河南省郑州市高新区一中2023届高一上数学期末复习检测模拟试题含解析
河南省郑州中学2024届高一上数学期末复习检测试题含解析
19．已知函数
f
x
a 3x 1 3x 1
（1）当 a 1时，解方程 lg f 2x lg f x 1 lg16 ；
（1）用“五点法”做出函数 f x 在 x 0, 2 上的简图；
（2）若方程
f
x
a在
x
2 3
,
5 6
上有两个实根，求
a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D
【解题分析】利用分段函数在 R 上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
A.
1 3
,1
B.
,
1 3
1,
C.
1 3
,
1 3
D.
,
1 3
1 3
,
7．下面四个不等式中不正确的为
A. sin 1 1 15 15
B. 20.9 0.92
C.
ln
1 2
log3
1 2
D. 20.3 0.30.2
8．函数 f (x) 2 tan( x 3) 的最小正周期为 2
【解题分析】设函数 y x2 4x 3 ，求出 x [0, 4]时 y 的取值范围，再根据 a [2, 2]讨论 a 的取值范围，判断 f x
是否能取得最大值 3 ,从而求出对应的概率值
【题目详解】在区间 2, 2 上任取一个数 a ，基本事件空间对应区间的长度是 4 ， 由 y x2 4x 3 x 22 1, x [0，4] ，得 y [1,3] ，
河南省郑州市2023-2024学年高三上学期1月期末考试 数学含解析
绝密★启用前2023—2024学年郑州市高三（上）期末考试数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足10986a a a +=.若存在两项m a ，n a ，使得14a =，则14m n+的最小值为()A.4 B.23C.32D.92.已知函数()()223x x f x a bx -=-++,且0ab ≠.若()2019f h =-,则()f h -=()A.2024B.2023C.2022D.20253.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A.32-B.12-C.12D.324.在ABC △中，下列各式正确的是()A.sin sin a B b A=B.sin sin a C c B=C.2222cos()c a b ab A B =+-+D.sin()sin a A B c A+=5.满足下列条件的两条直线1l 与2l ，其中可以推出12//l l 的条件是()①1l 的斜率为2，2l 过点(1,2)A ，(4,8)B ；②1l 经过点(3,3)P ，(5,3)Q -，2l 平行于x 轴，但不经过P 点；③1l 经过点(1,0)M -，(5,2)N --，2l 经过点(4,3)R -，(0,5)S .A.①②B.②③C.①③D.①②③6.在三棱锥P ABC -中，CP ，CA ，CB 两两互相垂直，1AC CB ==，2PC =，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAB 的法向量可以是()A.11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C.(1,1,1)D.(2,2,1)-7.已知数列{}n a 满足：6(3)3,7,,7n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩()n +∈N ，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是()A.9,34⎛⎫⎪⎝⎭B.9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.(1,3)D.(2,3)8.一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s )之间的函数关系为()25s t t mt =+，且这一物体在23t ≤≤这段时间内的平均速度为26m /s ，则实数m 的值为()A.2B.1C.1- D.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.设一元二次方程220x ax a ++=的两个实根为,1x ,()212x x x ≠,则()A.1216x x >B.当17a >时,12117x x a +-的最小值为34+C.1211x x +为定值D.当21127x x x x +=时,16a =10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点3)A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到点P ，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π||2ϕ<），则下列叙述正确的是()A.6R =，π30ω=，π6ϕ=-B.当[35,55]t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C.当[10,25]t ∈时，函数()y f t =单调递减D.当20t =时，||PA =三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知样本数据1x ,2x ,…,2022x 的平均数与方差分别是m 和n ,若i i 2(i 1,2,,2022)y x =-+= ,且样本数据的1y ,2y ,…,2022y 平均数与方差分别是n 和m ,则222122022x x x +++= ________.14.已知过不同两点()222,3A m m +-，()23,2B m m m --的直线l 的一个方向向量(1,1)=a ，则实数m =_________.15.若直线l 的斜率k 的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是__________.16.商场对某种产品的广告费用支出x (元)与销售额y (元)之间的关系进行调查，通过回归分析，求得x 与y 之间的关系式为ˆ 6.517.5yx =+，则当广告费用支出为10元时，销售额y 的预报值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球, .球数构成一个数列{}n a ,满足1n n a a n -=+,1n >且*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证:121112na a a +++< .（1）求sin ABD ∠的值；（2）求ABD △的面积.19.（12分）已知函数()cos )sin f x x x =+-,在ABC △中,AB =,()f C =ABC △的面积为2．（1）求C 的值；（2）求sin sin A B +的值．20.（12分）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念,终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值.现值是未来的一笔钱按给定的利息率计算所得到的现在的价值.例如,在复利计息的情况下,设本金为A ,每期利率为r ,期数为n ,到期末的本利和为S ,则()1n S A r =+其中,S 称为n 期末的终值,A 称为n 期后22.（12分）已知0a >,设函数()(2)ln f x x a x x =-+,()f x '是()f x 的导函数.（1）若2a =,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点1x ,()212x x x <.①求实数a 的取值范围；②证明：()222e 2e 2a ax f x '<--.2023—2024学年郑州市高三（上）期末考试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：C解析：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.由各项均为正数的等比数列{}n a 满足10986a a a +=，可得28886a q a q a +=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍）.14a =，2216m n +-∴=，6m n ∴+=，141141413()5(56662n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4n m m n =，即2m =，4n =时，等号成立.故14m n +的最小值为32.故选C.2.答案：D解析：由()()223x x f x a bx -=-++,得()()223x x f x a bx --=--+,()()6f x f x -+∴=,()()62025f h f h ∴-=-=.故选：D.3.答案：D解析：由题意得122236ωπππ⨯=-，解得2ω=，易知6x π=是()f x 的最小值点，所以322()62k k ϕππ⨯+=+π∈Z ，得72()6k k ϕπ=+π∈Z ，于是77()sin 22sin 266f x x k x ππ⎛⎫⎛⎫=++π=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则557sin 2sin 1212632f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.4.答案：D解析：对于选项A：由正弦定理有sin sin sin a b c A B C ==,故sin sin a Ab B=,故选项A 错误；对于选项B ：因为sin sin a c A C=,故sin sin a C c A =,故选项B 错误；对于选项C：()cos cos A B C +=-,由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得()2222cos c a b ab A B =+++;故选项C 错误;对于选项D：由正弦定理可得sin sin a c A C=,再根据诱导公式可得：()sin sin a c A A B =+,即()sin sin a A B c A +=，故选项D 正确;故选：D 5.答案：B解析：根据两点间的斜率公式知①中2l 的斜率为2，但是不能保证12//l l ，因为有可能直线1l 与2l 重合；②③中的两条直线斜率相等但不重合，可以保证12//l l .故选B.6.答案：A解析：由题意，得(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)P ，则(1,1,0)AB =- ，(1,0,2)AP =-，设平面PAB 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0,AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1y =，12z =，所以11,1,2⎛⎫= ⎪⎝⎭n ，故选A.7.答案：D解析：根据题意，6(3)3,7,,7n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩()n +∈N ，要使{}n a 是递增数列，必有8630,1,(3)73,a a a a -->⎧⎪>⎨⎪-⨯-<⎩即3,1,29,a a a a <⎧⎪>⎨⎪><-⎩或可得23a <<.故选D.8.答案：B 解析：由已知，得()()322632s s -=-，()()2253352226m m ∴⨯+-⨯+=，解得1m =，故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.答案：BC解析:因为方程220x ax a ++=的两个实根为1x ,()212x x x ≠,所以280a a ∆=->,解得()(),08,a ∈-∞+∞ ,由12x x a +=-,122x x a =,所以()()12,016,x x ∈-∞+∞ ,所以A 错误;则()1211123421734342171717x x a a a a a ⋅+=+=+-+++--- ,当172a =+时,等号成立,所以12117x x a +-的最小值为34+B 正确;由1212121112x x x x x x ++==-,所以C 正确;当21127x x x x +=时,()22221212121212242722x x x x x x a a a x x x x a +-+-===-=,得18a =,所以D 错误.故选:BC.10.答案：ABD解析：由题意可知60T =，所以2π60ω=，解得π30ω=，又从点3)A -出发，所以6R =，6sin 3ϕ=-，又π||2ϕ<，所以π6ϕ=-，A 正确；ππ6sin()306y t =-，当[35,55]t ∈时，ππ5π[π,]3063t -∈，则ππsin([1,0]306t -∈-，[6,0]y ∈-，点P 到x 轴的距离为||y ，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，B 正确；当[10,25]t ∈时，πππ2π[,30663t -∈，所以函数ππ6sin(306y t =-在[10,25]上不单调，C 不正确；当20t =时，πππ3062t -=，则π6sin 62y ==，且π6cos 02x ==，所以()0,6P ，则||PA ==正确.