2020年高中三年级数学下期末模拟试题(及答案)(1)
17．在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB DC , AB 2, BC 1, ABC 60 , 点 E 和点 F 分别在
线段
BC
和
CD
上,且
BE
2 3
BC,Biblioteka DF1 6DC , 则
AE
AF
的值为
．
18．若 , 满足约束条件
则 的最大值
．
19．能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增
积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2 ，被平行于这两 个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为 S1, S2 ，则“ S1, S2 总相等”是“V1,V2 相等”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
11．在样本的频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他
故选：B. 【点睛】 本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查 计算能力，属于基础题.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出 f (1) f (2) 0, 根据零点存在性定理得解.
【详解】
由题得 f 1 ln 2 2 = ln 2 2 0 ，
1
f 2 ln 3 2 = ln 3 1 0 ，
互独立．
（I）求红队至少两名队员获胜的概率；
（II）用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E ．
26．在直角坐标平面内，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点
A ， B 的极坐标分别为
4
，π 2
，
2
2
，5π 4
，曲线
C
的方程为
r
（
r
0
）．
（1）求直线 AB 的直角坐标方程； （2）若直线 AB 和曲线 C 有且只有一个公共点，求 r 的值．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
b , c ，直线 b, c 的方向向量 b, c 分别是平面, 的法向量，根据二面角与法向量
的关系，即可求解. 【详解】
设直线 b, c 的方向向量 b, c ， b , c ，
所以 b, c 分别是平面, 的法向量，
二面角 l 的大小为 60°，
取 6 人进行身体状况调查，然后再从这 6 位微信好友中随机抽取 2 人进行采访，求其中至
少有一位女性微信好友被采访的概率．
25．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛，甲对 A，乙对 B，丙对 C 各
一盘，已知甲胜 A，乙胜 B，丙胜 C 的概率分别为 0.6 ， 0.5 ， 0.5 ，假设各盘比赛结果相
0
,利用零点存在定理可得结果.
f
1 2
0
【详解】
因为函数 f x ex 4x 3在 R 上连续单调递增，
且
f f
1 4
1 2
1
e4
1
e2
4 4
1 4
1 2
3 3
1
e4
1
e2
2 1
0 0
,
所以函数的零点在区间
1 4
,
1 2
内，故选
C.
【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：
A．
1 4
,
0
B．
0,
1 4
C．
1 4
,
1 2
7．若 i(x yi) 3 4i , x, y R ,则复数 x yi 的模是 （ ）
A．2
B．3
C．4
D．
1 2
,
3 4
D．5
8．下列四个命题中，正确命题的个数为( )
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线一定可以确定一个平面；
值. 23．为评估设备 生产某种零件的性能，从设备 生产该零件的流水线上随机抽取 100 个 零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值
，标准差
，以频率值作为概率的估计值.
（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 ，并根
据以下不等式进行判定（ 表示相应事件的概率）：
五个类别： A 、 0 2000 步，（说明：“ 0 2000 ”表示大于或等于 0，小于 2000，以
下同理）， B 、 2000 5000 步， C 、 5000 8000 步， D 、 8000 10000 步， E 、
10000 12000 步，且 A 、 B 、 C 三种类别的人数比例为1: 4 : 3 ，将统计结果绘制如图所
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年 级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 _______名学生．
16．已知函数 y sin(2x )( ) 的图象关于直线 x 对称，则 的值是
2
2
3
________．
③若 M ， M ， l ，则 M l ；
④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A．1
B．2
C．3
9．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 (1 i)z i ，则 z （ ）
A． 1 4
B． 1 2
C． 2 2
D．4
D． 2
10．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原 理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体
2 b b 2
所以
a
1
a
，则
1
a+b
1，故选
B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理
解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通
过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题
出错，造成不必要的失分.
20,60 上的频率为 0.8 ，则估计样本在40,50 、50,60 内的数据个数共有（ ）
A．14
B．15
C．16
5．函数 f x ln x 1 2 的一个零点所在的区间是( )
x
A． 0,1
B． 1,2
C． 2,3
D．17
D． 3, 4
6．在下列区间中，函数 f x ex 4x 3的零点所在的区间为（ ）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得 2 ai b i ，再利用复数相等列方程求出 a,b 的
值，从而可得结果. 【详解】
因为 a 2i ai 2i2 2 ai b i ， a,b R ，
i
i2
2 所以 f (1) f (2) 0,
所以函数 f x ln x 1 2 的一个零点所在的区间是 1, 2 .
x
故选 B 【点睛】 本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
先判断函数
f
x在
R
上单调递增，由
f
1 4
b, c 的夹角为 600 或1200 ，
因为异面直线所的角为锐角或直角，
所以 b 与 c 所成的角为 600 .
故选:C. 【点睛】 本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.
3．A
解析：A
【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有 2 种，由排列组合的知识可得，不
同的放法总数是： 2C63 40 种.
c 所成的角的大小为（ ）
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
3．将编号为 1,2,3,4,5,6 的六个小球放入编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子，每个盒子放一
个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( )
A．40 B．60
C．80 D．100
4．一个频率分布表（样本容量为 30 ）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在
1 n n2 4n 2 2n
（3）记 cn
an an 1
，求数列 cn 的前 n 项和 Tn .
22．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，连接 BD ，其中 DA DP ，
BA BP .
