同济大学《高等数学》第四版39节曲率
高等数学同济第四版教材
高等数学同济第四版教材高等数学是大学理工科专业的基础课程之一，同济大学的高等数学第四版教材是广大学生学习数学的重要参考资料。
本文将对该教材进行评述，并介绍其中的重要知识点和学习方法，帮助读者更好地掌握高等数学的基础知识。
同济大学高等数学第四版教材全面而深入地介绍了高等数学的各个分支，包括微积分、线性代数和概率统计。
教材内容丰富，涵盖了大量的数学定理和公式，并配以详细的数学推导和应用示例，使学生能够深入理解数学的原理和应用方法。
首先，微积分是高等数学的核心内容之一。
教材中详细介绍了函数、极限、连续性和导数等概念，以及反常积分和重积分等高级应用。
通过学习微积分，学生能够理解函数的变化规律，掌握求导和积分的方法，并应用于实际问题的解决中。
其次，线性代数也是高等数学的重要组成部分。
教材中系统地介绍了向量、矩阵、行列式和线性方程组等内容，重点培养学生的抽象思维和矩阵运算的能力。
线性代数的概念和方法在工程、物理、计算机和经济等领域都有广泛的应用，对学生的专业发展具有重要意义。
最后，概率统计是高等数学中的一门实用性较强的学科。
教材中介绍了基本概率原理、随机变量、概率分布和大数定律等内容，通过概率统计的学习，学生能够分析和处理各种随机事件，并通过统计方法对数据进行分析和推断。
除了高等数学的核心知识外，教材还包括大量的习题和解答，供学生巩固知识和提高解题能力。
学生可以通过做习题来检验自己对知识点的掌握程度，并通过解答来加深对理论的理解。
针对高等数学的学习，建议学生采取以下学习方法。
首先，理论和实践相结合，既要理解概念和定理，也要学会应用。
其次，注重思维方式的转变，高等数学需要一种抽象和逻辑思维方式，学生需要培养这方面的能力。
再次，勤加练习，在课后花时间做习题，加深对知识的理解和应用能力的培养。
总之，高等数学同济第四版教材是一本权威性、系统性和实用性俱佳的教材，对学生学习高等数学起到了重要的指导作用。
通过学习该教材，学生可以掌握高等数学的基本理论和方法，并培养解决实际问题的数学思维能力。
《高等数学曲率》课件
曲率与生物形态
在自然界中，许多生物形态都呈现出 曲率的特点。例如，鸟类的飞行轨迹 、河流的流向、植物的生长方式等都 与曲率密切相关。通过研究这些生物 形态的曲率特点，可以更好地理解自 然界的规律和原理。
VS
曲率在生物形态中的应用还体现在仿 生学领域。通过模仿自然界中生物的 形态和运动方式，可以创造出更加高 效、环保和可持续的交通工具、建筑 材料等。例如，仿生学中的“蜂巢” 结构就是利用了曲率的特点，具有很 好的抗压和抗震性能。
曲率与建筑设计
在建筑设计中，曲率也被广泛应用。通过合理利用曲率，可以创造出更加美观、舒适和功能性的建筑。例如，在建筑设计时 可以利用曲率来优化建筑的外观和结构，提高建筑的稳定性和安全性。
曲率还可以用于建筑内部的布局和空间设计。例如，利用曲率可以将建筑的内部空间划分为不同的区域，提高建筑的实用性 和舒适性。
曲率研究展望
曲率与几何拓扑关系
未来研究可以探索曲率与几何拓扑之间的关系，例如研究 曲率在曲面分类中的作用，以及曲率在流形学习等方面的 应用。
高维空间曲率研究
随着高维几何的发展，对高维空间中曲率的研究也日益重 要，未来可以进一步探讨高维空间中曲率的性质和计算方 法。
数值计算与模拟
随着计算机技术的发展，数值计算和模拟已经成为研究曲 率的重要手段，未来可以借助更先进的计算方法和模拟技 术，对曲率进行更精确和深入的研究。
03
曲率应用
曲率在几何学中的应用
曲率在几何学中有着广泛的应用，它描述了曲线在某一点的 弯曲程度。在平面几何中，曲率用于描述曲线在某一点的弯 曲程度，而在球面几何中，曲率则用于描述曲面在某一点的 弯曲程度。
在几何学中，曲率的概念可以帮助我们更好地理解空间中的 几何形状，以及它们之间的相互关系。例如，在研究行星运 动时，曲率的概念可以帮助我们理解行星轨道的形状和大小 。
同济大学高等数学-第四版3-9节曲率
y
1 6 Rl
x 3， x [0, x0 ]．作为
缓冲段 OA ，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段
OA 在始端 O 的曲率
为零 ,并且当 l 很小 R
( l 1) 时，在终端 R A 的曲率近似为 1 .
