界的物体中，不计体力，在原来的温度场上叠加 一个线性分布的温度场，则不会改变物体的应力 分布，而物体的的变形将会发生变化。
【例2】周边自由的等厚度薄板，且l >> c， 沿板的厚度温度均匀，而沿高度有不均匀 温 度 变 化 ， 即 T=T(y) ， 试 求 板 中 的 热 应 力 。
➢ 【解】该薄板属一个自由边界间题，即不存在外 部约束。由于温度沿y向有不均匀的温度变化，在 x方向上各层纤维将产生不同的长度变化，为满足
T = - E T
热应力问题特点与条件
➢ 杆件中的热应力护与弹性模量E，热膨胀系
数以及温度变化T成正比。在小温度的情 况下，E与随温度的变化可以忽略，结构
的热应力随温度变化而增加，这是一般热 应力间题的特点。
➢ 在求解中，仍然包括该问题物理、几何与 平衡三个方面的条件，这是求解热弹性力 学问题应满足的条件，其中物理关系既包 括线弹性的虎克定律，又包括温度变化引 起的变形。
➢ 两个方面的计算：(1)由问题的初始条件、边界条 件，按热传导方程求解结构的温度场（变温）。 (2)按热弹性力学的基本方程求解结构的热应力。
➢ 假设：各向同性、弹性、小变形、小变温，变温 与变形可独立计算。
9－1 简单热应力问题
➢ 【例1】两端固定的杆件受热
【例1】长度为l、横截面为A的杆件，两端被固定在 两个刚性壁之间，杆件材料的热膨胀系数为，
➢ 要点——用
E T (x, y, z)
1 2 x
代替弹性问题中的体力fx
(x,
y,
z)，用
ET 1 2
l
(l, m, n)
代可替以弹用性线问性题弹中性的问面题力的F解x 法(x去, y求, z解)，，则得热到弹~性ij 问，题再
由
ij
~ij
ij
ET 1 2
求得ij。
热弹性位移势
➢ 引进一个函数 (x, y, z)，使得
zx
G zx
➢边界条件
【例】周边固支的矩形薄板，材料的热膨胀
系数为，弹性系数为E，泊桑比为，当薄
板温度升高T 时，求板中热应力。
【解】平板的四周被固定，升温时在x和y方向上的 热膨胀均被限制住，因此板中将产生热应力，且 为双向应力状态。由于平板固支，每个微元体在x 和y方向均不会产生变形，即有（不考虑外荷载）
为导温系数，且 = k/c，k为导热系数，为物
体材料的密度，2为拉普拉斯算子
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
T 为变温的时间微分（偏导数）
T T t
热弹性基本方程
➢ 平衡方程、几何方程（同弹性问题）
➢ 物理方程
x
1 E
[ x
( y
z )] T ,
y
1 E
[
y
( z
x )] T ,
弹性系数为E，杆件的温度由T1增加至T2，求杆中 的热应力。
【解】温度由T1升至T2因膨胀而产生的杆件伸长为
lT = l(T2-T1) = lT
➢ 温度升高，杆件受到压力 PT的作用，由 PT产生的 杆件的缩短为
l p
PT l EA
➢ 由杆长不变(lT + lp= 0)，得 PT = EAT。
➢ 因此，杆件的热应力为
第9章 热应力
第9章 热应力
1. 简单热应力问题 2. 热弹性基本方程及解法 3. 平面热弹性问题 4. 厚壁圆筒的热应力 5. 厚壁圆球壳的热应力* 6. 板中的热应力* 7. 形变条件下热塑性物理方程
基本概念
➢ 热应力——当结构或构件在一定温度条件下工作 时，温度的变化导致材料的膨胀或收缩，若外部 的约束或内部的变形协调要求而使膨胀或收缩不 能自由发生时，结构中就会出现附加的应力。这 种因温度变化（通常简称变温）而引起的应力称 为热应力，或温度应力。
弹塑性力学总结汇编
弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。
通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。
求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。
因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。
（1）假设物体是连续的。
就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。
这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。
（2）假设物体是线弹性的。
就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。
而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的。
就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。
这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。
（4）假设物体是各向同性的。
也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。
（5）假设物体的变形是微小的。
即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。
弹塑性力学部分讲义（ＰＤＦ）
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
弹塑性力学课程总结
应力张量
描绘一点处的应力状态
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
过一点任意微分面上的应力矢量分量：
px
xl1
yxl2
zxl3
py xyl1 yl2 zyl3
pz
xzl1
yzl2
zl3
pi ijl j Cauchy公式
总应力 正应力
p n
exz eyz ez
（3）体积应变 x y z I1'
2020/11/7
17
基础理论篇 —— 应变状态理论
二、几何方程与应变协调方程
x
u x
，
xy
v x
u y
y
v y
，
yz
w y
v z
z
w z
，
zx
u z
w x
ij
1 2 (ui, j
u j,i )
2 x y 2
2 y x2
m ( x y z ) / 3 —— 平均应力/静水应力