（1）求证： PA BD ； （2）若 DA DP ， ABP 600 ， BA BP BD 2 ，求二面角 D PC B 的正弦
本题选择 A 选项.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
计算出样本在20,60 的数据个数，再减去样本在20, 40 的数据个数即可得出结果.
【详解】
由题意可知，样本在20,60 的数据个数为 300.8 24 ， 样本在20, 40 的数据个数为 4 5 9， 因此，样本在40,50 、50,60 内的数据个数为 24 9 15 .
（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
7．D
解析：D
【解析】
y 3
试题分析：根据题意可知 xi y 3 4i ，所以有{
，故所给的复数的模该为 5，故
x4
选 D.
考点：复数相等，复数的模.
2020年高中三年级数学下期末试题附答案(1)
2020年高中三年级数学下期末试题附答案(1)一、选择题1．如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<<2．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形3．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i4．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤5．函数()sin(2)2f x x π=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π=对称，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（ ）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．当1a >时， 在同一坐标系中，函数xy a-=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v则·BC OM u u u vu u u u v的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．08．已知,a b rr 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥，则a r 与b r 的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．已知非零向量AB u u u v 与AC u u uv 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v 且12AB AC AB AC ⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABC V 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能10．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4B ．16C ．8D ．3211．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=u u u r u u u r则BC=______ A 3B 7C 2D 2312．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件D ．以上都不对二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.14．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 15．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．16．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．17．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．18．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．19．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．20．()sin 5013=oo________________.三、解答题21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，BA BP =.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.22．如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos 5C =-.（1）求角A ；（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.23．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小； （2）求AB 的长．24．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．25．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大26．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈L ，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o . 所以ABC ∆为等腰直角三角形.故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1aa a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.5．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4y π-+在函数y=f(x)的图像上，sin[2(-x+)]sin 2()42y x g x ππ=-=-=，对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012g π=≠±，所以图象不关于直线2x π=对称，所以该选项是错误的；对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22k x k ππππ-≤≤得+44k x k ππππ-≤≤，)k Z ∈（,所以函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以该选项是正确的； 对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()44k k k Z ππππ+∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D,函数的周期为π，解2,,2k x k x ππ=∴=所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π∈（,所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】由于1a >，所以1xxa y a-=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.7．C解析：C【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点，则()33BC MN ON OM ==-u u u v u u u u v u u u v u u u u v ，由题意可知：2211OM ==u u u u v ，12cos1201OM ON ou u u u v u u u v ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v .本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．8．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量垂直求得222a b a b ==⋅r rr r ，代入夹角公式即可.【详解】设,a b rr 的夹角为θ；因为(2)a b a -⊥r r r，(2)b a b -⊥，所以222a b a b ==⋅r r r r ， 则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=r r r r r r ，则2212cos ,.23aa b a b aπθθ⋅===∴=r rr r r r 故选：B 【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=r r r r；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =r r . 9．C解析：C 【解析】 【分析】AB AB u u u v u u u v 和AC AC u u u vu u uv 分别表示向量AB u u u v 和向量AC u u u v 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅=⎪⎝⎭u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v 表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC V 为等腰三角形，再由12AB AC AB AC ⋅=u u u v u u u v u u uv u u u v 可求出A ∠，即得三角形形状。
2020年高中三年级数学下期末试卷(带答案)(1)
由已知 =-2 p +2 q =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设 =λ m +μ n =λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),
2 0 则由 2 4 解得 2 ∴ =0 m +2 n ,∴ 在基底 m , n 下的坐标为(0,2). 6．C
B． a 1,b 1 C． a 1,b 1 D． a 1,b 1
7．对于不等式 n2 n <n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:
(1)当 n=1 时, 12 1 <1+1,不等式成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 k2 k <k+1.
那么当 n=k+1
解析：C 【解析】 【分析】 利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果. 【详解】
因为 (a i)i b i ， 即 1 ai b i ， 因为 a,b R,i 为虚数单位，所以 a 1,b 1，
故选 C. 【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.
【详解】 记事件 A 表示“第一次正面向上”,事件 B 表示“第二次反面向上”,
则 P(AB)= ,P(A)= ,∴P(B|A)= = ，故选 C.
