分期付款的有关计算
分期的综合年利率计算公式
分期的综合年利率计算公式在现实生活中，我们经常会遇到需要分期付款的情况，比如购买房屋、汽车、家具等大件商品，或者是办理信用卡分期付款。
在进行分期付款时，我们需要了解分期的综合年利率是多少，以便更好地规划自己的财务支出。
本文将介绍分期的综合年利率计算公式，并举例说明如何计算分期的综合年利率。
分期的综合年利率是指在分期付款过程中，由于每期付款的时间不同，所产生的利息总和与本金总和之比，即为综合年利率。
分期的综合年利率计算公式如下：综合年利率 = (每期利息总和 / 本金总和) 12 / 期数。
其中，每期利息总和是指在每期付款中所产生的利息总和，本金总和是指分期付款的总本金，期数是指分期的期数。
举例说明：假设小明购买了一台电视机，总价为3000元，选择分3期付款，每期付款1000元。
假设每期的利息分别为50元、40元、30元。
那么分期的综合年利率为：综合年利率 = ((50+40+30) / 3000) 12 / 3 = (120 / 3000) 12 / 3 = 0.04 12 / 3 = 0.16。
即分期的综合年利率为16%。
通过以上例子，我们可以看到分期的综合年利率是根据每期的利息总和与本金总和之比来计算的，因此在进行分期付款时，需要了解每期的利息情况，以便更好地规划自己的财务支出。
在实际生活中，分期的综合年利率计算公式可以帮助我们更好地了解分期付款的成本，从而更好地规划自己的财务支出。
在选择分期付款时，除了关注每期的利息情况外，还需要注意分期的期数和每期的付款额，以便更好地控制自己的财务风险。
除了上述的分期的综合年利率计算公式外，还有一些其他的计算方法，比如等额本息法和等额本金法。
等额本息法是指每期还款金额相同，但每期的利息逐渐减少，本金逐渐增加；等额本金法是指每期还款本金相同，但每期的利息逐渐减少。
这些方法在实际生活中也有一定的应用，可以根据自己的实际情况选择合适的分期付款方式。
总之，分期的综合年利率是分期付款过程中需要了解的重要指标之一，通过分期的综合年利率计算公式，我们可以更好地了解分期付款的成本，从而更好地规划自己的财务支出。
分期付款中的数学计算原理以及若干问题的讨论
分期付款中的数学计算原理以及若干问题的讨论
分期付款是一种消费者可以分期支付购买商品或服务的金融服务。
它可以帮助消费者把一笔大额支出分成多个小额支出，从而更容易支付。
分期付款的数学计算原理是，消费者需要支付的总金额（本金）除以分期数，就可以得到每期应付的金额（本金+利息）。
分期付款的数学计算原理是，消费者需要支付的总金额（本金）除以分期数，就可以得到每期应付的金额（本金+利息）。
比如，一笔购买商品的总金额为1000元，分期数为3期，那么每期应付的金额就是1000元除以3，即333.33元，其中包括本金和利息。
分期付款的数学计算原理也可以用于计算利息。
比如，一笔购买商品的总金额为1000元，分期数为3期，每期应付的金额为333.33元，那么每期的利息就是333.33元减去本金1000元，即333.33元减去1000元，得到的结果就是每期的利息，即-666.67元。
分期付款的数学计算原理也可以用于计算分期付款的总利息。
比如，一笔购买商品的总金额为1000元，分期数为3期，每期的利息为-666.67元，那么总利息就是-666.67元乘以3期，即-2000元。
分期付款的数学计算原理可以帮助消费者更好地了解分期付款的费用，从而更好地控制自己的支出。
但是，消费者在使用分期付款时，还需要注意一些问题，比如分期付款的利率、分期付款的期限、分期付款的违约金等。
只有了解这些问题，消费者才能更好地控制自己的支出，避免发生不必要的损失。
湘教版数学高一-学案 9.4 分期付款问题中的有关计算
9.4 分期付款问题中的有关计算1.能够建立等差数列模型解决生活中有关零存整取的问题.2.在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存、复利及分期付款问题．1．与日常经济生活有关的基本概念 (1)增长率＝增长量增长前的量.(2)优惠率＝购买商品获得的优惠额商品标价.(3)存款利率＝利息存款额.(4)利息＝本金×存期×利率． 2．什么情况下需要建立数列模型？答 当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型．1．单利和复利用符号P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金与利息的和(简称本利和)．若按单利计算，到期的本利和S ＝P (1＋nr )；若按复利计算，到期的本利和S ＝P (1＋r )n . 2．零存整取模型若每月存入金额为x 元，月利率r 保持不变，存期为n 个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx 元，各月利息和为n (n ＋1)r2x 元，全部取出的本利和为nx ＋n (n ＋1)r2x 元． 3．定期自动转存模型如果储户存入定期为1年的P 元存款，定期利率为r ，约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n 年后，储户所得本利和为P (1＋r )n . 4．分期付款问题在分期付款问题中，贷款a 元，分m 个月付清，月利率为r ，每月付x 元，货款a 元m 个月后本息和为a (1＋r )m ；从第一个月开始每次付款x 元，m 个月后本息和为从而有：x [(1＋r )m －1＋(1＋r )m －2＋(1＋r )m －3＋…＋(1＋r )＋1]＝a (1＋r )m，∴x ＝ar (1＋r )m(1＋r )m －1.要点一 等差数列模型例1 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5次该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }， 则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)； a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×(10－1)×(－15)2＝31(万元)．