R
y
R
l A(x0,y0)
o C(x0,0) x
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证 如图
y
x的负半轴表示直道，
的 曲 线 为 __________.
2、 抛 物 线 y x 2 4 x 3 在 (2,-1) 处 的 曲 率 为
________； 曲 率 半 径 为 _________.
3 、 曲 线 y ln( x 1 x 2 ) 在 ( 0 , 0 ) 处 的 曲 率 为
___________.
2
M 2 S2 M 3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
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y
设曲线C是光滑的，
C
M0 是基点 . M M s,
MM切线转 角 . M为 0 S .M )
M.
S
定义
o
x
弧M 段 M的平均K 曲 率 . 为
(t)(t)(t)(t)
k
3.
[2(t)2(t)2]
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例1 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率
解 y2a xb, y2a,
k
2a 3.
[1(2axb)2]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又(b,b24ac)为抛物线,的顶点 2a 4a
同济高数第四版知识点总结
同济高数第四版知识点总结一、微积分微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的极限、导数和积分。
在《同济高数第四版》中，微积分的内容主要包括了函数的极限、导数、微分、定积分和不定积分等方面。
1.1 函数的极限函数的极限是研究函数在某一点附近的变化趋势。
在教材中，介绍了数列的极限和函数的极限的概念，并给出了一些典型的函数极限的计算方法，比如使用极限的性质进行计算、泰勒公式等。
1.2 导数导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数的斜率。
在教材中，介绍了导数的定义、导数的代数运算规则、导数的几何意义以及一些常见函数的导数计算方法。
1.3 微分微分是导数的一种应用，它可以用于函数的局部线性逼近，也可以用于函数的最值问题等。
在教材中，介绍了微分的定义、微分的性质和微分的计算方法。
1.4 定积分定积分是对函数在一定区间内的积分，它可以理解为函数在这一区间内的“总体积”。
在教材中，介绍了定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算方法以及一些几何应用。
1.5 不定积分不定积分是对函数的反导数，它可以用于计算定积分、解微分方程等。
在教材中，介绍了不定积分的定义、不定积分的基本性质、不定积分的计算方法以及一些典型的不定积分的计算方法。
二、多元函数微分学在多元函数微分学中，主要讨论了多元函数的极限、偏导数、全微分、方向导数、梯度、多元函数的微分、多元函数的导数、隐函数及参数方程求导等内容。
2.1 多元函数的极限多元函数的极限是研究多元函数在某一点附近的变化趋势，它与一元函数的极限类似。
在教材中，介绍了多元函数的极限的概念、多元函数的极限的判定方法以及一些典型的多元函数的极限的计算方法。
2.2 偏导数偏导数是多元函数的导数在某一方向上的投影，它可以用于研究多元函数在某一方向上的变化率。
在教材中，介绍了偏导数的概念、偏导数的计算方法、偏导数的性质以及一些典型的偏导数的计算方法。
2.3 全微分全微分是多元函数的微分在某一方向上的投影，它可以用于多元函数的局部线性逼近。
高等数学教材 同济版
高等数学教材同济版同济版高等数学教材高等数学是大学数学的重要组成部分，是培养学生分析问题和解决实际应用问题能力的基础课程。
同济大学出版社出版的《高等数学》教材，是世界著名数学家吴文俊先生等人合作编写的经典教材之一。
该教材内容全面、符合课程标准，并且结构严谨，适合大学本科高等数学教学使用。
第一章函数与极限函数与极限是高等数学的基础概念和核心内容之一。
本章首先介绍了函数的概念，并从数学模型的角度讲解了实际问题中的函数应用。
