中考数学真题精选之《锐角三角函数》综合解答题
中考数学真题精选之《锐角三角函数》综合解答题
1．如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝
10.4m，BC＝1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？
（结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
2．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，√2≈1.41）
3．徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C 处，用测角仪测得塔顶A的仰角∠AFE＝36°，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角∠AGE＝30°．若测角仪距地面的高度FC＝GD＝1.6m，CD ＝70m，求电视塔的高度AB（精确到0.1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin30°≈0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
4．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）
5．今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD 是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝
2.23）
6．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A 处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
7．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
8．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A 点的南偏东25°方向3√2km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．
（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．
9．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
10．2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC 的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．
（1）求点A离地面的高度AO；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：√3≈1.73）
11．“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
12．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．
13．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈
0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
14．鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，
测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB=4
3；然后他从D点又沿水平方向行
走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB）．
（1）求自动扶梯AD的长度；
（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）
15．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A 与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG 的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
16．如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．
（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿DE的方向走（12√3+12）米到达P点．求tan∠CPE的值．
17．如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”、“兰州龙源”的“龙”
字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸、某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下，如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龙”字雕塑CD的高度，（B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，sin53°＝080，cos53°＝
0.60，tan53°＝1.33）
18．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
19．东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m 处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向
（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离（结果精确到1m）（参考数据：sin68，2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）
20．某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73．结果精确到0.1km）．
21．我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）．
（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42）
22．根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算
远处小山坡上发射塔的高度MN
（如图1），他们通过自制的测倾
仪（如图2）在A，B，C三个位
置观测，测倾仪上的示数如图3
所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1分析规划选择两个观测位置：点和
点．
获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的
图上距离．
任
务
2
推理计算计算发射塔的图上高度MN．
任务3换算高度楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔
的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
23．“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120°，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角∠OED＝45°，风叶OA 的视角∠OEA＝30°．
（1）已知α，β两角和的余弦公式为：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，请利用公式计算cos75°；
（2）求风叶OA的长度．
24．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
25．某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）
（1）求点D到地面BC的距离；
（2）求该建筑物的高度AB．
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题附答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中， ∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题： （1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数． （2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长． （3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值． 【答案】（1）∠BME=15°； （2BC=4； （3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8， 当h≥2时，S=18﹣3h． 【解析】 试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可； （2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度； （3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC． 试题解析：解：（1）如图2， ∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）． ∴OA=OB，
中考数学真题精选之《锐角三角函数》综合解答题
中考数学真题精选之《锐角三角函数》综合解答题 1．如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝ 10.4m，BC＝1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？ （结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 2．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上） （1）求索道AB的长（结果精确到1m）； （2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）． （参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，√2≈1.41） 3．徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C 处，用测角仪测得塔顶A的仰角∠AFE＝36°，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角∠AGE＝30°．若测角仪距地面的高度FC＝GD＝1.6m，CD ＝70m，求电视塔的高度AB（精确到0.1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin30°≈0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
4．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： （1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数； （2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据√2≈1.414，√3≈1.732） 5．今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD 是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝
2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总附答案
2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总附答案 一、锐角三角函数 1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62 或 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE； （3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K， ∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO， ∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK， ∵△EFK是直角三角形，∴OF=1 2 EK=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF， ∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF， ∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF， ∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE； （3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H， ∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2， 在Rt△EFK中，tan∠3 ∴∠FEK=30°，∠EKF=60°， ∴EK=2FK=4，OF=1 2 EK=2， ∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2， 在Rt△PHF中，PH=1 2 PF=1，3OH=23 ∴()2 2 12362 +-=
中考数学锐角三角函数的综合题试题及答案
中考数学锐角三角函数的综合题试题及答案 一、锐角三角函数 1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62 或 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE； （3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K， ∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO， ∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK， ∵△EFK是直角三角形，∴OF=1 2 EK=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF， ∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF， ∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF， ∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE； （3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H， ∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2， 在Rt△EFK中，tan∠3 ∴∠FEK=30°，∠EKF=60°， ∴EK=2FK=4，OF=1 2 EK=2， ∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2， 在Rt△PHF中，PH=1 2 PF=1，3OH=23 ∴()2 2 12362 +-=
人教中考数学 锐角三角函数 综合题含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20 【解析】 试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可； （2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可． 试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°， ∵点D在⊙O上， ∴直线CP是⊙O的切线； （2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°， ∴CN=CB=， ∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=， ∴sin∠CAN=， ∴ ∴AC=5， ∴AB=AC=5， 设AF=x，则CF=5﹣x， 在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2， 在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2， ∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2， ∴x=3， ∴BF2=25﹣32=16， ∴BF=4， 即点B到AC的距离为4． 考点：切线的判定 2．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）． 【答案】32．4米．
中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合附详细答案
中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合附详细答案 一、锐角三角函数 1．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数： （1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为； （2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数． （3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由． 【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析. 【解析】 分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； （3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出 △ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论； 详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF， ∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD． ∵AC=BD，CD=AE， ∴AF=AC． ∵∠FAC=∠C=90°，
∴△FAE ≌△ACD ， ∴EF=AD=BF ，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． ∵EF=BF ， ∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°． （2）（1）中结论不成立，理由如下： 如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ， ∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形， ∴BD=AF ，BF=AD ． ∵3BD ，3AE ， ∴ 3AC CD BD AE ==． ∵BD=AF ， ∴ 3AC CD AF AE ==． ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE ∽△ACD ， ∴ 3AC AD BF AF EF EF ===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． 在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=3 EF BF = ∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°， （3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，
中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案
中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2＝2CD•OE； （3）若 314 cos, 53 BAD BE ∠==，求OE的长． 【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =35 6 ． 【解析】 试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线； （2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得； （3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得． 试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下： 连接OD，BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴CE=DE=BE=BC，
∴∠C=∠CDE ， ∵OA=OD ， ∴∠A=∠ADO ， ∵∠ABC=90°， ∴∠C+∠A=90°， ∴∠ADO+∠CDE=90°， ∴∠ODE=90°， ∴DE ⊥OD ，又OD 为圆的半径， ∴DE 为⊙O 的切线； （2）∵E 是BC 的中点，O 点是AB 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴AC=2OE ， ∵∠C=∠C ，∠ABC=∠BDC ， ∴△ABC ∽△BDC ， ∴，即BC 2=AC•CD ． ∴BC 2=2CD•OE ； （3）解：∵cos ∠BAD= ， ∴sin ∠BAC= ， 又∵BE= ，E 是BC 的中点，即BC=， ∴AC=． 又∵AC=2OE ， ∴OE=AC=． 考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数 2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） 已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5 AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．
中考数学 锐角三角函数 综合题附详细答案
