2020届陕西省西安高新一中高一数学网课测试题答案(下载版)
陕西省西安市高新一中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
陕西省西安市高新一中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中与函数y x =是同一函数的是（ ）．A．2y = B．3y = C．y = D ．2x y x= 2．若一次函数y kx b =+在R 上是增函数，则k 的范围为（ ）．A ．0k >B ．0k ≥C ．0k <D ．0k ≤3．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为（ ）． A ．2 B ．4 C ．8 D ．164．函数2()1f x x =-在[2,0]-上的最大值与最小值之差为（ ）． A ．83 B ．43 C ．23 D ．15．如图是①a y x =；②b y x =；③c y x =，在第一象限的图像，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．6．已知函数2()8f x x kx =--在[1,4]上单调，则实数k 的取值范围为（ ）．A ．[2,8]B ．[8,2]--C ．(][),82,-∞--+∞D ．(][),28,-∞+∞7．已知函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ）． A ．有最大值4 B ．有最小值4- C ．有最大值3- D ．有最小值3- 8．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<9．设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（ ）．A ．|sgn |x x x =-B ．sgn ||x x x =-C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =10．若在定义域内存在．．实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“有点奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“有点奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．11m ≤B ．1m ≤C ．m -≤D ．1m -≤ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若函数2(4)()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩≥，则[(3)]f f =__________．12．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则R A B =ð__________．13．方程23x x k +=的解都在[1,2]内，则k 的取值范围为__________．14．已知函数11()log x a x f x -+=（0a >且1a ≠）有下列四个结论．①恒过定点；②()f x 是奇函数；③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；④若m ，(1,1)n ∈-，那么()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． 其中正确的结论是__________（请将所有正确结论的序号都填在横线上）．三、解答题：（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15．（本小题满分8分）求下列各式的值：（1）122.5053[(0.064)]π-．（2）2lg5++已知函数1()2axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点(1,2)-． （1）求a 的值．（2）若()42x g x -=-，且()()g x f x =，求满足条件的x 的值．17．（本小题满分8分）已知集合{}2(,)|y 1A x y x mx ==-+-，{}(,)|3,03B x y y x x ==-≤≤．（1）当4m =时，求A B ． （2）若A B 是只有一个元素的集合，其实数m 的取值范围．18．（本小题满分10分）定义：已知函数()f x 在[,]()m n m n <上的最小值为t ，若t m ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]()m n m n <上具有“DK ”性质．（1）判断函数2()22f x x x =-+在[1,2]上是否具有“DK ”性质？说明理由．（2）若2()2f x x ax =-+在[,1]a a +上具有“DK ”性质，求a 的取值范围．已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x =．（1）当[1,4]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域．（2）如果对任意的[1,4]x ∈，不等式2()()()f x f x k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．附加题：1．（本小题满分8分）若定义在(,1)(1,)-∞+∞上的函数()f x 满足2017()220171x f x f x x +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，则(2019)f =__________． 2．（本小题满分12分）设()|lg |f x x =，a ，b 为实数，且0a b <<，若a ，b 满足()()22a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，试写出a 与b 的关系，并证明这一关系中存在b 满足34b <<．陕西省西安市高新一中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中与函数y x =是同一函数的是（ ）．A ．2y =B ．3y =C ．y =D ．2x y x= 【答案】B【解析】A ．此函数的定义域是[)0,+∞与函数y x =的定义域不同，所以这是两个不同的函数； B ．此函数的定义域是一切实数，对应法则是自变量的值不变，与函数y x =的定义域和对应法则都相同，所以这是同一个函数；C ．此函数的值域是[)0,+∞与函数y x =的值域不同，所以这是两个不同的函数；D ．此函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞与函数y x =的定义域不同，所以这是两个不同的函数； 所以B 与函数y x =是同一个函数．2．若一次函数y kx b =+在R 上是增函数，则k 的范围为（ ）．A ．0k >B ．0k ≥C ．0k <D ．0k ≤【答案】A【解析】A ．法一：由一次函数的图象可知选A ．法二：设1x ∀，2x ∈R 且12x x <，∵()f x kx b =+在R 上是增函数，∴1212()(()())0x x f x f x -->，即212()0k x x ->，∵212()0x x ->，∴0k >．故选A ．3．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为（ ）． A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】∵{}{}1,2,31,2,3,4A =，∴{}4A =；{}1,4；{}2,4；{}3,4；{}1,2,4；{}1,3,4；{}2,3,4；{}1,2,3,4，则集合A 的个数为8，故答案为：8．4．函数2()1f x x =-在[2,0]-上的最大值与最小值之差为（ ）． A ．83 B ．43 C ．23 D ．1【答案】B【解析】由题意可得：∵20x -≤≤，∴22()0(1)f x x '=-<-， ∴()f x 在[2,0]-上单调递减， ∴max 2()(2)3f x f =-=-． min ()(0)2f x f ==-， ∴最大值与最小值之差为24(2)33---=， 综上所述，答案：43．5．如图是①a y x =；②b y x =；③c y x =，在第一象限的图像，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b << 【答案】A【解析】由幂函数图象和单调性可知：1a >，01b <<，0c <．∴a b c >>．6．已知函数2()8f x x kx =--在[1,4]上单调，则实数k 的取值范围为（ ）．A ．[2,8]B ．[8,2]--C ．(][),82,-∞--+∞D ．(][),28,-∞+∞【答案】D 【解析】22b k a -=，12k ≤或42k ≥，2k ≤或8k ≥．7．已知函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ）． A ．有最大值4 B ．有最小值4- C ．有最大值3- D ．有最小值3-【答案】B【解析】∵0a b <<，∴0a b ->->，∵函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，∴()f x 在(,0)-∞上是减函数，∵在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，∴()f x 在区间[,]b a --上的值域为[4,3]-，∴()f x 在区间[,]b a --上有最大值为3，最小值为4-，综上所述．故选B ．8．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】解：∵00.61<<，0.6 1.5<，∴0.6 1.510.60.6>>，即a b >，∵1.51>，0.60>，∴0.61.51c =>，∴c a b >>．9．设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（ ）．A ．|sgn |x x x =-B ．sgn ||x x x =-C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】A【解析】对于选项A ．右边,0|sgn |0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然不正确；对于选项B ．右边,0sgn ||0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然不正确； 对于选项C ，右边,0||sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨≠⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然不正确； 对于选项D ，右边,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然正确．10．若在定义域内存在．．实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“有点奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“有点奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）．A．11m ≤B．1m ≤C．m -≤ D．1m -≤ 【答案】B【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，函数()()f x f x -=-有解即可，即1212()423(423)x x x x f x m m m m --++-=-+-=--+-，∴2442(22)260x x x x m m --+-++-=，即22(22)2(22)280x x x x m m --+-⋅++-=有解即可，设22x x t -=+，则222x x t -=+≥，∴方程等价为222280t m t m -⋅+-=在2t ≥时有解，设22()228g t t m t m =-⋅+-， 对称轴22m x m -=-=， ①若2m ≥，则2244(28)0m m ∆=--≥，即28m ≤，∴m -≤2m ≤≤②若2m <，要使222280t m t m -⋅+-=在2t ≥时有解，则2(2)00m f <⎧⎪⎨⎪∆⎩≤≥，即211m m m <⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，解得12m <，综上：1m -≤二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若函数2(4)()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩≥，则[(3)]f f =__________． 【答案】16【解析】∵函数2(4)()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩≥， ∴(3)314f =+=，4[(3)](4)216f f f ===．12．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则R A B =ð__________．【答案】[1,2]【解析】240x -≥，22x -≤≤，10x ->，1x <，{}|1R B x x =ð≥，∴[1,2]R A B =ð．13．方程23x x k +=的解都在[1,2]内，则k 的取值范围为__________．【答案】[)5,10【解析】23x k x =-， 1x =时，32k -≥，5k ≥，2x =时，64k -<，10k <，[)5,10k ∈．14．已知函数11()log x a x f x -+=（0a >且1a ≠）有下列四个结论．①恒过定点；②()f x 是奇函数；③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；④若m ，(1,1)n ∈-，那么()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． 其中正确的结论是__________（请将所有正确结论的序号都填在横线上）．【答案】①，②，④【解析】（1）解：∵1()log 1ax f x x -=+， ∴10111x x x->⇒-<<+， 故函数()f x 的定义域是|11x x -<<．（2）证明：∵m ，(1,1)n ∈-， ∴1111()()log log log 1111a a a m n m n f m f n m n m n ----⎛⎫+=+=⋅ ⎪++++⎝⎭， 11111log log log 111111a a a mn m n m n m n mn m n mn mn f mn m n m n m n mn mn mn mn+--+---++⎛⎫++==== ⎪++++++++⎝⎭+++， 故()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）解：∵1111()()log log log log 101111aa a a x x x x f x f x x x x x+-+--+=+=⋅==-+-+， ∴()()f x f x -=-， 即()f x 在其定义域(1,1)-上为奇函数．三、解答题：（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15．（本小题满分8分）求下列各式的值：（1）122.5053[(0.064)]π-． （2）2lg5++【答案】见解析．【解析】（1）原式12232.55327[(0.8)]18-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 11=-0=．（2）2lg5++112222(lg 2)lg 2lg5=+⋅+2112lg 2lg 2lg522⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭2112lg 2lg 2lg522⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭11lg 2(lg 2lg5)lg 2122=++- 11lg2lg(25)1lg222=⋅⋅+- 11lg21lg2122=+-=．16．