中考数学锐角三角函数综合经典题及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．
【解析】
试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出
∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；
（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；
（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．
试题解析：（1）如图1，连接OG．
∵EG为切线，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．
∵KG2=KD•GE，即，
∴，
又∵∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，
又∵∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；
（3）连接OG，OC，如图3所示，
∵EG为切线，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
∵sinE=sin∠ACH=
，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，
∴CK=AC=5t，
∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，
即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．
∵EF为切线，
∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，
∴FG=
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．
（1）求证：∠AEC=90°；
（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；
（3）若DC=2，求DH的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形AOCD为菱形；
（3）DH=2．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得
，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出
∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由
DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．
试题解析：（1）连接OC，
∵EC与⊙O切点C，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90°，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）
∴∠AEC+∠OCE=180°，
∴∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．理由是：
∵，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．
∵四边形AOCD为菱形，
∴OA=AD=DC=2，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DH⊥AB于点F，AB为直径，
∴DH=2DF，
在Rt△OFD中，sin∠AOD=，
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，
∴DH=2DF=2．
考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．
3．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．
(1)求证：PA是☉O的切线；
(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.
【解析】
试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．
试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，
∴AE=2OA=4，OB=OA=2，
在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.
易证，所以,解得，
则，在中，.
考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．
4．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶
端A 的仰角为60°，已知测角器CD 的高度为1.6米，请计算主教学楼AB 的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）
【答案】22.4m 【解析】 【分析】
首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解． 【详解】
解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG =3， ∴FG =
tan 3
AG AFG =∠，
在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AG
CG
， ∴CG =
tan AG
ACG ∠=3AG ．
又∵CG ﹣FG =24m ，
即3AG ﹣
3
=24m ， ∴AG =123m ， ∴AB =123+1.6≈22.4m ．
5．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3
cos 5
C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的
P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .
()1当P与边BC相切时，求P的半径；
()2联结BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，
并直接写出x的取值范围；
()3在()2的条件下，当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.
【答案】（1）40
9
；（2）()
2
5
880
010
320
x x x
y x
x
-+
=<<
+
；（3）1025
-
【解析】
【分析】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC=
3
5
，则sinC=
4
5
，sinC=
HP
CP
=
R
10R
-
=
4
5
，即可求解；
（2）PD∥BE，则
EB
PD
＝
BF
PF
，即：2
2
4880
5
x x x y
x y
--+-
=，即可求解；
（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可求解．
【详解】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，
连接HP，则HP⊥BC，cosC=
3
5
，则sinC=
3
5
，
sinC=
HP
CP
=
R
10R
-
=
4
5
，解得：R=
40
9
；
（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=
3
5
，
设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，
则BH=ACsinC=8，
同理可得：
CH=6，HA=4，AB=45，则：tan∠CAB=2BP=()2
2
84
x
+-=2880
x x
-+，DA=
25
x，则BD=45-
25
x，
如下图所示，
PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，
tanβ=2，则
55
EB=BDcosβ=（5
5
5
x）
5
2
5
x，
∴PD∥BE，
∴EB
PD
＝
BF
PF
，即：2
2
4880
5
x x x y
x y
--+
=，
整理得：y=)
2
x8x80
0x10
3x20
-+
<<
+
；
（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，
两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，
∵点Q时弧GD的中点，
∴DG⊥EP，
∵AG是圆P的直径，
∴∠GDA=90°，
∴EP∥BD，
由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，
∴AG=EP=BD，
∴AB=DB+AD=AG+AD=45，
设圆的半径为r，在△ADG中，
AD=2rcosβ=
5，DG=
5
，AG=2r，
5+2r=45，解得：2r=
51
，
则：DG=
5
=10-25，
相交所得的公共弦的长为10-25．
【点睛】
本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．
6．关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②
tan（α+β）=③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）==﹣
（2+）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
【答案】建筑物CD的高为84米．
【解析】
分析：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，
∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.
详解：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，
CD=BE，∠ADE=60°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADE
AB=BC•tan75°=42tan75°=，
AE=，
∴CD=AB﹣AE=（米）.
答：建筑物CD的高为84米.
睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.
