数学：3.1.1《空间向量及其运算-加减运算》PPT课件(新人教A版-选修2-1)
空间向量的加减法
B b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。 返回
b a
A
向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
O a A b B c a b
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-1
3.1.1《空间向量及其运算 -加减运算》
教学目标
• 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的 加法运算。 • 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立 几问题。 • 教学重点：空间向量的加法、减法运算律。 • 教学难点：用向量解决立几问题. • 授课类型：新授课. • 课时安排：1课时.
空间向量及其运算(一)
这是什么?
如:力、位移等.
向量
问题 1:
C
向上
B
正北
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米, 那么 OC=
O
正东
A
?
再比如课本 P84 问题……
问题 2:课本 P84 问题……
F3
F2
已知F1=2000N,
F1
F2=2000N, F3=2000N,
这三个力两两之间 的夹角都为60度, 它们的合力的大小 为多少N?
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A1 0
C a
b O A
+
b
B
a
OB OA AB CA OA OC
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
b
a
向量加法的三角形法则
a
向量加法的平行四边形法则
a
b a
向量减法的三角形法则
ka
(k>0) (k<0)
向量的数乘
ka
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： ( a b ) c a ( b c ) 数乘分配律： k ( a b ) k a＋ k b
这需要进一步来认识空间中的向量
空间量的概念
……
空间向量及其运算(一)
一、空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.a
常用 a 、 、 b c
1.向量 a
c b
.
……等小写字母来表示.
a
的大小叫做向量的长度或模,记为
2.可用一条有向线段 A B 来表示向量,向量 A B B 终点 的模又记为 A B 就是线段 AB 的长度.
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A 2 A 2 A3 A3 A 4 L A n 1 A n A1 A n
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A 2 A 2 A3 A3 A 4 L A n A1 0
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律
( a b ) c a (b c )
加法交换律 a b b a 加法结合律
( a b ) c a (b c )
数乘分配律
k ( a b ) k a＋ k b
数乘分配律
k ( a b ) k a＋ k b
平面向量加减法
空间向量加减法
平面向量的加法、减法运算图示意义:
b
b
a
向量加法的三角形法则
a
向量加法的平行四边形法则
b a
向量减法的三角形法则
减向量终点指向 被减向量终点
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A1 A n
减法:三角形法则
加法结合律
加法交换律
ab ba
加法交换律 a b b a
成立吗？
加法结合律:
(a b ) c a (b c )
(a b ) c a (b c )
类似于平面向量,为了研究的 方便起见, 起点 A 我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念。 （你认为应该怎样规定?）
概念 加法 减法 运算 运 算 律
空间向量的加减法运算 平面向量 空间向量 定义:具有大小、 方向的量,表示法、 相等向量. 加法:三角形法则或 加法:三角形法则或 平行四边形法则 平行四边形法则 减法:三角形法则
空间向量及其运算(一)
引入
有关概念 本课小结
如何定义加 减法运算
思考2
课堂练习
复习回顾： 平面向量
这是什么?
向量
既有大小又有方向的量。 1、定义：
几何表示法:用有向线段表示 字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
B A D C
+
O
c
C A
b
C
B
cБайду номын сангаас
(平面向量)
空间中
向量加法结合律： ( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
A
a b
C A
+
c
B
C
b
B
c
b
c
(空间向量)
推广
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
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高中数学新课标人教A版选修2-1：3.1.1 空间向量及其加减运算 课件
（zero vector），记为 .当0有向线段的起点A与 终点B重合时，AB= 0.
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量
的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大
小.
第九页，编辑于星期一：点 十七分。
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a的相反向量，记为 – a.
表达式，并标出化简结果的向量.
(1)AB BC . (2)AB AD AA' .
D' A'
D A
C' B'
C B
第二十一页，编辑于星期一：点 十七分。
解:
⑴ AB BC AC .
D'
(2) AB AD AA' A'
AC AA'
AC CC'
AC' .