【点睛】 本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确 计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．D
存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由. 24．已知 A 为圆 C : x2 y2 1上一点，过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 B ，点 P 满足
2020-2021高中三年级数学下期末模拟试题及答案
2020-2021高中三年级数学下期末模拟试题及答案一、选择题1．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种 3．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且b a b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A ．π6 B ．π3C ．2π3 D ．5π6 5．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v 在向量a v 方向上的投影为( )A ．1B ．-1C ．2D ．-26．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）A ．7，5，8B ．9，5，6C ．7，5，9D ．8，5，77．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e +∞B ．2(,2)e eC ．2(2,)e +∞D ．22(,2)(2,)e e e +∞U8．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,<k+1.那么当n=k+1时=< 所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n ∈N *,不等式均成立.则上述证法（ ）A ．过程全部正确B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确 9．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．BC ．12D ．12- 10．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-11．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ）A ．4B ．16C ．8D ．3212．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->二、填空题13．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =14．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________． 15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .16．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________． 17．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________18．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________．19．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．20．在ABC ∆中，若13AB =3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．三、解答题21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+.（1）设2n n na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）记()()211422n nn n n n n c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6AP 的方程. 23．已知向量()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()sin 3,1c x =-r ，()1,d k =u r (),x R k R ∈∈ （1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +r r r ，求x 的值. （2）若函数()f x a b =⋅r r ，求()f x 的最小值.（3）是否存在实数k ，使得()()a dbc +⊥+r u r r r ？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.24．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 25．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求： （1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.26．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈L ，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a =±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为b y x a =±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.2．B解析：B【解析】【分析】【详解】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．3．C解析：C【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43x f x e x =+-在R 上连续单调递增， 且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】 本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．B解析：B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】 因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．5．B解析：B【解析】【分析】 先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r ),∴a r g (a r +2b r),=0， 即()2·20a a b +=v v v即a r g b r =﹣2 ∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=v v v =﹣1， 故选B ．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．6．B解析：B【解析】【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.【详解】 由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，12555⨯=，20956--=.故选：B 【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.7．C解析：C【解析】求得函数的导数()(2)()x xe a f x x x-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.【详解】由题意，函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+， 可得2()(3)(1)(2)()(2)()x x xx a xe a f x e x e a x e x x x x -'=+-+-=--=-⋅， 又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，则()0f x '=，即(2)()0x xe a x x--⋅=在(1,)+∞上有两解， 即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，令()x g x xe =，则()(1)0,(1)xg x x e x '=+>>， 所以函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数， 所以()1a g e >=且()222a g e ≠=， 又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立， 即(2)()0x xe a x x--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立， 即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，又由函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=， 综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2(2,)a e ∈+∞，故选C. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.8．D解析：D【解析】【分析】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下：在（2）中假设n k = 1k <+ (1)1k ++成立，即1n k =+时成立，故选D ．点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可．(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.9．B解析：B【解析】【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3πφk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由题意,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴23πsin x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2， 故选B ．【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．解析：A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.11．B解析：B【解析】等比数列的性质可知226416a a a ⋅==,故选B .12．A解析：A【解析】【分析】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=，取112a =，得到当b 14=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得12λ±=112a +=，得到当b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥，4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na +＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 1072964＞＞10． 【详解】 对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=， 取112a =，∴2111022n a a ==L ，，＜， ∴当b 14=时，a 10＜10，故B 错误； 对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10，∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得λ=取1a =，∴2a =，…，n a =10， ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥， 4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞， a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na +＞11322+=， ∴5445109323232a a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞，∴104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确． 故选A ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.二、填空题13．25【解析】由可得所以解析：25【解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==． 14．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：解析：2【解析】 【详解】当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=2-，有1个零点； 当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点， 所以共有2个零点． 故答案为：2． 【点睛】判断函数零点个数的方法直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数15．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为 解析：423【解析】 【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值． 【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =，因此,此圆锥的高cm 3h ===，故答案为． 【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．16．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个解析：3+【解析】21a b Q +=，则1111223+3b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11a b+的最小值为3+点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.17．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z |==． 【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为a bi -．18．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使解析：.【解析】()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-Q 函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，()112'2ax g x a x x-=-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得102x a <<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a=时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解得10,2a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为102a <<. 