研究性课题分期付款中的有关计算例题解析
高一数学典型例题分析 分期付款中的有关计算 试题
研究性课题：分期付款中的有关计算·例题解析【例1】小芳同学假设将每月下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利一共多少元(保存到个位)？解析先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下：第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)；第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2；……第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11．于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A，A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11=5(1＋＋2＋ (11)第一年的A元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；第二年的A元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；第三年的A元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．三年后，取出的本利和为：A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A．解：设每存一年的本利和为A，那么 A=5×(1＋＋2＋ (11)三年后取出的本利为y ，那么y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2=A(1＋＋2)=5×(1＋＋2＋…＋11)(1＋＋2)=5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212--..≈193(元)答：三年后取出本利一共193元．说明 这是应用问题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．【例2】 某企业年初有资金1000万元，假如该企业经过消费经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再消费，为实现经过5年资金到达2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(准确到万元)？解 第一年余下的基金为1000(150%)x =1000x a =1000x 1×＋－×－令×－，第二年余下的基金为3232 (1000x)(150%)x =1000a =10002×－·＋－×即×32321323213222⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪x x依此类推，得a =1000a =100034××321323232132323232423⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x xa =10005×321323232325234⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x 为了经过5年使资金到达2000万元，令a 5=2000于是得关于消费基金x 的方程：1000x =20005234×32132323232⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 解这个方程，得3211323222433225554⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪32x =10002000x =1000·×－× 21116179321621117932x =1000 x =1000×∴×× x ≈424答：每年约扣除消费基金424万元励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高一数学分期付款中的有关计算
装修费应该怎么付
除了购买商品房之外，家庭装修恐怕是开销最大的了。这笔为数可观的装修费，一般都 要分几次来付。为了吸引消费者来装修，许多装饰公司在付款方面推出了许多促销措施。但 其中也有许多诀窍。 ——分期付款的比例安排。 按照装饰行业的惯例，装修费的首款是比例最大的，一般都要超过装修费总额的50%。这 笔费用主要用来购买装饰材料，支付施工队的首期工费。在付款之前，您首先要与装饰公司 签订有效的“家庭装饰工程施工合同”。1998年，新出台的《北京市家庭居室装饰工程施工 合同》（参考本）。这份标准合同文本，由北京市装饰行业协会提供给所有装饰公司，您可 要求装饰公司使用这份标准合同文本。首期装修款付过之后，施工队就进驻工地，开始施工 了。 由于各装饰公司的经营、管理方式不同，所以要求户主支付的比例也有很大差别，从50% 到70%、75%的都有。三鸣博雅装饰公司的吴献民先生说：“本公司要求户主付70%的首款。 首期款中包含户主对装饰公司的信任，户主经多方考察后才会付款。公司为了回报消费者的 信任，在施工量超过80%时，才要求户主付二期款。” 在工程进行过半之后，经过第一次的质量验收，户主就要付25%到30%的二期款付给装饰 公司。在付款之前，装饰公司一定要保证解决所有的质量问题。您在确定没有质量问题后， 才可以支付二期款。
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为方便广大用户购买小灵通手机，焦作电信公司特推出小灵通分期付款购机入网业务，具体内容如下： 一、活动时间：2001年6月1日－2001年6月30日 二、分期付款具体办法如下：
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【高二数学】研究性学习课题数列在分期付款中的应用(共5页)