接着详细阐述了极限的定义、性质和计算方法，重点讲解了常用的极限公式和极限的四则运算规则。
通过大量的例题和习题，帮助学生理解函数与极限的关系，掌握极限的计算方法。
第二章导数与微分导数与微分是研究函数变化率和函数表达式的最重要的数学工具。
本章从导数的定义入手，介绍了导数的几何意义和物理意义，并给出了常见函数的导数计算方法。
接着讲解了导数的运算法则、高阶导数和隐函数的导数计算方法。
通过大量的例题和应用题，帮助学生巩固导数与微分的概念和计算方法，培养学生的问题解决能力。
第三章微分中值定理与导数的应用微分中值定理和导数的应用是导数理论的重要应用，也是数学与实际问题结合的典型范例。
本章首先介绍了拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并应用到函数的极值点、最值问题和曲线的凸凹性判定中。
接着讲解了导数的应用，如曲线的凹凸性、最大最小问题、求曲线的弧长和曲率等。
通过大量的例题和实际问题的讨论，帮助学生理解微分中值定理和导数应用的思想方法，进一步培养学生的问题分析和解决能力。
第四章不定积分不定积分是导数的逆运算，是微积分的重要内容之一。
本章从不定积分的定义和性质入手，阐述了换元积分法、分部积分法、有理函数的积分等计算方法。
并通过实例讲解了一些特殊函数的积分方法和常用的不定积分公式。
最后介绍了一些常见函数定积分的计算方法。
通过大量的例题和计算题，帮助学生掌握不定积分的基本计算方法和技巧。
第五章定积分的应用定积分是高等数学在实际问题中的重要应用，尤其在物理、经济学、生物学等学科中具有广泛的应用价值。
高等数学教材第四版同济
高等数学教材第四版同济高等数学是大学本科阶段的重要基础课程之一，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力有着重要的作用。
同济大学出版社出版的《高等数学教材》第四版是一本经典的教材，本文将对该教材进行全面细致的介绍和评价。
一、教材概述《高等数学教材》第四版是由同济大学数学系编写的，主要面向经济学、物理学、力学等专业的本科生。
本教材全面、系统地介绍了高等数学的基本理论、方法和应用，具有深入浅出、逻辑严谨的特点。
二、教材结构本教材共分为十章，每章都有详细的知识点、例题和习题，使得学生可以有系统地学习和巩固知识。
第一章介绍了函数的概念和性质，承上启下，为后续章节的学习打下了基础。
第二章讲述了极限和连续函数，这是高等数学的核心内容之一，教材对此进行了深入浅出的阐述。
第三章介绍了导数和微分，将极限的概念应用到了实际问题中。
第四章详细介绍了定积分和不定积分，让学生对积分有了更深入的理解。
第五章到第七章分别介绍了常微分方程、多元函数微分学和多元函数积分学，为进一步学习微积分的应用打下基础。
第八章到第九章介绍了向量代数和空间解析几何，培养了学生的几何直观。
第十章介绍了多元函数的级数表示，为复习章节提供了重要的参考。
三、教材特点《高等数学教材》第四版同济具有以下几个特点：1. 整体性强：本教材能够全面覆盖高等数学的各个重要内容，涵盖了函数、极限、微分、积分、微分方程、向量代数、空间解析几何等多个方面。
2. 逻辑性强：教材内容呈现有严格的逻辑性，知识点的阐述合理有序，方便学生对所学知识有系统的认识。
3. 应用性强：教材通过大量实例和习题的设计，使学生能够将所学的数学知识应用到实际问题中去，提高解决实际问题的能力。
四、教材实用性评价《高等数学教材》第四版同济实用性较高，适合本科阶段的学生使用。
该教材在内容选择上覆盖了大部分高等数学的核心知识点，并通过实例和习题的设计帮助学生巩固和应用所学知识。
同时，教材的语言简明易懂，对于刚接触高等数学的学生来说很友好。
高等数学课件3-5曲率
高等数学课件3-5曲率
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目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题
曲率的概念
曲率在高等数学中的意义
高等数学课件3-5曲率的讲解重点 如何理解高等数学课件3-5曲率的
意义 如何应用高等数学课件3-5曲率解
决实际问题
01
添加目录项标题
02
曲率的概念
曲率的定义
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大，曲线 弯曲程度越大