7．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰
A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）
【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米
【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用
BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．
试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt△ACD中，CD=
tan AD ACD
=
tan30
x
= 3x
在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，
∴325+x=3x•t an68°
解得：x≈100米，
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．
视频
8．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形
（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP
试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC
∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF
∵AD//BC
∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF
∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF
∴AB=BE AB=AF
∴AF=AB=BE
∵AD//BC
∴ABEF为平行四边形
又AB=BE
∴ABEF为菱形
（2）作PH⊥AD于H
由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5
∴tan∠ADP=
考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC＝80，BD＝60．动点
M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；
(3)当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴。
∴菱形ABCD的周长为200。
（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．
①当0＜t≤40时，如答图1，
∵，
∴MP=AM•sin∠OAD=t。
S=DN•MP=×t×t=t2。
②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70﹣t，
∵，
∴MP=（70﹣t）。
∴S△DMN=DN•MP=×t×（70﹣t）=t2+28t=（t﹣35）2+490。∴S关于t的解析式为。
当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480；当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，最大值不超过480。
综上所述，S的最大值为480。
（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON。
如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，
则NF=ND•sin∠ODA=30×=24，
DF=ND•cos∠ODA=30×=18。
∴OF=12。∴。
作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，
则FG=GH。
∴S△ONF=OF•NF=S△OGF+S△OGN=OF•FG+ON•GH=（OF+ON）•FG。
∴。
∴。
设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG，∴。
∴PK=。
根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′。
∴存在两个点P到OD的距离都是
【解析】
试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问中，满足条件的点有2个，注意不要漏解.
（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；
（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；
（3）如答图4所示，作ON的垂直平分线，交EF于点I，连接OI，IN．过点N作
NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．易得△DNG∽△DAO，由EF垂直平分OD，得到OE=ED=15，EG=NH=3，再设OI=R，EI=x，根据勾股定理，在Rt△OEI和Rt△NIH中，得到关于R和x的方程组，解得R和x的值，把二者相加就是点P到OD的距离，即PE=PI＋IE=R+x，又根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件，故存在两个点P，到OD的距离也相同，从而问题解决．
试题解析：（1）如图①)在菱形ABCD中，OA=AC=40， OD=BD=30，
∵AC⊥BD，
∴AD==50，
∴菱形ABCD的周长为200；
（2）(如图②)过点M作MH⊥AD于点H．
① (如图②甲)①当0＜t≤40时，
∵sin∠OAD===，
∴MH=t，
∴S=DN·MH=t2．
②(如图②乙)当40＜t≤50时，
∴MD=80-t，
∵sin∠ADO=-，
∴MH=(70-t)，
∴S=DN·MH,
=-t2＋28t
＝-(t-35)2＋490．
∴S=，
当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．当40＜t≤50时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．综上所述，S的最大值为480；
(3)存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．
(如图④)作ON的垂直平分线，交EF于点I，连接OI，IN．
过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．
当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴NG=24，DG=18．
∵EF垂直平分OD，
∴OE=ED=15，EG=NH=3，
设OI=R，EI=x，则
在Rt△OEI中，有R2=152＋x2……①，
在Rt△NIH中，有R2=32＋(24-x)2……②，
由①,②可得：
,
∴PE=PI ＋IE=． 根据对称性可得，在BD 下方还存在一个点P′也满足条件，
∴存在两个点P ，到OD 的距离都是．
考点：相似性综合题.
10．已知：如图，在Rt △ABO 中，∠B =90°，∠OAB =30°，OA =3．以点O 为原点，斜边OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以点P （4，0）为圆心，PA 长为半径画圆，⊙P 与x 轴的另一交点为N ，点M 在⊙P 上，且满足∠MPN =60°．⊙P 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向左运动，设运动时间为ts ，解答下列问题：
（发现）（1）MN 的长度为多少；
（2）当t =2s 时，求扇形MPN （阴影部分）与Rt △ABO 重叠部分的面积．
（探究）当⊙P 和△ABO 的边所在的直线相切时，求点P 的坐标．
（拓展）当MN 与Rt △ABO 的边有两个交点时，请你直接写出t 的取值范围．
【答案】【发现】（1）MN 的长度为
π3；（23P 的坐标为10（，）；或23 0）或23 0（）；【拓展】t 的取值范围是23t ≤＜或45t ≤＜，理由见解析．
【解析】
【分析】
发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；
（2）先求出PA =1，进而求出PQ ，即可用面积公式得出结论；
探究：分圆和直线AB 和直线OB 相切，利用三角函数即可得出结论；
拓展：先找出MN 和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论．