故选ABD.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.解析：分析知2223m m m +≠--，即1m ≠-且12m ≠.又由题意，得()()222231132m m m m m --=---+，所以2m =-.15.答案：0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：0k ≤< 0tan α∴≤<.又[0,)α∈π，0,3απ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.16.答案：82.5解析：x 与y 之间的关系式为ˆ 6.517.5yx =+，则当广告费用支出为10元时，销售额的预报值为6.51017.582.5⨯+=.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.答案：（1）π3A =（2）见解析解析：（1）因为1n n a a n -=+,1n >,所以1n n a a n --=,1n >,所以当1n >时,()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+()()11212n n n n +=+-+++= ,当1n =时,上式也成立,所以()12n n n a +=；（2）由()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,所以121111111112121222311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.19.答案：（1）3C =（2）32解析：（1）π()cos )sin 2cos()6f x x x x =+-=++由()f C =,得π2cos(6C +=,π2cos(06C +=()0,πC ∈ ππ7π(,)666C ∴+∈π3C ∴=.（2）由（1）知π3C =,又1sin 2ABC S ab C = △31πsin 223ab ∴=2ab ∴=由余弦定理得2222π32cos23a b ab a b ==+-+-225a b ∴+=,3a b +=由正弦定理得sin sin sin 12A B C a b c ===13sin sin ()22A B a b +=+=∴.（2）①a >;②证明见解析解析:（1）由题设()2(1)ln f x x x x =-+,则2(1)2()2ln 12ln 3x f x x x x x-'=++=-+,且0x >,所以(1)1f =,(1)1f '=,则在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-,即0x y -=.（2）①当1x >时()0f x =等价于20ln x x a x +-=,设()2ln x g x x a x =+-,则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln x x x g x x x -+-=+'=.当1x <<时()0g x '<,()g x 单调递减;当x >()0g x '>,()g x 单调递增;所以,当1x >时min ()g x g a ==,因为()f x 在(1,)+∞上存在两个不同的零点1x ,2x ,则min ()0g x <,解得a >.当a >时,取1a a x a =∈-,则1ln 11a a x x a <-=-,故()221201ln 111a a a a a x a a a g x x a a x a a a -=+->+-=>---,又2002ln 2a a g a⎛⎫=>= ⎪⎝⎭,所以()f x在和2a ⎫⎪⎭上各有一个零点,故a >.②因为()2ln 3a f x x x-'=+,所以22222()2ln 3x f x x x a x '=-+,结合()()22222ln 0f x x a x x =-+=知：()()2222222222232222a x a x f x a x a x x a a x -=-+=---+--'.设ln 1y x x =-+,则11y x'=-,在(0,1)上0y '>,在(1,)+∞上0y '<,所以y 在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减,故ln1110y ≤-+=,即ln 1x x ≤-,所以ln 1e ex x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,即ln e x x ≤,当e x =时取等号,所以e e e e e e ln e 02222e 2a a a a a f -----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭.由①知,()f x 在[)2,x +∞上单调递增,且()20f x =,所以2e 2a x -≤,即22e a x -≥.因为22()2a a t t tϕ=--+在[e,)+∞上是减函数,且22e a x -≥,所以()()22222(e)e 22e a a x f x a x ϕϕ=-≤=--+',得证.。
河南省郑州市高新区一中2022-2023学年高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
1．如图，AB 为半圆的直径，点 C 为 AB 的中点，点 M 为线段 AB 上的一点（含端点 A，B），若 AB 2 ，则 AC MB
的取值范围是（）
A. 1, 3
B. 2,3
C. 3, 10
D. 2, 10
2．已知函数
f
x
＝
2 2
x x
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
故选：D. 2、D
【解析】根据奇偶性定义和单调性的性质可得到 f x 的奇偶性和单调性，由此将恒成立的不等式化为
m a2 4a 1 ，通过求解 a2 4a 1的最大值，可知 m
a2 4a 1 ，由此得到结果. max
【详解】
f
x
2 x 2 x
1 1
1
2x 1
2x
1 1 2x
1 1 2x
18．已知函数 f (x) sin( 4x) cos(4x )
3
6
（1）求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若 f (x) 在区间 0, m 上存在唯一的最小值为-2，求实数 m 的取值范围
19．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 O 为 A1B 的中点， ABC 90 ， AB BC 2 ， AA1 2 3 .
2023-2024学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题1(含答案)
2023-2024学年河南省郑州市高一上册期末数学试题一、单选题1．命题“∀x ∈R ，|x |+x 2≥0”的否定是（）A ．∀x ∈R ，|x |+x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |+x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x <0D ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x ≥0【正确答案】C【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“x ∀∈R ，20x x +≥”的否定是“0x ∃∈R ，2000x x +<”.故选：C.2．已知全集U =R ，集合{|14}A x x x =<->或，23{|}B x x =-≤≤，那么阴影部分表示的集合为A ．4{|}2x x -≤<B ．{|34}x x x ≤≥或C ．{|21}x x -≤≤-D ．{|13}x x -≤≤【正确答案】D【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，求出U C A ，计算得到答案【详解】阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，{|14}A x x x =- 或{|14}U C A x x ∴=-≤≤{|23}B x x =-≤≤ (){|13}U C A B x x ∴⋂=-≤≤故选D本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题3．已知函数3,2,()(1),2,x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩则(6)f 等于（）A ．－2B ．0C ．1D ．2【正确答案】A【分析】根据分段函数，根据分段函数将(6)f 最终转化为求()1f 【详解】根据分段函数可知：()()()()()(6)543212f f f f f f ======-故选：A4．对于实数a ，b ，c 下列命题中的真命题是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b >>，则11a b>C ．若0a b <<，则b a a b >D ．若a b >，11a b>，则0a >，0b <【正确答案】D【分析】通过不等式的性质一一验证即可.【详解】对于选项A ：若a b >，当0c =时，22ac bc =，故选项A 错误；对于选项B ：若0a b >>，可得0b aab -<，则11ab<，故选项B 错误；对于选项C ：若0a b <<，则22a b >，则b aa b<，故选项C 错误，对于选项D ：若11a b >，则0b a ab->，又a b > ，则0a >，0b <，故选项D 正确；故选：D.5．“2,3k k πθπ=+∈Z ”是“sin 2θ=”的（）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】由sin 2θ=等价于2,3k k πθπ=+∈Z ，或22,3k k πθπ=+∈Z ，再根据充分、必要条件的概念，即可得到结果.【详解】因为sin 2θ=，所以2,3k k πθπ=+∈Z ，或22,3k k πθπ=+∈Z ，所以“2,3k k πθπ=+∈Z ”是“sin 2θ=”的充分而不必要条件.故选:B.6．函数f(x)＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【正确答案】B【详解】试题分析：根据零点存在性定理，因为，所以函数零点在区间（3，4）内，故选择B 零点存在性定理7．已知α为钝角，且1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C ．D 【正确答案】C先求出cos 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用和角的余弦公式计算求解.【详解】∵α为钝角，且1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴5cos cos 12123πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin123123ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123=-=故选：C本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．函数()()2121531xa x a x f x a x ⎧-+<=⎨-≥⎩在R 上单调递减的一个充分不必要条件是（）A ．20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】先求出()f x 在R 上单调递减的a 的范围，则充分不必要条件为102a <<的非空真子集.【详解】函数()()2121531xa x ax f x a x ⎧-+<=⎨-≥⎩在R 上单调递减，则2100121253a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥-⎩，解得：102a <<，则()f x 在R 上单调递减的一个充分不必要条件为102a <<的非空真子集，所以A 正确，故选：A.二、多选题9．下列函数是奇函数的有（）A ．ln y x =B ．sin y x =C ．1y x x=+D ．2xy =【正确答案】BC【分析】通过奇函数的定义()()0f x f x +-=，以及定义域关于原点对称分析各个选项【详解】因为ln y x =的定义域为(0,)+∞，不符合奇函数定义，A 错误；通过奇函数的定义()()0f x f x +-=，sin sin()0x x +-=，且定义域关于原点对称，B 正确；1()f x x x=+，所以()()0f x f x +-=，且定义域关于原点对称，C 正确；()2x g x =，所以()()0g x g x +-≠，D 错误；故选：BC10．已知函数()sin 2xf x =，则以下结论恒成立的是（）A ．()()f x f x -=-B ．()()f x f x -=C ．(2)()f x f x π-=D ．