高中数学 同步学案 分期付款问题中的有关计算

9．4分期付款问题中的有关计算[读教材·填要点]1．单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为 利息＝本金×利率×存期．若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有S ＝P(1＋nr)． 2．复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有复利的计算公式为S ＝P(1＋r)n.[小问题·大思维]1．单利和复利分别对应什么函数类型？[提示] 单利对应一次函数模型,复利对应指数函数模型． 2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？[提示] 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列．等差数列模型(单利问题)用分期付款购买价格为25万元的住房一套,按单利计算如果购买时先付5万元,以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次,再过1年又付款一次,直到还完后为止．商定年利率为10%,则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？[解] 购买时先付5万元,余款20万元按题意分10次分期还清,每次付款数组成数列{a n },则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2,…,10)．因而数列{a n }是首项为4,公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×10－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝31(万元)．31＋5＝36(万元),因此第5年该付3.2万元,购房款全部付清后实际共付36万元．按单利分期付款的数学模型是等差数列,解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款,并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息,并且在规定时间段内利息的计算公式．1．某人从1月起,每月第一天存入100元,到第12个月最后一天取出全部本金及利息,按照单利计息,若月利率为1.65‰,求到年底的本利和．解：第1月存入的100元到12月底的利息为a 1＝100×0.001 65×12, 第2月存入的100元到12月底的利息为a 2＝100×0.001 65×11,… 第12月存入的100元到12月底的利息为a 12＝100×0.001 65,全部利息和为S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝100×0.001 65×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元), 按单利计息,到年底所取出的本利和为1 212.87元.等比数列模型(复利问题)某人购买价值为10 000元的彩电,采用分期付款的方法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,过1个月再付一次,如此下去,到第24次付款后全部付清,已知月利率为0.8%,如果每月利息按复利计算。

那么每期应付款多少元(精确到1元)？(1.00824＝1.210 7)[解] 设每期付款为x 元,第1期付款x 元连同到最后全部付清时所生利息之和为：x(1＋0.008)23, 第2期付款x 元连同到最后全部付清所产生的利息之和为：x(1＋0.008)22, …第24期付款x 元,没有利息．于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为： A ＝x ＋x(1＋0.008)＋x(1＋0.008)2＋…＋x(1＋0.008)23,另一方面,这个商品的售价与其从购买到最后一次付款时的利息之和：B ＝104×(1＋0.008)24, ∴x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00823)＝104×1.00824,即x·1.00824－11.008－1＝104×1.00824,∴x ＝104×1.00824· 1.008－11.00824－1≈460.按复利计算分期付款问题的一般计算公式：商品为a 元,在m 个月内分n 次付清(n 是m 的约数),月利率为p,每期付款x 元,则x[1＋(1＋p)m n＋(1＋p)2m n＋…＋(1＋p)(n －1)mn]＝a(1＋p)m ,∴x ＝a 1＋p m[1＋p mn －1]1＋p m－1.2．某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行,月息按复利计算,月利为0.2%,每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算,年利为6%,问三年取出本利共多少元(保留到个位)？(1.062＝1.123 6,1.063＝1.191 0,1.00212＝1.024 3)解：为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和按月分开算． 第一年内的本息和可分为： 第一个月：5(1＋0.2%)11, 第二个月：5(1＋0.2%)10,…, 第十二个月：5. 那么,第一年的本息和为5(1＋0.2%)11＋5(1＋0.2%)10＋…＋5＝5·1.00212－10.002.于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为 5·1.00212－10.002(1＋6%)2.