【详解】
[发现]
（1）∵P （4，0），∴OP =4．
∵OA =3，∴AP =1，∴MN 的长度为6011803ππ⨯=． 故答案为3
π； （2）设⊙P 半径为r ，则有r =4﹣3=1，当t =2时，如图1，点N 与点A 重合，∴PA =r =1，设MP 与AB 相交于点Q ．在Rt △ABO 中，∵∠OAB =30°，∠MPN =60°． ∵∠PQA =90°，∴PQ 12=
PA 12=，∴AQ =AP ×cos30°32=，∴S 重叠部分=S △APQ 12=PQ ×AQ 38
=． 即重叠部分的面积为
3． [探究]
①如图2，当⊙P 与直线AB 相切于点C 时，连接PC ，则有PC ⊥AB ，PC =r =1． ∵∠OAB =30°，∴AP =2，∴OP =OA ﹣AP =3﹣2=1；
∴点P 的坐标为（1，0）；
②如图3，当⊙P 与直线OB 相切于点D 时，连接PD ，则有PD ⊥OB ，PD =r =1，∴PD ∥AB ，∴∠OPD =∠OAB =30°，∴cos ∠OPD PD OP =
，∴OP 123303cos ==︒，∴点P 的23，0）； ③如图4，当⊙P 与直线OB 相切于点E 时，连接PE ，则有PE ⊥OB ，同②可得：
全国备战中考数学锐角三角函数的综合备战中考模拟和真题汇总附详细答案
全国备战中考数学锐角三角函数的综合备战中考模拟和真题汇总附详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，. （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形 （2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP 试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC ∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF ∵AD//BC ∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF ∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF ∴AB=BE AB=AF ∴AF=AB=BE ∵AD//BC ∴ABEF为平行四边形 又AB=BE ∴ABEF为菱形 （2）作PH⊥AD于H 由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5
∴tan∠ADP= 考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数 2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD． （1）求证：△MED∽△BCA； （2）求证：△AMD≌△CMD； （3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2 =17 5 S1时，求cos∠ABC的 值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 . 【解析】 【分析】 （1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD； （3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以 2 1 1 4 ACB S MD S AB ⎛⎫ == ⎪ ⎝⎭ V ，所以 S△MCB=1 2 S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1= 2 5 S1，由于1 EBD S ME S EB = V ，从而可 知 5 2 ME EB =，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC= 7 2 ，最后根据锐角三角函数的 定义即可求出答案． 【详解】 （1）∵MD∥BC， ∴∠DME=∠CBA， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED∽△BCA； （2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，∴MB=MC=AM，
中考数学锐角三角函数综合经典题及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ． 【解析】 试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出 ∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE； （2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF； （3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度． 试题解析：（1）如图1，连接OG． ∵EG为切线， ∴∠KGE+∠OGA=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠AKH+∠OAG=90°， 又∵OA=OG， ∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE， ∴KE=GE． （2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示． ∵KG2=KD•GE，即， ∴， 又∵∠KGE=∠GKE， ∴△GKD∽△EGK， ∴∠E=∠AGD， 又∵∠C=∠AGD， ∴∠E=∠C， ∴AC∥EF； （3）连接OG，OC，如图3所示， ∵EG为切线， ∴∠KGE+∠OGA=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠AKH+∠OAG=90°， 又∵OA=OG， ∴∠OGA=∠OAG， ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE， ∴KE=GE． ∵sinE=sin∠ACH= ，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题附答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中， ∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题： （1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数． （2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长． （3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值． 【答案】（1）∠BME=15°； （2BC=4； （3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8， 当h≥2时，S=18﹣3h． 【解析】 试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可； （2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度； （3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC． 试题解析：解：（1）如图2， ∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）． ∴OA=OB，
中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合附详细答案
中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合附详细答案 一、锐角三角函数 1．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数： （1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为； （2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数． （3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由． 【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析. 【解析】 分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； 详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF， ∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD． ∵AC=BD，CD=AE， ∴AF=AC． ∵∠FAC=∠C=90°，