31＋5＝36(万元)，因此第5次该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元． 规律方法 按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．跟踪演练1 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min 可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解 设共有n 个水龙头，每个水龙头放水的分钟数从小到大依次为x 1，x 2，…，x n . 由已知可知x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1， ∴数列{x n }成等差数列，每个水龙头1 min 放水124n (这里不妨设水池的容积为1)，∴124n ·(x 1＋x 2＋…＋x n )＝1，∴n (x 1＋x n )2＝24n ， ∴x 1＋x n ＝48.又∵x n ＝5x 1，∴6x 1＝48，∴x n ＝40， 故最后关闭的水龙头放水40 min. 要点二 等比数列模型例2 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)解 方法一 设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ， a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a . 由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a ＝0， a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1.因为1.016＝1.061， 所以a ＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S 1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1.得a ≈1 739.故每月应支付1 739元．规律方法 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．跟踪演练2 陈老师购买工程集资房92 m 2，单价为1 000元/m 2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款(注①)，经过一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注②)，那么每年应付款多少元？(注③)注 ①分期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和． ②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息．③必要时参考下列数据：1.0759≈1.917,1.07510≈2.061，1.07511≈2.216.解 设每年应付款x 元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x ×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x ×1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和为x ×1.075元，第十年付款为x 元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92－(28 800＋14 400)]×1.07510＝48 800×1.07510(元)．因此有x (1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48 800×1.07510(元)，所以x ＝48 800×1.07510×1.075－11.07510－1≈48 800×2.061×7.068×10－2≈7 109(元)．∴每年需付款7 109元．要点三 等差、等比数列在经济生活中的综合应用例3 某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4 000元，工人每人投资1 000元(不记利息仅在每年年底利润中分红)，尚缺少的资金，准备在今年年底向银行贷款，按年利率9 %的复利计算，若从明年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少万元？(精确到0.1万元) 解 因为扩大生产急需的资金共有 40＋100＋60＋15＋40＝255(万元)； 已经筹集到的资金为125＋0.4×30＋0.1×180＝155(万元)； 资金缺口为：255－155＝100(万元)．设每次向银行还款x 万元，则贷款100万元，五年一次还清本金和利息共计100(1＋9%)5万元．第一次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)4万元； 第二次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)3万元； 第三次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)2万元； 第四次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)万元； 第五次还款(无利息)为x 万元． 由题意得x ＋x (1＋9%)＋x (1＋9%)2＋x (1＋9%)3＋x (1＋9%)4＝100(1＋9%)5， 即x (1.095－1)1.09－1＝100×1.095，∴x ≈25.7(万元)．