19．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =【解析】 【分析】先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2pF ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2py k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：222()24p k x px px -+=，整理得2222244)0(8k x k p p x k p -++=，所以21222k p p x x k ++=，2124p x x =， 所以2122222k PQ x x p p p k+=++=>； 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；因此min 24PQ p ==，所求方程为24y x =.故答案为24y x = 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.20．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计解析：1 【解析】 【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）n b n =（2）()1122n n S n +=-+（3）()()()114123312n n n n +++---+⋅ 【解析】 【分析】 【详解】（1）由1122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；（2）易得2nn a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L错位相减得12111222222212nn n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L所以其前n 项和()1122n n S n +=-+； （3）()()()()()()()()()()2221111422142121·2?12?12?12nnnnn n n n n n n n n n n n nc n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()1111111111112?21?222?21?2nn n n n n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫⎪=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()2231212231111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ()()1112113621?2n nn n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()11412331?2n n n n +++---+. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22．（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x +-=，或330x -=.【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得()223460m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD V ，故221622322m m m ⨯⨯=+，整理得2320m -+=，解得m =m =.所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 23．（1）6x π=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；（3）计算由()()0a d b c +⋅+=r u r r r得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可．【详解】（1）()sin 1,1b c x +=--r rQ ，()//a b c +r r r ，()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，6x π∴=-.（2）∵()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+r r.x R ∈Q ，1sin 1x ∴-剟，()04f x ∴剟，()f x ∴的最小值为0. （3）∵()3sin ,1a d x k +=++r u r ，()sin 1,1b c x +=--r r， 若()()a d b c +⊥+r u r r r ，则()()0a d b c +⋅+=r u r r r，即()()()3sin sin 110x x k +--+=，()22sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--，∴存在[]5,1k ∈--，使得()()a dbc +⊥+r u r r r【点睛】本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大．24．（1）340x y -+=；（2）2105【解析】 【分析】（1）求得()04A ，，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解． 【详解】（1）分别将()π42A ，，()5π224B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=． （2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．又直线A B 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r . 又圆心到直线A B 的距离为222104531=+，即r 的值为2105．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题． 25．（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得22sin .3B =由正弦定理，得42sin sin 9c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r得，，又1cos 3B =，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，2212sin 1cos 1()33B B =-=-= 由正弦定理，得22242sin sin 339c C B b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223393927⋅+⋅=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.26．（1）2nn a =，21n n b =-；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①，n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②，①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），{a n }公比为q ，求出a n ，然后求解b n ；（2）化简2211log log n n n c a a +=（n ∈N *），利用裂项消项法求解数列的和即可．【详解】（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2）， ∴a 3＝2（b 3﹣b 2）＝8∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }公比为q ， ∴a 1q 2＝8，∴q ＝2 ∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n∴()1231212222222212n n n n b +-=++++==--L ，∴b n ＝2n ﹣1．（2）证明：由已知：()22111111n n 1n n n c log a log a n n +===-++．∴1231111111111223n n 11n c c c c n L L ++++=-+-++-=-<++ 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.。
2020年高中三年级数学下期末模拟试卷(附答案)(1)
2020年高中三年级数学下期末模拟试卷(附答案)(1)一、选择题1．若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i2．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +D ．12i -+3．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27B ．11C ．109D ．364．设向量a r ，b r满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （ ）A ．6B ．32C ．10D ．425．已知()3sin 30,601505αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ） A ．310B ．31010-C ．433- D ．343- 6．若,αβvv 是一组基底,向量γv =x αuv +y βu v (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γv 在基底αu v ,βu v 下的坐标,现已知向量αu v 在基底p u v =(1,-1), q v =(2,1)下的坐标为(-2,2),则αu v 在另一组基底m u v=(-1,1), n v=(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,-2)C ．(-2,0)D ．(0,2)7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(22)-，B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，， C ．(22]-，D ．(2]-∞，8．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元9．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]10．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<11．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m αP ，m n ⊥，则n α⊥； ②若m α⊥，n αP ，则m n ⊥；③若,m n 是异面直线，m α⊂，m βP ，n β⊂，n αP ，则αβ∥； ④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是（ ） A ．②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④12．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=u u u r u u u r则BC=______ A ．3B ．7C ．2D ．23二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.15．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 .16．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．17．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 18．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ．19．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为l 的普通方程． 23．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率. 24．设()34f x x x =-+-.（Ⅰ）求函数()g x =（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围. 25．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 26．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z +===+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.2．A解析：A 【解析】 【分析】首先根据向量OA u u u v对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB uuu v对应的复数，得到结果.【详解】复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -， 所以向量OB uuu r对应的复数为2i -+． 故选A ． 【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由秦九韶算法可得()())((())532231? 02311,f x x x x x x x x x x =++++=+++++0ν1∴=1ν=1303⨯+= 2ν33211=⨯+= 3ν113336=⨯+=故答案选D4．D解析：D 【解析】 【分析】3=，求得2a b ⋅=-r r ，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】∵向量a r ，b r 满足2a =r ，3b a b =+=r r r 3=，解得2a b ⋅=-r r ．则2a b +==r r ．故选D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．D解析：D 【解析】分析：先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为0cos[(30)30]α+-，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值. 详解：∵60150α︒<<︒， ∴90°＜30α︒+＜180°， ∴()cos 30α︒+=-45， ∵c os α=00cos[(30)30]α+-,∴c os α=-453152⨯=， 故选D.点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，0(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由已知αu r=-2p u r +2q r =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设αu r =λm u r +μn r=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则由224λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得02λμ=⎧⎨=⎩∴αu r =0m u r +2n r ,∴αu r在基底m u r , n r 下的坐标为(0,2).7．