偏斜应力张量 （应力偏量）
Sij
x yx
m
xy y m
xz yz
Sx
Syx
S xy Sy
S xz
S yz
zx
zy
z m Szx Szy Sz
只与剪切变形有关 仅改变形状而不改变其体积
2020/11/7
pn
lim
S 0
Pn S
应力是矢量，与点的位置、通过点的截面的方向有关
pz
pn nn ns
n pn n
n pn s
p2
2 n
py px
在直角坐标系里分解： pn pxi py j pzk
弹塑性力学总结
弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。
通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。
求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。
因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。
（1）假设物体是连续的。
就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。
这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。
（2）假设物体是线弹性的。
就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。
而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的。
就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。
这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。
（4）假设物体是各向同性的。
也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。
（5）假设物体的变形是微小的。
即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。
弹塑性力学讲义应力
第1章 应 力1. 1 应力矢量物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
为了描述内力场，Chauchy 引进了应力的重要概念。
对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P 点的平面C 将其截开成A 和B 两部分。
如将B 部分移去，则B 对A 的作用应以分布的内力代替。
考察平面C 上包括P 点在内的微小面积，如图1.1所示。
设微面外法线（平面C 的外法线）为n ，微面面积为∆S ，作用在微面上的内力合力为∆F ，则该微面上的平均内力集度为∆F /∆S ，于是，P 点的内力集度可使用应力矢量T (n )，定义为T (n ) =SFs ∆∆∆0lim→B∆SACPn ∆Fxyz图1.1 应力矢量定义在笛卡儿坐标系下，使用e x ，e y 和e z 表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为T (n ) = T x e x +T y e y +T z e z（1.1）式中T x 、T y 和T z 是应力矢量沿坐标轴的分量。
上篇弹性力学第1章应力8除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量T x、T y 和T z。
实际应用中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。
显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。
所有这些应力矢量构成该点的应力状态。
由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定律，在同一点，外法线为-n微面上的应力矢量为：T(-n)= -T(n) （1.2）1.2 应力张量人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。
在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。
弹塑性力学课件
5．Ramberg-Osgood模型
其加载规律可写为： （ 9）
如取 就有
说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在 数学表达式上也较为简单。
6. 等向强化模型及随动强化模型
M
M1 C
等向强化模型
S
A
—— 是刻画塑性变形历史的参数
假定材料是不可压缩的：A0l0=Al，并认为名义应力 达到最高点C时出现颈缩：
[1] 由
则在颈缩时真应力应满足条件
结论：拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。
[2] 注意到
颈缩时的条件也可写为：
即
结论： 拉伸失稳点C的斜率为其纵坐标值除以 (1 )
[3] 以截面积收缩比q为自变量
其中
——为变形后第2杆与第1杆（和第3杆）之间的夹角 可见（33）式中有三个未知量 在不卸载的情况下，由本构方程：
得到 P 与 a 之间的非线性关系
结论： 随着 的增长， 的值将会由于强化效应和 角的减小而提高， 但也会随着杆件截面积的收缩而下降。故当 很大时，结构将可能 变成不稳定的。
§1.8 弹性极限曲线
卸载时的载荷-位移曲线（见图9） 与初始弹性加载时的曲线有相同 的斜率。
应力和应变:
最终的应力和应变值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的叠加求得：
残余应力和残余应变:
特别地，当载荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到杆 中的残余应力和残余应变（见图10）为：
其中
节点O的残余位移为：
不产生新的塑性变形的限制条件：
其中
值满足