研究性学习课题：数列在分期付款中的应用──分期付款中还款方式的选择一．教案（例）描述问题提出：当前，随着经济发展改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。
为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解。
我在上星期天给学生预先布置了下面的例题，让学生利用休息时间，进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我，符合我的承受能力，选择一种分期付款的方式。
今天我们就这一例题，一起来看看研究成果，同时体会数列在分期付款中的应用。
例题：随着社会发展和人们生活水平的提高，我也想改善一下居住的环境。
日前，我欲在某房产公司处购买一套商品房，价值为22万元，首次付款2万元后，其余经15年按月分期付款，月利率为0.42%，而我的家庭月工资为2200元，麻烦同学们去银行了解一下情况，为我作一下参谋，我将如何办理商业性个人住房贷款，每月应付款多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款额多付了多少元？二、 研究成果展示学生们已去了各个银行咨询，参考了金融知识和贷款信息，结合运用了我们学过的数学知识，每组都有了一个调查结果，大家达成了一个共识，一致认为：1、每期还款额的研究：现在各大银行的对于一年以上还款方式一般有以下两种：（1）等额本息法：每期还款额（本金和利息）相同。
将各期所付款都折合成结清时的值来考虑问题的。
推导公式：设每月还款额均为x 元，每月还款在180月后的总值：x x x x x +++++++++)0042.01()0042.01()0042.01()0042.01(177178179 贷款200000元在180月后的总值：180)0042.01(200000+ 当贷款全部还清时，两者的总值应该相等，所以 x x x x +++++++)0042.01()0042.01()0042.01(178179 180)0042.01(200000+=整理得：1)0042.01()0042.01(0042.0200000180180-++⨯⨯=x 76.1585=x 1586≈元即每月需还款1586元。
研究性课题：数列在分期付款中的应用
例1： 中国建设银行设立了教育助 学贷款，其中规定一年期以上贷款 月均等额还本付息。如果贷款10000 元，两年还清，月利率为0.4575%， 那么每月应还多少钱呢？
注：等额还本付息指的是在贷款期内每期以相等的金额平均偿 还贷款本金和利息。
例1： 中国建设银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以
即
a r (1 r)m
X= (1 r)m 1
例2：某人欲购买5000元电脑一台，采用分期付款方式 在一年内将款全部付清，商店提供了如下几种付款方 案，以供选择。
方案 分几次 类别 付清
付款方法
每期所付 付款总 与一次性
款额
额
付款差额
1
3次
购买后4个月第1次付款， 再过4个月第2次付款，再
1775.8 5327
327
过4个月第3次付款，
元 元元
2
6次 购买后2个月第1次付款， 再过2个月第2次付 款，……购买后12个月第
880.8 5285 元元
285 元
6次付款。
3 12次 购买后1个月第1次付款， 438.6 5263 263
再过1个月第2次付
元
元元
款， ……购买后12个月第
12次付款。
注 规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。
数列在分期付款中的应用
分期付款的含义
分期付款是贷款偿还的一种方式，是指借款人 向银行借款后，按借款合同约定分期向银行偿还借 款本息的一种还款方式。
分期付款的规定
（1）分期付款中，一般规定每期付款额相同。 （2）偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。 各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息。
（3）每期利息按复利计算，即上期利息要计入 下期本金。
“分期付款”的研究报告－精品完整版
“分期付款”的研究报告一背景说明及研究目的：1.走在大街上，到处可见分期付款：“按揭；首付1万，20年付清，30年付清；首付3万，10年付清”的广告术语，在我们国家中，分期付款可以说已成为我们消费大额商品的首选付款方式。
2.前不久，我邻居家张叔买了一套房子，首付4万2千3百元，银行贷款5万，每月还款531.31元。
我想，银行是怎样计算他们家的每月还款额，会不会多算呢？3.两个还款表格（1）万元贷款分年按月还款额及年利率一览表：（2）总贷款额是12000元，按12个月分期，每月应付款多少？相应支付多少利息及其总和？见下表:课题的目的与意义：1.了解“分期付款”这种经济现象对我们国家的经济发展，社会的繁荣有多大作用。
2.分期付款对各商业银行、商家们有多大好处。
3.分期付款的种类，以及每一种的计算方式。
4.培养我们自主学习，自主探索的创新能力。
二研究过程说明我们小组就本课题一共进行了6次活动。
这次研究活动，使我们知道：①分期付款对国家的发展，社会的繁荣有着巨大作用；对各商家银行业务拓展，经济利益提高有多大作用。
②搞清了分期的种类及计算公式。
下面就这一结果一一说明：（1）分期付款意义：买方支付一笔定金或首付款后。
其余款额在一段较长时间内付清，比一次性付款多付一定数量的利息。
但可减轻消费者的经济负担。
一般是消费大件商品时的经济行为，深受老百姓的喜爱。
(2）国家推出分期付款的原因：目前，人们的消费结构发生重大变化，生活水平不断提高，然而资金的暂时性短缺妨碍了正常消费需求的满足。
它不仅影响了消费水平的持续提高，也导致社会总共给不平衡而阻碍国民经济的持续、快速的健康发展。
国家推出分期付款这种消费借贷政策，正是为了消除这种矛盾。
(3）分期付款的作用从宏观上讲，它可以拉动内需，使国民经济健康发展。
从微观上讲，对商业银行，对商家可以拓宽业务，增加经济收入，对老百姓来说：可以花明天的钱圆今天的梦。