C解析：C 【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意； 当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2204(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩n ， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ．8．D解析：D 【解析】 【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可． 【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ． 【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为()3sin 2cos 2f x x x m=+-,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.10．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可. 【详解】①若m αP ，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；②若n αP ，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α⊂，m P β，n β⊂，n αP 时，平面α，β平行； ④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题. 综上，为真命题的是②③④. 故选A 【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.12．A解析：A 【解析】【分析】 【详解】2222149||||cos ()122BC AB BC AB BC B AB BC AC +-⋅=-⋅=-+-=-=u u u r u u u r Q||=3BC ∴故选：A 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.二、填空题13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．14．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．15．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.16．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.17．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其 10【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ， ∴|z |22(1)310=-+=． 故答案为10． 【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为a bi -．18．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为 解析：【解析】 【分析】 【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==．故答案为．19．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用 解析：64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12a q ==.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a qL L --++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12na a a L 取得最大值6264=. 考点：等比数列及其应用20．8【解析】【详解】由题意知a ∈Pb ∈Q 则a+b 的取值分别为123467811故集合P+Q 中的元素有8个点睛：求元素(个数)的方法根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)然后根据集合元素的解析：8 【解析】 【详解】由题意知a ∈P ,b ∈Q ,则a+b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11.故集合P+Q 中的元素有8个. 点睛：求元素(个数)的方法，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．三、解答题21．(1) ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）()0,1.【解析】试题分析：（Ⅰ）由()1f x a x'=-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x '=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1x a =取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.22．(Ⅰ) ()()22219x y -++=；（Ⅱ）34y x =和x=0. 【解析】【分析】（I ）将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程.【详解】解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程得： 曲线C 的直角坐标方程为：22442x y x y +-=-即()()22219x y -++=（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程： ()()22cos 2sin 19t t αα-++=整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-=设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ，解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ⋅=-则12AB t t =-===23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<得3tan 24παα==或，直线l 的普通方程为34y x =和x=0 【点睛】本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.23．（1）0.5；（2）0.1【解析】【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出()4P X =所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”所以()20.50.40.50.60.5P X ==??(2)由题意可知，()4P X =包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分” 所以()40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X ==创创创= 【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及()4P X =所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．24．（Ⅰ）59[,]22；（Ⅱ）1(,2[,)2-∞-⋃+∞）． 【解析】 【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先用零点分段法将()f x 表示分段函数的形式，然后再求定义域；（Ⅱ）利用函数图象求解． 试题解析：（Ⅰ）72,3()34{1,3427,4x x f x x x x x x -<=-+-=->剟，它与直线2y =交点的横坐标为52和92， ∴不等式()2()g x f x =-的定义域为59[,]22． （Ⅱ）函数1y ax =-的图象是过点(0,1)-的直线， 结合图象可知，a 取值范围为1(,2)[,)2-∞-⋃+∞．考点：1、分段函数；2、函数的定义域；3、函数的图象．25．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.26．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞.【解析】【分析】（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()27a f x x ≤+-，令()()()27g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果.【详解】（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}37x x -≤≤（2）由()()27f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+- 由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩令()()()22221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩当1x ≤-时，()()min 170g x g =-=当15x -<<时，()()510g x g >=当5x ≥时，()()min 69g x g ==综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =()a g x ≤Q 恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.。
2020年高中三年级数学下期末一模试卷(带答案)(1)
2020年高中三年级数学下期末一模试卷(带答案)(1)一、选择题1．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．6425 B ．4825C ．1D ．16252．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为$y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 4．设函数()()21,04,0xlog x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ）A ．9B ．11C ．13D ．155．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．146．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10B ．11C ．12D ．157．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．1008．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2)9．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．22B ．1C 2D ．211．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)12．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________． 15．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 16．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.17．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n+的最小值为 18．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ． 19．函数y=232x x --的定义域是 . 20．()sin 5013tan10+=oo________________.三、解答题21．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.22．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.24．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数，a R ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是224πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且7AB =a 的值.26．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为()33{,,.12x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．3．D解析：D 【解析】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．4．B解析：B 【解析】 【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选B ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4， 由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2，由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．6．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有14C 4=个；第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有04C 1=个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．7．A解析：A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 36240C = 种.本题选择A 选项.8．D解析：D 【解析】 【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<Q ，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.9．A解析：A 【解析】 【分析】当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系. 【详解】当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行；若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合，综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.10．C解析：C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c =则该双曲线的离心率为 e ca==， 故选C ． 【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.11．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a +===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322n m mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．C解析：C 【解析】因为()2f x x ax =+是偶函数，所以22()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=所以0a =.