()()f x f x ππ+=-【正确答案】ACD利用诱导公式逐个验证即可得答案【详解】解：对于A ，B ，()sin()sin ()22x xf x f x -=-=-=-，所以A 正确，B 错误；对于C ，2(2)sinsin(sin ()222x x xf x f x πππ--==-==，所以C 正确；对于D ，因为()sinsin()cos 2222xx x f x πππ++==+=，()sin sin()cos 2222x x xf x πππ--==-=，所以()()f x f x ππ+=-，所以D 正确，故选：ACD11．已知角α的终边经过点()sin120,tan120P,则（）A．cos α=B．sin α=C ．tan 2α=-D．sin cos αα+=【正确答案】ACD【分析】先化简点P 坐标,再根据三角函数的定义,求得sin α,cos α,进而求得tan ,sin cos ααα+的值即可判断选项.【详解】解:由题知()sin120,tan120P ,即P ⎝,因为角α的终边经过点P ,所以sin ,5α=-cos ,5α=sin tan 2cos ααα==-,sin cos 555α+α=-+=-.故选:ACD12．函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是（）A ．图象C 关于直线11π12x =对称；B ．图象C 关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称；C ．由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ；D ．函数()f x 在区间π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数.【正确答案】ABD【分析】利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解.【详解】对于A ，由()ππ2πZ 32x k k -=+∈，得()π5πZ 212k x k =+∈，所以()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴方程为()π5πZ 212k x k =+∈，当1k =时，π5π11π21212x =+=，所以图象C 关于直线11π12x =对称，故A 正确；对于B ，由2π2ππ3sin 23sin π=0333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图象C 关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，将3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得π2ππ3sin 23sin 23sin 2()333y x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≠-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，由()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈，所以()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个增区间，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()21xf x =-,则()1f -=__________.【正确答案】1-【分析】根据0x >时函数解析式,将1x =代入即可求()1f ,根据奇函数()()011f f +-=代入即可求得()1f -.【详解】解:由题知()f x 是定义在R 上的奇函数,()()110f f ∴+-=,当0x >时,()21xf x =-,()11f ∴=,()11f ∴-=-.故答案为:-114．已知函数()()2lg 72f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【正确答案】49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】转化为2720ax x ++>恒成立，分0a =与0a ≠两种情况，列出不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】由题意得：2720ax x ++>恒成立，当0a =时，720x +>，解得：27x >-，定义域为不是R ，舍去；当0a ≠时，要满足0Δ4980a a >⎧⎨=-<⎩，解得：498a >，综上：实数a 的取值范围是49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为.49,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x +是奇函数，()01f =，则()()()()()21012f f f f f -+-+++=__________.【正确答案】1-【分析】由奇函数的定义，()1f x +是奇函数，所以有()()11f x f x -+=-+，分别令x 取0和1-，即可求出()1f 与()2f 的值，再利用()f x 为偶函数，可求出()1f -与()2f -的值，然后代入式中求解即可.【详解】∵()1f x +是奇函数，∴()()11f x f x -+=-+，令0x =，得()()0101f f -+=-+，即()()11f f =-，∴()10f =，令=1x -，得()()()1111f f --+=--+，即()()201f f =-=-，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()221f f -==-，()()110f f -==，∴()()()()()()()21012101011f f f f f -+-+++=-++++-=-.故答案为.1-16．已知函数()()6sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<为偶函数，点()()12,6,,6A x B x -是函数()f x 图象上的两点，若12x x -的最小值为3，则()2f =__________.【正确答案】3-【分析】根据函数的奇偶性确定π2ϕ=，再根据12x x -的最小值为3确定函数最小正周期，求得2π3ω=，即得函数解析式，即可求得答案.【详解】因为函数()()6sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<为偶函数，故()()6sin 6sin x x ωϕωϕ-+=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x ωϕωϕωϕωϕ-+=+，所以sin cos 0x ωϕ=，sin x ω不恒等于0，故cos 0ϕ=，而0πϕ<<，则π2ϕ=，点()()12,6,,6A x B x -是函数()f x 图象上的两点，12x x -的最小值为3，则()f x 的最小正周期为6，则2ππ63ω==，故()πππ36sin 6co 3s 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()6cos2π233f ==-，故3-四、解答题17．求值：（1）1103231338⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅+++【正确答案】（1）32-（2）1792【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）根据对数的运算法则及性质化简求值.【详解】（1）1103231338⎛⎫--+⎪⎝⎭13271()18=-+133312(12⨯=--+32=-（2）24log 32log 0.252lg 42lg5⋅+++421log 32221log ln 2lg 4lg 54e =++++-1281lg10022=-+++-1792=本题主要考查了指数运算，对数运算，属于中档题.18．已知1,sin cos 225x x x ππ-<<+=.(1)求2sin cos sin 1tan x x x x⋅++的值(2)求sin cos x x -的值.【正确答案】（1）1225-（2）75-【分析】（1）由1sin cos 5x x +=两边平方可得sinxcosx ，利用同角关系2sin cos sin sinxcosx 1tan x x xx⋅+=+；（2）由（1）可知cosx 0sinx 0＞，＜，从而sin cos x x -=【详解】（1）∵1sin cos 5x x +=.∴112sinxcosx 25+=，即12sinxcosx 25=-()2sin cos sin 1tan 1sinx cosx sinx x x x sinx x cosx+⋅+=++，()12sinxcosx 25sinxcosx cosx sinx sinx cosx +===-+（2）由（1）知12sinxcosx 25=-＜0，又22x ππ-<<∴cosx 0sinx 0＞，＜，∴7sin cos 5x x -===-本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和整体代入的思想，属于中档题．19．设命题()2:240p x m x m +-+=方程有两个不相等的实数根；命题q ：对所有的23x ≤≤，不等式22413x x m -+≥恒成立.(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题,p q 一真一假，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){4m m 或1}m <(2){|3m m <-或13m ≤≤或4}m >【分析】（1）根据命题p 为真命题，由2(24)44(1)(4)0m m m m ∆=--=-->求解；（2）先由命题q 为真命题求得m 的范围，再根据命题,p q 一真一假求解.【详解】（1）解：若命题p 为真命题，则2Δ(24)44(1)(4)0m m m m =--=-->，解得4m >或1m <，所以实数m 的取值范围为{4m m 或1}m <.（2）若命题q 为真命题，则当23x ≤≤时，()2229x m -≥-恒成立.当2x =时，()22y x =-取得最小值0，则209m ≥-，即29m ≤，解得3 3.m -≤≤当p 真q 假时，1433m m m m <<⎧⎨<-<⎩或或，得3m <-或4m >，当p 假q 真时，得33m -≤≤且14m ≤≤，解得13m ≤≤.综上，实数m 的取值范围为{|3m m <-或13m ≤≤或4}m >.20．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x 万件产品，还需另外投入原料费及其他费用()f x 万元，产量不同其费用也不同，且()21,010,29lg 41,10.x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪+-≥⎩已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？【正确答案】(1)()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩(2)当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元【分析】（1）根据题意，建立函数关系式；（2）利用函数单调性求出最大值，即可得到答案.【详解】（1）当010x <<时，()2211838322W x x x x x =--=-+-.当10x ≥时，()()89lg 413lg 38W x x x x x x =-+--=--+.故()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩（2）当010x <<时，()()22118382922W x x x x =-+-=--+，所以当8x =时，()W x 取得最大值，且最大值为29；当10x ≥时，()lg 38W x x x =--+，此时()W x 单调递减，所以当10x =时，()W x 取得最大值，且最大值为27.综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元.21．已知22()()21x x a a f x x ⋅+-=∈+R 是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义证明之；(3)解关于t 的不等式()23(2)0f t f t -+<．【正确答案】(1)1；(2)函数()(())f x g h x =在R 上是增函数，证明见解析；(3){31}t t -<<。
2023年郑州市期末数学答案
(2) a a1 3, a2 a2 a a1 2 2 9 2 7.
........12 分
19．解：（1） f x 在区间（- ,) 上的单调递增.
...............................1 分
理由如下：对任意 x1, x2 （- ,) ，且 x1 x2 ，
..........................11 分
综上所述：①当 a 3 时，不等式的解集为x a 2 x 1 ；
②当 a 3 时，不等式的解集为 ；
③当 a 3时，不等式的解集为x 1 x a 2 .