∴△FAE ≌△ACD ， ∴EF=AD=BF ，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． ∵EF=BF ， ∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°． （2）（1）中结论不成立，理由如下： 如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ， ∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形， ∴BD=AF ，BF=AD ． ∵3BD ，3AE ， ∴ 3AC CD BD AE ==． ∵BD=AF ， ∴ 3AC CD AF AE ==． ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE ∽△ACD ， ∴ 3AC AD BF AF EF EF ===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． 在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=3 EF BF = ∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°， （3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，
中考数学锐角三角函数综合题汇编附详细答案
-＞锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1.如图•从地而上的点A 看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P 的仰角是45。，向前 走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60。和30。. 拐P （2） 求该电线杆PQ 的高度（结果精确到lm ）.备用数据：盯农1_7, 缶L4 【答案】（1） ZBPQ=30°； （2）该电线杆PQ 的髙度约为9m. 【解析】 试题分析：（1）延长PQ 交直线AB 于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可： （2）设PE=x 米，在直角AAPE 和直角ABPE 中，根据三角函数利用x 表示出AE 和BE,根 AB=AE-BE 即可列岀方程求得x 的值，再在直角ABQE 中利用三角函数求得QE 的长，则 PQ 的长度即可求解. 试题解析：延长PQ 交直线AB 于点E, Z A 二45°, ••• AB=AE -BE=6 米, 在直角ABPE 中, BE 二迈PE 二』Ex 米, 3 3 A B （1） 求Z BPQ 的度数： (1) Z BPQ 二90°・60°二 30°； (2) 设 PE 二x 米. 在直 角△ APE 中， 则 AE=PE=x 米: •・• Z PBE=60° ・・・Z BPE=30°
贝I」x-^^-x=6t 3 解得：x=9+3jj・ 则BE= （3 JJ+3）米. 在直角ABEQ 中，QE=JI B E=』］（3J3+3） = （3+JJ ）米. 3 3 PQ=PE-QE=9+3 73 -（3+^3）=6+2 ^3 =9 （米）. 答：电线杆PQ的髙度约9米. 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 2.已知RtA ABC中，AB是00的弦，斜边AC交。0于点D,且AD=DC,延长CB交00 Array （1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由： （2）如图2,过点E作OO的切线，交AC的延长线于点F. ①若CF=CD时，求sinZ CAB的值； ②若CF=aCD （a>0）时，试猜想sinZ CAB的值.（用含a的代数式表示，直接写岀结果） p3 ^/a^TZ 【答案】（1） AE=CE；（2）①3；②a + 2. 【解析】 试题分析：（1）连接AE、DE,如图1,根据圆周角泄理可得Z ADE=Z ABE=90%由于 AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE； （2）连接AE、ED,如图2,由Z ABE=90°可得AE是。0的直径，根据切线的性质可得Z AEF=90°,从而可证到△ADE-4AEF,然后运用相似三角形的性质可W^E2=AD.AF.①当CF=CD时，可得AE2 = 3CD\从而有EC=AE=W C D, RtA DEC中运用三角函数可得
中考数学锐角三角函数的综合题试题含详细答案
中考数学锐角三角函数的综合题试题含详细答案 一、锐角三角函数 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90，° AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂 直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出 发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ， EG ．设运动时间为 t （ s ）（0 中考数学锐角三角函数综合题附详细答案 一、锐角三角函数 1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==， ∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B）， ∠BPE=1 ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． 2 （1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE； （2）通过观察、测量、猜想：BF PE =，并结合图2证明你的猜想； （3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE 的 值．（用含α的式子表示） 【答案】（1）证明见解析（2） 1 2 BF PE =（3） 1 tan 2 BF PE α = 【解析】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合， ∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°． ∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）． （2）BF1 PE2 =．证明如下： 如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N， ∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB． ∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB． ∴NB=NP． ∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE． ∵∠BPE=1 2 ∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF． ∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900． 又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=1 2 BM． 中考数学锐角三角函数综合题含答案解析 一、锐角三角函数 1 .某地是国家AAAA 级旅游景区，以 奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落 ”享誉巴渠，被誉 为 小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只 啸天犬”，昂首向天，望穿古今•一个周 末，某数学兴趣小组的几名同学想测出 啸天犬”上嘴尖与头顶的距离•他们把蹲着的 啸天 犬”抽象成四边形 ABCD,想法测出了尾部 C 看头顶B 的仰角为40°，从前脚落地点 D 看上 嘴尖A 的仰角刚好60°, CB =5m ,CD =2.7m •景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的 距离是3m •于是，他们很快就算出了 AB 的长•你也算算？