跟踪演练3 据美国学者詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2020年甚至会达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a ，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．试回答：(1)2009年底人类知识总量是多少？ (2)2019年底人类知识总量是多少？(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是多少？解 由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，…，翻n 番是在原来的基础上乘以2n .于是(1)从2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，2009年底人类知识总量为23a＝8a.(2)从2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人类知识总量为8a×210＝8 192a.(3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天计算，共翻五番，所以2020年底人类知识总量为8 192a×25＝262 144a.1．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上摆放的铅笔的总数为()A．7 260B．8 000C．7 200D．6 000答案 A解析从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔，∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)．故选A.2．某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是()A.m11 B.m12C.11m－1 D.12m－1答案 C解析设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设月增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，∴x＝11m－1.3．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2014年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2019年的垃圾量为________吨．答案a(1＋b)5解析 由于2014年产生的垃圾量为a 吨，由题意，得2015年的垃圾量为a ＋a ·b ＝a (1＋b )，2016年产生的垃圾量为a (1＋b )＋a (1＋b )·b ＝a (1＋b )2，由此得出该区2019年的垃圾量为a (1＋b )5.4．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于________． 答案 13[(1＋r )3－1]解析 设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益为(1＋r )3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q ，为鼓励储户三年定期存款，应使3q >(1＋r )3－1.即q >13[(1＋r )3－1]．数列应用问题的常见模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，其一般形式是：a n ＋1－a n ＝d (常数)．例如：银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a (1＋xr )．(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，其一般形式是：a n ＋1－a n a n ×100%＝q (常数)．例如：银行储蓄复利公式y ＝a (1＋r )x .产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值y ＝N (1＋p )x . (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加，同时又以一个固定的具体量增加或减少，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．。
分期付款协议中的利息计算方式解析
分期付款协议中的利息计算方式解析随着日常生活中金融交易的增多，分期付款成为了许多人购买商品或服务的一种选择。
然而，在签署分期付款协议之前，了解其中的利息计算方式对于消费者来说非常重要。
本文将对分期付款协议中的利息计算方式进行解析，以帮助读者更好地了解和应对金融交易中的利息问题。
一、分期付款协议中的利息计算方式在分期付款协议中，利息计算方式可以分为等额本息和等额本金两种形式。
1. 等额本息方式等额本息是指分期付款协议中每期还款金额相同，包括本金和利息。
每期还款金额根据贷款总额、贷款期限和贷款利率来确定。
其中，利息在每期还款中的比例会逐渐减少，而本金部分会逐渐增加。
这种方式适用于那些希望每期还款金额相对较为稳定的借款人。
2. 等额本金方式等额本金是指分期付款协议中每期还款本金相同，而利息则根据剩余本金的比例逐渐减少。
这意味着每期还款金额会逐渐减少。
随着贷款期限的推移，利息支付的比例会逐渐减少，而本金还款的比例会逐渐增加。
这种方式适用于那些希望尽早偿还借款本金并减少利息支付的借款人。
二、利息计算方式的影响因素在分期付款协议中，利息计算方式的选择会受到以下几个因素的影响。
1. 贷款额度：贷款额度的大小会对利息计算方式的选择产生影响。
对于较大的贷款额度，等额本息方式可能更加合适，因为每期还款金额相对较低，更容易负担。
而对于较小的贷款额度，等额本金方式可能更加划算，因为随着本金逐渐减少，每期还款金额也会逐渐减少。