............................12 分
22. (1)由题可知
f
(
x)
75x2 30x
750
750 x 1
225, 30x ,
0 x 2, 2 x 5,
75
x
1 5
2
222
3
3
2
1 sin 2x 3 cos 2x 1
2
2
2
sin 2x 1 ， 3 2
f (x)的最小正周期为：T 2 . 2
.....................................3 分
由2x k (k Z ) 得 x 5 k k Z ，
32
12 2
所以 f (x1) f (x2 ) ，
所以 f x 在区间（- ,) 上的单调递增.
.....................................5 分 ......................................6 分
(2) 假设存在实数 a，使函数 f x 为奇函数.
河南省郑州二中2023届高一上数学期末检测模拟试题含解析
【详解】由题设， ，可得 ，
所以 .
故选：A
9、D
【解析】由题意利用角在各个象限 符号，即可得出结论.
【详解】由题意，点 在第二象限，
则角 的终边所在的象限位于第四象限，故选D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
【解析】（1）由 结合正弦面积公式及余弦定理得到 ，进而得到结果；（2）由 结合内角和定理可得 分两类讨论即可.
试题解析：
（1） ，由余弦定理得，
（2）
即 或 （ⅰ）当 时，由第（1）问知 ， 是等腰三角形， （ⅱ）当 时，由第（1）问知 ， 又 ，矛盾，舍.
综上 是等腰三角形，其面积为
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
C.[0，4)D.(0，4]
5．已知 ， ，则 的值为
A. B.
C. D.
6．已知函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m的值是（）
A 或2B.2
C. D.1
7．已知向量 ， ， ，则
A. B.
C. D.
8．已知角 终边经过点 ，且 ，则 的值是（）
A. B.
C. D.
9．已知点 在第二象限，则角 的终边所在的象限为
故可设PA： ，PB：
由 ，得 ，
因为 的横坐标 一定是该方程的解， ，
同理可得
由于AB的斜率 的斜率 ，
所以直线AB和OP一定平行
2022-2023学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题(含解析)
2022-2023学年河南省郑州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则A B = （）A ．(12]-，B ．(12)-，C ．[01)，D ．[01]，【正确答案】C【分析】由交集的定义计算．【详解】由已知{|01}[0,1)A B x x =≤<= ．故选：C ．2．函数1()lg(2)3f x x x =-+-的定义域是（）A ．(2)+∞，B ．(23)，C ．(3)+∞，D ．(23)(3)+∞ ，，【正确答案】D【分析】由题可得2030x x ->⎧⎨-≠⎩，即得.【详解】∵1()lg(2)3f x x x =-+-，∴2030x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >，且3x ≠，所以函数的定义域为(2,3)(3,)+∞ .故选：D.3．已知ln 3a =，0.43-=b ，0.53c -=，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a>>【正确答案】A【分析】根据对数的单调性，指数函数的单调性，求解即可.【详解】因为ln 3ln e 1a =>=，0.50.4331c b --=<=<，所以a b c >>．故选：A4．用二分法求函数32()22f x x x x =+--的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝–2，f （1.5）＝0.625，f （1.25）≈–0.984，f （1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是A ．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）D ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.3125）【正确答案】C【分析】根据已知能的特殊函数值，可以确定方程32220x x x +--=的根分布区间，然后根据精确要求选出正确答案.【详解】由由二分法知，方程32220x x x +--=的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）．故选C ．本题考查了二分法的应用，掌握二分法的步骤是解题的关键.5．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm 【正确答案】D【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为1r ，2r ，相同的圆心角为θ，则1216080r r θ==，得122r r =，又因为1240r r -=，所以180r =，240r =，该扇形玉雕壁画面积1211111608016080804048002222S r r =⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=（2cm ）．故选：D ．6．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，点(1,3)P -在角α的终边上，则sin cos 2sin 3cos αααα-=-（）A ．34-B ．34C ．49-D ．49【正确答案】D【分析】先根据三角函数的定义求出tan α，然后采用弦化切，代入tan α计算即可【详解】因为点(1,3)P -在角α的终边上，所以tan 3α=-sin cos tan 13142sin 3cos 2tan 32(3)39αααααα----===--⨯--故选：D7．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增D ．图像关于直线12x π=-成轴对称【正确答案】B【分析】根据函数tan(2)tan(233y x x ππ=-+=--，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：函数tan(2)tan(2)33y x x ππ=-+=--，当512x π=时，521232πππ⨯-=，所以图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，选项B 正确；函数的最小正周期为2T π=，所以A 错误；当,312x ππ⎛-∈⎫-⎪⎝⎭时，2,32x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以函数在,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以C 错误；正切函数不是轴对称函数，所以D 错误．故选：B ．8．下列有关命题的说法错误的是（）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x R ∈，均有210x x ++≥【正确答案】C【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程2440kx x ++=有一根判断；D.由命题p 的否定为全称量词命题判断.【详解】A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x -<<，由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由复合函数的单调性知：()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；B.当1x =时，2x -4x +3=0成立，故充分，当2x -4x +3=0成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；C.若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当0k =时，=1x -，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，所以0k =或1k =，故错误；D.因为命题p .存在0x R ∈，使得20010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即⌝p 任意x R ∈，均有210x x ++≥，故正确；故选：C二、多选题9．下列化简结果正确的是（）A ．1cos 22sin 52sin 22cos522︒︒-︒︒=B ．1sin15sin 30sin 754︒︒︒=C ．cos15sin152︒-︒=D ．tan 24tan 361tan 24tan 36︒+︒=-︒︒【正确答案】ACD【分析】由正弦、余弦、正切函数的和差角公式逐一判断可得选项.【详解】解：对于A ，()1cos 22sin 52sin 22cos 52sin 5222sin 302︒︒-︒︒=-==，故A 正确；对于B ，11111sin15sin 30sin 75cos15sin15sin 30sin 30sin 3022228︒︒︒=︒︒︒=⋅=⨯⨯= ，故B 不正确；对于C ，()cos15sin15451530︒-︒=-== ，故C 正确；对于D ，()tan 24tan 36tan 24+36tan 601tan 24tan 36︒+︒=︒︒=︒=-︒︒D 正确，故选：ACD.10．下列四个命题正确的有（）A ．已知π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭值为35B ．若22a x a y ≥，则x y≥C ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角D ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π【正确答案】ACD【分析】利用诱导公式可以判断A ；利用特值法可以判断B ；对C 先判断α的象限，再判断2α的象限；对D ，作出函数的图象，再由图象进行判断．【详解】A.因为π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5ππππsin sin cos 3π3co 26s 66αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎝⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎝=⎪⎭⎭⎭，故选项A 正确；B ．当0a =，1,2x y ==时，满足22a x a y ≥，但不能得到x y ≥，故选项B 错误；C ．2sin sin tan 0cos αααα⋅=> 且cos tan sin 0ααα⋅=<，∴cos 0,sin 0αα><，α\为第四象限角，所以32ππ2π2π,Z 2k k k α+<<+∈,所以3ππππ,Z 42k k k α+<<+∈，∴2α为第二或第四象限角，故选项C 正确；D ．作出1|cos |2y x =+的图象如图所示，由图象可得此函数为周期函数且最小正周期为2π，故选项D 正确；故选：ACD11．下列说法正确的有（）A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是1-B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2D ．()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，()10f =，则不等式()0f x x>的解集为()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】AB【分析】对于A ，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B ，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C ，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D ，根据题意可得函数在(),0∞-上单调递减，从而可得不等式()0f x x>等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，从而可得出答案【详解】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->，所以()1122112121x x x x +=-++=---()()11121212111212x x x x⎡⎤-++-⋅-⋅+=-⎢⎥--⎣⎦≤，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，故1221x x +-的最大值为1-，故A 正确；对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=，10x +>，0y z +>，所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，所以()4411115531313y z x x y z x y z ⎡+⎡⎤++=++≥+=⎢⎢⎥++++⎢⎣⎦⎣，当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+，即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立，所以411x y z+++的最小值为3，故B 正确；对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-（舍去）或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，因为函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，所以函数在(),0∞-上单调递减，又因(1)0f =，所以(1)0f -=，不等式()0f x x >等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，即()()01x f x f >⎧⎨>⎩或()()01x f x f <⎧⎨<-⎩，所以10x -<<或1x >，即不等式()0xf x >的解集为()(1,01,)-⋃+∞，故D 错误故选：AB12．定义运算：a b ad bc cd=-，将函数()cos sin x f x xωω=的图像向左平移23π个单位，所得图像关于原点对称，若01ω<<，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．对任意的x R ∈，都有()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在()0,π上是增函数D ．由2sin y x ω=的图像向右平移3π个单位长度可以得到()f x 图像【正确答案】AC【分析】依题意得()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据奇函数可得12ω=，可判断A ；判断3x π=是否为对称轴可判断B ；当()0,x π∈时，有13236x πππ-<-<，可判断C ；根据平移性质可判断D ．