D A
C' B'
C B
第二十二页，编辑于星期一：点 十七分。
A． a b
B． a b 为实数 0
C． a 与b 方向相同 D．| a | 3
第二十七页，编辑于星期一：点 十七分。
提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不 确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相 等的必要不充分条件．
2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
字母表示法 a AB
向量的模 向量的大小 a AB 向量的大小 a AB
第三十一页，编辑于星期一：点 十七分。
相等向量 相反向量 单位向量
零向量
平面向量
方向相同且模相等的 向量
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量
的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大
小.
第九页，编辑于星期一：点 十七分。
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a的相反向量，记为 – a.
表达式，并标出化简结果的向量.
(1)AB BC . (2)AB AD AA' .
D' A'
D A
C' B'
C B
第二十一页，编辑于星期一：点 十七分。
解:
⑴ AB BC AC .
D'
(2) AB AD AA' A'
AC AA'
AC CC'
AC' .
D A
C' B'
C B
第二十二页，编辑于星期一：点 十七分。
A． a b
B． a b 为实数 0
C． a 与b 方向相同 D．| a | 3
第二十七页，编辑于星期一：点 十七分。
提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不 确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相 等的必要不充分条件．
2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
字母表示法 a AB
向量的模 向量的大小 a AB 向量的大小 a AB
第三十一页，编辑于星期一：点 十七分。
相等向量 相反向量 单位向量
零向量
平面向量
方向相同且模相等的 向量
3.1.1空间向量及其加减运算 课件(人教A版选修2-1)
答案
→ → → OA，OB，OC是不同在一个平面内的向
量，而我们以前所学的向量都在同一平面内． 结论：在空间，具有大小和方向的量叫空间向量．向量的 大小叫做向量的长度或模．
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
问题 2 用？
空间向量和平面向量有什么区别？它有什么作
答案
空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既
量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终 点相同，故①错；
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故② 错；
→ → 根据正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，向量AC与A1C1的方向相 → → 同，模也相等，应有AC＝A1C1，故③正确； 命题④显然正确； 空间中任意两个单位向量模均为 1，但方向不一定相同，故 不一定相等，故⑤错．
小结 在空间，零向量、单位向量、向量的模、相等（反） 向量的概念和平面向量完全一致，研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
( B )
跟踪训练 1 下列说法中正确的是 B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则 |a |＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 → → → D．在四边形 ABCD 中，一定有AB＋AD＝AC
3.1.1
例 1 给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a， b，满足 |a |＝ |b |，则 a＝ b； → → ③在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，必有AC＝A1C1； ④若空间向量 m， n， p 满足 m＝ n， n＝ p，则 m＝ p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是 ( C ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向
高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算
C
A
B
A
B
结
三起个点不共相面同向的量三的个和不，共等面于以向这量三之个和向，量等为于
论 以 邻边这的三平个行向六量面为体棱的的体对平角行线六所面表体示的的以向公量。共起
点为始点的对角线所表示的向量。
1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求
满足下列各式的x的值。
D1
(1) AB1 A1D1 C1C x AC A1
错
b
(2)若空间向量a 、b 、c
满足
a
b,b
c
,则
O
a Ac
对
(3)两个空间向量模相等，则这两个向量相等. 错
(4)空间中任a意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面
内的两个向量. 对
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一
结 论
平面内的两个向量。凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面 向量中有关结论仍适用于它们。
加法运算 减法运算
空间向量的运算法则
平面向量
空间向量
三角形法则或平 行四边形法则
三角形法则或平行 四边形法则
三角形法则
三角形法则
加法运算
平行四边形法则
a+b b
O
a
共起点，对角线
加法运算
b a
三角形法则
a+b
O
首尾相接，首尾连
减法运算
三角形法则
a-b
b
O
a
共起点，指被减
（1）求三个、四个，乃至更多个空间向量的和，如何解决？
表达式。
D1
C1
(5) AB AD AA1 ＝AC1
A1
B1
高中数学 3.1.1空间向量及其加减运算课件 新人教A版选修2-1
向量共 8 个．
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为 5，故模为 5的向量有A→D1，
D→1A，A→1D，D→A1，B→C1，C→1B，B→1C，C→B1，共 8 个．
栏 目
(3)与向量A→B相等的所有向量(除它自身之外)共有A→1B1，D→C及D→1C13 个．
链 接
(4)向量A→A1的相反向量为A→1A，B→1B，C→1C，D→1D.