同理第二年所存钱在最后取时本息和为 5·1.00212－10.002·(1＋6%)．第三年所存钱在年底取出时的本息和为5·1.00212－10.002.∵每月存5元,月利为0.2%,年利为6%, ∴三年后取出的本息和为5·1.00212－10.002(1＋6%)2＋5·1.00212－10.002(1＋6%)＋5·1.00212－10.002＝5·1.00212－10.002·1.063－11.06－1≈193(元)．∴三年后取出的本利共193元．[随堂体验落实]1．按活期存入银行1 000元,年利率是0.72%,那么按照单利,第5年末的本利和是( ) A ．1 036元 B ．1 028元 C ．1 043元D ．1 026元解析：选A 第五年末的本利和是1 000＋1 000×0.72%×5＝1 000＋36＝1 036(元)．2．某厂在2018年底制订生产计划,要使2028年底的总产量在原有基础上翻两番,则年平均增长率为( )A ．4110－1 B ．2110 C ．4111－1D ．2111－1解析：选A 设年增长率为x,2018年总产量为1,到2028年底翻两番后的总产量为4,故得1·(1＋x)10＝4,∴x ＝4110－1.3．某企业今年初贷款a 万元,年利率为r,从今年末开始,每年末偿还一定金额,预计5年内还清,则每年应偿还的金额数为( )A.a 1＋r 51＋r 5－1万元 B ．ar 1＋r 51＋r 5－1万元 C.ar 1＋r 51＋r 4－1万元 D.ar 1＋r5万元解析：选B 设每年还x 元,则a(1＋r)5－x(1＋r)4－x(1＋r)3－x(1＋r)2－x(1＋r)－x ＝0, ∴x ＝ar 1＋r 51＋r 5－1. 4．某工厂第一个月的生产总值为a,月生产总值平均增长率为p,则年平均生产总值的平均增长率为________．解析：S 2S 1＝a 1＋p 12＋a 1＋p 13＋…＋a 1＋p23a ＋a 1＋p ＋…＋a 1＋p11＝(1＋p)12.答案：(1＋p)12－15．某家用电器一件现价2 000元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为1个月,购买后1个月第1次付款,每月付款1次,共付12次,购买后1年还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少(1.00812≈1.1)?解：设每期应付款x 元,则到款数还清时, 第1期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)11, 第2期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)10, …,第12期所付款数没有利息．所以各期所付款数连同利息之和为x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x ＝1.00812－11.008－1x.又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812,于是有1.00812－11.008－1x ＝2 000×1.00812,解得x ＝16×1.008121.00812－1≈176. 即每期应付款176元．[感悟高手解题]某职工2018年年初向银行贷款20万元用于购房,银行为了推动住房制度改革,贷款的优惠年利率为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息),若这笔贷款要求分10次等额还清,每年一次,10年还清,并从贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元(精确到1元)？(1.110＝2.593 7)[解] 已知贷款额为a ＝200 000,贷款年利率为r ＝0.1,设次年等额归还b 元,第n ＝10年还清,则一年后的欠款数为a 1＝(1＋r)a －b ＝1.1×200 000－b,二年后的欠款数为a 2＝(1＋r)a 1－b ＝(1＋r)[(1＋r)a －b]－b ＝(1＋r)2a －b(1＋r)－b, 三年后的欠款数为a 3＝(1＋r)a 2－b ＝(1＋r)[(1＋r)2a －b(1＋r)－b]－b ＝(1＋r)3a －b(1＋r)2－b(1＋r)－b, …,n 年后的欠款数为 a n ＝(1＋r)a n －1－b ＝(1＋r)na －b[(1＋r)n －1＋(1＋r)n －2＋…＋(1＋r)＋1]．由于a n ＝0,贷款还清,故可求出b. 对上式化简得 (1＋r)na －b[(1＋r)n －1＋(1＋r)n －2＋…＋(1＋r)＋1]＝0,即(1＋r)n a＝b·[(1＋r)n －1＋(1＋r)n －2＋…＋(1＋r)＋1]＝b·1＋r n－11＋r －1＝b·1＋rn－1r.∴b ＝a1＋r nr 1＋r n －1＝200 000×1.110×0.11.110－1, ＝200 000×2.593 71.593 7×0.1≈32 549(元)．答：每年应还32 549元．[点评] 复利问题的数学模型为等比数列,可利用等比数列的有关知识灵活求解．一、选择题1．现存入银行10 000元钱,年利率是0.72%.那么按照复利,第5年末的本利和是( ) A ．10 000×1.00723B ．10 000×1.00724C ．10 000×1.00725D ．10 000×1.00726解析：选C 记各年末的本利和为数列{a n }, 由a n ＝a(1＋r)n,其中,a ＝10 000,r ＝0.72%, 得a 5＝10 000×1.007 25.2．