【详解】依题意得()cos sin 2sin 3sin xf x x x x x ωπωωωω⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，()f x 图像向左平移23π个单位得22sin 33y x ππω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数所以2,33k k Z πωππ-=∈，又01ω<<，得12ω=故()12sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其最小正周期为4π，A 正确；由于12sin 2sin 132336f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故B 错；当()0,x π∈时，有13236x πππ-<-<，由于sin y x =在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在()0,π上是增函数，故C 正确；由2sin y x ω=的图像向右平移3π个单位长度可以得到()12sin 23y x f x π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故D 错；故选：AC三、填空题13．幂函数()()222mm m f x x =+-在区间()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为______．【正确答案】3-【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.【详解】因函数()()222mm m f x x =+-是幂函数，则2221m m +-=，解得m =1或m =-3，又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，则0m <，所以实数m 的值为-3.故-314．已知sin α＋cos α＝713，α∈(－π，0)，则tan α＝________.【正确答案】512-.由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin α和cos α的值，可得tan α的值.【详解】因为sin α＋cos α＝713，①所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169，即2sin αcos α＝120169-.因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＝1713==-，与sin α＋cos α＝713联立解得sin α＝－513，cos α＝1213，所以tan α＝sin 5cos 12αα=-.故答案为.512-该题考查的是有关三角函数恒等变换化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，在解题的过程中，注意sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα++⋅这三个式子是知一求二，属于简单题目.15．已知函数π()cos ln(4f x x x =+⋅+在区间[]2022,2022-上的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +=____________．【正确答案】π4【分析】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，()g x 时奇函数，可得()g x 在max min ()()0g x g x +=，据此可求M ＋m ，从而求出()f M m +.【详解】令(()cos ln g x x x =⋅，则()()π4f xg x =+，∴()f x 和()g x 在[]2022,2022-上单调性相同，∴设()g x 在[]2022,2022-上有最大值max ()g x ，有最小值min ()g x .∵()(cos ln g x x x -⋅-＝，∴()())cos ln 0g x g x x x x ⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在[]2022,2022-上为奇函数，∴max min ()()0g x g x +=，∴max min ππ(),()44M g x m g x =+=+，∴π2M m +=，()ππ24f M m f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故π416．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()()sin 0πy A x B ωϕϕ=++<<，则下列说法正确的是________．①该函数的周期是16．②该函数图象的一条对称轴是直线14x =③该函数的解析式是()π3π10sin 2002484y x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭④这一天的函数关系式也适用于第二天【正确答案】①②【分析】根据图象确定函数的最小正周期及14x =时，函数取得最大值，判断①②正确；由于2ππ8T ω==，故可取π8ω=-，从而该函数的解析式不一定是()π3π10sin 2002484y x x ⎛⎫=++≤≤ ⎝⎭，③错误；这一天的函数关系式只适用于当天，④错误.【详解】由图象可得：函数最小正周期()146216T =-⨯=，①正确；故2ππ8T ω==，不妨令A >0，且3010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：1020A B =⎧⎨=⎩，由图象可得：当14x =时，函数取得最大值，故该函数图象的一条对称轴是直线14x =，②正确；不妨取π8ω=-，则π10sin 208y x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，将()6,10代入得：3π10sin 20104ϕ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，解得：π4ϕ=，故③错误；这一天的函数关系式只适用于当天，不一定适合第二天，④错误.故①②四、解答题17．化简求值：(1))120431818-⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)2log 32122log 1lg 25lg ln 4⎛⎫++-⋅ ⎪⎝⎭【正确答案】(1)5；(2)4.【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简计算即得；（2）利用对数的运算性质化简计算即得.【详解】（1）)()()1211204333443181=22218---⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭2415=+-=；（2）2log 321122log 1lg 25lg ln 30lg10031442⎛⎫++-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭.18．已知全集U =R ，集合{}13A x x =<≤，集合{}21B x m x m =<<-．条件①U A B =∅ ð；②x A ∈是x B ∈的充分条件；③12,x A x B ∀∈∃∈，使得12x x =．(1)若1m =-，求A B ⋂；(2)若集合A ，B 满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){}12x x <＜(2)∞（-,-2）或{}|2m m -＜【分析】（1）可将1m =-带入集合B 中，得到集合B 的解集，即可求解出答案；（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合A 与集合B 之间的关系，即可完成求解.【详解】（1）当1m =-时，集合{}22B x x =-<<，集合{}13A x x =<≤，所以{}12A B x x ⋂=<＜；（2）i.当选择条件①时，集合{}21B x m x m =<<-，当B =∅时，U A B A =≠∅ ð，舍；当集合B ≠∅时，即集合21m m -＜，13m ＜时，{}|21U B x x m x m =≤≥-或ð，此时要满足U A B =∅ ð，则2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，结合13m ＜，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；ii.当选择条件②时，要满足x A ∈是x B ∈的充分条件，则需满足在集合B ≠∅时，集合A 是集合B 的子集，即2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；iii.当选择条件③时，要使得12,x A x B ∀∈∃∈，使得12x x =，那么需满足在集合B ≠∅时，集合A 是集合B 的子集，即2131m m ≤⎧⎨-⎩＜，解得m ＜-2，所以实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜；故，实数m 的取值范围为∞（-,-2）或{}|2m m -＜.19．已知角α在第二象限，且4tan 3α=-．(1)求23112tan()sin 2sin(3)sin 2ππααπαπα⎡⎤⎢⎥⎛⎫--+⎢⎥ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值；(2)若cos()αβ-=，且αβ-为第一象限角，求sin β的值．【正确答案】(1)145-【分析】（1）利用同角三角函数关系可求解得43sin ,cos 55αα==-，利用诱导公式化简原式可得原式2(sin cos )αα=--，代入即得解；（2）利用同角三角函数关系可得sin()αβ-=sin[(]sin )ααββ=--，利用两角差的正弦公式，即得解【详解】（1）因为4tan 3α=-，且α在第二象限，故22sin 4cos 3sin cos 1sin 0cos 0αααααα⎧=-⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪<⎪⎩，所以43sin ,cos 55αα==-，原式2112(tan )cos sin cos αααα⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos 2(sin cos )sin cos αααααααα-=-⋅=--145=-（2）由题意有sin()0αβ->故sin()10αβ-===，sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---4351051050⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭．20．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．(1)根据如图所示的直角坐标系，将点P 到水面的距离h （单位：m ，在水面下，h 为负数）表示为时间t （单位：s ）的函数，并求13t =时，点P 到水面的距离；(2)在点P 从0P 开始转动的一圈内，点P 到水面的距离不低于4m 的时间有多长？【正确答案】(1)()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2m (2)4s【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h 关于时间t 的函数，和13t =时的函数值；（2）先确定定义域[]0,12t ∈，再求解不等式，得到26t ≤≤，从而求出答案.【详解】（1）筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为52ππ606⨯=()rad /s ，故()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13t =时，()13ππ134sin 2266h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故点P 到水面的距离为2m（2）点P 从0P 开始转动的一圈，所用时间012t =，令()ππ4sin 2466h t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]0,12t ∈，解得：26t ≤≤，则624-=，故点P 到水面的距离不低于4m 的时间为4s.21．已知()π2sin cos 23cos 44f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递减区间：（2）若函数()()42sin 2g x f x k x =--在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围.【正确答案】（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭.（1）化简()f x ，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果；（2）转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象可得结果.【详解】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos244x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos44x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭sin 222x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令3222232k x k πππππ+≤+≤+，Z k ∈，解得：71212k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，∴()f x 的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x =2sin 242sin 23x k x π⎛⎫+-- ⎪⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点等价于12sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2326k x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一实根，设()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，依题意可知2y k =与()y h x =的图象有唯一交点，函数()h x 在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知实数k 应满足11222k -<≤或21k =-，∴1144k -<≤或12k =-，故实数k 的取值范围11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭.关键点点睛：转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象求解是解题关键.22．已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值;(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;(3)设()()()2log 20x g x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞(3)()2,1【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，可得1222x x xa a ⋅+=+有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.【详解】（1）函数的定义或为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.()()f x f x ∴-=，即()()22og 41lo l g 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x xx x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当0x ≥时，21x ≥，122x xy =+单调递增，()f x \在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0-∞上单调递减；()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,-∞-⋃+∞；（3） 函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，()()()()22241log 2log 41log 2x x xx g x a a f x x ⎛⎫+∴=⋅+==+-= ⎪⎝⎭，即4112222x xx x x a a +⋅+==+，20x a a ⋅+>，设20x t =>，则1at a t t +=+，即()2110a t at -+-=，又2x t =在R 上单调递增，所以方程()2110a t at -+-=有两个不等的正根；()()210Δ411001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪∴⎨->-⎪⎪->⎪-⎩，解得21a <<，即a的取值范围为()2,1-.。