（本小题满分8分） 已知函数1()2axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点(1,2)-． （1）求a 的值．（2）若()42x g x -=-，且()()g x f x =，求满足条件的x 的值．【答案】见解析．【解析】（1）由已知得122a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1a =．（2）由（1）知1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又()()g x f x =，则1422x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即112042x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2112022x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则220t t --=， 即(2)(1)0t t -+=，又0t >，故2t =， 即122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1x =-， 满足条件的x 的值为1-．17．（本小题满分8分）已知集合{}2(,)|y 1A x y x mx ==-+-，{}(,)|3,03B x y y x x ==-≤≤． （1）当4m =时，求A B ． （2）若A B 是只有一个元素的集合，其实数m 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）当4m =时，集合{}2(,)|41A x y y x x ==-+-， {}(,)|3,03B x y y x x ==-≤≤，联立得：2341y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩， 消去y 得：2341x x x -=-+-， 即(1)(4)0x x --=，解得：1x =或4x =（不合题意，舍去）， 将1x =代入3y x =-得2y =， 则{}(1,2)A B =；综上所述：答案为{}(1,2)AB =． （2）集合A 表示抛物线上的点，抛物线21y x mx =-+-，开口向下且过点(0,1)-， 集合B 表示线段上的点，要使A B 只有一个元素，则线段与抛物线的位置关系有以下两种，如图： （i ）由图知，在函数2()1f x x mx =-+-中，只要(3)0f ≥，即9310m -+-≥， 解得：103m ≥． （ii ）由图知，抛物线与直线在[0,3]x ∈上相切，联立得：213y x mx y x ⎧=-+-⎨=-⎩， 消去y 得：213x mx x -+-=-， 整理得：2(1)40x m x -++=， 当2(1)160m ∆=+-=，∴3m =或5m =-，当3m =时，切点(2,1)适合， 当5m =-时，切点(2,5)-舍去， 综上所述：答案为m 范围为3m =或103m ≥．18．（本小题满分10分）定义：已知函数()f x 在[,]()m n m n <上的最小值为t ，若t m ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]()m n m n <上具有“DK ”性质．（1）判断函数2()22f x x x =-+在[1,2]上是否具有“DK ”性质？说明理由． （2）若2()2f x x ax =-+在[,1]a a +上具有“DK ”性质，求a 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）∵2()22f x x x =-+，[1,2]x ∈， 对称轴1x =，开口向上，当1x =时，取得最小值为(1)1f =， ∴min ()(1)11f x f ==≤，∴函数()f x 在[1,2]上具有“DK ”性质． （2）2()2g x x ax =-+，[,1]x a a ∈+， 其图象的对称轴方程为2a x =． ①当02a ≥，即0a ≥时，22min ()()22g x g a a a ==-+=． 若函数()g x 具有“DK ”性质，则有2a ≤总成立，即2a ≥． ②当12a a a <<+，即20a -<<时， 2min ()224a a g x g ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭． 若函数()g x 具有“DK ”性质，则有224a a -+≤总成立，解得a 无解． ③当12a a +≥，即2a -≤时，min ()(1)3g x g a a =+=+， 若函数()g x 具有“DK ”性质， 则有3a a +≤，解得a 无解． 综上所述，若2()2g x x ax =-+在[,1]a a +上具有“DK ”性质，则2a ≥．19．（本小题满分10分）已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x =． （1）当[1,4]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域． （2）如果对任意的[1,4]x ∈，不等式2()()()f x f x k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）2222()(42log )log 2(log 1)2h x x x x =-⋅=--+，因为[1,4]x ∈，所以2log [0,2]x ∈，故函数()h x 的值域为[0,2]．（2）由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅， 令2log t x =，因为[1,4]x ∈，所以2log [0,2]t x =∈，所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[0,2]t ∈恒成立．1．当0t =时，k ∈R ；2．当(]0,2t ∈时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t<+-． 因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号． 所以9415t t+-的最小值为3-， 综上，(,3)k ∈-∞-．附加题：1．（本小题满分8分）若定义在(,1)(1,)-∞+∞上的函数()f x 满足2017()220171x f x f x x +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，则(2019)f =__________． 【答案】1344． 【解析】2018()2120171f x f x x ⎛⎫++=- ⎪-⎝⎭， 2x =：(2)2(2019)2015f f +=，① 2019x =：(2019)2(2)2f f +=-，②， ①⨯2-②3(2019)4032f ==， (2019)1344f =．2．（本小题满分12分）设()|lg |f x x =，a ，b 为实数，且0a b <<，若a ，b 满足()()22a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，试写出a 与b 的关系，并证明这一关系中存在b 满足34b <<．【答案】见解析．【解析】（1）由()1f x =得，lg 1x =±，所以10x =或110． （2）结合函数图象，由()()f a f b =，可判断(0,1)a ∈，(1,)b ∈+∞， 从而lg lg a b -=，从而1ab =， 又122b a b b ++=， 因为(1,)b ∈+∞，所以12a b +>， 从而由()22a b f b f +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得2lg 2lg lg 22a b a b b ++⎛⎫== ⎪⎝⎭， 从而22a b b +⎛⎫= ⎪⎝⎭． （3）由22a b b +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 得2242b a b ab =++，221240b b b ++-=， 令221()24g b b b b =++-， 因为(3)0g <，(4)0g >，根据零点存在性定理可知， 函数()g b 在(3,4)内一定存在零点， 即方程221240b b b++-=存在34b <<的根．。
最新陕西省西安市高新一中高一下学期第一次阶段性质量检测数学试题(解析版)
2019-2020学年陕西省西安市高新一中高一下学期第一次阶段性质量检测数学试题一、单选题1．已知ABC ∆中，222c a b =+-，那么角C 的大小是( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】由题意根据余弦定理求出cosC 的值，再写出C 的大小． 【详解】∵222c a b =+，∴cos C 2222a b c ab +-===， 又A ∈(0,)π， ∴A ＝6π． 故选：A ． 【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，考查了转化思想，属于基础题．2．已知点(3,5)P -，(2,1)Q ，向量(21,1)m λλ=-+u r ，若//PQ m u u u r u r，则实数λ等于( )A ．113B ．913C ．113-D ．913-【答案】C【解析】由点P 、Q 的坐标计算出向量PQ uuu r，再由向量平行的坐标表示求解出λ即可.【详解】由题意，(3,5)P -，(2,1)Q ，所以(5,4)PQ =-u u u r，又因为//PQ m u u u r u r ，5(1)4(21)0λλ++-=，解得113λ=-.故选：C 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，属于基础题.3．已知ABC V 中，1a =，b =30A =︒，则B Ð等于( )A ．60°B ．120°C ．30°或150°D ．60°或120°【答案】D【解析】由正弦定理求解出sin B 的值，由边角关系、内角范围和特殊角的三角函数值求出B Ð. 【详解】由正弦定理可得，sin 3sin b A B a ==， 又0B π<<，b a >，60B ∴=o 或120B =o . 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及边角关系的应用，解三角形题的时候注意内角的取值范围，属于基础题.4．已知平面向量(2,)a m =-r ，(1,3)b =r，且()a b b -⊥r r r ，则实数m 的值为( )A ．23-B ．23C ．43-D ．43【答案】B【解析】由a r 和b r 求出a b -r r，再由向量垂直的坐标形式，求出m 的值即可.【详解】由(2,)a m =-r ，(1,3)b =r ，得(3,3)a b m -=--r r， ()a b b -⊥r r rQ ，33(3)0m ∴-+-=，23m ∴=.故选：B 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.5．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB ． a kmC akmD ．2akm【答案】B【解析】先根据题意确定ACB ∠的值，再由余弦定理可直接求得AB 的值． 【详解】在ABC ∆中知∠ACB ＝120°，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCcos120°＝2a 2－2a2×12⎛⎫-⎪⎝⎭＝3a 2，∴AB 故选:B. 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．6．在ABC V 中，cos cos a A b B =，则ABC V 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理将等式两边a 和b 转化成对应角的正弦，利用二倍角正弦公式化简整理，再由正弦值和角的关系即可得到答案. 【详解】cos cos a A b B =，正弦定理可得2sin cos 2sin cos R A A R B B =，即sin 2sin 2A B =，()20,2A π∈，2(0,2)B π∈，22A B ∴=或22A B π+=.∴A B =或2A B π+=，∴ABC V 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角形形状的判断、正弦定理和二倍角的正弦公式的应用，考查学生转化能力，属于基础题.7．在ABC ∆中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足13AN NM =u u u r u u u u r，若(,)AN AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为( )A ．14B ．13C ．1D ．4【答案】A【解析】设BM tBC =u u u u r u u u r，将AN u u u r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示出来，即可找到λ和μ的关系，从而求出λμ+的值． 【详解】解：设(01)BM tBC t =u u u u r u u u r剟，13AN NM =u u u r u u u u r ， 所以11()44AN AM AB BM ==+u u u r u u u u r u u u r u u u u r1144AB tBC =+u u ur u u u r 11()44AB t AC AB =+-u u ur u u u r u u u r 111()444t AB t AC =-+u u ur u u u r ， 又AN AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以1111()4444t t λμ+=-+=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来，属中档题．8．在平行四边形ABCD 中，点M,N 分别在边BC,CD 上，且满足BC 3MC =，DC 4NC = ，若AB 4= ，AD 3=，则AN MN ⋅=u u u r u u u u r( )A ．B ．0CD ．7【答案】B【解析】分析：由题意画出图形，把向量AN u u u r ，MN u u u u r 转化成向量AD u u u r ，AB u u u r求解即可. 详解：如图：BC 3MC =，DC 4NC =，且AB 4= ，AD 3=， 则()()AN MN AD DN MC CN ⋅=++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r311AD AB AD AB 434⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u u ru u u r u u u r u u u r2213AD AB 316u u ur u u u r =-139160316=⨯-⨯=.故答案选B.点睛：本题主要考查向量的几何运算，熟练掌握向量的“三角形运算法则”及“平行四边形运算法则”是解题的关键.意在考查学生的作图能力，运算求解能力，难度一般. 9．平面内ABC ∆及一点O 满足,||||||||AO AB AO AC CO CA CO CBAB AC CA CB ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点O 是ABC ∆的( ) A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心【答案】C【解析】利用表达式，转化推出O 所在的位置，得到结果即可． 【详解】解：平面内ABC ∆及一点O 满足||||AO AB AO ACAB AC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ， 可得()0||||AB ACAO AB AC -=u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r g ，所以O 在CAB ∠的平分线上， ||||CO CA CO CB CA CB =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ，可得：()0||||CA CBCO CA CB -=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ， 所以O 在ACB ∠的平分线上， 则点O 是ABC ∆的内心．