中考数学锐角三角函数综合题附详细答案 一、锐角三角函数 1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==， ∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B）， ∠BPE=1 ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． 2 （1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：BF PE =，并结合图2证明你的猜想； （3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE 的 值．（用含α的式子表示） 【答案】（1）证明见解析（2） 1 2 BF PE =（3） 1 tan 2 BF PE α = 【解析】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合， ∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°． ∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）． （2）BF1 PE2 =．证明如下： 如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N， ∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB． ∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB． ∴NB=NP． ∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE． ∵∠BPE=1 2 ∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF． ∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900． 又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=1 2 BM．
2020-2021中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题含详细答案
2020-2021中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题含详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为»AC 上的动点，且 10 cos B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG= 1 3 ，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ， ∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=1 2BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10 cos 10 BF B == （2）连接DG ， ∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ， 连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3， ∴FG= 13 ，
中考数学锐角三角函数综合题含答案解析
中考数学锐角三角函数综合题含答案解析 一、锐角三角函数 1 .某地是国家AAAA 级旅游景区，以 奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落 ”享誉巴渠，被誉 为 小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只 啸天犬”，昂首向天，望穿古今•一个周 末，某数学兴趣小组的几名同学想测出 啸天犬”上嘴尖与头顶的距离•他们把蹲着的 啸天 犬”抽象成四边形 ABCD,想法测出了尾部 C 看头顶B 的仰角为40°，从前脚落地点 D 看上 嘴尖A 的仰角刚好60°, CB =5m ,CD =2.7m •景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的 距离是3m •于是，他们很快就算出了 AB 的长•你也算算？（结果精确到 0.1m •参考数 据：sin40 0.64, cos40 0.77, tan40 0.84. . 2 1.41, , 3 1.73) BH = BF- HF =0.20, AH = EF = CD DE- CF =0.58 由勾股定理得，AB BH 2—AH 2 0.6(m)， 答：AB 的长约为0.6m • 【答案】AB 的长约为0.6m • 【解析】 【分析】 作BF CE 于F ,根据正弦的定义求出 出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解：作BF CE 于F , BF ,利用余弦的定义求出 CF ,利用正切的定义求 在 Rt BFC 中，BF = BC sin BCF 3.20, CF = BC cos BCF 3.85 , 在 Rt ADE E 中，DE AB tan ADE
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数 的定义是解题的关键. 2. 如图，等腰△ABC中，AB=AC, / BAC=36°, BC=1,点D 在边AC上且BD平分/ ABC, 设CD=x (1)求证：△ ABB A BCD (2 )求x的值； (3)求cos36°-cos72 的值. 【答案】⑴证明见解析；(2) 一J ; ( 3) 7 5 8. 2 16 【解析】 试题分析：(1)由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出/ DBC的度数，得到/ DBC=Z A,再由/ C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似； (2)根据(1)结论得到AD=BD=BC,根据AD+DC表示出人。由(1)两三角形相似得比例求出x的值即可； (3)过B作BE垂直于AC,交AC于点E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果. 试题解析：(1) •••等腰△ ABC 中，AB=AC, / BAC=36 , ••• / ABC=Z C=72 ° •/ BD 平分 / ABC, •/ ABD=Z CBD=36 ,° •/ / CBD=Z A=36 ° / C=Z C, •△ ABC^ △ BCD (2) I/ A=Z ABD=36 , • AD=BD, •/ BD=BC, • AD=BD=CD=1, 设CD=x,则有AB=AC=x+1, •/△ ABC^ △ BCD,
中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类及答案
中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类及答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ︒ =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD． （1）求证：△MED∽△BCA； （2）求证：△AMD≌△CMD； （3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2 =17 5 S1时，求cos∠ABC的 值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 . 【解析】 【分析】 （1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD； （3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以 2 1 1 4 ACB S MD S AB ⎛⎫ == ⎪ ⎝⎭ V ，所以 S△MCB=1 2 S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1= 2 5 S1，由于1 EBD S ME S EB = V ，从而可 知 5 2 ME EB =，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC= 7 2 ，最后根据锐角三角函数的 定义即可求出答案．【详解】 （1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，
中考数学锐角三角函数综合题汇编附详细答案
-＞锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1.如图•从地而上的点A 看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P 的仰角是45。，向前 走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60。和30。. 拐P （2） 求该电线杆PQ 的高度（结果精确到lm ）.备用数据：盯农1_7, 缶L4 【答案】（1） ZBPQ=30°； （2）该电线杆PQ 的髙度约为9m. 【解析】 试题分析：（1）延长PQ 交直线AB 于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可： （2）设PE=x 米，在直角AAPE 和直角ABPE 中，根据三角函数利用x 表示出AE 和BE,根 AB=AE-BE 即可列岀方程求得x 的值，再在直角ABQE 中利用三角函数求得QE 的长，则 PQ 的长度即可求解. 试题解析：延长PQ 交直线AB 于点E, Z A 二45°, ••• AB=AE -BE=6 米, 在直角ABPE 中, BE 二迈PE 二』Ex 米, 3 3 A B （1） 求Z BPQ 的度数： (1) Z BPQ 二90°・60°二 30°； (2) 设 PE 二x 米. 在直 角△ APE 中， 则 AE=PE=x 米: •・• Z PBE=60° ・・・Z BPE=30°
贝I」x-^^-x=6t 3 解得：x=9+3jj・ 则BE= （3 JJ+3）米. 在直角ABEQ 中，QE=JI B E=』］（3J3+3） = （3+JJ ）米. 3 3 PQ=PE-QE=9+3 73 -（3+^3）=6+2 ^3 =9 （米）. 答：电线杆PQ的髙度约9米. 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 2.已知RtA ABC中，AB是00的弦，斜边AC交。0于点D,且AD=DC,延长CB交00 Array （1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由： （2）如图2,过点E作OO的切线，交AC的延长线于点F. ①若CF=CD时，求sinZ CAB的值； ②若CF=aCD （a>0）时，试猜想sinZ CAB的值.（用含a的代数式表示，直接写岀结果） p3 ^/a^TZ 【答案】（1） AE=CE；（2）①3；②a + 2. 【解析】 试题分析：（1）连接AE、DE,如图1,根据圆周角泄理可得Z ADE=Z ABE=90%由于 AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE； （2）连接AE、ED,如图2,由Z ABE=90°可得AE是。0的直径，根据切线的性质可得Z AEF=90°,从而可证到△ADE-4AEF,然后运用相似三角形的性质可W^E2=AD.AF.①当CF=CD时，可得AE2 = 3CD\从而有EC=AE=W C D, RtA DEC中运用三角函数可得
中考数学锐角三角函数的综合题试题含详细答案
中考数学锐角三角函数的综合题试题含详细答案 一、锐角三角函数 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90，° AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂 直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出 发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ， EG ．设运动时间为 t （ s ）（0