的长方体 ABCDA1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
栏
目
(2)试写出模为 5的所有向量．
链
接
(3)试写出与A→B相等的所有向量．
(4)试写出A→A1的相反向量．
编辑ppt
5
解析：(1)由于长方体的高为 1，所以长方形 4 条高所对应的A→A1，A→1A，B→B1，B→1B， C→C1，C→1C，D→D1，D→1D这 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位
目 链
量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．求若干个向量 接
的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．
编辑ppt
10
析疑难
提
能
力栏 目 链
接
编辑ppt
11
①(A→B＋B→C)＋C→C1；
栏 目
②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1；
链 接
③(A→B＋B→B1)＋B→1C1；
④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
编辑ppt
8Leabharlann 解析：①(A→B＋B→C)＋C→C1＝A→C＋C→C1＝A→C1；
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.1空间向量及其加减运算 (共63张PPT)
奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！ 不要自卑，你不比别人笨。不要自满，别人不比你笨。 你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。 有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 如果把才华比作剑，那么勤奋就是磨刀石。 重要的不是发生了什么事，而是要做哪些事来改善它。 贪婪是最真实的贫穷，满足是最真实的财富。 多行不义，必自毙。——《左传》 志在峰巅的攀登者，不会陶醉在沿途的某个脚印之中。 只要还有明天，今天就永远是起跑线。 学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 日出时，努力使每一天都开心而有意义，不为别人，为自己。 驾驭命运的舵是奋斗。 只有一条路不能选择――那就是放弃。 稗子享受着禾苗一样的待遇，结出的却不是谷穗。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 不管失败多少次，都要面对生活，充满希望。 一个华丽短暂的梦，一个残酷漫长的现实。 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算课件 新人教A版选修2-1.ppt
【解析】 由于零向量的方向是任意的，故①错；根据两 个向量相等的概念可知②正确；由于在空间，将所有单位向量 的起点重合，终点所形成的图形应为球面，故③错；根据两向 量相等的定义，两向量相等，不仅要模相等，而且方向也要相 同，④中的两个向量的方向未必相同，故④不正确；⑤显然正 确，故正确的有②⑤.
【答案】 B
加法运
交换律：a＋b＝__b_＋__a______；
算律
结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_)__
重点难点突破
解剖难点 探究提高
空间向量是对平面向量的拓展和提高．学习空间向量一定 要注意结合平面向量，注意其联系，关于空间向量应注意以下 几点：
(1)向量既有大小，又有方向，因此无法比较大小，而向量 的模是实数，可以比较大小．
如图所示，在长方体
ABCD－A1B1C1D1 中，下列各式中运算结果为
向量B→D1的是( )
①(A→1D1－A→1A)－A→B；②(B→C＋B→B1)－D→1C1；③(A→D－A→B)－
D→D1；④(B→1D1－A→1A)＋D→D1.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
解析：①(A→1D1－A→1A)－A→B＝A→1D1＋A→A1＋B→A＝B→D1；
第三章 空间向量与立体几何
3．1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法运算． 2．掌握空间向量的性质．
‖知识梳理‖ 1．在空间，把具有__大__小_______和__方__向_______的量叫做空 间向量，向量的__大__小_______叫做向量的长度或模．空间向量常 用有向线段表示，有向线段的___长__度______表示向量的模，空间 向量也可以用字母表示如 a 等．
高中数学 3-1-1 空间向量及其加减运算课件 新人教A版选修2-1
图 11
→ → → OAn＝OA1＋A1A2＋„＋An－1An ＝a1＋a2＋„＋an 此即为空间向量和的多边形法则． 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重 合到起点上，这时的和向量就为零向量．
3．平行六面体的一个性质 如图 12 所示， 在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中， → → → → → → AB ＋AD＝AC ，AC ＋AA′ ＝AC′ ， → → → → ∴AB ＋AD＋AA′ ＝AC′ .