故选：C ． 【点睛】本题考查向量的综合应用，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30B ∠=︒，ABC ∆的面积为32，且sin sin 2sin A C B +=，则b 的值为( ) A ．4+23 B ．4﹣23C ．3-1D ．3+1【答案】D【解析】先根据三角形面积公式求得ac 的值，利用正弦定理及题设中sin sin 2sin A C B +=，可知a c +的值，代入到余弦定理中求得b ．【详解】解：由已知可得：13sin3022ac ︒=，解得：6ac =，又sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得：2a c b +=， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+- 22()2341263a c ac ac b =+--=--，解得：2423b =+， 13b ∴=+．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题．11．如图，在等腰直角三角形ABC 中，2AB AC ==，,D E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v 的取值范围是（ ）A ．84[,]93B ．48[,]33C ．88[,]93D ．4[,)3+∞【答案】A【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合向量的坐标运算法则确定数量积的范围即可.【详解】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），设D（x，0），则21,0133 E x x⎛⎫⎛⎫+-≤≤⎪⎪⎝⎭⎝⎭．据此有：(),1AD x=-u u u v，2,13AE x⎛⎫=+-⎪⎝⎭u u u v，则：222181339AD AE x x x⎛⎫⋅=++=++⎪⎝⎭u u u v u u u v.据此可知，当13x=-时，AD AE⋅u u u r u u u r取得最小值89；当1x=-或13x=时，AD AE⋅u u u r u u u r取得最大值43；AD AE⋅u u u v u u u v的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12．在ABC∆中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2b=ABC∆面积为2223)S b a c=--，则ABC∆面积S的最大值为()A ．2B ．4-C ．8-D ．16-【答案】B【解析】由已知利用三角形的面积公式可求tan B ，可得cos B ，sin B 的值，由余弦定理，基本不等式可求8(2ac -„，根据三角形的面积公式即可求解其最大值． 【详解】解：2221)(2cos )sin 2S b a c ac B ac B =--=-=Q ，tan 3B ∴=-，56B π=，cos 2B =-，1sin 2B =，又b =Q 228(2a c ac =++…，8(2ac ∴=„，当且仅当a c =时取等号，111sin 8(24222ABC S ac B ∆∴=⨯⨯=-„∴面积S 的最大值为4-．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．二、填空题13．在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，3AC =，则ABC ∆的面积等于_____.【答案】2【解析】利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】解：ABC ∆的面积：123sin 602ABC S ∆=⨯⨯⨯︒=．【点睛】本题考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知点(1,1)A -，(0,3)B ，(3,4)C ，则AB u u u v 在AC u u u v方向上的投影为__________． 【答案】2【解析】由已知得到()()1,2,4,3,AB AC ==∴u u u v u u u v 向量AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为142310255AB AC AC⋅⨯+⨯===u u u v u u u vu u u v ，故答案为2. 15．已知向量()4,2a =v，(),1b λ=v ，若2a b +v v 与a b -v v 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______．【答案】()(12,1+U【解析】先求出2a b +r r 与a b -r r 的坐标，再根据2a b +r r 与a b -r r 夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数λ的取值范围，． 【详解】Q 向量(4,2)a =r ，(,1)b λ=r ，∴2(42,4)a b λ+=+r r ，(4,1)a b λ-=-r r ，若2a b +r r 与a b -r r 的夹角是锐角，则2a b +r r 与a b -r r 不共线，且它们乘积为正值，即42441λλ+≠-，且()()2(42,4)(4,1)a b a b λλ+⋅-=+⋅-r r r r 220420λλ=+->，求得11λ<<+2λ≠． 【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键． 16．若满足条件3AB C π==的ABC ∆有两个，则边长BC 的取值范围是_____.【答案】2）【解析】由已知条件，根据正弦定理用a 表示出sin A ，由C 的度数及正弦函数的图象可知满足题意ABC ∆有两个A 的范围，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sin A 的范围，进而求出BC 的取值范围． 【详解】 解：3C π=Q，AB =BC a =，∴由正弦定理得：sin sin AB BC C A=sin aA =，解得：sin 2a A =， 由题意得：当2(,)33A ππ∈时，满足条件的ABC ∆有两个，12a<<2a <<，故答案为：2) 【点睛】本题考查正弦定理的应用，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，中档题． 17．已知ABC ∆是锐角三角形，若2A B =，则ab的取值范围是_____.【答案】【解析】由正弦定理可得：sin 2sin cos 2cos sin sin a A B BB b B B===，根据题意，确定B 的范围，64B ππ<<，再代入求出即可．【详解】 解：2A B =Q ，∴由正弦定理可得：sin 2sin cos 2cos sin sin a A B BB b B B===， Q 当C 为最大角时2C π<，32A B B π+=>，6B π>，当A 为最大角时2A π<，22B π<，4B π<，∴64B ππ<<，cos B <<，、故ab∈，故答案为：． 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查了三角形求边角的范围，中档题．18．如图，等腰三角形ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒．E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，且满足AE mAB =u u u r u u u r ，AF nAC =u u u r u u u r ，其中m ，(0,1)n ∈，1m n +=，M ，N 分别是EF ，BC 的中点，则||MN 的最小值为_____.【答案】12【解析】根据条件便可得到11(1)(1)22MN m AB n AC =-+-u u u u r u u u r u u u r ，然后两边平方即可得出222(1)(1)(1)(1)MN m n m n =-+----u u u u r ，而由条件1n m =-，代入上式即可得出22331MN m m =-+u u u u r ，从而配方即可求出2MN u u u u r 的最小值，进而得出||MN 的最小值．【详解】解：MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r11()()22AB AC mAB nAC =+-+u u ur u u u r u u u r u u u r 11(1)(1)22m AB n AC =-+-u u u r u u u r ∴22222111(1)(1)(1)(1)442MN m AB n AC m n AB AC =-+-+--u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg22(1)(1)(1)(1)m n m n =-+----；1m n +=Q ，1n m ∴=-，代入上式得：222(1)(1)MN m m m m =-++-u u u u r2331m m =-+ 2113()24m =-+；(0,1)m ∈Q ；∴12m =时，2MN u u u u r 取最小值14； ||MN ∴的最小值为12．故答案为：12．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式，配方求二次函数最值的方法．三、解答题19．设1e u r ，2e u u r 是两个不共线向量，知1228AB e e =-u u u r u r u u r ，123CB e e =+u r u u u r u u r ，122CD e e =-u u u r u r u u r ．（1）证明：A 、B 、D 三点共线（2）若123BF e ke =-u r u u u r u r，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12k =.【解析】（1）先求出BD u u u r ，只要证明存在实数λ，使得AB BD λ=u u u r u u u r即可；（2）利用向量共线定理即可得出． 【详解】解：（1）证明：124BD CD CB e e =-=-u u u r u u u r u u u r u r u u r122(4)2//AB e e BD AB BD ⇒=-=⇒u u u r u r u u r u u u r u u u r，Q AB u u u r 与BD u u u r有公共点，A ∴、B 、D 三点共线（2）解：B Q 、D 、F 三点共线，∴存在实数λ，使BF BD λ=u u u r u u u r， ∴121234e ke e e λλ-=-u ru u ru ru u r，∴12(3)(4)e k e λλ-=-u r u u r又Q 12,e e u r u u r不共线，∴3040k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得3λ=，12k =． 【点睛】本题考查了向量共线定理，属于基础题．20．已知角,,A B C 是ABC ∆的内角，,,a b c 分别是其所对边长，向量2,cos 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，cos ,22A n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭v ，m n ⊥uv v（1）求角A 的大小；（2）若2,cos 3a B ==，求b 的长 .【答案】（1）sin 3B =（2）3b = 【解析】试题分析：（1）根据题意，当两个向量垂直时，其数量积为0，结合三角函数的倍角公式进行运算，又()0,A π∈，再三角函数值进行计算，从而求出角A ；（2）结合（1）的结果，由题意，可根据正弦定理进行运算即可. 试题解析：（1）已知m n v v⊥2cos 2cos 0222A A A m n ∴⋅=-=v vcos 1A A -= 2sin 16A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭1sin 62A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭0A Q π<< 5666A πππ∴-<-<663A A πππ∴-=∴=（2）cos 3B =Q sin B ∴= 由正弦定理sin sin a b A B =得 sin sin B b a A=⋅3b ∴=点睛：此题主要考查了两个向量垂直的数量积的运算，三角函数的恒等变换，以及正弦定理的应用等方面的知识，属于中高档题型，也是高频考题.在解决此类问题的过程中，三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式的应用起到了非常关键的作用，还要注意三角形内角的取值范围.21．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=v v vv v v .(1)求a v 与b v的夹角θ；(2)求||a b +v v .【答案】（1）23πθ=；（2【解析】（1）由(23)(2)61a b a b -⋅+=r r r r 得到6a b ⋅=-r r，又||4,||3a b ==r r 代入夹角公式cos ||||a ba b θ⋅=r rr r ，求出cos θ的值；（2）利用公式||a b +=r r.【详解】（1）因为22(23)(2)6144361a b a b a a b b -⋅+=⇒-⋅-=r r r r r r r r ，所以6a b ⋅=-r r ，因为61 cos432||||a ba bθ⋅-===-⋅r rr r ，因为0θπ≤≤，所以23πθ=.（2）222||()213a b a b a a b b+=+=+⋅+=r r r r r r r r.【点睛】本题考查数量积的运算及其变形运用，特别注意22||a a=r r之间关系的运用与转化，考查基本运算能力.22．ABC∆中，角A,B,C的对边分别为,,a b c，且（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，1129cos72A BD==，，求ABC∆的面积．【答案】（1）（2）103【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B的值即可；（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面积公式可求结果试题解析：（1）,由正弦定理，得,因为，所以，所以,因为，所以. （2）法一：在三角形ABD中，由余弦定理得2221292cos222b bc c A⎛⎛⎫=+-⋅⎪⎝⎭⎝⎭所以221291447bc bc=+-，在三角形ABC中，由正弦定理得sin sinc bC B=，由已知得43sin A=，所以sin sin()C A B=+sin cos cos sinA B A B=+53=，所以57c b=由（1），（2）解得7{5bc==所以1sin1032ABCS bc A==V【考点】余弦定理；正弦定理23．已知函数()πf x sinx sin x 6⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭．()1求()f x 的对称轴所在直线方程及其对称中心；()2在ABC V 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且A f 22⎛⎫=⎪⎝⎭，a 4=，求ABC V 周长的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为5122k x ππ=+，k Z ∈，对称中心为62k ππ⎛+ ⎝⎭，k Z ∈（2）8,4⎛+⎝ 【解析】分析：（1）用两角和的正弦公式展开变形，用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数的形式，再根据正弦函数的性质可得结论；（2）由()22Af =，求得A ，再由余弦定理得,b c 的等量关系，利用基本不等式和三角形中两边之和大于第三边可得b c +的取值范围，从而得周长范围．详解：（1）()21sin cos 2f x x x x =+1cos2111sin2sin2sin 224423x x x x x π-⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭由232x k πππ-=+，∴5122k x ππ=+∴()f x 的对称轴方程为5122k x ππ=+，k Z ∈由23x k ππ-=，∴62k x ππ=+，∴()f x 的对称中心为62k ππ⎛+ ⎝⎭，k Z ∈ （2）∵4a =，∴22222162cos 3b c bc b c bc π=+-=++，∴()216b c bc +-=，∴()()2164b c b c bc ++-=≤，得：()2643b c +≤，,0b c >，∴b c +≤又b c a +>，∴4b c <+≤84a b c <++≤+ 点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：解：∵22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,A π∈，∴2,333A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴33A ππ-=，∴23A π=由正弦定理得：42sin sin sin sin 3b c a B C Aπ===∴b B =，c C =∴)2sin sin sin sin 0333b c B C C C C C πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=+<< ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵2333C πππ<+<，∴4b c <+≤84a b c <++≤∴ABC V的周长范围为8,4⎛+ ⎝。