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率的计算方法
曲率公式：k = 1/r，其中k为曲率，r 为半径
曲率圆：曲率半径的圆，曲率中心为 圆心，曲率半径为半径
曲率半径：r = 1/k，其中k为曲率
曲率在曲线和曲面中的应用
曲率是描述曲 线或曲面弯曲
程度的量
曲率越大，曲 线或曲面的弯
曲程度越大
曲率在微分几 何、拓扑学、 物理等领域有
广泛应用
曲率可以帮助 我们理解和分 析曲线和曲面 的性质，如长 度、面积、体
积等
曲率在微积分学中的应用
曲率是描述曲线弯曲程度的重要 参数
曲率在微积分学中用于求解曲线 的弧长、面积等问题
利用曲率进行创新和设计
曲率在工程设计中的应用：如 桥梁、建筑、机械等
曲率在艺术设计中的应用：如 雕塑、绘画、平面设计等
曲率在科学研究中的应用：如 物理、化学、生物等
曲率在商业设计中的应用：如 产品包装、广告设计等
感谢观看
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同济高等数学b第四版教材
同济高等数学b第四版教材同济大学出版社于2010年出版的《同济高等数学B（第四版）》是一本为高等院校理工类专业学生编写的教材。
本教材旨在培养学生的数学素养和解决实际问题的能力。
以下将对该教材的内容进行介绍。
一、绪论同济高等数学B第四版教材的绪论部分主要介绍了数学的基本概念和基本思想，为后续章节的学习打下了基础。
绪论中包括数列与极限、函数与连续等内容，通过例题和习题的练习，引导学生理解数学思维的逻辑性和抽象性。
二、导数与微分导数与微分是同济高等数学B第四版教材的重点章节之一。
该章节从定义、性质和推导方法等方面系统介绍了导数的相关知识。
通过导数的应用，学生可以理解函数的变化趋势和曲线的局部特征，并能够解决实际问题中的数学模型。
三、微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用是同济高等数学B第四版教材的另一个重要章节。
本章主要介绍了拉格朗日中值定理和柯西中值定理等微分中值定理的由来与性质，并演示了如何通过这些定理解决实际问题，如极值、曲率、最速降线等问题。
四、不定积分与定积分不定积分与定积分是同济高等数学B第四版教材的核心章节之一。
通过引入不定积分的概念以及定积分的性质和计算方法，学生可以理解积分运算的意义，并掌握求解不定积分和定积分的基本技巧。
此外，本章还介绍了含参数积分和变限积分的相关内容。
五、定积分的应用定积分的应用是同济高等数学B第四版教材的一个重要内容。
本章主要讲述了定积分在物理学、几何学、概率论等领域的应用，并介绍了平面曲线的弧长、旋转体的体积、曲面的面积等相关内容。
六、常微分方程常微分方程是同济高等数学B第四版教材的最后一个章节。
本章主要介绍了常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及方程的解法等内容。
通过学习本章，学生将能够掌握常微分方程的基本理论和解题方法，并应用于实际问题的求解。
通过对同济高等数学B第四版教材的介绍，我们可以看出，该教材采用了系统化的教学方式，旨在培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
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y
x0
x 200x00
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k xx0
1. 2000
曲率半径为 200米 0.
F704002 56 (牛 0 )0 5.7 4 (千 1 ),克 2000
Q 7(千 0 )克 5.7 4 力 (千 1 )克 , 力
64.51(千克)力 .
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率; 曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
思考题
椭圆 x2cot,sy3sitn上哪些点处
曲率最大？
思考题解答
k | y | 3
在limd存在的条 , K件 d下 .
s0 s ds
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大.