2023-2024学年河南省郑州市高一上学期学业质量测试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河南省郑州市高一上册学业质量测试数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，a A B ∈ ，则a 的值可以是（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【正确答案】D【分析】求得集合,A B ，得到A B ⋂，结合a A B ∈ 和选项，即可求解.【详解】由题意，集合{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，11{|0B x x x x ⎧⎫=<=<⎨⎬⎩⎭或1}x >，所以{|20A B x x =-<< 或12}x <<，因为a A B ∈ ，结合选项可得13A B -∈ .故选：D.2．已知()f x 是定义域为(,)∞∞-+的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【正确答案】C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++ ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴= ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++== ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．函数322()(6)f x x x =--的单调递减区间为（）A ．1[,2]2-B ．1[3,]2--C ．1[,)2-+∞D ．1(,]2-∞-【正确答案】A【分析】()f x =，由260x x --≥结合函数26y x x =--的递减区间可得结果.【详解】()322()6f x x x=--=由260x x --≥得32x -≤≤，又22125624x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的单调递减区间为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A ．4．已知13a a -+=，下列各式中正确的个数是（）①227a a -+=；②3318a a -+=；③1122a a -+==A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解.【详解】①2212()2927a a a a --+-==-=+,正确；②33122()(1)3(71)18a a a a a a ---+=+-+=⨯-=，正确；③因为13a a -+=可知0a >，11220a a -+>，211221()25a a a a --=++=+，所以1122a a -+=④3311112222()(1)1)a aa a a a a a----=+=+-+=-+=.故选：C本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题.5．《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约4πm ，肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为1.25m ，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（）A ．m 2πB．4C ．58πm D ．2m【正确答案】B【分析】由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．【详解】由题得：弓所在的弧长为：54488l ππππ=++=；所以其所对的圆心角58524ππα==；∴两手之间的距离2sin 1.254d R AB π===．故选：B6．,R a b ∈，记{}()()max ,a a b a b b a b ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数(){}2max 1,f x x x =+（x ∈R ）的最小值是（）ABCD【正确答案】A【分析】讨论21x x +≥，21x x +<时，可得函数的解析式，结合函数的单调性可得函数的最小值.【详解】当21x x +≥，即21x x +≥或21x x +≤-x ≤≤(){}2max 1,11f x x x x x =+=+=+，函数单调递增，所以()min 11322f x ==+；当x <(){}22max 1,f x x x x =+=，函数单调递减，()f x f =⎝⎭>；当x (){}22max 1,f x x x x =+=，函数单调递增，()1322f x f ⎛⎫ ⎪⎪= ⎝⎭>；综上，()min 32f x =.故选：A.7．已知()22,0,4,0.x x f x x +⎧≥=⎨<⎩则关于a 的不等式()()223f a f a >-的解集为（）A ．()0,3B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()0,1【正确答案】A【分析】先画出函数的图象，再解不等式组223,20a a a ⎧>-⎨>⎩即得解.【详解】解：函数的图象如图所示，213,23,03020a a a a a a ⎧-<<>-⎧⇒⇒<<⎨⎨>>⎩⎩，故选：A.8．已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则函数()12f x y x=-的零点为（）A ．12B ．13C ．2D ．3【正确答案】A【分析】先根据()f x 单调，结合已知条件求出()f x 的解析式，然后再进一步研究函数()12f x y x=-的零点．【详解】解：因为()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，且对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，故可设存在唯一的实数()0,C ∞∈+，使得()3f C =，则设()2log f x x C -=，所以()2log f x x C =+，所以()2log 3f C C C =+=，则2log 3C C =-，由于函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，函数3y x =-在()0,∞+上单调递减，又2log 2132==-，所以2C =，故()()22log 2log 4f x x x =+=再令()120f x x-=，()0,x ∈+∞，得：140x x -=，解得12x =±（负值舍去）．则函数()12f x y x=-的零点为12.故选：A ．二、多选题9．下列选项正确的是（）A ．对1,1x x x ∀∈++R 的最小值为1B ．若0ab <，则a b ba+的最大值为2-C ．若0,0a b >>，则11a b +≥D ．若正实数,x y 满足21x y +=，则21x y+的最小值为8【正确答案】BD【分析】根据特殊值A ，由均值不等式判断BC ，根据“1”的技巧及均值不等式判断D.【详解】对A ，取2x =-，1311x x +=-<+，故A 错误；对B ，0ab <，则()2a b a b baba+=---≤-=-，当且仅当a b =-时等号成立，故B 正确；对C ，因为0,0a b >>，所以11ab+<C 错误；对于D ，21214()(2)448y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当4y x x y =，即11,24x y ==时等号成立，故D 正确.故选：BD10．已知函数()2121x x f x -=+，下面说法正确的有（）A ．()f x 的图像关于原点对称B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的值域为()1,1-D ．12,x x R ∀∈，且()()121212,f x f x x x x x -≠>-【正确答案】ACD【分析】判断()f x 的奇偶性即可判断选项AB ，求()f x 的值域可判断C ，证明()f x 的单调性可判断选项D ，即可得正确选项.【详解】21()21x x f x -=+的定义域为R 关于原点对称,()()2122112()()2112212x x x x x xx x f x f x --------====-+++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选项A 正确，选项B 不正确；212122()1212121x x x x xf x +--===-+++，因为20x >，所以211x +>，所以10121x <<+，22021x --<<+，所以211121x-<-<+，可得()f x 的值域为()1,1-，故选项C 正确；设任意的12x x <，则()()()12122112122222222()()1(1)212121212121x x x x x x x x f x f x -=---=-=++-++++，因为1210x +>，2210x +>，12220x x -<，所以()()()121222202121x x x x -<++，即12())0(f x f x -<，所以()()12120f x f x x x ->-，故选项D 正确；故选：ACD利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.11．下列命题中是真命题的有（）A ．存在α，β，使()tan tan tan αβαβ-=-B ．在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件D ．在ABC 中，若5cos 13A =，4sin 5B =则cosC 的值为3365或6365【正确答案】AC【分析】赋值法可以判断A 选项；在ABC 中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可判断B 选项；根据正弦定理可判断选项C ；先由5cos 13A =，求得12sin 13A =，再由4sin 5B =，结合大角对大边求得3cos 5B =，最后根据cos cos()C A B =-+求值即可判断选项D.【详解】对于A ，当0β=时，正确；对于B ，由sin 2sin 2A B =可得22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，错误；对于C ，2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B >⇔>⇔>⇔>(其中R 是ABC 外接圆的半径)，正确；对于D ，因为5cos 13A =，0A π<<，所以12sin 13A ===.因为sin sin A B >，所以由正弦定理得a b >，从而A B >.又因为4sin 5B =，所以3cos 5B ==，从而()33cos cos sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=，错误；故选：AC.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．12．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【正确答案】CD令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点．故选：CD ．本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．三、填空题13．已知集合{}2R |2(1)0A x ax a x a =∈+++=没有非空真子集，则实数a 构成的集合为______.【正确答案】{}102a a ⎧⎫⋃≤-⎨⎬⎩⎭【分析】根据题意可得集合A 中元素的个数为1或0个，再分情况讨论即可，注意0a =这种情况.【详解】解：因为集合{}2R |2(1)0A x ax a x a =∈+++=没有非空真子集，所以集合A 中元素的个数为1或0个，当集合A 中元素的个数为1个时，若0a =，则有20x =，解得0x =，符合题意，若0a ≠，则有()224140a a ∆=+-=，解得12a =-，当集合A 中元素的个数为0个时，则()22Δ41400a a a ⎧=+-<⎪⎨≠⎪⎩，解得12a <-，综上0a =或12a ≤-，即实数a 构成的集合为{}102a a ⎧⎫⋃≤-⎨⎬⎩⎭.故答案为.{}102a a ⎧⎫⋃≤-⎨⎬⎩⎭14．已知,a b 均为实数且,1a b >-，3a b ab ++=，则4a b +的最小值为______.【正确答案】3【分析】由3a b ab ++=可得1)(14a b ++=()，再将4a b +变形为(1)4(1)5a b +++-，利用基本不等式即可求解.【详解】由3a b ab ++=，可得1)(14a b ++=()，因为,1a b >-，所以10a +>，10+>b ，则4(1)4(1)553a b a b +=+++-≥-=，当且仅当(1)4(1)(1)(1)4a b a b +=+⎧⎨++=⎩，即30a b =⎧⎨=⎩时取等号.所以4a b +的最小值为3.故315．已知函数()()2121xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，若方程()f x a =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则22222341x x x x +++的取值范围为__________.【正确答案】(8,12)【分析】由题意可知函数()f x 的图象关于1x =对称，画出函数()f x 的大致图象，不妨设1234x x x x <<<，则142x x +=，232x x +=，12x x =-，所以222221234248x x x x x +++=+，再由201x <<即可求出结果．