陕西省西安市高新一中2019-2020学年高一下学期网课学习第二次月考检测数学试题(解析版)
西安高新一中高2022届网课学习第二次月考检测高一数学一、选择题1.下列命题：①向量a →与b →都是单位向量，则a b →→=； ②在ABC V 中，必有0AB BC CA →→→→++=； ③四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC →→=；④若向量a →与b →共线，则存在唯一的实数λ使b a λ→→=． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④【答案】B 【解析】 【分析】由相等向量的定义,向量的加法法则,平面向量的共线定理,即可判断出结果.【详解】解析：②③显然正确a →与b →都是单位向量，则1a b →→==，但方向可能不同，①不一定成立；当0,0a b →→→→==时，实数λ不唯一，④不一定成立．故选B ．【点睛】本题考查向量的基本概念,单位向量的定义,向量相等,及向量的共线定理等知识,考查学生对概念的理解辨析能力,难度较易.2.设向量()111022a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭v v，，，，则下列结论正确的是（ ） A. a b =r rB. 2a b ⋅=r r C. ()a b b -⊥r r rD. //a b r r【答案】C 【解析】 【分析】根据向量运算的坐标表示求解模长，数量积关系，平行关系的判断，分别讨论四个选项即可得解.【详解】由题：()111022a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭v v ，，，，1,2a b ===r r ，12a b ⋅=r r ，()1111,,02222a b b ⎛⎫⎛⎫-⋅=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r ，所以()a b b -⊥r r r ，111022⨯≠⨯所以两个向量()111022a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭v v ，，，不平行. 故选：C【点睛】此题考查平面向量的基本运算的坐标表示，涉及求模长，数量积，根据数量积判断垂直关系，判断向量是否共线，关键在于熟练掌握运算法则.3.设O 为平面内异于P ､A ､B 三点的任一点,且()12n n OP a OA a OB -=+-u u u v u u u v u u u v，当P ､A ､B 三点共线时,数列{}n a 为( ) A. 递增数列 B. 递减数列C. 常数数列D. 摆动数列【答案】B 【解析】 【分析】根据P ､A ､B 三点共线，()12n n OP a OA a OB -=+-u u u v u u u v u u u v，可得121n n a a --=+，即可判定数列性质.【详解】由题：()12n n OP a OA a OB -=+-u u u v u u u v u u u v，P ､A ､B 三点共线， 根据共线定理，则121n n a a --=+，即11n n a a --=-， 所以数列{}n a 是一个公差为-1的等差数列，所以是递减数列. 故选：B【点睛】此题考查平面向量共线定理的应用，根据三点共线结论得数列的递推关系，判断数列的增减性. 4.已知公差为2的等差数列{}n a 中,若14797100a a a a +++⋯+=，则25898a a a a +++⋯+的值为( ) A. 166 B. 100C. 66D. 34【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的公差关系，25898147972222a a a a a a a a +++⋯++++⋯+=++++，整体代入即可得解.【详解】由题：公差为2的等差数列{}n a 中,若14797100a a a a +++⋯+=，则25898147972222100233166a a a a a a a a =++++=++++⋯+⨯++=++⋯. 故选：A【点睛】此题考查根据等差数列性质求指定项之和，关键在于弄清项与项之间的关系，熟练掌握等差数列的求和公式，整体代入求解.5.已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，向量()5,27m a →=，()9=3,n a →，且//m n →→，则37log a =（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】C 【解析】 分析】由已知利用向量平行的坐标表示可得592730a a -⨯=,利用等比数列的性质可知2597a a a =,利用对数的计算公式即可得出结果.【详解】解析：因为//m n →→，所以592730a a -⨯=，所以5981a a =，又因为数列{}n a 是各项为正数的等比数列，所以2597a a a =，79a =，所以37log 2a =．故选:C ．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,考查等比数列的性质,对数的计算,难度较易. 6.在数列{}n a 中,()*1153n n a a a n n N +==-+∈，，若该数列前三项可作为三角形的三边长,则此三角形最小角与最大角之和为（ ） A. 150°B. 135°C. 120°D. 90°【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系求出前三项即为三角形边长，根据余弦定理求出从小到大第二大的角，即可求得最大角与最小角之和.【详解】由题：数列{}n a 中,()*1153n n a a a n n N +==-+∈，，所以12357,8a a a ===，，作为三角形三边长， 由余弦定理：边长为7的边所对角的余弦值为25644912582+-=⨯⨯，角的大小为60°，所以最大角与最小角之和为120°.【的故选：C【点睛】此题考查根据递推关系求数列中的项，根据余弦定理求三角形的角的大小，涉及三角形三内角和的关系进行转化.7.数列2211,12,122,,1222,n -+++++++L L L 的前99项和为（ ）A. 100299-B. 1002101-C. 99299-D. 992101-【答案】B 【解析】 【分析】由已知分析可得211212222112n n n n a --=++++==--L ,利用分组求和计算即可得出结果. 【详解】解析：由数列可知211212222112n n n n a --=++++==--L ，所以前99项的和为： ()()()()99299299100992122121212229999210112S -=-+-++-=+++-=-=--L L .故选:B ．【点睛】本题考查等比数列的求和和分组求和,考查学生计算能力,难度较易.8.在ABC ∆中,角A ､B ､C 所对的边分别为a b c 、、，当A ､B ､C 成等差数列,2a x b ==，，且这个三角形有两解时,x 的取值范围是（ ）A. 1603⎛⎫⎪⎝⎭， B. 1623⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 0⎛ ⎝⎭D. 2⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据A ､B ､C 成等差数列得3B π=，利用正弦定理x A =，分析三角形有两解时得x 的取值范围. 【详解】由题当A ､B ､C 成等差数列,所以2,A C B A B C π+=++=，所以3B π=，由正弦定理,sin sin sin a b x x A A B A === 三角形有两解，必有x ＞2，且sin 1A <，所以23x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D【点睛】此题考查根据三角形的解的个数求边长的取值范围，关键在于熟练掌握正弦定理在解三角形中的应用，其中涉及根据等差中项的关系求值. 9.已知数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，则2020a 的值为（ ） A. 2 B. -3C. 12-D.13【答案】D 【解析】 【分析】先通过列举找到数列的周期，再利用数列的周期求值.【详解】由题得23451111121311323,,,2111213231123a a a a +-+-==-==-====-++-， 所以数列的周期为4， 所以202041=3a a =. 故选D【点睛】本题主要考查递推数列和数列的周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10.如果一个数列{}n a 满足1n n a a H ++=（H 为常数，*n N ∈），则称数列{}n a 为等和数列，H 为公和，n S 是其前n 项的和，已知等和数列{}n a 中，11a =，3H =-，则2015S 等于（ ） A. -3016 B. -3015C. -3020D. -3013【答案】C 【解析】 【分析】 由已知新定义可得23456720142015=====a a a a a a a a H++++…所以()2015123201511007S a a a a a H =++++=+⨯L ,计算即可得出结果.【详解】解析：()()20151232015110071100733020S a a a a a H =++++=+⨯=+⨯-=-L ．.故选:C ．【点睛】本题考查数列的新定义,考查数列的求和,考查学生分析问题的能力,难度较易. 11.在等比数列{}n a 中，11a =，369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ） A. 3116B.158C.3116和5 D.158和5 【答案】A 【解析】 【分析】从1q =和1q ≠两种情况入手分析,根据等比数列的求和公式解得2q =,求出通项公式12n n a -=,即可得到1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,代入公式即可得出结果.【详解】解析：若1q =，则3161927,6S a S a ==，1360,9a S S ≠∴≠Q ，故1q ≠． 由369S S =得()()361111911a q a q qq--⨯=--，解得2q =，故1112n n n a a q --==，1112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭的前5项和551131211612S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-．故选:A ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式,考查学生的计算能力,难度较易.12.已知点O 为ABC V 内一点，120AOB ∠=︒，1OA =，2OB =，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE EA ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A.328B.314 C. 27D.514【答案】A 【解析】试题分析：1sin 22OAB S OA OB AOB V =⋅⋅∠=，AB =，根据等面积法得OD ，所以()2213228OE EA OE ED DA OE ED OE ⎛⋅=⋅+=⋅=== ⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 考点：1、解三角形；2、向量基本运算．【方法点晴】本题考查解三角形、向量的基本运算，涉及数形结合思想、方程思想思想和转化化归思想，考查空逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，综合性较强，属于较难题型． 首先由已知可得1sin 2OAB S OA OB AOB V =⋅⋅∠=AB ==，根据等面积法得7OD =，所以()22132728OE EA OE ED DA OE ED OE ⎛⎫⋅=⋅+=⋅==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 二、填空题13.已知{}n a 为正项等比数列，且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=____________． 【答案】5 【解析】 【分析】由等比数列的性质化简可得22243546335522a a a a a a a a a a ++=++,化简即可得出结果.【详解】解：()2222435463355352225a a a a a a a a a a a a ++=++=+=Q ，而0n a >，350a a ∴+>，355a a ∴+=．故答案为:5.【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查学生的理解辨析的能力,难度容易.14.已知6，a ，b ，48成等差数列，6，c ，d ，48成等比数列，则a b c d +++=____________． 【答案】90 【解析】 【分析】由等差性质648a b +=+,由等比数列定义可知3486q =,即可求得2,q =进而求得,c d 即可得出结果. 【详解】解：6，a ，b ，48成等差数列，则64854a b +=+=； 6，c ，d ，48成等比数列，则3488,2,12,246q q c d =====， 的从而90a b c d +++=． 故答案为:90.【点睛】本题考查等差数列性质和等比数列的定义,考查学生对知识点的认知能力,难度较易.15.已知向量a r与向量b r 的夹角为120°，若向量c a b =+r r r 且a c ⊥r r ，则||||rr a b 的值为_______.【答案】12【解析】 【分析】由向量垂直入手，利用数量积，转化a r 与b uu r 之间的关系式，求解||||r r a b 的值.【详解】a c ⊥r rQ()0a c a a b ∴=⋅+=r r r r r g ，即20a a b +⋅=r r r再由数量积公式，得2cos120=0a a b +⋅⋅r r r ．，102a b ∴-=r r ．所以12a b =r r故答案为12【点睛】向量垂直0a b a b ⊥⇔=r r r rg ．数量积的乘法分配律．数量积定义cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r .16.在△ABC 中，若30B =o，AB =2AC =,求△ABC 的面积【答案】【解析】 【分析】由题意首先由余弦定理求得BC 的值，然后利用面积公式求解△ABC 的面积即可. 【详解】在ABC V 中，设BC x =，由余弦定理可得241230x =+-o ③2680x x -+=③2x ∴=，或4x =③当2x =时，ABC V的面积为111222AB BC sinB x ⋅⋅=⨯⋅= 当4x =时，ABC V的面积为111222AB BC sinB x ⋅⋅=⨯⋅=③或【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足201911S S -=，则2020S =____________． 