所以“0a =”是“()2f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.二、填空题13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．14．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.15．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．16．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．17．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误解析：8 【解析】∵函数log 11a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0mn >，∴21m n +=，又0mn >，∴0m >，0n >，∴()12124 248n m m n m n m n m n+=+⋅+=++≥（），（当且仅当122n m ==时取“=”），故答案为8. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．18．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为 解析：【解析】【分析】 【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==． 故答案为． 19．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1-考点：函数定义域 20．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出()cos103sin10sin 50sin 5013an10++=o ooo o 利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.【详解】原式()2sin 1030sin50cos102sin 40cos 40sin50cos10cos10cos10++=⋅==o o o o o o oo o o o()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====o o o oo o o . 故答案为：1.【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）0.5；（2）0.1【解析】【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出()4P X =所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”所以()20.50.40.50.60.5P X ==??(2)由题意可知，()4P X =包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分” 所以()40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X ==创创创= 【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及()4P X =所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．22．（1）见解析；（2） 【解析】【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ．又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ．（2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA u u u v 的方向为x 轴正方向，AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2,1,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以22PC ⎛= ⎝⎭u u u v ，)2,0,0CB =u u u v ，22PA =⎝⎭u u u v ，()0,1,0AB =u u u v . 设(),,n x y z =r 是平面PCB 的法向量，则 0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 即220,20,x y x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2n =--r . 设(),,m x y z r=是平面PAB 的法向量，则 0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 即220,220.x z y -=⎨⎪=⎩可取()1,0,1m =r . 则3cos ,3n m n m n m ⋅==-r r r r r r ， 所以二面角A PB C --的余弦值为3 【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.23．（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】 （1）先证明AC ⊥平面PBC ，然后可得平面EAC ⊥平面PBC ；（2）建立坐标系，根据二面角P AC E --可得PC 的长度，然后可求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【详解】（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥.又1AD CD ==，在Rt ADC ∆中，得AC =，设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且BC =因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ､射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -.又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0CA =u u u r ，()0,0,CP a =u u u r ， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()1,1,PA a =-u u u r . 由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-u r u u u r 为平面PAC 的一个法向量.设(),,n x y z =r 为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=r u u u r r u u u r ，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--r，有cos ,m n m n m n ⋅===⋅u r r u r r u r r 2a =，从而()2,2,2n =--r ，()1,1,2PA =-u u u r . 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PA n PA n PA θ⋅==⋅r u u u r r u u u r r u u ur 3==. 即直线PA 与平面EAC所成角的正弦值为3.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.24．（1）12；（2）40；（3）选B款订餐软件.【解析】【分析】⑴运用列举法给出所有情况，求出结果⑵由众数结合题意求出平均数⑶分别计算出使用A款订餐、使用B款订餐的平均数进行比较，从而判定【详解】（1）使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.{},a b甲，,{},a c甲，,{},a d甲，,{},a e甲，,{},b c甲，,{},b d甲，,{},b e甲，, {}{},,c d c e甲，甲，,{},d e甲，,{},,a b c,{},,a b d,{},,a b e,{},,a c d,{},,a c e, {},,a d e,{},,b c d,{},,b c e,{},,b d e,{},,c d e.甲商家被抽到的情况如下：共10种．{},a b甲，,{},a c甲，,{},a d甲，,{},a e甲，,{},b c甲，,{},b d甲，,{},b e甲，, {},c d甲，,{},c e甲，,{},d e甲，记事件A为甲商家被抽到，则()101 202P A==.（2）依题意可得，使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=.（3）使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<所以选B款订餐软件．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．25．（1）l 的普通方程210ax y a +--=；C 的直角坐标方程是22220x y x y +--=；（2）【解析】【分析】（1）把直线l 的标准参数方程中的t 消掉即可得到直线l 的普通方程，由曲线C 的极坐标方程为ρ＝（θ4π+），展开得22ρ=（ρsinθ+ρcosθ），利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩即可得出曲线C 的直角坐标方程； （2）先求得圆心C 到直线AB 的距离为d ，再用垂径定理即可求解．【详解】（1）由直线l 的参数方程为21x t y at=+⎧⎨=-⎩，所以普通方程为210ax y a +--= 由曲线C的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22sin 2cos 4πρθρθρθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 所以曲线C 的直角坐标方程是22220x y x y +--=（2）设AB 的中点为M ，圆心C 到直线AB 的距离为d，则2MA =， 圆()()22:112C x y -+-=，则r =()1,1C ，12d MC ====,由点到直线距离公式，12d ===解得3a =±，所以实数a的值为3±. 【点睛】 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（I）(4,),(2)24ππ（II ）1,2a b =-= 【解析】【分析】【详解】（I ）圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=联立得22(2)4{40x y x y +-=+-=得110{4x y ==222{2x y ==所以1C 与2C交点的极坐标为(4,)24ππ （II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为20x y -+= 由参数方程可得122b ab y x =-+，所以1,12,1,222b ab a b =-+==-=解得。
2020年高中三年级数学下期末试卷带答案
2020年高中三年级数学下期末试卷带答案一、选择题1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．2．已知在ABC V 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14-B ．14C ．23-D ．233．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．$0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+ D ．$0.3 4.4y x =-+4．2532()x x-展开式中的常数项为（ ） A ．80B ．-80C ．40D ．-405．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u u v u u u v B ．1344AB AC -u u uv u u u vC ．3144+AB AC u u u v u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v6．设向量a r ，b r满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （ ）A ．6B ．32C ．10D ．427．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A L ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知向量)3,1a =r，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=r r b =r（ ）A ．3122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．133,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,0 9．若,αβvv 是一组基底,向量γv =x αu v +y βu v (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γv 在基底αu v ,βu v 下的坐标,现已知向量αu v 在基底p u v =(1,-1), q v =(2,1)下的坐标为(-2,2),则αu v 在另一组基底m u v=(-1,1), n v=(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,-2)C ．(-2,0)D ．(0,2)10．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是Xa 1 P13 1313则当a 在（0，1）内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大12．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ） A．513x << B ．135x << C ．25x <<D ．55x <<二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2xπ的值介于1[0,]2的概率为 ．15．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．16．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．17．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．18．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．19．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．20．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．三、解答题21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.22．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,,2nn na C nb *=∈N 证明：12+2,.n C C C n n *++<∈N L 24．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED V ，DCF V 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．(1) 求证：MD EF ⊥； (2) 求三棱锥M EFD -的体积．25．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为()33{,,.12x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值 26．