改善，提高我们的生活质量。
高一数学研究性学习课题报告数列在分期付款中的应用
高一数学研究性学习课题报告数列在分期付款中的应用篇一：研究性学习课题：数列在分期付款中的应用研究性学习课题：数列在分期付款中的应用──分期付款中还款方式的选择一．教案（例）描述问题提出：当前，随着经济发展改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。
为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解。
我在上星期天给学生预先布臵了下面的例题，让学生利用休息时间，进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我，符合我的承受能力，选择一种分期付款的方式。
今天我们就这一例题，一起来看看研究成果，同时体会数列在分期付款中的应用。
例题：随着社会发展和人们生活水平的提高，我也想改善一下居住的环境。
日前，我欲在某房产公司处购买一套商品房，价值为22万元，首次付款2万元后，其余经15年按月分期付款，月利率为0.42%，而我的家庭月工资为2200元，麻烦同学们去银行了解一下情况，为我作一下参谋，我将如何办理商业性个人住房贷款，每月应付款多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款额多付了多少元？二、研究成果展示学生们已去了各个银行咨询，参考了金融知识和贷款信息，结合运用了我们学过的数学知识，每组都有了一个调查结果，大家达成了一个共识，一致认为：1、每期还款额的研究：现在各大银行的对于一年以上还款方式一般有以下两种：（1）等额本息法：每期还款额（本金和利息）相同。
将各期所付款都折合成结清时的值来考虑问题的。
推导公式：设每月还款额均为x元，每月还款在180月后的总值：x(1? 蓬勃范文网:高一数学研究性学习课题报告数列在分期付款中的应用)42)179?x(1?0.0042)178?x(1?0.0042)177???x(1?0.0042)?x 贷款200000元在180月后的总值：200000(1?0.0042)180当贷款全部还清时，两者的总值应该相等，所以x(1?0.0042)179?x(1?0.0042)178???x(1?0.0042)?x?200000(1?0.0042)180200000?0.0042?(1?0.0042)180整理得：x? (1?0.0042)180?1x?1585.76?1586元即每月需还款1586元。
创界学校研究性课题：分期付款中的有关计算试题
智才艺州攀枝花市创界学校研究性课题：分期付款中的有关计算【根底知识精讲】银行按规定在一定时间是结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利. 例如：假设银行贷款的利率为每年12%，银行向某企业贷出10万元，那么期满一年时，银行不仅要收回本金10万元，还要加收本金乘以利率生成的利息，银行总一共收回的款额为10+10×12％＝1(万元).一般，一年期满后，借贷者(银行)收到的款额V 1=V 0(1+a)，其中V 0为初始贷款额，a 为每年的利率，假假设在一年期满后，银行又把V 1贷出，利率不变，那么银行在下一个一年期满时可以收取的款额为 V 2=V 1(1+a)=V 0(1+a)2. 依次类推，假设把V 0贷出t 年，利率为每年a ，这笔款额到期后就会增到V t =V 0(1+a)t .我们指出这里的利息是按每年一次重复计算的，称为年复利.假设在一年中利息按较屡次重复计算就有如下更一般的情况：年利率为a ，按每年n 次复利计算，那么每次利率按n a 计算，t 年后的本息之和为 V t =V 0+(1+n a )nt. 在日常生活中，一些商店为了促进商品销售，便于顾客购置一些售价较高的商品，在付款方式上较为灵敏，可以一次性付款，也可以分期付款，采用分期付款又可以提供几种方案选择.例如，顾客购置一件售价为5000元的商品时，假设采用分期付款方式，那么在一年内将款全部付清的前提，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择.说明：1.分期付款中规定每期所付款额一样.2.每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金.一般地，购置一件售价为a元的商品，采用分期付款的要求在m个月将款全部付清，月利率为P，分n(n 是m的约数)次付款，每次付款的计算公式是x=1)P1(]1)P1[()P1(am n mm-+-++.3.关于分期付款方案确实定须明确的几点：采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确以下几点：(1)规定多少时间是内付清全部款额；(2)在规定时间是内分几期付款，并且规定每期所付款额一样；(3)规定多长时间是段结算一次利息，并且在规定时间是段内利息按复利计算.在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总一共应付款多少，这样才便于顾客比较，优化选择方案.【重点难点解析】例1某单位用分期付款的方式为职工购置40套住房，一共需1150万元，购置当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.假设交付150万元后的第一个月开场算分期付款的第一个月，问分期付款后的第10个月应该付多少钱全部贷款付清后，买这40套住房实际花了多少钱解：因购房时已付150万元，那么欠款1000万元，依题意分20次付清，那么每次付款的数额顺次构成数列｛a n ｝，故a 1=50+1000×0.01=60(万元)a 2=50+(1000-50)×0.01=5(万元)a 3=50+(1000-50×2)×0.01=59(万元)a 4=50+(1000-50×3)×0.01=5(万元)a n =50+［1000-50(n-1)］×=60-(n-1)×21(1≤n ≤20,n ∈N) ∴｛a n ｝是以60为首项，-21为公差的等差数列. ∴a 10=60-9×21=5(万元) a 20=60-19×21=50.5(万元) ∴20次分期付款总和为：S n =1105220)(201=+a a (万元) 实际一共付1105+150=1255(万元)答：第10个月付5万元，买40套住房实际花1255万元.