【答案】10101009【解析】 【分析】方法一:由已知利用等差数列的求和公式()12n n n a a S +=可得()201912320192201920182S S a a a a a -=+++=+L ,即可解得120202201911009a a a a +=+=,利用等差数列的求和公式()20201202020202S a a =+即可求得结果. 方法二: 利用等差数列的求和公式()112n n n S na d ⨯-=+化简已知条件201911201920182d S S a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭解得12019122018d a +=,由2020112020201920192020202022d S a d a ⨯⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭即可得出结果.【详解】解法一：()()2019123201922019220192018100912S S a a a a a a a -=+++=+=+=Q L ， 120202201911009a a a a ∴+=+=，()2020120202020101021009S a a ∴=+=． 解法二：2019111120192018201920192018122d S S a d a a ⨯⎛⎫-=+-=+= ⎪⎝⎭Q ，12019122018d a ∴+=， 20201120202019201920201010202020202220181009d S a d a ⨯⎛⎫∴=+=+== ⎪⎝⎭． 故答案为:10101009【点睛】本题考查等差数列的求和公式的灵活应用,考查学生的计算能力,难度一般.18.已知数列{}n a 的首项为12，若()()()*1112n n n n p a q a a a n N n --==-∈≥v v，，，，，且//p q v v，则数列{}n a 的通项公式为n a =_______.【答案】11n + 【解析】【分析】根据向量平行得11n n n n a a a a --=-，1n a 禳镲睚镲铪是一个以2为首项，1为公差的等差数列，即可求得通项公式. 【详解】由题：//p q v v，则11n n n n a a a a --=-，()*2n N n ∈≥，数列中没有哪一项为0，否则若0n a =，110n n n n a a a a --=-=，则该数列是一个全为0的常数列，与首项为12矛盾， 所以1111n n a a --=，2n ≥，即1n a 禳镲睚镲铪是一个以2为首项，1为公差的等差数列，11n n a =+，所以11n a n =+. 故答案为：11n +. 【点睛】此题考查数列与向量的综合应用，根据向量共线的坐标表示出数列的递推关系，构造等差数列求通项公式.三、解答题19.在各项均为负数的数列{}n a 中，已知()*123n n a a n N+=∈．且25827a a =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）试问1681-是这个数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）()2*23n n a n N -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭;（2）是这个数列中的项，是第6项【解析】 【分析】(1)由已知化简可得123n n a a +=,即数列{}n a 是以23为公比的等比数列,设1123n n a a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,由25827a a =计算即可求得结果.(2)由(1)可知223n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令1681n a =-求得*6n N =∈,即可得出结果. 【详解】解：（1）()*123n n a a n N+=∈Q ．123n n a a +∴=，又∵数列{}n a 的各项均为负数，10a ∴<，∴数列{}n a 是以23为公比的等比数列，1123n n a a -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，212112233a a a -⎛⎫∴=⋅= ⎪⎝⎭，51511216381a a a -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，又2511216838127a a a a =⋅=， 2194a ∴=，又10a <Q ，132a ∴=-，()12*322233n n n a n N --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-⨯=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）令2216381n n a -⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则24n -=，*6n N =∈， 1681∴-是这个数列中的项，且是第6项． 【点睛】本题考查等比数列的证明,考查求解等比的数列的通项公式,考查学生运算求解能力,难度较易. 20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()*4211n n S n a n N-+=∈．（1）求证：21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数数列； （2）求和：12231011111a a a a a a +++L ． 【答案】（1）证明见解析；（2）1021【解析】 【分析】(1)由()()*4211n n S n a n N -+=∈得()()1142112n n Sn a n ----=≥,化简可得()122123n n a an n n -=≥--即可证得结论;(2)由(1)可求得21n a n =-,利用裂项求和即可得出结果. 【详解】解：（1）证明：由()()*4211n n S n a n N -+=∈得()()1142112n n Sn a n ----=≥，两式相减得()()()123212n n n a n a n --=-≥，即()122123n n a an n n -=≥--， 在()()*4211n n S n a n N -+=∈中，令1n =，得11a=，故11121231n n a a a n n -====--L ，即21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数数列，得证． （2）由（1）知121na n =-，即21n a n =-，1223101111111113351921a a a a a a ∴+++=+++⨯⨯⨯L L 1111111201012335192122121⎛⎫=-+-++-=⨯= ⎪⎝⎭L ． 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为常数列,考查利用递推公式求数列的通项公式,考查通过裂项求数列的和,难度一般.21.在OAB ∆中，设OA a =u u u v v ，OB b =u u u v v，M 、N 分别是OA 、OB 上的点，且13OM a =u u u u vv ，12ON b =u u uv v ，设AN 与BM 相交于点P ，试用向量a v 、b v 表示OP uuu v.【答案】1255OP a b =+u u u v vv【解析】 【分析】过点M 作//MH OB ，利用平行线分线段成比例，以及向量加法和减法的线性运算，用向量a r 、b r表示出OP uuu r .【详解】过点M 作//MH OB ，如下图：因为222333PH MH ON BN PN ==⇒=，15NP NA =，而1125OP ON NP OB NA =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()11112525OB NB BA OB NB OA OB =++=++-u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ， 则12125555OP OA OB a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r .【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的线性运算，考查平面向量的基本定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.22.已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222a c b ++=cos 0A B +=． （1）求sin C值；（2）若ABC V 的面积52S =，求b 的值． 【答案】（1;（2）5 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理化简即可求得cos B =,求得34B π=,利用正弦定理即可解得sin A =,进而求得cos A =由sin sin 4C A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭化简即可得出结果.(2)由52S =化简可得ac =利用正弦定理化简可得22b =⨯,进而求得结果. 【详解】解：（1）由222a c b +=得222a c b +-=，∴由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-===()0,B π∈Q ，34B π∴=．cos 0A B +=得sin 55210A B ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos 10A ∴=，sin sin cos 4225C A A A π⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭． （2）由1sin 2S ac B =及题设条件，得135sin 242ac π=，ac ∴=，由（1）可知sin ,sin ,sin 1025A B C ===， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C====， 的225222b ∴=⨯===，∴5b =． 【点睛】本题考查余弦定理,正弦定理,三角形面积的公式在解三角形中的应用,难度一般.23.已知数列{}n a 中，15a =，1221nn n a a -=+-（2n ≥且n ∈+N ）． （1）求23,a a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由； （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ． 【答案】（1）213a =，333a = （2）存在,1λ=- （3）()121n n S n +=+⋅【解析】 【分析】(1)由 15a =，及递推公式1221nn n a a -=+-,计算即可求得23,a a 的值;(2) 设2n n na b λ+=,利用2132b b b =+，求得1λ=-,再证明11n n b b +-=即证得存在实数λ，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列; (3) 由(2)知,数列12n na -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2,公差是1的等差数列,求得()()121nn a n n N +=++∈,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.【详解】解：（1）15a =Q ，22122113a a ∴=+-=，33222133a a =+-=．（2）方法一：假设存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n na b λ+=，由{}n b 为等差数列，则有2132b b b =+， 321232222a a a λλλ+++∴⨯=+，13533228λλλ+++=+，解得1λ=-．又()()111111111112121112222n n n n n n n n n n n a a b b a a +++++++--⎡⎤-=-=-+=-+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦．11125122b a --===，所以存在实数1λ=-，使得数列2n n a λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2，公差是1的等差数列． 方法二：设2n n na b λ+=， 111111111221222*********n n n n n n n n n n n n n n a a a a b b λλλλλλ++++++++++++-++--+-=-=-==-Q ， ∴当1λ=-时，11n n b b +-=为常数，此时11125122b a --===， 所以存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2，公差是1的等差数列． 方法三：1221nn n a a -=+-Q ，()11212nn n a a -∴-=-+，两边同除2n 得1111122n n n n a a ----=+， 即1111122n n n n a a -----=，又1151222a ---=， 所以存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2，公差是1的等差数列． （3）由（2）知，数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2，公差是1的等差数列，()121112n na n n -∴=+-⨯=+，()()121nn a n n N +∴=++∈， 记()12nn c n =+⋅，则1n n a c =+，令123n n T c c c c =++++L ，则123123n n n n S a a a a c c c c n T n =++++=+++++=+L L ，()231223242212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯Q L ① ()23412223242212n n n T n n +∴=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ②①-②得 ()234122222212nn n T n +-=⨯+++++-+⨯L()()()231112212222212212221n n n n n n n n +++-=+++++-+⨯=+-+⨯=-⨯-L12n n T n +∴=⨯，()121n n S n +∴=+⋅．【点睛】本题考查数列的递推公式,考查等差数列的证明,考查分组求和和错位相减法求数列的和,难度较难.。
陕西省西安市高新一中2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
（2）解关于 的不等式： （其中 ）．
【答案】（1）2；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂的运算法则和对数的运算性质计算即可；
（2）不等式化为 ，根据不等式对应方程的两根写出不等式的解集．
【详解】（1）
．
（2）不等式 可化为 ，
不等式对应方程的两根为 ， ，且 （其中 ）；
所以原不等式的解集为 ．
3.已知α为第二象限角， ，则cos2α=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
详解】 ，故选A.
4.函数 的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（）
A. 2， B. 2， C. 4， D. 4，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象的两个点 、 的横坐标，得到四分之三个周期的值，得到周期的值，做出 的值，把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相，写出解析式，代入数值得到结果．
16.已知函数 .