（结果精确到 0.1m •参考数 据：sin40 0.64, cos40 0.77, tan40 0.84. . 2 1.41, , 3 1.73) BH = BF- HF =0.20, AH = EF = CD DE- CF =0.58 由勾股定理得，AB BH 2—AH 2 0.6(m)， 答：AB 的长约为0.6m • 【答案】AB 的长约为0.6m • 【解析】 【分析】 作BF CE 于F ,根据正弦的定义求出 出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解：作BF CE 于F , BF ,利用余弦的定义求出 CF ,利用正切的定义求 在 Rt BFC 中，BF = BC sin BCF 3.20, CF = BC cos BCF 3.85 , 在 Rt ADE E 中，DE AB tan ADE 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数 的定义是解题的关键. 2. 如图，等腰△ABC中，AB=AC, / BAC=36°, BC=1,点D 在边AC上且BD平分/ ABC, 设CD=x (1)求证：△ ABB A BCD (2 )求x的值； (3)求cos36°-cos72 的值. 【答案】⑴证明见解析；(2) 一J ; ( 3) 7 5 8. 2 16 【解析】 试题分析：(1)由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出/ DBC的度数，得到/ DBC=Z A,再由/ C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似； (2)根据(1)结论得到AD=BD=BC,根据AD+DC表示出人。由(1)两三角形相似得比例求出x的值即可； (3)过B作BE垂直于AC,交AC于点E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果. 试题解析：(1) •••等腰△ ABC 中，AB=AC, / BAC=36 , ••• / ABC=Z C=72 ° •/ BD 平分 / ABC, •/ ABD=Z CBD=36 ,° •/ / CBD=Z A=36 ° / C=Z C, •△ ABC^ △ BCD (2) I/ A=Z ABD=36 , • AD=BD, •/ BD=BC, • AD=BD=CD=1, 设CD=x,则有AB=AC=x+1, •/△ ABC^ △ BCD, 中考数学《锐角三角函数的综合》专项训练含详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 【答案】（1）∠BPQ=30°； （2）该电线杆PQ的高度约为9m． 【解析】 试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 试题解析：延长PQ交直线AB于点E， （1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中，33 米， ∵AB=AE-BE=6米， 则3 ， 解得：3 则BE=（33+3）米． 在直角△BEQ中，QE= 3 3 BE= 3 3 （33+3）=（3+3）米． ∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）． 答：电线杆PQ的高度约9米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==， ∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 全国各地中考模拟试卷数学分类：锐角三角函数综合题汇编及详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为»AC 上的动点，且 10cos B = . (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13 ，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ， ∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF= 12 BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10 BF B == （2）连接DG ， ∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ， 连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3， ∴FG=13 ， F ,0 ⎪ ， F (5,0) ；② 的最大值为 . 【答案】（1）见解析；（2）① 1 ⎝ 31 ⎭ CF 2 ②作 GM ⊥ BC 于点 M ，证明 ∆ANF ~ ∆ABC ，得 中考数学锐角三角函数的综合复习含详细答案 一、锐角三角函数 1．已知在平面直角坐标系中，点 A (3,0 ), B (-3,0 ), C (-3,8 )，以线段 BC 为直径作圆， 圆心为 E ，直线 AC 交 e E 于点 D ，连接 OD . （1）求证：直线 OD 是 e E 的切线； （2）点 F 为 x 轴上任意一动点，连接 C F 交 e E 于点 G ，连接 BG ： ①当 tan ∠ACF = 1 7 时，求所有 F 点的坐标 （直接写出） ； ②求 BG CF 的最大值. ⎛ 43 ⎫ BG 1 2 【解析】 【分析】 （1）连接 DE ，证明∠ EDO=90°即可； （2）①分“ F 位于 AB 上”和“ F 位于 BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； 【详解】 （1）证明：连接 DE ，则： 1 BG 1 ≤ ，从而得解. CF 2 ∵ BC 为直径 ∴ ∠BDC = 90︒ ∴ ∠BDA = 90︒ ∵ OA = OB ∴ OD = OB = OA ∴ ∠OBD = ∠ODB ∵ EB = ED ∴ ∠EBD = ∠EDB 31 31 F ,0 ⎪ 即 1 ∴ ∠EBD + ∠OBD = ∠EDB + ∠ODB 即： ∠EBO = ∠EDO ∵ CB ⊥ x 轴 ∴ ∠EBO = 90︒ ∴ ∠EDO = 90︒ ∴ 直线 OD 为 e E 的切线. （2）①如图 1，当 F 位于 AB 上时： ∵ ∆ANF ~ ∆ABC 1 ∴ AN NF AF = 1 = 1 AB BC AC ∴ 设 AN = 3x ，则 NF = 4 x , AF = 5x 1 1 ∴ CN = CA - AN = 10 - 3x ∴ tan ∠ACF = F N 4 x 1 10 1 = = ，解得： x = CN 10 - 3x 7 31 ∴ AF = 5x = 1 50 31 50 43 OF = 3 - = 1 ⎛ 43 ⎫ ⎝ 31 ⎭ 如图 2，当 F 位于 BA 的延长线上时： ∵ ∆AMF ~ ∆ABC 2 ∴ 设 AM = 3x ，则 MF = 4 x , AF = 5x 2 2 ∴ CM = CA + A M = 10 + 3x ∴ tan ∠ACF = F M 4x 1 2 = = CM 10 + 3x 7 解得： x = 2 5 中考数学 锐角三角函数 综合题及详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为»AC 上的动点，且 10 cos B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得A D•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG= 1 3 ，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ， ∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=1 2BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10 cos 10 BF B == （2）连接DG ， ∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ， 连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3， ∴FG= 13 ，中考数学 锐角三角函数 综合题附详细答案
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