例2某职工年初向银行贷款2万元用于购房，年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，假设这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，并且从贷款后次年初开场归还，问每年应还多少元(准确到1元)解：此类题一般有两种考虑方法：一是按将来值计算，即按10年后的价值计算；二是计算每年贷款余额. 设贷款年利率为r ，贷款数额为A ，每年等额归还x 元，第n 年还清.因某年贷款A 元，到第n 年连本带利应还A(1+r)n元，而第k 年还款x 元，也还掉了这x 元的(n-k)年的利息，故有数列模型：(1+r)n A=x ［(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)+1］. 即(1+r)nA=x ·r r n 1)1(-+ 于是x=1)1()1(-++n nr r Ar 将r=0.1,A=20000,n=10代入得 x=11.11.11.020*******-⨯⨯. 10=(1+0.1)10=1+C 110·0.1+C 210·2+…≈9324. 所以x ≈3255元.故每年应还3255元.评析存款、贷款与人民的生活休戚相关，解决此类问题常常转化为数列求解.例3一工厂为进步产品质量、扩大再消费，需要征地、扩建厂房、购置新机器设备、改造旧设备、培训职工，因此需要大量资金.征地、农户拆迁费需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及培训职工需15万元，而该厂现有资金125万元，但流动备用资金需40万元，厂内HY30人每人HY4000元，工人180人每人HY1000元(不计利息在每年年底利润中分红)尚缺少的资金准备在今年年底向银行贷款，按照年利率9%的复利计算，假设从次年年底开场分5年平均还清贷款及全部利息，那么该厂平均每年需还贷款多少万元(准确到0.1万元).分析此题涉及资金有以下几个方面：(1)扩大再消费急需资金40+100+60+15+40=255(万元)××180=155(万元)(3)需向银行贷款255-155=100(万元)(4)还款情况分析：①向银行贷款100万元从次年年底起5年后假设一次还清应为100(1+0.09)5(万元) ②根据该厂的实际情况实行分期付款从次年年底算起，连续5年每年向银行还一样的贷款，到第5年底还完.设第1年年底向银行还款为x 万元，那么到第5年年底应为x ·4(万元)； 第2年底还款x 万元到第5年年底应为x ·3(万元)； 第3年底还款x 万元到第5年年底应为x ·2(万元) 第4年底还款x 万元到第5年年底应为x ·1.09(万元)第5年底还款x 万元仅本金x(万元)432+1.09+1)=100×5所以109.1)109.1(5--x =100×5由计算器可计算得x ≈2(万元).评析分期付款问题可视作分期存款，即从次年年底每年存款x 万元，按规定的利率，求得n 年的本利和，然后向银行一次付清，这样就构成了以x 万元为首项，1.09为公比的等比数列求前n 项之和，从而列出方程，求出x.例4买一套新住房需15万元，假设一次将款付清可优惠25%；假设连续五年分期付款付清，那么须在每年一样的月份内交付3万元.假设银行一年期存款的利率为8%，按本利累进计算(即每年的付款与利息之和转为下年的存款).问：两种付款方法哪种对购房者有利试说明理由.解：假设到第5年存款与利息之和较少，那么对购房者有利.因为一次付清到第5年存款与利息之和为： 15(1-25%)(1+8%)=445(1+8%)4(万元). 而分期付款的本息和为：3(1+8%)4+3(1+8%)3+3(1+8%)2+3(1+8%)+3=275·［(1+8%)5-1］(万元). ∵275［(1+8%)5-1］-445(1+8%)4=415［(1+8%)4·(7+10×8%)-10］ =415｛［1+14C ·8%+24C ·(8%)2+34C ·(8%)3+44C ·(8%)4］(7+10×8%)-10｝ ＞415［(1+4×8%)(7+10×8%)-10］＞415［(7+38×8%)-10］ =415(10.04-10)＞0 ∴275［(1+8%)5-1］＞445(1+8%)4. 故一次付清对购房者有利.评析本例是在阅读理解的根底上列出两种方案的表达式，然后通过作差比较、放缩、估算，完成探究“使命〞，从而使问题得到解决.【知识验证实验】材料某果农去年收入为a 元，为进步经济效益，在专家的指导下，对原有水果品种进展嫁接改良，这样第一年起老品种随面积的减少经济收入为前一年的43，嫁接后新品种第一年属成长期，无收入，第二年新品种可收入b 元，且第三年起新品种收入在前一年新品种收入的根底上递增31. (1)求第n 年果农年经济收入a n 的表达式；(2)当b=94a 时，能否保证几年后果农收入超过a 元 方法提供：(1)表达式 (2)b=94a ，a n =a(43)n +94a(34)n-2≤22)34(94)43(-⋅⋅⋅n n a a =2a n n )34(41)43(⋅⋅=a. 仅当a(43)n =94a(34)n-2时成立，即(43)n =41(34)n =41(43)-n ，即 (43)2n =41＞0，两边取对数得2nlg 43=lg 41=-2lg2,n=43lg 2lg -=43lg 2lg =lg 342＞lg 34916=2. 事实上，n=2时，a 2=(43)2a+94a=169a+94a=1446481+a=144145a ＞a. 可见二年后果农的年收入肯定超过a 元.。
数学研究结题报告：数列在分期付款中的应用
数学研究结题报告:数列在分期付款中的应用研究单位:鸡西市实验中学高一十九班研究背景:随着科学文化知识的进步,数学学科在我们的生活中扮演着一个不可忽视的重要角色,作为跨世纪的中学生,我们不仅要学会数学知识,而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题.这样才能更好地适应社会的发展和需要。