【详解】解：∵当x ＞1时，()(2)f x f x =-，∴()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上的图象关于1x =对称，画出函数()f x 的图象，如图所示，不妨设1234x x x x <<<，由对称性可知，142x x +=，232x x +=，12x x =-，()()2222222221234222222248x x x x x x x x x ∴+++=++-++=+，201x << ，2284812x ∴<+<，即22222341x x x x +++的取值范围为(8,12).故(8,12)．16．已知偶函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，已知当210x x >>时，122221121221()()(e e )x x x f x x f x x x x x ->-，若2(2)2e 8f =+，则2||()2||e x f x x x >+的解集为______.【正确答案】()()2,00,2-⋃【分析】由122221121221()()(e e )x x x f x x f x x x x x ->-，可得1211222212()e ()e x x f x x f x x x x -->，令()2()exg f xx x x -=，从而可得出函数()g x 在()0,∞+上得单调性，再判断函数()g x 的奇偶性，结合2(2)2e 8f =+，求得()2g ，而所求不等式可化为||2()||e 2x f x x x->，再根据函数的单调性和奇偶性列出不等式即可得出答案.【详解】解：当210x x >>时，由122221121221()()(e e )x x x f x x f x x x x x ->-，得1211222212()e ()e x x f x x f x x x x -->，令()2()ex g f x x x x -=，当0x >时，()2()e x g f x x x x -=，则()()12g x g x >，所以函数()g x 在()0,∞+上递减，因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，则()()()22()e ()exx f x x f x x x x x ----=--=-=，所以函数()g x 也是偶函数，因为2(2)2e 8f =+，所以(2)2g =，不等式2||()2||e x f x x x >+可化为||2()||e 2x f x x x ->，即()()2g x g >，所以2x <，解得22x -<<，所以2||()2||e x f x x x >+的解集为()()2,00,2-⋃.故答案为.()()2,00,2-⋃四、解答题17．函数()f x 的定义域为集合A ，函数()()112x g x x ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭的值域为集合B ,U =R..(1)求()UA B ⋂ð；(2)）若[],21C a a =-且C B ⊆,求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)(]0,1(2)3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）此题考查集合的运算，先求集合A 与()03f =，然后再求集合的补集与交集；（2）m ，所以讨论当C =∅和C ≠∅两种情况求范围．【详解】（1）函数()f x 的定义域为10x ->，所以()1,A =+∞，U ð(],1A =-∞，因为1x ≥-，1022x⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，(]0,2B =；()UA B ⋂=ð(]0,1.（2）因为C B ⊆，所以,21C a a =∅>-，解得.1a <C ≠∅时，0021121232a a a a a a a ⎧⎪<>⎧⎪⎪≤-⇒≥⎨⎨⎪⎪-≤⎩⎪≤⎩，得.312a ≤≤故实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎝⎦.18．()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的定义域；(2)若π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos 22f αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，求α.【正确答案】(1)ππ,82k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z (2)π12α=【分析】（1）由正切函数的定义域通过换元即可求解；（2）利用三角函数的和差角及二倍角公式化简可得1sin 22α=，根据π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】（1）由ππ2π,42x k k +≠+∈Z ，得ππ82k x ≠+，k ∈Z ，所以()f x 的定义域为ππ,82k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z .（2）由2cos 22f αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得πtan 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()22πsin 42cos sin πcos 4αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin )cos sin αααααααα+=+--，因为π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα+≠，因此21(cos sin )2αα-=，即1sin 22α=，由π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π20,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26α=，即π12α=.19．命题p ：“[1,2]x ∀∈，20x x a +-≥”，命题q ：“R x ∃∈，2320x x a ++-=”.(1)当p 为假命题时，求实数a 的取值范围；(2)若p 和q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)14a >-(2)14a ≠-【分析】（1）根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案；（2）利用分类讨论的解题思想，可得答案.【详解】（1）由p 为假命题，则p ⌝为真命题，即[]1,2x ∃∈，20x x a +-<，令()2f x x x a =+-，开口向上，则140a ∆=+>，解得14a >-.（2）由（1）可知，当p 为真命题时，14a ≤-；当p 为假命题时，14a >-.当q 为真命题时，()9420a ∆=--≥，解得14≥-a ；当q 为假命题时，14a <-.当p 为真命题，q 为假命题时，14a <-；当p 为假命题，q 为真命题时，14a >-；则p 和q 中有且只有一个是真命题时，14a ≠-.20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2．(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?【正确答案】(1)()0.125,()0.5f x x g x x==(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.【分析】（1）根据待定系数法可得；（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，写出年收益的解析式，利用换元法可得.【详解】（1）由题意可设(),()f x mx g x n x ==由图知，函数()f x 和()g x 的图象分别过点(1,0.125)和(1,0.5)，代入解析式可得0.125,0.5m n ==，所以()0.125,()0.5f x x g x x==（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，用于投资风险型产品的资金为20x -，年收益为y ，则10.1250.520(4208y x x x x =+-=+-，[0,20]x ∈令20t x =-2211(420)[(2)24]88y t t t =---=---，[0,5]t ∈当2t =，即16x =时，max 3y =，所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.21．如图，要在一块半径为1m ，圆心为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在AB 弧上，点Q 在OA 上，点M 、N 在OB 上，设∠BOP=θ．平行四边形MNPQ 的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值及相应θ的值．【正确答案】（1）S 23sin cos sin ,0,33πθθθθ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（2）当6πθ=时，S 有最大值为36【分析】（1）分别过P 、Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则QEDP 为矩形，求出边长即可求S 关于θ的函数关系式；（2）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过θ的范围求出S 的最大值及相应的θ角．【详解】（1）分别过P 、Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则QEDP 为矩形，由扇形半径为1cm ，PD ＝sinθ，OD ＝cosθ，在Rt △OEQ 中MN ＝OD ﹣OE ＝3cos sin 3θθ-3cos sin sin 3S MN PD θθθ⎛⎫=⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭＝23sin cos sin ,0,33πθθθθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭（2）23323sin cos sin sin 23366S S θθθθ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 252,666ππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，即1sin 2,162πθ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦当6πθ=时，()2max 3m 6S =本题考查三角函数在解决实际问题中的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题，．22．已知函数()()ln f x x a =+()a ∈R 的图象过点()1,0，2()()2e f x g x x =-.(1)求函数()g x 的解析式；(2)设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【正确答案】(1)()22g x x x =-，()0,x ∈+∞；(2)12m <<.【分析】（1）由已知求得0a =，()ln f x x =，代入即可得到()22g x x x =-，()0,x ∈+∞；（2）已知可转化为max ()ln(1)g x m <--，即转化为求()g x 在1,m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，由已知可得1m >，11m <，根据二次函数的性质可知所以()g x 的最大值在1x m =或x m =处取得.作差可得()1g m g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭.即可得到22ln(1)0m m m -+-<，1m >.令()()22ln 1h m m m m =-+-，根据定义法证明()h m 在1m >时的单调性，根据单调性求解不等式，即可求出m 的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得，()()1ln 10f a =+=，所以0a =，所以()ln f x x =，定义域为()0,∞+.所以有，2()()2e f x g x x =-2ln 22e 2x x x x =-=-，()0,x ∈+∞.（2）解：若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，只需满足max ()ln(1)g x m <--成立.由（1）知，()22,0g x x x x =->，对称轴为1x =.由0m >，1m m <可得，21m >，所以1m >，即有11m m<<.根据二次函数的性质，可得()g x 在1,1m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,m 上单调递增，所以()g x 的最大值在1x m=或x m =处取得.又22111122g m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()22g m m m =-，()221122g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22112m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()3211m m m +-=，又1m >，所以()10g m g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()1g m g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()ma 2x (2)g m m m g x ==-.由max ()ln(1)g x m <--成立，可得22ln(1)m m m -<--，1m >，即22ln(1)0m m m -+-<，1m >.令()()22ln 1h m m m m =-+-，1m >，则原不等式等价于()0h m <.12,1m m ∀>，且设12m m <，则()()()()22121112222ln 12ln 1h m h m m m m m m m -=-+--+--()()11212212ln 1m m m m m m -=-+-+-，因为12,1m m >，12m m <，所以120m m -<，1220m m +->，12011m m <-<-，所以121011m m -<<-，所以121ln 01m m -<-，所以()()11212212ln 01m m m m m m --+-+-.所以()()120h m h m -<，所以()()12h m h m <，所以()()22ln 1h m m m m =-+-在()1,+∞上单调递增.又()()22222ln 210h =-⨯+-=，则由()()02h m h <=，可解得12m <<.。
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【小问1详解】
解：由函数 ，可得 ，
令 ，
要使得函数 在 取到最小值，则函数 必须先减后增，
则满足 ，解得 ，
即实数 取值范围为 .