(1)求 的最小正周期和最大值；
(2)求 在 上的单调区间
【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为 ；
（2）f(x)在 上单调递增；在 上单调递减．
【解析】
【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得 的最小正周期和最大值．
（2）根据 ，利用正弦函数的单调性，即可求得 在 上的单调区间．
试题解析：（1） ，求得 ，根据 是第一象限角，所以 ，且 ；
（2）
．
考点：正余弦差角公式，辅助角公式，同角三角函数关系式，倍角公式，三角不等式．
18.已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
西安高新第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(教师版)
西安市高新第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题一、单选题1.集合A=1,2,3，B=y y=2x-1,x∈A，则A∩B等于( )A.∅B.2C.1,3D.1,3,5【答案】C【详解】由题设B={1,3,5}，故A∩B={1,3}.故选：C2.命题“∃x≥3，x2-2x+3<0”的否定是( )A.∀x≥3，x2-2x+3<0B.∀x≥3，x2-2x+3≥0C.∀x<3，x2-2x+3≥0D.∃x<3，x2-2x+3≥0【答案】B【详解】解：因为命题“∃x≥3，x2-2x+3<0”为存在量词命题，所以其否定为“∀x≥3，x2-2x+3≥0”．故选：B．3.设α∈-1, 12, 1, 2, 3，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )A.-1，1B.1，3C.1，2，3D.12，1，3【答案】B【详解】因为y=x-1,y=x12的定义域都不是R，函数y=x2是定义域为R的偶函数，所以y=x-1,y=x12，y=x2均不满足题意，而y=x，y=x3均符合题意，所以满足题意的α的值为1,3.故选：B4.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e ax+b(a，b为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为( )A.16小时B.24小时C.36小时D.72小时【答案】D【详解】由题设216=e6a+b8=e24a+b⇒e18a=127⇒a=-ln36，b=4ln3+3ln2，所以x=12时，ax+b=-2ln3+4ln3+3ln2=ln72，此时y=e ln72=72小时.故选：D5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像的特征，如函数f(x)=3x1-x2的图像大致是( )A. B.C. D.【答案】C【详解】由f (x )=3x 1-x 2可知，当x ∈0,1 时，f x >0，故排除A ；当x >1时，f x <0，排除BD .故选：C 6.已知函数f x 是偶函数，当0≤x 1<x 2时，f x 2 -f x 1 x 2-x 1 >0恒成立，设a =f 55 ，b =f -2 ，c =f 33 ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.c <b <aC.b <c <aD.b <a <c 【答案】A【详解】当0≤x 1<x 2时，f x 2 -f x 1 x 2-x 1 >0恒成立，可知函数f x 在0,+∞ 上单调递增，又因为函数f x 是偶函数，所以b =f -2 =f 2 ，设a 1=55,b 1=2,c 1=33，则a 1 10=55 10=25,b 1 10=2 10=32，所以a 1<b 1，又b 1 6=2 6=8,c 1 6=33 6=9，所以b 1<c 1，所以a 1<b 1<c 1，又因为函数f x 在0,+∞ 上单调递增，所以a <b <c .故选：A .7.已知二次函数y =ax -1 x -a ．甲同学：y >0的解集为-∞,a ∪1a ,+∞ ；乙同学：y <0的解集为-∞,a ∪1a ,+∞ ，丙同学：y =ax -1 x -a 的对称轴在y 轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a 的取值范围为( )A.a <-1B.-1<a <0C.0<a ≤1D.a >1【答案】C【详解】若y >0的解集为-∞,a ∪1a ,+∞ ，则a >01a≥a ⇒0<a ≤1；若y <0的解集为-∞,a ∪1a ,+∞ ，则a <01a≥a ⇒a ≤-1；若y =ax -1 x -a 的对称轴在y 轴右侧，则a +1a 2>0⇒a +1a =a 2+1a>0⇒a >0；又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，0<a ≤1.故选：C8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +1)=13f (x )，且当x ∈[0,1)时，f (x )=1-|2x -1|.若对∀x ∈[m ,+∞)，都有f (x )≤281，则m 的取值范围是( )A.103,+∞ B.113,+∞C.133,+∞D.143+∞ 【答案】B【详解】因为当x ∈[0,1)时，f (x )=1-|2x -1|，所以f (x )=2x ,0≤x <122-2x ,12≤x <1，又因为函数f (x )满足f (x +1)=13f (x )，所以函数f (x )的部分图像如下，由图可知，若对∀x ∈[m ,+∞)，都有f (x )≤281，则m ≥113.故A ，C ，D 错误.故选：B .二、多选题9.已知a <b <c ，且ac <0，则下列不等式中一定成立的是( )A.ac <bcB.ab 2<cb 2C.a a -b >0D.ac a -b >0【答案】ACD【详解】因为a <b <c ，且ac <0，所以c >0，a <0，故ac <bc ，A 正确．当b =0时，ab 2=cb 2，B 错误．a -b <0，a a -b >0，C 正确．a -b <0，ac a -b >0，D 正确．故选：ACD .10.下列四个不等式中，解集为-∞,1 ∪3,+∞ 的是( )A.2x -4x -3≥1 B.4x -5⋅2x +1+17≥x -3 0C.x 2-4x +3≥0 D.x -3+1 x +3≥0【答案】AB【详解】A ：由2x -4x -3-1=x -1x -3≥0，则x -1 x -3 ≥0x -3≠0 ⇒x ≤1或x >3，符合；B ：由4x -5⋅2x +1+17≥x -3 0，则22x -10⋅2x +16≥0x -3≠0 ⇒(2x -2)(2x -8)≥0x ≠3 ，所以x ≤1或x >3，符合；C ：x 2-4x +3=(x -1)(x -3)≥0，可得x ≤1或x ≥3，不符合；D ：x -3+1 x +3=(x -1)(x -3)≥0，则x ≤1或x ≥3，且x ≥0，所以0≤x ≤1或x ≥3，不符合.故选：AB .11.函数f x 的定义域为D ，若存在闭区间a ,b ⊆D ，使得函数f x 同时满足①f x 在a ,b 上是单调函数；②f x 在a ,b 上的值域为ka ,kb k >0 ，则称区间a ,b 为f x 的“k 倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有( )A.f x =2x (x ≤0)B.f x =1x (x >0)C.f x =x 2(x ≥0)D.f x =x 1+x 2(0≤x ≤1)【答案】BC【详解】A ：f x =2x 在(-∞,0]上递增，令2a=3a 2b =3b ，由于y =2x ,y =3x 在(-∞,0]上无交点，所以不存在a ,b 上的值域为3a ,3b ，不符合；B ：f x =1x 在(0,+∞)上递减，令1a =3b 1b =3a且b >a >0，即ab =13，故a =13,b =1时，存在a ,b 上的值域为3a ,3b ，符合；C ：f x =x 2在[0,+∞)上递增，令a 2=3a b 2=3b 且b >a ≥0，可得a =0b =3 ，故a =0,b =3时，存在a ,b 上的值域为3a ,3b ，符合；D ：在0<x ≤1，f x =11x +x ，而y =1x +x 在(0,1]上递减，则f x 在(0,1]上递增，又f 0 =0，所以f x 在[0,1]上的值域为0,12 ，令a 1+a 2=3a b 1+b 2=3b 且0≤a <b ≤1，可得a =0b =0 ，不合题设；故选：BC12.已知函数f x 的定义域是0,+∞ ，且f xy =f x +f y ，当x >1时，f x <0，f 2 =-1，则下列说法正确的是( )A.f 1 =0B.函数f x 在0,+∞ 上是减函数C.f 12023 +f 12022 +⋯+f 13 +f 12 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 +f 2023 =2023D.不等式f 1x-f x -3 ≥2的解集为4,+∞ 【答案】ABD【详解】对于A ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 =2f 1 ，所以f 1 =0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f 1 =f x +f 1x =0，所以f 1x =-f x ，任取x 1,x 2∈0,+∞ ，且x 1<x 2，则f x 2 -f x 1 =f x 2 +f 1x 1 =f x 2x 1 ，因为x 2x 1>1，所以f x 2x 1<0，所以f x 2 <f x 1 ，所以f x 在0,+∞ 上是减函数，故B 正确；对于C ，f 12023 +f 12022 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12 +f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2022 +f 2023 =f 12023×2023 +f 12022×2022 +⋅⋅⋅+f 13×3 +f 12×2 =f 1 +f 1 +⋅⋅⋅+f 1 +f 1 =0，故C 错误；对于D ，因为f 2 =-1，且f 1x =-f x ，所以f 12 =-f 2 =1，所以f 14 =f 12 +f 12 =2，所以f 1x -f x -3 ≥2等价于f 1x +f 1x -3≥f 14 ，又f x 在0,+∞ 上是减函数，且f xy =f x +f y ，所以1x x -3 ≤141x >01x -3>0，解得x ≥4，即不等式f 1x-f x -3 ≥2的解集为4,+∞ ，故D 正确,故选：ABD ．三、填空题13.函数f (x )=x +1x -1的定义域为．【答案】0,1 ∪1,+∞【详解】由题意得x ≥0x -1≠0 ，解得x ≥0且x ≠1，故答案为：0,1 ∪1,+∞14.我校召开秋季运动会，高一某班有28名同学参加比赛，有15人参加集体项目，有8人参加田赛，有14人参加径赛，同时参加集体项目和田赛的有3人，同时参加集体项目和径赛的有3人，没有人同时参加三个项目的比赛，则只参加径赛的有人．【答案】8【详解】假设只参加径赛的有x 人，又没有人同时参加三个项目的比赛，所以同时参加田赛和径赛人数为14-3-x ，只参加田赛人数为8-3-(14-3-x )，综上，9+x +x -6+3+3+11-x =28，可得x =8.故答案为：815.已知f x =x 2-2x +3，g x =122x +1-m ，若对任意x 1∈0,3 ，都存在x 2∈-2,-1 ，使得f x 1 ≥g x 2 ，则实数m 的取值范围是.【答案】[0,+∞)【详解】f x =x 2-2x +3=x -1 2+2，f x 在-∞,1 上单调递减，在[1,+∞)上单调递增.所以当x ∈0,3 时，f x min =f (1)=2.g x =122x +1-m 在R 上单调递减，所以当x ∈-2,-1 时，g x min =g (-1)=2-m .因为对任意x 1∈0,3 ，都存在x 2∈-2,-1 ，使得f x 1 ≥g x 2 ，所以只需f x min ≥g x min 即可，即2≥2-m ，解得m ≥0，即m 的取值范围是[0,+∞).故答案为：[0,+∞)16.已知函数f x =x +1x +a ，若对任意实数a ，关于x 的不等式f x ≥m 在区间12,3 上总有解，则实数m 的最大值为．【答案】23【详解】函数y =x +1x 在区间12,3 上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a ，关于x 的不等式f x ≥m 在区间12,3上总有解，只要找到其中一个实数a ，使得f x =x +1x+a 的最大值最小即可，如图，函数y =x +1x向下平移到一定的程度时，函数f x 的最大值最小，此时只有当f 1 =f 3 时，才能保证函数f x 的最大值最小，设函数y =x +1x 的图象向下平移了t 个单位，其中t >0，则103-t =-2-t ，解得t =83，此时函数f x max =103-83=23，∴m ≤23.因此，实数m 的最大值为23.故答案为：23.四、解答题17.集合A =x x -1x +3<0 ，B =x x 2-4x -5<0 ，C =x x <2m -1,m ∈R ．(1)求A ∩B ；(2)若x ∈B 是x ∈C 的充分条件，且x ∈C 是x ∈A 的必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(-1,1)(2)3,+∞【详解】(1)由x -1x +3<0⇔x +3 x -1 <0⇔-3<x <1，则A =(-3,1)，由x 2-4x -5<0⇔(x +1)(x -5)<0⇔-1<x <5，则B =(-1,5)，故A ∩B =(-1,1)；(2)x ∈B 是x ∈C 的充分条件，则B ⊆C ；x ∈C 是x ∈A 的必要条件，即x ∈A 是x ∈C 的充分条件，则A ⊆C ；故A ∪B ⊆C ,由A ∪B =(-3,5)，C =x x <2m -1,m ∈R ，则5≤2m -1，解得m ≥3,故实数m 的取值范围是3,+∞ .18.已知x >0，y >0，且满足4x +1y =2．(1)求x +y 的最小值；(2)求1x +4 y +1的最大值．【答案】(1)92；(2)116.