某钢厂的年产值由2007年的40万吨,增加到2017年的50万吨,经历了10年的时间,如果按此年增长率计算,该钢厂2027年的年产值将接近( )A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨解析：选C 设年增长率为x,则2017年为： 40(1＋x)10＝50,则(1＋x)10＝54.2027年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2＝40×54×54＝62.5≈63(万吨)．3．某商品零售价2018年比2017年上涨25%,欲控制2019年比2017年上涨10%,则2019年比2018年降价( )A ．15%B ．12%C ．10%D ．5%解析：选B 设2017年商品零售价为a(a>0),2019年比2018年下降x%,则a(1－x%)(1＋25%)＝a(1＋10%),即x%＝12%.4．某企业2017年12月份产值是这年1月份产值的p 倍,则该企业2017年度的产值月平均的增长率为( )A.p p －1 B ．p －111C.11pD.11p －1解析：选D 设2017年1月份产值为a,则12月份的产值为pa,假设月平均增长率为r,则a(1＋r)11＝pa,∴r ＝11p －1.二、填空题5．有一座七层塔,每层所点灯的盏数都是上面一层的两倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是________．解析：设最上面一层为a 1,则组成了以a 1为首项,公比q ＝2的等比数列,则有 S 7＝a 11－q 71－q＝381.得a 1＝3,则a 7＝a 1q 6＝192,∴a 7＝192. 答案：1926．某种产品三次调价,单价由原来的每克512元降到216元,则这种产品平均每次降价的百分率为________．解析：设平均每次降价百分率为x,则 512·(1－x)3＝216, ∴x ＝0.25. 答案：25%7．某人从2017年起,每年9月1日到银行新存a 元一年定期,若年利率r 保持不变,且每年到期存款均自动转成新一年的定期,到2022年9月1日将所有的存款及利息全部取回,他取回的钱数是________元(假设不扣利息税)．解析：本利和为a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4＋a(1＋r)5＝a1＋r [1－1＋r 5]1－1＋r＝a r[(1＋r)6－(1＋r)]．答案：a r[(1＋r)6－(1＋r)]8．某地2017年底人口为500万,人均住房面积为6 m 2,如果该城市的人口平均增长率为1%,问使2027年底该城市人均住房面积增加到至少7 m 2,则平均每年新增住房面积至少为________万m 2(保留到整数)．解析：设该城市平均每年新增住房面积为x 万m 2,依题意6×500＋10x 5001＋1%10≥7,化简得x≥350(1＋1%)10－300≈350×1.104 6－300≈86.6.∴该城市平均每年至少新增87万m 2.答案：87 三、解答题9．陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元,一次性国家财政补贴28 800元,学校补贴14 400元,陈老师已有现金28 800元,尚缺10 000元,以月利率为1%,每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清,试问每月应支付多少元？(不满百元凑足百元,lg 1.01＝0.004 3,lg 1.061＝0.025 8,lg 1.07＝0.029 4)解：设每个月还贷a 元,第1个月后欠款为a 0元,以后第n 个月还货a 元后,还剩下欠款a n 元(1≤n≤6),则a 0＝10 000, a 1＝1.01a 0－a,a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a, …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a. 由题意可知a 6＝0,即1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a ＝0, a ＝ 1.016×1021.016－1. 又因为lg(1.01)6＝6lg 1.01＝0.025 8, 所以1.016＝1.061, a ＝1.061×1021.061－1≈1 800.答：每月应支付1 800元．10．现在有某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案：一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元,两方案使用期都是10年,到期后一次性归还本息,若银行贷款利息均按本息10%的复利计算,试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元,数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)解：甲方案10年中每年获利数组成首项为1,公比为1＋30%的等比数列,其和为 1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63(万元), 到期时银行贷款的本息为10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元), ∴甲方案扣除贷款本息后,净获利约为 42．63－25.94≈16.7(万元)．乙方案10年中逐年获利数组成等差数列, 1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5) ＝101＋5.52＝32.50(万元),而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9] ＝1.1×1.110－11.1－1≈17.53(万元)．∴乙方案扣除贷款本息后,净获利约为 32．50－17.53≈15.0(万元)比较得,甲方案净获利多于乙方案净获利.。