已知(3cos ,cos )a x x =r ，(sin ,cos )b x x =r ，函数()f x a b =⋅rr .（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），半径r ＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，即可得出三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，利用1＜y B ＜3，即可得出． 【详解】抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1， 圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2， ∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ， ∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3， ∵1＜y B ＜3，∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.3．A解析：A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ．考点：线性回归直线.4．C解析：C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r =，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.5．A解析：A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+u u u v u u u v u u u v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+u u u v u u u v u u u v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1113124444BA BA AC BA AC u uu v u u u v u u u v u u u v u u u v =++=+， 所以3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6．D解析：D 【解析】 【分析】222+3+23a b ⋅=r r，求得2a b ⋅=-r r，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】∵向量a r ，b r 满足2a =r ，3b a b =+=r r r 222323a b ++⋅=r r，解得2a b ⋅=-r r ． 则()22222442434242a b a b a b +=++⋅=+⨯+⨯-r r r r r r．故选D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】设()(),0b x y y =≠r，根据题意列出关于x 、y 的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量b r的坐标.【详解】设(),b x y =r ，其中0y ≠，则a y b ⋅=+=r r由题意得2210x y y y ⎧+=+=≠⎪⎩，解得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12b ⎛= ⎝⎭r . 故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由已知αu r=-2p u r +2q r =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设αu r =λm u r +μn r=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则由224λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得02λμ=⎧⎨=⎩∴αu r =0m u r +2n r ,∴αu r在基底m u r , n r 下的坐标为(0,2). 10．A解析：A【解析】 【分析】当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系. 【详解】当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行；若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合，综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.11．D解析：D 【解析】 【分析】利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论； 【详解】解：1111()013333a E X a +=⨯+⨯+⨯=，222111111()()()(1)333333a a a D X a +++=⨯+-⨯+-⨯ 2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926a a a a a a =++-+-=-+=-+ 01a <<Q ，()D X ∴先减小后增大 故选：D ． 【点睛】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，属于中档题．12．A解析：A 【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐角为角α，根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>，解得5x >；设x 边对的锐角为β，根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>，解得013x <<，所以实数x 的取值范围是513x <<，故选A. 考点：余弦定理.二、填空题13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．14．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率解析：13【解析】试题分析：由题意得1220cos,[1,1]112232222333xx x x x x πππππππ≤≤∈-⇒≤≤-≤≤-⇒≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)13.1(1)3-=--考点：几何概型概率15．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为解析：-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1z x y2=-+的最小值．【详解】画出约束条件10210x yx yx--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数1z x y2=-+过点A时取得最小值，由{x0x y10=--=，解得()A0,1-，代入计算()z011=+-=-，所以1z x y2=-+的最小值为1-．故答案为1-．【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．16．11【解析】因为样本数据x1x2⋅⋅⋅xn的均值x=5所以样本数据2x1+12x2+1⋅⋅⋅2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质解析：【解析】因为样本数据，，，的均值，所以样本数据，，，的均值为，所以答案应填：．考点：均值的性质．17．390【解析】【分析】【详解】用2色涂格子有种方法用3色涂格子第一步选色有第二步涂色共有种所以涂色方法种方法故总共有390种方法故答案为:390解析：390 【解析】 【分析】 【详解】 用2色涂格子有种方法,用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有种,所以涂色方法种方法,故总共有390种方法. 故答案为:39018．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析：12【解析】 【分析】根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，111201 2.2a a a a -=∴=±>∴=+Q ，，，【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.19．y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f （x ）>f （0）且（02］上是减函数详解：令则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（02］都成立但f （x ）在［02］上不解析：y =sin x （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =⎧=⎨-∈⎩，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.20．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即解析：2+【解析】 【分析】 由题意可得00by x a=，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率ce a=，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为by x a=±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00by x a=，① 又12MF MF ⊥，可得00001y yx c x c⋅=-+-， 即为22200y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，由F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ， 可得22b pa =，且2pc =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --=由cea=，可得2410e e--=，解得25e=+【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c的值，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c的齐次式，转化为,a c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)．三、解答题21．(1) ； (2)36000；（3）.【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000.（Ⅲ）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础． 22．(1)证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直. 【详解】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 【考点】线面平行与面面垂直．23．（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；(2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n n n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：()()1121211n n n a n C n n b n n n n n n n -==<=<=--+++-，则()()()12210221212n C C C n n n +++<-+-++--=L L .【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 24．（1）见解析；（2）13【解析】 【分析】（1）在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，CD BC ⊥，在三棱锥M DEF -中，可得MD MF ⊥，MD ME ⊥，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD EF ⊥； （2）由E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，可得1BE BF ==，求出三角形MEF 的面积，结合()1及棱锥体积公式求解． 【详解】（1）证明：Q 在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ⋂=，MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；（2）解：E Q 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点， 1BE BF ∴==，111122MEF BEF S S V V ∴==⨯⨯=，由（1）知，111123323M DEF MEF V S MD -=⋅=⨯⨯=V ．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．25．（I）(4,),(2)24ππ（II ）1,2a b =-= 【解析】 【分析】 【详解】（I ）圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=联立得22(2)4{40x y x y +-=+-=得110{4x y ==222{2x y ==所以1C 与2C交点的极坐标为(4,)24ππ（II ）由（I ）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ 的直角坐标方程为20x y -+=由参数方程可得122b ab y x =-+，所以1,12,1,222b aba b =-+==-=解得26．(1) T π= ；26k x ππ=+（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36ππ-和2[,]3ππ 【解析】 【分析】（1）化简得()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数在R 上的增区间为[,36k k ππππ-+] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解.【详解】解：（1）()2cos cos f x a b x x x =⋅+r r111sin2cos2sin 222262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的周期22T ππ==, 令262x k πππ+=+（k Z ∈），即26k x ππ=+（k Z ∈） 所以()f x 的对称轴方程为26k x ππ=+（k Z ∈）. （2）令222262k x k πππππ-≤+≤+（k Z ∈）解得36k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈），由于(],x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时，得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2020年武汉市高中三年级数学下期末模拟试卷带答案