【详解】(1)由题设x +y =12(x +y )4x +1y =125+4y x +x y ≥125+24y x ⋅x y =92，当且仅当4y x =x y ，即x =3,y =32时等号成立，所以x +y 的最小值为92.(2)由4x +1y =2⇒4y +x =2xy ，则1x +4 y +1 =1xy +4y +x +4=13xy +4，又4y +x =2xy ≥24xy =4xy ，故xy (xy -2)≥0，即xy ≥4，当且仅当4y =x ，即x =4,y =1时等号成立，所以3xy +4≥16，故1x +4 y +1≤116，仅当x =4,y =1时等号成立，所以1x +4 y +1的最大值116.19.已知函数f x =3x +m 3x +1为奇函数．(1)判断函数f x 的单调性，并加以证明．(2)若不等式f at 2+2t -2 +f 1-t ≥0对一切t ∈1,4 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)f x 在R 上单调递增，证明见解析(2)[0,+∞)【详解】(1)函数f x 的定义域为R ，f x =3x +m 3x +1=3x +1+m -13x +1=1+m -13x +1，因为f x 为奇函数，所以∀x ∈R ,f -x =-f (x )，所以1+m -13-x +1=-1-m -13x +1，则2=-(m -1)13x +1+13-x +1=(1-m )13x +1+3x 1+3z =1-m 所以m =-1；函数f x =1-23x +1，在R 上单调递增.下面用单调性定义证明：任取x 1,x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=1-23x 1+1-1-23x 2+1 =23x 2+1-23x 1+1=2(3x 1-3x 2)(3x 1+1)(3x 2+1)因为y =3x 在R 上单调递增，且x 1<x 2，所以3x 1-3x 2<0，又(3x 1+1)(3x 2+1)>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f x 在R 上单调递增.(2)因为f x 为奇函数，所以f -x =-f (x )，由f at 2+2t -2 +f 1-t ≥0得f at 2+2t -2 ≥-f 1-t ，即f at 2+2t -2 ≥f t -1 ，由(1)可知,函数f x 在R 上单调递增，所以at 2+2t -2≥t -1，即不等式at 2+t -1≥0对一切t ∈1,4 恒成立,则a ≥1t 2-1t =1t -12 2-14，又1t ∈14,1 ，所以当1t =1时，1t 2-1t 取最大值，最大值为0，所以要使a ≥1t2-1t 恒成立，则a ≥0，所以a 的取值范围为[0,+∞).20.已知不等式mx 2-3x +b >4的解集为-∞,1 ∪2,+∞ ．(1)求m ，b 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2+m -a x +a -b <a -5m a ∈R ．【答案】(1)m =1,b =6;(2)答案见解析.【详解】(1)由题设mx 2-3x +b -4>0的解集为-∞,1 ∪2,+∞ ，所以1,2是mx 2-3x +b -4=0的两个根，且m >0，Δ=9-4m (b -4)>0，所以3m =3b -4m=2⇒m =1b =6 ，满足Δ=9-4×(6-4)=1>0，故m =1,b =6.(2)由(1)知：ax 2+1-a x -1=(ax +1)(x -1)<0，当a =0，则x -1<0，即x <1，解集为(-∞,1)；当a ≠0，则a x +1a (x -1)<0，若a >0，则x +1a (x -1)<0，可得-1a <x <1，解集为-1a ,1 ；若a <0，则x +1a (x -1)>0，当-1a <1，即a <-1时，可得x <-1a 或x >1，解集为-∞,-1a∪(1,+∞)；当-1a =1，即a =-1时，可得x ≠1，解集为(-∞,1)∪(1,+∞)；当-1a >1，即-1<a <0时，可得x <1或x >-1a ，解集为(-∞,1)∪-1a ,+∞ ；21.在2021年的全国两会上，“碳达峰”“碳中和”被首次写入政府工作报告，也进一步成为网络热词．为了减少自身消费的碳排放，节省燃料．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q (单位：L )与速度v (单位：km/h )(40≤v ≤120)的数据关系：Q v =0.000025v 3-0.004v 2+0.25v 40≤v <100 0.00625v 2-1.101v +57.6100≤v ≤120．(1)王先生购买了一辆这种型号的汽车接送孩子上学，由于城市道路拥堵，每小时只能行驶40km ，王先生家距离学校路程为8km ，王先生早上开车送孩子到学校，晚上开车接回家，求王先生每天开车接送孩子的耗油量；(2)周末，王先生开车带全家到周边游玩，经过一段长度为100km 平坦的高速公路(匀速行驶)，这辆车应以什么速度在这段高速公路行驶才能使总耗油量最少？【答案】(1)2.08(L )(2)80km/h【详解】(1)王先生的汽车每小时耗油量为Q 40 =0.000025×403-0.004×402+0.25×40=5.2(L )，每天开车接送孩子的时间为840×2=0.4(h )，则王先生每天开车接送孩子的耗油量为5.2×0.4=2.08(L ).(2)设总油耗量为W ，当40≤v <100时，Q v =0.000025v 3-0.004v 2+0.25v ，∴W =100v×Q v =0.0025v 2-0.4v +25=0.0025(v -80)2+9，∴当v =80时，W 取得最小值为9，当100≤v ≤120时，Q v =0.00625v 2-1.101v +57.6，∴W =100v ×Q v =0.625v +5760v-110.1，令v 1,v 2∈[100,120]，且v 1<v 2，则W 1-W 2=0.625v 1+5760v 1-110.1-0.625v 2+5760v 2-110.1 =0.625(v 1-v 2)+57601v 1-1v 2 =(v 1-v 2)0.625v 1v 2-5760v 1v 2，当v 1,v 2∈[100,120]且v 1<v 2时，v 1-v 2<0,v 1v 2>0，0.625v 1v 2-5760>0.625×1002-5760=490>0，则W 1-W 2<0，可得W =0.625v +5760v-110.1在[100,120]上单调递增，∴当v =100时，W 取得最小值为10，综上，当40≤v ≤120时，W 的最小值为9，此时对应的v =80，所以，这辆车应以80km/h 速度行驶才能使总耗油量最少．22.设函数f x ，g x 具有如下性质：①定义域均为R ；②f x 为奇函数，g x 为偶函数；③f x +g x =e x (常数e 是自然对数的底数，e =2.71828⋯)．利用上述性质，解决以下问题：(1)求函数f x ，g x 的解析式；(2)证明：对任意实数x ，f x 2-g x 2为定值，并求出这个定值；(3)已知m ∈R ，记函数y =2m ⋅g 2x -4f x ，x ∈-1,0 的最小值为φm ，求φm ．【答案】(1)f x =e x -e -x 2,g x =e x +e -x 2(2)-1(3)φm =m 1e -e 2-21e -e +2m ,m ≤2e 2-e 22m ,m >2e 2-e2【详解】(1)由性质③知，f x +g x =e x ，所以f -x +g -x =e -x ，由性质②知，f -x =-f x ,g -x =g x ，所以-f x +g x =e -x ，解得f x =e x -e -x 2,g x =e x +e -x 2.(2)由(1)可得：f x 2-g x 2=e x -e -x 2 2-e x +e -x 2 2=e 2x +e -2x -24-e 2x +e -2x +24=-1(3)函数y =2m ⋅g 2x -4f x =m e 2x +e -2x -2e x -e -x ，设t =e x -e -x ，因为函数y =e x 、y =-e -x 均为R 上的增函数，故函数t 为R 上的增函数，当x ∈-1,0 时，t ∈1e -e ,0 ，t 2=e x -e -x 2=e 2x +e -2x -2，所以e 2x +e -2x =t 2+2，所以原函数即y =mt 2-2t +2m ，t ∈1e -e ,0，设h t =mt 2-2t +2m ，t ∈1e -e ,0，当m =0时，h t =-2t 在t ∈1e -e ,0上单调递减，此时h t min =h 0 =0．当m ≠0时，函数h t 的对称轴为t =1m ，当1m >0时，即m >0时，h t 开口向上，在1e-e ,0 上单调递减，此时h t min =h 0 =2m ，当1m <12e -e 2时，即0>m >2e 2-e 2时，函数开口向下，此时h t min =h 0 =2m ，当12e -e 2≤1m <0时，即m ≤2e 2-e 2时，函数开口向下，此时h t min =h 1e -e =m 1e -e 2-21e-e +2m ，综上所述，φm =m 1e -e 2-21e -e +2m ,m ≤2e 2-e 22m ,m >2e 2-e 2.。
陕西省西安市高新一中19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)
陕西省西安市高新一中19-20学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={a,0}，N={1,2}且M∩N={2}，那么M∪N=()A. {a,0，1，2}B. {1,0，1，2}C. {2,0，1，2}D. {0,1，2}2.已知函数y=x2−2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A. [1,+∞)B. [0,2]C. [1,2]D. (−∞,2]3.已知α为第二象限角，sinα+cosα=√33，则cos2α=()A. −√53B. −√59C. √59D. √534.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别是()A. ω=2，φ=π4B. ω=2，φ=−π4C. ω=12，φ=π8D. ω=12，φ=−π85.已知函数f(x)在[3,+∞)上单调递减，且f(x+3)是偶函数，则a=f(log32)，b=f(30.5)，c=f(log264)的大小关系是()A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. b>a>c6.将函数y=cos(x−π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π3个单位，所得函数的一条对称轴为()A. x=π4B. x=π3C. x=π2D. x=π7.函数y=2sin(π3−2x)的单调递增区间是()A. [kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z) B. [kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z)C. [kπ−π3,kπ+π6](k∈Z) D. [kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)8.幂函数y=x a，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图).设点A(l,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x a，y=x b的图象三等分，即有BM =MN =NA.那么a −1b =( )A. 0B. 1C. 12D. 29. 已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)，若f (x )在[0,2π3]上恰有两个零点，则ω的取值范围是( )A. (1,52)B. [1,52)C. (52,4)D. [52,4)10. 若函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x =π6对称，则φ的值为( )A. π6B. π4C. π3D. 2π3二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11. 已知集合A =[3,9),B =[a,+∞).若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________． 12. 在△ABC 中，已知asinA =2bcosAcosC +2ccosAcosB ，则__________．13. 设α为锐角，若cos (α+π6)=45，则sin (2α+π12)的值为_______．14. 若关于x 的方程mx 2+(2m +1)x +m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 15. 化简求值：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512(2)12lg25+lg2+(13)log 32−log 29×log 32.16. 已知函数f(x)=(sinx −cosx) 2+m ，x ∈R ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)的最大值为3，求m 的值．17.已知f(x)=2cos x2(√3sin x2+cos x2)−1，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)设α、β∈(0,π2)，f(α)=2，f(β)=85，求f(α+β)的值．18.已知sin x2−2cos x2=0．(1)求tanx的值；(2)求22√2(√22cosx−√22sinx)sinx的值．19.已知函数f(x)在(−1,1)上有定义，f(12)=−1，当且仅当0<x<1时，f(x)<0，且对于任意x,y∈(−1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，试证明：①f(x)是奇函数；②f(x)在(−1,1)上单调递减。
陕西西安高一参考答案
【解析】
【分析】
，由图根据对称性 ，
用绳最短即 最小，且 ，使 最小即可，列出函数关系式，求导求最值即可.