【小问2详解】
解：由（1）知 ，设 ，
若 时，即 时， ，即 ，函数 在 上单调递减，
令 ，解得
令 ，解得
的值域为 ，
当 时， ，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
从而当 时，函数有最小值，即为
函数在右端点的函数值为
的值域为 ，
则实数 的取值范围是
点睛：本题主要考查的是分段函数的应用．当 时，函数 为减函数，且在区间左端点处有 ，当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，从而当 时，函数有最小值，即为 ，函数在右端点的函数值为 ，结合图象即可求出答案
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）15；（2）14年.
【解析】（1）先判定到2020年底历经的总年数，再利用增长率列式计算即可；
（2）设经过x年达16亿，列关系 ，解不等式即得结果.
【详解】解：（1）由1995年底到2020年底，经过25年，由题知，到2020年底我国人口总数大约为
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
所以函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
所以
由题意得 ，
所以 恒成立，
令 ，
所以 恒成立，
因为 在 上单调递增，
所以 ∴ ，解得 ，
又 ，∴
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】解答此类题时注意以下几点：
（1）对于复合函数的单调性，可根据“同增异减”的方法进行判断；
（2）已知方程根的个数（函数零点的个数）求参数范围时，可通过解方程的方法求解，对于无法解方程的，可通过分离、构造函数的方法转化为函数图象公共点个数的问题处理
【详解】联立 与 可得交点坐标为 ，
又其满足直线 ，故可得 ，解得 .
故选： .
3、D
【解析】根据题意可得出 ，然后根据向量的运算得出 ，从而可求出答案.
【详解】因为点C为 的中点， ，所以 ，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以 ，所以 ，
所以 的取值范围是 ,
故选：D.
4、B
【解析】先求出函数的定义域，判断出函数为奇函数，排除选项D，由当 时， ，排除A，C选项，得出答案.
所以EF∥PM，从而得证.
试题解析：
连接AF并延长交BC于M.连接PM.
因 AD∥BC，所以 ＝ .
又由已知 ＝ ，所以 ＝ .
由平面几何知识可得EF∥PM，又EF⊄平面PBC，PM⊂平面PBC，
所以EF∥平面PBC.
20、（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） .
【解析】（Ⅰ）当 时，利用对数函数的单调性，直接解不等式 即可；
故选B
考点：由三视图求面积、体积
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】∵函数f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）∵当x＞0时，f（x）=log2x∴当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-log2（-x）.
故答案为 .
点睛：本题根据函数为奇函数可推断出f（-x）=-f（x）进而根据x＞0时函数的解析式即可求得x＜0时，函数的解析式
（Ⅱ）方程 ，即为 ，
∴ ，∴ ，
令 ，则 ，
由题意得方程 在 上只有一解, 令 , ,
转化为函数 与 的图象在 上只有一个交点.
则分别作出函数 与 的图象，如图所示
结合图象可得，当 或 时，直线y=a和 的图象只有一个公共点，即方程只有一个解
所以实数 范围为 .
（Ⅲ）因为函数 在 上单调递减，
所以函数 定义域内单调递减，
14．设x、y满足约束条件 ，则 的最小值是________.
15．已知函数 若存在实数 使得函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．我国是世界上人口最多的国家，1982年十二大，计划生育被确定为基本国策.实行计划生育，严格控制人口增长，坚持少生优生，这是直接关系到人民生活水平的进一步提高，也是造福子孙后代的百年大计.
A.108cm3B.100cm3
C.92cm3D.84cm3
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 时， __________
12．函数y＝cos2x－sinx的值域是__________________
13．已知球 有个内接正方体，且球 的表面积为 ，则正方体的边长为__________
【详解】解析： 定义域为 ，
，所以 为奇函数，可排除D选项，
当 时， ， ，由此 ，排除A，C选项，
故选：B
5、A
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，且方向相同
∴ ，
∴ ．选A
6、B
【解析】根据幂函数、指数函数 性质判断大小关系.
【详解】由 ，
所以 .
故选：B
7、D
【解析】取 ，得到 ，对比选项得到答案.
【详解】 ，取 ， ，
A.2B.3
C.4D.8
6．已知 ，则它们的大小关系是（）
A. B.
C. D.
7．下列区间是函数 的单调递减区间的是（）
A. B.
C. D.
8．已知指数函数 是减函数，若 ， ， ，则m，n，p的大小关系是（）
A. B.
C. D.
9．已知六边形 是边长为1的正六边形，则 的值为
A. B.
C. D.
10．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
（1）据统计1995年底，我国人口总数约12亿，如果人口的自然年增长率控制在1%，到2020年底我国人口总数大约为多少亿（精确到亿）；
（2）当前，我国人口发展已经出现转折性变化，2015年10月26日至10月29日召开的党的十八届五中全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动.这是继2013年，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后的又一次人口政策调整.据统计2015年中国人口实际数量大约14亿，若实行全面两孩政策后，预计人口年增长率实际可达1%，那么需经过多少年我国人口可达16亿.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】根据题意列出函数关系式，建立不等式求解即可.
【详解】设售价为 ，利润为 ，
则 ，
由题意 ，
即 ，
解得 ，
即售价应定为 元到 元之间，
故选：B.
2、B
【解析】联立两条已知直线求得交点坐标，待定系数即可求得参数值.
（亿）；
（2）设需要经过x年我国人口可达16亿，由题知 ，
两边取对数得， ，
即有 ，则需要经过14年我国人口可达16亿.17、（1）ຫໍສະໝຸດ =-1，b=-2（2） ，
【解析】可根据题意条件，此一元二次不等式的解集转化成此一元二次方程的两个跟，然后利用根与系数的关系，即可完成求解；
可根据集合A、B的范围分别求解出 ， 即可.
（参考数字： ， ， ， ）
17．已知不等式 的解集 .
（1）求实数a，b的值；
（2）若集合 ，求 ， .
18．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1.
(1)求f(3)＋f(－1)；
(2)求f(x)的解析式.
19．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EA＝BF∶FD，求证：EF∥平面PBC.
20．已知 ，函数 .
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）若关于 的方程 的解集中恰有一个元素，求 的取值范围；
（Ⅲ）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的和不大于 ，求 的取值范围.
21．设函数 ，其中
（1）若当 时 取到最小值，求a的取值范围
（2）设 的最大值为 ，最小值为 ，求 的函数解析式，并求 的最小值
（Ⅱ）化简关于 的方程 ，通过分离变量推出 的表达式，通过解集中恰有一个元素，利用二次函数的性质，即可求 的取值范围；
（Ⅲ）在 上单调递减利用复合函数的单调性求解函数的最值，令 ，化简不等式，转化求解不等式的最大值，然后推出 的范围.
【详解】（Ⅰ）当 时， ，
∴ ，整理得 ，解得 ．所以原不等式的解集为 .
A. B.
C. D.
2．三条直线 ， ， 相交于一点，则 的值是
A.－2B.－1
C.0D.1
3．如图，AB为半圆的直径，点C为 的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若 ，则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．函数 图像大致为（）
A. B.
C. D.
5． 是 所在平面上的一点,满足 ,若 ,则 的面积为（）
（3）解不等式的恒成立问题时，通常采取分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值的问题
21、（1）
（2） ，最小值为 .