2. 贷款期限：贷款期限的长短也会对利息计算方式的选择产生影响。
贷款期限较短的情况下，等额本金方式可能更加划算，因为借款人可以更快地偿还贷款本金并减少利息支付。
而贷款期限较长的情况下，等额本息方式可能更加合适，因为每期还款金额相对较低，更容易负担。
3. 贷款利率：贷款利率的高低也会对利息计算方式的选择产生影响。
贷款利率较高的情况下，借款人可能更愿意选择等额本金方式，以减少利息支付。
而贷款利率较低的情况下，等额本息方式可能更容易被接受，因为每期还款金额相对较低。
分期付款利息计算公式
分期付款利息计算公式分期付款的利息计算公式为利息=分期总金额*手续费率，假设购买1000元的商品分三期进行付款，分期手续费率为2.3%，需要支付的总利息为1000*2.3%=23元。
使用银行信用卡分期付款利息和分期期数有关，通常分期期数越多收取的利息也就越多，比如建设银行分3期，6期，12期的手续费率分别为 2.6%，4.2%，7.2%，在金额相同的情况下，总利息随着期数增多而增加。
分期的利息怎么算分期付款的利息=商品总价*分期利率*分期数。
商品的总价是固定的，分期的利率随分期数的增加而增加。
例如，建行的分期期数为3期、6期、12期、18期、24期，手续费率2.60%、4.20%、7.20%、11%、15%。
所谓分期付款，就是在支付交易的时候就选择好要分期的期数，然后用信用卡或者花呗等信贷产品一次性支付交易金额，之后再按照付款时所选择的分期期数来按时逐期偿还所消费的额度及相应分期手续费即可。
而一般分期付款都对交易金额有一定的要求，比如工商银行就规定了，信用卡单笔消费交易金额得达到一百元人民币或等值外币，方可进行分期付款。
未达一百元的交易，自然就不能分期了。
而与分期付款相对的，也就是账单分期了。
所谓“账单分期”，则是在客户使用信用卡或花呗等信贷产品消费购物后，待消费入账、账单出账了，可以在还款日之前提出分期申请，选择好期数来分期偿还账单金额。
账单分期申请成功后，一般从下个月才开始按照所选期数逐期还款，每月偿还分期本金和相应的分期手续费。
拓展资料：分期付款大多用在一些生产周期长、成本费用高的产品交易上。
如成套设备、大型交通工具、重型机械设备等产品的出口。
分期付款的做法是在进出口合同签订后，进口人先交付一小部分货款作为订金给出口人，其余大部分货款在产品部分或全部生产完毕装船付运后，或在货到安装、试车、投入以及质量保证期满时分期偿付。
只要单笔的透支额度超过银行规定的下限，消费后即可向银行申请分期付款，方法有打银行客服电话申请、登录银行网站上申请、持银行卡和身份证到柜台申请都可以，如果商家支持分期，就不用自己申请了。
从“分期付款有关计算”谈研究性学习
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空气阻力 影响较大 ， 故关系 图在 实践 中无法 使用 。 本节课的设计遵循 全员 参与，自主学 习、 验 、 体 撵 究 的原则 ， 有理论推 导， 有实践应用 ， 教师不包办代替 ， 只是从旁 引导 ， 让学 生综合 运用所 学知识 来解 决 生活 中的实际同题， 学生极感兴趣， 也从中体会到 了数学研 究的方 法与效果， 对开 发学 生的科 研意识 与探究 精神 有很大 的启迪价值 。
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中学数 学教 学
２０ ０ ２年 第 ２期
从“ 期付款有关计算 ＂ 分 谈研究性学 习
湖北省黄石市第七中学 袁季春 （ 邮编 ： ５０ ） ４ ０２ ３
培养学生创新意识和 实践能 力 已成 为数学 教学 的
一
方案 ３ 购买后 Ｌ 十月第 １次付款 再每过 １ 月 十 付 一次款 ， 共分 １ ２次付清 。 注 规定 ： 月利率 为 ０ ８６ 每 月利息按 复利计 ① ．９ ， 算； ◎每期所付款额相 同。 分析 本问题 的背景为学 生社会生活 中耳闻 目睹 的经济 问题 ， 中所涉及 的概念较多 ， ： 题 如 分期付款 、 利 率、 复利等， 学生通过背景材料进行 观察 、 分析 、 抽象得 出数学概念及规律 ， 运用 已有知识 ， 将实 际问题 转化 为 数学问题， 建立数学模 型井加 解 决。 解释相 关概 念 ： 什 么是 复利 计算 ； ① ②分 期 付款 时， 品售价和每期所 付款额 在货款全 部 付清前 会随 商 着时 间推 移而不断增 值 ｝ ③各期 付款额 连 同最 后 一次 付款 时所 生利息之和 ， 于商品售 价及从 购 买到最 后 等
分期付款中的有关计算
分期付款中的有关计算课题：分期付款中的有关计算（一）教学目的：1、知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用;2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力;3、德育目标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观;4、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究教学难点：独立解决方案授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果.问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突.教学过程：一、引入：1．.幽默故事:一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足.指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什2．基本公式：1.等差数列的前n项和公式：n(a1+an)n(n-1)dSn=， Sn=na1+ 222．等比数列的前n项和公式：a1(1-qn)a-anq 当q≠1时，Sn= ① 或Sn=1 ② 1-q1-q当q=1时，Sn=na1特殊数列求和－－常用数列的前n项和：1+2+3+ +n=n(n+1) 21+3+5+ +(2n-1)=n2n(n+1)(2n+1) 6n(n+1)213+23+33+ +n3=[] 23．