图3
解析： 如图 3 所示， 取 AD 的中点 P， 连接 EF、 → → → → → → EP、 FP， 结合图形用AB和CD表示EF.EF＝EP＋PF 1→ 1 → 1 1 ＝ CD＋ AB ＝ (5a＋ 6b－ 8c)＋ (a－ 2c)＝ 3a＋ 3b 2 2 2 2 － 5c.
答案：3a＋3b－5c
2．向量共面的充要条件及其应用 (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是： → → → 存在有序实数对 (x， y)，使MP＝ xMA ＋ yMB .满足这 个关系式的点 P 都在平面 MAB 内； 反之， 平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式． 这个充要条件常用 以证明四点共面．
答案：A
2．设 A、B、C 为空间任意三点，则下列命题 为假命题的是( ) → → → B. AB＋BC＋CA＝0 → → D. AB＝－BA
→ → → A.AB＋BC＝AC → → → C. AB－AC＝BC
答案：C
3． 如图 3， 在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′ → → → → 中，AB＝ a，AD＝ b，AA′ ＝ c，则BD′ ＝ ________， —→ A′ C＝ ________.
→ 答案：2AC
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课件新人教A版选修2_1
对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，A→C＝A→1C1，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．] (2)根据相等向量的定义知，与向量 A→A′ 相等的向量有 B→B′ ， C→C′，D→D′.与向量A→′B′相反的向量有B→′A′，B→A，C→D，C→′D′.]
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
[解] O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(M→A＋A→B＋B→N) ＝12O→A＋2312O→A＋O→B－O→A＋21B→C ＝12O→A＋23O→B－12O→A＋12（O→C－O→B） ＝16O→A＋13O→B＋13O→C＝16a＋13b＋13c.
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A， 终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量
_任__意__
单位向量
任意
相反向量
_相__反__
相等向量
相同
模 _0__ _1 _
相等
相__等__
记法 _0 _
a 的相反向量：__－__a__ A→B的相反向量：_B→_A_ a＝b
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质．
2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别 是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝ 2GN，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用a，b，c表 示向量O→G.
空间向量的线性运算 【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算课件(36张)
空间向量
具有大小和方向的量
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.
常用 a 、 b、 c ……等小写字母来表示.
c a b
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2. 可用一条有向线段 AB 来表示向量 , 向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
(k>0)
空间向量的数乘
(k<0)
B
b
O
b a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
ka ka
CA OA OC
空间向量的加减法
b
向量加法的三角形法则
b
向量加法的平行四边形法则
a
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算1空间向量及其加减法2课件新人教A版选修2
于平面MAB内的充要 条件是存在有序实数
论
对(x，y)，使 MP
＝ x MA＋y MB ，
或对空间任意一点O
若在l上取 AB ＝a，则①式可化 来说，有 OP ＝OM
为
OP＝ OA ＋t AB.
＋xMA＋ y MB .
小结
1.λa是一个向量.当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 2.平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运 算，结论仍然成立． 3.共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重 要依据，条件b≠0不可遗漏．
4.直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条 直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
5.共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式， 说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面 向量表示出来.另外，还可以用OP ＝xOA＋yOB＋zOC ，且 x ＋y＋z＝1 判断 P,A,B,C 四点共面．
跟踪训练
5．在下列条件中，使 M 与 A,B,C 一定共面的是( ) A．OM ＝3OA－2OB－OC B．OM ＋OA＋OB＋OC ＝0 C． MA＋ MB＋ MC ＝0 D．OM ＝14OB－OA＋12OC 解析：∵ MA＋ MB＋ MC ＝0， ∴ MA＝－ MB－ MC ， ∴M 与 A,B,C 必共面．
DF ＝－CF
②
将②代入①中，两式相加得 2 EF ＝ AD＋ BC .
所以 EF ＝12 AD＋12BC ，即 EF 与 BC , AD共面．
[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练 进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本 题实质上是证明存在实数 x，y 使向量 EF ＝x AD＋yBC 成 立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形， 用 AD, BC 表示 EF .