随着经济的不断发展,中国人的消费意识不断在更新,改变。
“分期付款”就是最具代表性的体现。
分期付款在今天的消费活动中应用日益广泛,为越来越多的人所接受,一方面是因为很多人一次性支付较高的款额有一定的困难,另一方面也是不少的商家和机构不断改进营销策略,方便人民付款和消费,促进市场发展。
所以“分期付款”与每个家庭和每个人的日常生活密切相关,于是,如何利用数学知识来解决“分期付款”的问题有着非常现实和有意义的研究价值。
让数学在我们的生活中给予我们更多、更广、更全面的帮助。
研究方法:1.在分期付款中,每月的利息均按复利计算;(月利率是0.4575%)2.分期付款中规定每期所付款额相同;这些规定简单记为月均等额还本付息;3.在分期付款中,一般一个月为一期。
4. 分期付款时,每一期所还的款相当于存在银行里,所以每期还给银行的款额如同本金也会随着时间推移而不断增值;5. 从贷款之日起,到最后一期还款付清时,贷款总额本息与每期所还款本息和是相等的。
我们先理解一下这些规定:(1)什么叫利息?向银行贷款20万元,一个月后就还给银行20万元,银行乐意吗?当然还的钱比20万要多,这里的20万元叫本金,多出来的部分,就叫利息,如果月利率按0.4575%计算,一个月后利息是多少?(2)什么叫复利?复利是个和单利相对应的经济概念,单利的计算不用把利息计入本金计算;而复利恰恰相反,它的利息要并入本金中重复计息。
比如你现在往银行存入100元钱,年利率是10%,那么一年后无论您用单利还是复利计算利息,本息合计是一样的,全是110元;但到了第二年差别就出来了,如果用单利计算利息,第二年的计息基础仍是100元,利息也仍是10元,本息合计就是120元。
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研究性课题：分期付款中的有关计算·例题解析
【例1】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？
解析 先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下：
第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；
第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×%=5×(1＋%)；
第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋%)2； ……
第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋%)11．
于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A ，
A=5＋5×(1＋%)＋5×(1＋%)2＋…＋5×(1＋%)11
=5(1＋＋＋…＋
第一年的A 元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；
第二年的A 元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；
第三年的A 元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．
三年后，取出的本利和为：
A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A ．
解：设每存一年的本利和为A ，
则 A=5×(1＋＋＋…＋
三年后取出的本利为y ，
则y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2
=A(1＋＋
=5×(1＋＋＋…＋(1＋＋
=5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212
--..
≈193(元)
答：三年后取出本利共193元．
说明 这是应用问题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．
【例2】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费基金后)，那么每年
应扣除消费基金多少万元(精确到万元)？
解 第一年余下的基金为
1000(150%)x =1000x a =1000x 1×＋－×－令×－，第二年余下的基金为3232
(1000x)(150%)x =1000a =10002×－·＋－×即×32
321323213222⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪x x 依此类推，得
a =1000a =100034××321323232132323232423⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x x
a =10005×321323232325234⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭
⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x 为了经过5年使资金达到2000万元，令 a 5=2000 于是得关于消费基金x 的方程：
1000x =20005234×32132323232⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭
⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 解这个方程，得
3211323222433225
554⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪32
x =10002000x =1000·×－×
211 16179 32
16 211179
32
x=1000
x=1000×
∴××
x≈424
答：每年约扣除消费基金424万元。