求和的常用方法：特殊数列求和公式法、拆项法、裂项法、错位法 12+22+32+ +n2=二、问题：某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%)：⑴购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购买后12个月第6次付款；⑵购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款；⑶购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3你能帮他们参谋选择一下吗？”三解决问题的过程：1．启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？——设为2．搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如,由于月利率为1%,款额a元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=1.01a(元)3．独立探究方案1可将问题进一步分解为：1. 商品售价增值到多少？ 22. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？4．提出解答,并给答辩：由商品价格=付款额，得10000×(1+1%)=x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x， 1224681010000⨯1.0112⨯(1.012-1)解得x=＝1785.86 1.0112-15．创建数学模型：比较方案1结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,m⎡⎤a(1+p)⎢(1+p)n-1⎥⎣⎦每月还款x元,月利率为p,则x= (1+p)m-1m6．验证并使用模型：10000⨯1.0112⨯(1.01-1)方案2中，x=＝888.49 121.01-112410000⨯1.01⨯(1.01-1)＝3607.62 方案3中，x=1.0112-17．结论分析：方案1中，x=1785.86元，付款总额6x=10721.16元；方案2中，x=888.49元，付款总额12x=10661.85元；《考试说明》明确指出：“能阅读、理解、对问题进行陈述的材料,能综合运用所学的数学知复习了等比数列的应用，体现了数学的实际应用价值，尤其是从实际出发来表述问题，课堂气氛异常热烈，更四、小结1.分期付款中的计算涉及的数学知识:等比数列前n项和公式；数学思想：列方程解未知2.“方案2、3→模型→方案3”是由特殊到一般,再由一般到特殊的研究方法; 研究性课题的基本过程：生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地→搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩→创建数学模型→验证并使用模型→结论分析3.问题来源于现实,问题处处存在，要善于发现问题并抓住问题本质;而探究问题时往往不会一帆风顺,要勇于战胜困难,磨砺自己意志.4.促进学生知识迁移——五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决六、板书设计（略）七、课后记：。
研究性课题：分期付款中的有关计算的教学实践与体会
峥 ： 丰 金 为 ａ 元 ． 利 率 为 ０ ８％ ， 请 月 ． 说
明 复 利 计 算 的含 义 ．
师： 察 上述 方 程 ． 号 左 边有 何 特 点 ． 观 等
方 程 怎 么 解？ 等 于 多少 ？
生 ： 叠 ｄ 元 过 一 个 月 ， 增 值 为 ａ（ ＋ 丰 就 １ ｏ ０ ８ 一 １ ｏ ８ 元 ） 再 迁 一 十 月 ， 金 由 ． ０ ） ． ｏ ａ（ ， 丰 １ ０ ８ 元 ， 值 为 １ Ｏ ８ｄ（ ） 等 等 ． ． ０ａ 增 ．０ ： 元 ，
维普资讯
２０ ０ ２年 第 ４期
中 学数 学
５
研 究性课题 ： 分期付款 中的有关计算 的教 学实践与体会
４ ０ ６ 湖 北 省 武 昌实 验 中学 丁 述 舜 ３０ １
高 一 数 学 新 编 教 材 （ 验 惨 订 本 ）编 ＾ 了 试 “ 究性课 题 ： 期付 赣 中的有关 计 算” 研 分 ．它 的 出 现 ， 仅 是 为 了 解 决 数 列 的 应 用 问 题 ，更 重 要 的 是 要 栽 们 转 变 传 统 的 教 学 观 念 ， 进 原 敌 有 的 教 学 方 式 和 方 法 ． 此 ， 这 一 课 题 的 教 为 对 学 ． 们 进 行 了 大 胆 的 尝 试 ．现 写 出 来 和 同 行 我
师 ： 第 ５ 期 付 款 的
是 否 增值 ？ 达 式 是 什 么 ？ 表 第 ４ 期 ． ． １ 期 … 第
呢 ？
生 ： ５期 付 款 的 元 要 增 值 ． 值 为 （ 第 增 １
＋ ０ ０ ８） 第 ４期 ， ， １期 付 款 的 ｚ 元 都 要 ． ０ ， … 第 增 值 ， 别 增 值 为 （ — ０ ０ ８ … ． １ — 分 １ ． ０ ）． － Ｔ（
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分期付款方式在今天的商业活动 中应用日益广泛，为越来越多的顾客 所接受，这一方面是因为很多人一次 性支付售价较高商品的款额有一定的 困难，另一方面是因为不少商店也在 不断改进营销策略，方便顾客购物和 付款， 可以说分期付款与每个家庭、 每个人的日常生活密切相关。
购买一件售价为5000元的商品，采用 分期付款的办法，每期付款数相同，购买 后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款， 如此下去，共付款5次后还清，如果按月利 率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息 要计入下月本金），那么每期应付款多 少?(精确到1元） 分析：本题可通过逐月计算欠款来处理， 根据题意，第5个月的欠款数为零，据此可 得等量关系。