【详解】由图根据对称性 ，
用绳最短即 最小，且 ，使 最小
如图，过 作 垂直于点 所在的边于点 ，
长方体的长、宽、高为 、 、
设 ，
则 ，
，
令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，解得
令 则 ，解得 ，
【点睛】本题考查求异面直线所成角、面面垂直判断以及线面平行判断与性质，考查空间想象能力以及推理判断能力，属中档题.
三、填空题：本大题共4小题，请把答案填在答题卡的相应位置上．
13.【答案】 且
【解析】
【分析】
使函数表达式有意义即 ，解不等式组即可.
【详解】使函数 有意义，即 ，
解得 且 ，故函数的定义域为 且 .
5.【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图分析出几何体的几何结构特征：正方体挖去一个圆锥，然后再由正方体与椎体的体积公式即可求解.
【详解】由几何体的三视图可知：
几何体是以 为边长为正方体挖去一个底边半径为 ，高为 的圆锥，
所以
故选：C.
【点睛】本题主要考查几何体的三视图还原几何体的结构特征以及椎体的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
【分析】
根据 的不同取值确定相应的图象，正确选项．
【详解】 时， ，图象为A；
时， ，在 时，由勾形函数知识得 在 上递减，在 上递增， 时， 是减函数，图象为B；
时， 时， 是增函数， 时， ，结合勾形函数性质知图象为D．
故选：ABD．
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题关键是分类讨论，按 分三类，掌握勾形函数的知识及函数单调性是解题基础．
2025届陕西省西安市高新第一中学数学高一上期末经典试题含解析
所以|2 a b | 2 的最大值，最小值分别是：16，0；
所以|2 a b | 的最大值，最小值分别是 4，0； 故选：D 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性
B.
y
sin
2x
6
C. y cos2x
D.
y
cos
2x
6
9．已知函数
f
x
1
2
x
1,
x
0
，若存在不相等的实数
a，b，c，d
满足
f a
f b
f c
f d ，则
lg x, x 0
.a b c d 的取值范围为（）
A 0,
C.
2,
61 10
B.
2,
81 10
D.
法错误的是（ ）
A.是奇函数且图象关于点
2
,
0
对称
B. 偶函数且图象关于点（π，0）对称
C.是奇函数且图象关于直线 x 对称
是2
D.是偶函数且图象关于直线 x 对称
8．将函数 y=sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（ ）
6
6
A. y sin2x
x)
Asin(
x)
Acos x ，
g(
x)
A sin(
x)
Acos x ，
2
2
2
2
所以 g( x) g( x) ，因此函数 g(x) Asin x 关于直线 x 对称，因此选项 A 不正确，
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高2022届网课学习第一次阶段性质量检测高一数学答案一、选择题：（3⨯12=36分）1.答案：A 解析：由余弦定理可得222cos 0,.26a b c C C C ab ππ+-==<<∴=Q 2.答案：C 解析：PQ =(5,-4),Q PQ ∥15(1)4(21),13λλλ∴+=--∴=-m,.3.答案：D 解析：由正弦定理可得sin sin 0,,3ππ==<<>∴=b A B B b a B a 或23π.4.答案：B 解析：(3,=-a -b m ,30,⊥∴-=∴=(a -b )b m m5. 答案：C 解析：在ABC ∆中，0,120AC BC a ACB ==∠=，由余弦定理得2220222022cos1202cos1203,.AB AC BC AC BC a a a a AB =+-⨯⨯=+-=∴=6.答案：D 解析：cos cos a A b B =Q ,由正弦定理可得2sin cos 2sin cos R A A R B B =,即sin2sin2,2,2(0,2),22A B A B A B π=∈∴=Q 或22A B π+=，A B ∴=或,2A B π+=∴ABC △为等腰三角形或直角三角形7.答案：A 解析：λμλμ11Q AN =NM =AM =AB+AC,\AM =4AB+4AC,34Q M 为边BC 上的任意一点，1441,.4λμλμ∴+=∴+= 8.答案：B 解析：311AN =AD+DN =AD+AB,MN =MC +CN =AD -AB,434 ⋅2213\AN MN =|AD|-|AB |=0316 9.答案：C 解析： ABAC ,|AB ||AC |分别为平行于AB,AC 的单位向量, ⋅⋅⋅AO AB AO AC AB AC Q =,\AO (-)=0|AB||AC ||AB||AC |由平行四边形法则可知AO 所在直线为BAC ∠的平分线，同理CO所在直线为BCA ∠的平分线.O ∴为ABC ∆的内心.10.答案：D 解析：13sin ,,6226S ac B B ac π===∴=Q ， 又sin sin 2sin A C B +=得2a c b +=，由余弦定理可得222,b a c =+-22()2,b a c ac ∴=+-即22241241b b b b =--∴=+=11. 答案：A 解析：以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,1),(1,0),(1,0),A B C -设(,0),D x 则 212(,0),1,(,1),(,1)333+-≤≤∴=-=+-E x x AD x AE x ⋅2218\AD AE =x(x+)+1=(x+)+339， 当13x =-时，⋅AD AE 取得最小值89，当1x =-或13x =时，⋅AD AE 取得最大值4312.答案：B 解析：2221)2cos )sin 2S b a c ac B ac B =--=-=Q ，sin 5tan (0,),,cos 6ππ∴==∈∴=B B B B B由正弦定理可得,a A c C ==32sin sin 32sin sin()6ac A C A A π∴==-216(sin cos )8(sin 216sin(2)3A A A A A A π==+=+- 20,26333A A ππππ<<∴<+<Q ，1116sin 424ac S ac B ac ∴≤-==≤- 二.填空题(3⨯6=18分)13. 答案： 11sin 2322S AB AC A =⨯⨯=⨯⨯= 14. 答案：2 解析：AB =(1,2),AC =(4,3), AB 在AC 方向上的投影⋅AB AC 4+6==25|AC |15. 答案： (1(2,1⋃+ 解析：(42,4)(4,1)λλ++-a+2b ,a -b= 若a+2b 与a -b 的夹角是锐角，则0⋅>(a+2b )(a -b )且a+2b 与a -b 不同向；由0⋅>(a+2b )(a -b )得(42)(4)40,11λλλ+-+>∴<+， 若a+2b 与a -b 同向，设0,(42,4)(4,1)λλ>∴+=-a+2b=k(a -b ),k k ，42(4), 2.(1(2,14k k λλλλ+=-⎧∴∴=∴∈-+⎨=⎩U16. 答案： 解析：由正弦定理sin sin AB BC C A =得sin ,2BC A =由题意得当2(,)33A ππ∈且2A π≠时ABC ∆有两个，1,222BC BC <<<17. 答案：解析：由题意得，在ABC △中，由正弦定理可得sin sin 22cos sin sin a A B B b B B===， 又因为锐角三角形，所以2(0,)2A B π=∈且()3(0,)2C A B B πππ=-+=-∈，所以64B ππ<<，所以2cos B ∈，所以a b 的取值范围是. 18. 答案： 21解析连接,A M A N ，⋅∠AB AC =|AB||AC |cos BAC =-2,Q AM 是AEF ∆的中线，11\AM =(AE +AF )=(mAB+nAC )22，同理得1AN =(AB+AC )2， 11\MN =AN -AM =(1-m)AB+(1-n)AC 22 ⋅22222111|MN |=(1-m)|AB|+(1-n)|AC |+(1-m)(1-n)AB AC 44222(1)(1)(1)(1)m n m n =-+----，1,1,(0,1)m n n m m +=∴=-∈Q222211(1)(1)3313()24=-+--=-+=-+2\|MN |m m m m m m m 所以当12m =时，2|MN |取最小值为14，所以|MN |最小值为1.2 三.解答题(共46分)19. (1)证明:由已知得12BD =CD -CB =e -4e ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 12AB =2e -8e ,AB =2BD 又AB 与BD 有公共点，,,A B D ∴三点共线。
⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（2）由（1）可知12BD =e -4e ,又12BF =3e -ke 且,,B D F 三点共线，设(),λλ=∈BF BD R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 即4λλ=-12123e -ke e e ,3124k k λλ=⎧∴∴=⎨-=-⎩⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 20. （1）由已知⊥m n223sincos 2cos (cos 1)0222⋅=-=-+=A A A m n A A 1sin()62A π∴-= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 50,,,666663A A A A πππππππ<<∴-<-<∴-=∴=Q⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （2）在ABC △中，,2,sin 3A a B π==== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 由正弦定理得sin sin a B b A == ⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 21.（1）⋅⋅22Q (2a -3b )(2a+b )=61,4|a|-4a b -3|b|=61, 6.⋅⋅=-64-4a b -27=61,a b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 1cos 2θ⋅∴==-a b|a ||b|，又2[0,],.3πθπθ∈∴= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （2）13.⋅=222|a+b|=|a|+2a b+|b|=13,|a+b| ⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分22.（1）2cos 2b C c a +=Q ，由正弦定理得2sin cos sin 2sin B C C A += ⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 ,sin sin()sin cos cos sin A B C A B C B C B C π++=∴=+=+Q2sin cos sin 2(sin cos cos sin ),sin 2cos sin B C C B C B C C B C ∴+=+∴=10,sin 0,cos 2C C B π<<∴≠∴=Q ，又0,.3B B ππ<<∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （2）在ABD ∆中，由余弦定理得222(()2cos 222b bc c A =+-⋅， ∴221291447b c bc =+-…①，⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 由已知得sin A =.∴sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+=， 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin c b C B =，得57c b =……②，⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 由①，②解得75b c =⎧⎨=⎩，∴1sin 2ABC S bc A ==V⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 23.（1）211()sin cos sin 224f x x x x x x =+=1sin(2)23x π=- ⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 由2,32x k πππ-=+得5,122k x k Z ππ=+∈；由2,3x k ππ-=得,62k x k Z ππ=+∈ ∴()f x 的对称轴方程为5,122k x k Z ππ=+∈， ()f x的对称中心为(62k k Z ππ+∈ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （2）332(),sin(),(0,),233πππ=∴-=∈∴=A f A AA⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 由正弦定理得：4,,2sin sinsin 3b c b B c CB C π===∴== sin )[sin()sin ])33b c BC C C C ππ∴+=+=-+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分20,,4843333C C b c a b c ππππ<<∴<+<∴<+≤∴<++≤+Q ∴ABC ∆的周长范围为(8,4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分。