（37）式对应于图12中虚线所构成 的六边形区域。 说明： 可见在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反 的一侧屈服载荷有所降低。可用来对应变硬化和包氏效应 等现象做一个比较形象的解释。
弹性力学--热应力 ppt课件
2 2 T ( 2 2 ) (1 ) y x y y
又u.v都是常量，所以取： 2 2
2 (1 )T 2 x y
(16)
时， φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方 程(14)的一组特解。 PPT课件
26
将
u x
(12)
为用位移分量和变温T表示的应力分量公式。 又平面平衡微分方程为：
ji , j Fbi 0
在此体力为零，
PPT课件
(13)
21
将式（13）代入（12）并化简得：
2u 1 2u 1 2 v T ( 1 ) 0 2 2 x 2 y 2 xy x
v u 1 u v ) s l1 ( ) s l2 (1 )T y x 2 y x
(15)
l2 (
PPT课件
22
把式（ 14 ）（ 15 ）与通常平面问题相比较可知： 在温度应力的平面应力问题中，温度应力等于假想 体力
Fb x E T , 1 x
Fb y
E T 1 y
和假想面力
p x l1
E T p y l2 1
E T 1
所引起的应力。
PPT课件
23
平面应变时假定 τyz=τzx=εz=0 ，由式（ 8 ）可得 物理方程：
1 2 x ( x y ) (1 )T E 1
T 2T 2T 2T W a( 2 2 2 ) t c x y z
PPT课件 这就是热传导微分方程。 12
第三节 温度场的边值条件 为了能够求解热传导微分方程，从而求得温 度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即 所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体 表面与周围介质之间热交换的规律, 即所谓边界 条件。二者合成边值条件。 初始条件一般表示如下：
2010-08-31-2弹塑性力学概念+应力分析
可由坐标变换关系式来解决定义。
21
• 力学中常用的物理量 1.标量：只有大小、没有方向性的物理量，与 坐标系选择无关。 用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标 量无下标。 • 2.矢量：有大小，又有方向性的物理量。 • 如矢径 （或黑体）、位移 、力 等。 • 矢量也可以用它的标量表示： 3
27
ij 的作用与计算示例如下：
(1) ii 11 22 33 3 (2) ij ij ( 11 ) ( 22 ) ( 33 ) 3
2 2 2
(3) ij jk i1 1k i 2 2 k i 3 3k ik (4) a ij ij a11 11 a 22 22 a 33 33 a ii (5) a i ij a1 1 j a 2 2 j a 3 3 j a j (即a1 , 或a 2 , 或a 3 ) (6) ij l j l i ij l j ij l j ( ij ij )l j
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再不求和。
◆ 张量下标符号的变程，仅限于三维空间，
dFn dA d Ft dA
n
A 0
nt
7
正应力 应力 剪应力
必须指明两点：
1.是哪一点的应力；
弹塑性力学应力应变关系资料重点
④线性强化刚塑性模型
s
塑性成形阶段， 忽略弹性应变
s
E
E ②
s
①
s
E
o s
o
E ④
③
⑤幂强化力学模型
A n
n—幂强化系数， 介于0与1之间
A (n 1) A (n 0)
s
o1
n=1 n=0.5 n=0
以上五种模型中，理想弹塑性力学模型、理想刚 塑性力学模型、幂强化力学模型应用最为广泛。
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
x 0 ex
1 E
[(1
)
x
]
1
2
E
0
1 [
E
1 2G
x sx
0
]
ex
1 2G
sx
ey
1 2G
sy
ez
1 2G
sz
ex ey ez xy yz zx 1 sx sy sz 2 xy 2 yz 2 zx 2G
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G e1 e2 e2 e3 e3 e1 1 s1 s2 s2 s3 s3 s1 2G
1864年，H. Tresca (法国) 在做了一系列金属挤压实 验的基础上，发现了在变形的金属表面有很细的痕 纹，而这些痕纹的方向很接近最大剪应力的方向。
金属的塑性变形是由剪应力引起晶体滑移而形成的
当1 2 3 时
max
1
3
2
k
如果不知道主应力的大小和次序
1 2 2k, 2 3 2k, 3 1 2k 只要有一个式子成立，材料便已进入屈服状态
s s s
J.Bauschinger(德国)
工程弹塑性力学课件：第九章塑性力学基础
s2
L直线
静水应力矢量
N
p平面 O
P
s1
Q
任一应力状态
主偏量应力矢量
s3
主应力空间、 L直线、 p平面
OP s1i s 2 j s 3k
OP s1i s2 j s3k (s i s j s k )
OQ ON
总在p平面上 与s1,s2,s3轴的夹角相等 (6.10)
L直线：
在主应力空间内，过原点且和三个坐标
J 2
2 s
或
s
3
(Mises)
(6.30)
Mises圆，且
max s (Tresca)
两种屈服条件的关系：
在主应力空间中，Mises屈服面 将是圆柱面，在s3=0的平面应 力情形,Mises屈服条件可写成:
s s s s s 2
2
2 (6.31)
1
12
2
s
s2 ss
O
s1
ss
Tresca屈服条件内接于Mises圆
第九章 塑性力学基础
9.1 塑性变形的特点 塑性力学的假设和力学简 化模型
9.2 屈服函数与屈服面 9.3 两个常用的屈服条件 9.4 加载准则与加载方式 9.5 塑性力学中的本构关系 9.6 应用举例
第一节 塑性变形的特点 塑性力学的假设和力学 简化模型
一、基本实验 简单拉伸试验和静水压力试验是塑