从贷款时（即购买商品时）的角度来看
ห้องสมุดไป่ตู้
第1个月偿还的x元，贷款时值
：
x 1.008
元
第2个月偿还的x元，贷款时值：
x 1.0082
元
……
第5个月偿还的x元，贷款时值：
x元 1.0085
贷款5000元购买商品时值5000元。
由此可列出方程：
x 1.008
x 1.0082
x 1.0083
x 1.0084
x 1.0085
解 ：设每月应付款x元，
购 买 一 件 售 价 为 5000 元 的 商 品，采用分期付款的办法，
购买1个月后的欠款数为 5000·1.008-x
每期付款数相同，购买后1个
购买2个月后的欠款数为(
月第1次付款，再过1个月第2
5000·1.008-x)·1.008次-x付款，如此下去，共付款5
即 5000·1.0082-1.008x-x 次 后 还 清 ， 如 果 按 月 利 率
各次（期）所付的款以及各次（期） 所付款到最后一次付款时所生的利 息之和
商品的售价及从 购买到最后一次 付款时的利息之 和。
分析：利用分期付款的有关规定直接列出方程
解法2：设每月应付款x元 ， 那么到最后1次付款时（即商品购买5个月后） 付款金额的本利和为： （x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x）元； 另外，5000元商品在购买后5个月后的本利和为 5000·1.0085元。 根据题意， x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.0085 （以下同解法1）
解:已知本金为a元, 1月后的本利和为a(1+0.8%) 2月后的本利和为a(1+0.8%)2 3月后的本利和为a(1+0.8%)3
…… 12月后的本利和为a(1+0.8%)12
宇宙之大， 粒子之微， 火箭之速， 化工之巧， 地球之变， 生物之谜， 日用之繁， 无处不用数学。 ——华罗庚
研究性课题是新教材中的一个专题性 栏目。这一个专题具有探索性和应用性的 特点，它要求同学们从数学角度，对日常 生活、生产和其它学科的问题及某些数学 问题进行深入探讨，它既是所学内容的实 际应用，又对同学们探究和解决问题具有 较好的训练价值，是培养同学们综合实践 能力和创新精神的极好教材。
此这一期付 款没有利息)
第4次付 款x元后 到款全 部付清 时连同 利息之 和
第3次付 款x元后 到款全 部付清 时连同 利息之 和
第2次付 款x元后 到款全 部付清 时连同 利息之 和
第1次付 款x元后 到款全 部付清 时连同 利息之 和
5000 元 商 品在购买 5个月后 （即货款 全部付清 时）连同 利息之和
（1）按复利计算利息的一种储蓄，本金 为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期 为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。
答：x期后的本利和为y=a（1+r）x （2）如果存入本金a元,每月的利率为 0.8%, 试 分 别 计 算 1 月 后 ,2 月 后 ,3 个 月 后 ， ……12个月后的本利和是多少？
付款方法
每期所 付款额
付款 总额
与一次性 付款差额
购买后4个月第1次付款，
1
3次
再过4个月第2次付款，
再过4个月第3次付款。
购买2个月第1次付款，
2
6次
再过2个月第2次付 款……购买后12个月第6
次付款。
购买后1个月第1次付款，
3
12次 再过1个月第2次付款…购
买后12个月后12次付款。
各期所付款额连同到最后一次付款所生的利 息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款 时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关 键步骤列方程的依据）。
顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部 付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。
方案 分几次 类别 付清
1024(元)
这就是说，每月应付款1024元。
从最后一次付款（即款全部付清）时的角度看
x + 1 . 0 0 8 x + 1 . 0 0 8 2 x + 1 . 0 0 8 3 x + 1 . 0 0 8 4 x = 5 0 0 0 ·1 . 0 0 8 5
第5次付款 (即最后一次 付 款 )x 元 。 (由于款已全 部付清，因
5000
从数学的角度看，本课题是等比数列前n项和 的公式在购物付款方式上的一个实际应用。问题的 关键在于需要了解分期付款到底是怎么一回事，尤 其要弄清以下情况和规定：
在分期付款中，每月的利息均按复利计算； 分期付款中规定每期所付款额相同；
分期付款时，商品售价和每期所付款额在货 款全部付清前会随着时间推移而不断增值；
0.8%，每月利息按复利计算
购买3个月后的欠款数为 (5000·1.0082-1.008x（-x上)·1月.0利08息-x要 计 入 下 月 本
即 5000·1.0083-1.0082x-1.008x –x 金 ） ， 那 么 每 期 应 付 款 多
……
少?(精确到1元）
购买5个月后的欠款数为：
5000·1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x –x
由题意 5000·1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x –x=0 即 x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000·1.0085
于是, x 1.0085 1 5000 1.0085 1.008 1
x
50001.0085(1.008 1) 1.0085 1