2、曲率的计算公式
设yf(x)二阶可 , 导 tan y,
有arctya, n d1yy2dx,
第九节 曲 率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 四、小结 思考题
一、弧微分
y
设函数 f(x)在区间 (a,b) 内具有连续.导数
基:点 A (x0,y0), M(x, y)为任意一, 点 o
AM
x0
x
N T R
xx x
规定：(1)曲线的正x增 向大 与的方向 ; 一致
( l 1) 时，在终端 R A 的曲率近似为 1 .
R
y
R
l A(x0,y0)
o C(x0,0) x
证 如图
y
x的负半轴表示直道，
R
O是 A 缓冲 ,AB 是 段圆弧. 轨道
l A(x0,y0)
在缓冲段上,
o C(x0,0) x
y 1 x2, y 1 x.
2Rl
Rl
在 x 0 处 ,y 0 ,y 0 ,故缓冲始点的 k0曲 0.率
ds 1y2dx. k
y 3.
(1 y2)2
设xy((tt)),, 二阶可, 导
dy(t), dx (t)
d d2y 2x(t)( t) 3( t)(t)(t).
(t)(t)(t)(t)
k
3.
[2(t)2(t)2]
(2)AM s, 当AM的方向与曲线正向 一致,时 s取正,号 相反,时 s取负.号
y
单调增函数 ss(x). 设 N (x x ,y y ),如图，
AM
o
MM NM NN T当 T x0时 ,
x0
x
N T R
xx x
M N ( x )2( y)2 1(y)2x 1y2dx, x
x
D曲率中 , 心 曲率半. 径
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1. k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
略去二次4lR2项 2 ,
得
kA
1. R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲y线 f(x)在点y
M(x,y)处的曲k率 (k为 0).
在点 M处的曲线的,法线上
在凹的一侧D 取 ,使一 D点 M1k .o
以D为圆,心 为半径作 . 圆
D 1
k
M
称此圆为曲线M在处点的曲率. 圆
yf(x)
实际要求 l x0,
有yxx0
21Rxl02
1 2 Rl
l2
l, 2R
y
y
xx0
1 Rlx0
1 Rl
l
1, R
故在终 A的 端曲率为
1
y
kA
3
(1 y2)2
xx0
(1
R
4
l2 R
2
)
3 2
R
l A(x0,y0)
o C(x0,0) x
l 1, R
例1 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率
解 y2a xb, y2a,
k
2a 3.
[1(2axb)2]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又(b,b24ac)为抛物线,的顶点 2a 4a
抛物线在顶点处最 的大 曲 . 率
例2 铁轨由直道转入圆弧弯 道时，若接头处 的曲率突然改变 ,容易发生事故，为了行 驶平 稳，往往在直道和
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
设曲线C是光滑的，
C
M0 是基点 . M M s,
MM切线转 角 . M为 0 S .M )
M.
S
定义
o
Байду номын сангаас
x
弧M 段 M的平均K 曲 率 . 为
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
6
3
[1 ( y)2]2 (4sin2t 9co2st)2
6
3
(4 5cos2 t)2
3
要使k最大， 必有 (45co2st)2最小，
MN s ds,
M T(d)x 2(d)2 y 1y2dx,
NT ydy0, 故 d s 1y2d.x 弧微分公式
ss(x)为单调增,函故 数 d s 1y2d.x
二、曲率及其计算公式
1、曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M 2 S2 M 3
弯道之间接入一段
缓冲段 (如图 ), 使曲 率连续地由零过渡
到 1 (R为圆弧轨道 R
的半径 ).
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通常用三次抛物线
y
1 6 Rl
x 3， x [0, x0 ]．作为
缓冲段 OA ，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段
OA 在始端 O 的曲率
为零 ,并且当 l 很小 R
例3 飞机沿抛物线
y x2
y
4000
(单位为米 )俯冲飞行 , 在原
Q
点 O 处速度为 v 400 米 / 秒 ,
飞行员体重 70 千克 .求俯冲
o
x
到原点时 ,飞行员对座椅的
P
压力 .
解 如图,受力分析 FQP,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
mv 2
.
O点处抛物线轨道的曲率半径