2020年武汉市高中三年级数学下期末模拟试卷带答案一、选择题1．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．12．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2D13．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）A ． 1.2308ˆ.0yx =+ B ．0.0813ˆ.2yx =+ C ． 1.234ˆyx =+ D ． 1.235ˆyx =+ 4．若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．2532()x x-展开式中的常数项为（ ） A ．80B ．-80C ．40D ．-406．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙7．()()31i 2i i --+=（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -8．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30°的等腰三角形9．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{1,3,5}10．已知a r 与b r均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -r r 等于（ ）A ．7B ．10C ．13D ．411．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o ,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v 则·BC OM u u u vu u u u v的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．012．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．34 二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和n s =23n -2n+1,则通项公式.n a =_________14．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．15．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 16．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．17．函数2()log 1f x x =-________． 18．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，122n n S a +=-，若212a =，则5S =__________． 20．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.三、解答题21．已知正项等比数列{}n a 满足26S =，314S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =，已知数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T 证明：1n T <． 22．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC的面积为求b c 、23．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若212z z =，求m ，n 的值.24．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.25．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 26．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．2．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．3．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得在线性回归方程$ˆy bxa =+$中 1.23b =$，然后根据回归方程过样本点的中心得到$a的值，进而可得所求方程． 【详解】设线性回归方程$ˆy bxa =+$中，由题意得 1.23b =$， ∴$1.23ˆy x a=+． 又回归直线过样本点的中心()4,5，∴$5 1.234a=⨯+， ∴$0.08a=， ∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+．故选A ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．4．B解析：B 【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z +===+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.5．C解析：C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r =，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．7．B解析：B 【解析】 【分析】先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】 由题意得，复数()()()31i 2i 13i i 13i 3i i ii i--+-+⋅-+===----⋅．故应选B【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.8．C解析：C 【解析】 【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o . 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.9．B解析：B 【解析】 【分析】先求出A B ⋃，阴影区域表示的集合为()U A B ⋃ð，由此能求出结果． 【详解】Q 全集{1,U =3，5，7}，集合{}1,3A =，{}3,5B =，{1,A B ∴⋃=3，5}，∴如图所示阴影区域表示的集合为：(){}7U A B ⋃=ð．故选B ． 【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．10．A解析：A 【解析】本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A ．11．C解析：C 【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()33BC MN ON OM ==-u u u v u u u u v u u u v u u u u v ，由题意可知：2211OM ==u u u u v ，12cos1201OM ON ou u u u v u u u v ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v .本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12．B解析：B 【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B. 【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.二、填空题13．【解析】试题分析：n=1时a1=S1=2；当时-2n+1－-2（n-1）+1=6n-5a1=2不满足所以数列的通项公式为考点：1数列的前n 项和；2数列的通项公式 解析：n a =2,1{65,2n n n =-≥ 【解析】试题分析：n=1时，a 1=S 1=2；当2n ≥时，1n n n a S S -=-=23n -2n+1－[23(1)n --2（n-1）+1]=6n-5, a 1=2不满足61n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为n a =2,1{65,2n n n =-≥.考点：1.数列的前n 项和；2.数列的通项公式.14．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.15．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得4433b b x -+<<由整数有且仅有1，2，3知40134343bb-⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b<<16．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐解析：3π【解析】【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积.【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C，对于B点，由sin1tan2y xy x=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得π3,3B⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以133ππ224ABCS∆=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.17．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.18．【解析】试题分析：原式=考点：1指对数运算性质解析：278【解析】 试题分析：原式=344332542727log log 134588-⎡⎤⎛⎫+⨯=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 考点：1.指对数运算性质.19．【解析】【分析】由题意首先求得然后结合递推关系求解即可【详解】由题意可知：且：整理可得：由于故【点睛】本题主要考查递推关系的应用前n 项和与通项公式的关系等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3116【解析】 【分析】由题意首先求得1S ，然后结合递推关系求解5S 即可. 【详解】由题意可知：12221S a =-=，且：()122n n n S S S +=--，整理可得：()11222n n S S +-=-， 由于121S -=-，故()455113121,21616S S ⎛⎫-=-⨯=-∴= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查递推关系的应用，前n 项和与通项公式的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去解析：【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．三、解答题21．（1）2n n a =； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由等比数列前n 项和公式求出公比q 和首项1a ，得通项公式；（2）用裂项相消法求出和n T ，可得结论．【详解】（1）设等比数列的首项及公比分别为10a >，0q >，26S =Q ，314S =，显然1q ≠，()()21311611141a q q a q q ⎧-⎪=-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩， 2n n a ∴=；（2）证明：由（1）知，n b n =，则11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 121n n n T b b b b -∴=++⋯⋯++1111111111223111n n n n n =-+-+⋯⋯+-+-=--++, *n N ∈Q ,1n T ∴<．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和与通项公式，考查裂项相消法求数列的和．基本量法是解决等差数列和等比数列的常用方法．裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和法是数列求和的特殊方法，它们针对的是特殊的数列求和．22．：（1）1cos 3A =（2）3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩ 【解析】：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=- 即1cos()3B C +=-从而cos A 1cos()3B C =-+=（2）由于0,A π<<1cos 3A =，所以sin A =又ABC S =V 1sin 2bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2213b c += 解方程组2213{6b c bc +==，得3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩23．（1（2）0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长；（2）根据212z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解. 【详解】（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以12z z +==. （2）若212z z =，则()221m i ni -=-， 所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n ⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.24．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.【解析】【详解】（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有()()22224d d +=+，∴240d d -=，解得4d =或0d =.∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），∴最小正整数41n =.25．（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】【详解】解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为()0.6,()0.5,()0.5===P D P E P F ，()0.4,()0.5,()0.5∴===P D P E P F ． 红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率 ()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3． 又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===⨯⨯=，(1)()()()ξ==++P P DEF P DEF P DEF(1)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P (3)()0.60.50.50.15P P DEF ξ===⨯⨯=，由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+== 所以ξ的分布列为：因此26．（1）见解析； （2）2e 2e a 2e 2-≥-. 【解析】【分析】()1求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求()f x 的单调区间；()2若()0f x ≤在区间[]1,e 上恒成立，则只需求出()f x 的最大值即可，求实数a 的取值范围．【详解】()()()21f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>Q ．()()()()22x 2a 1x 2a 2x 1x a f'x (x 0)x x -++--∴==>， 由得1x a =，2x 1=，当0a 1<<时，在()x 0,a ∈或()x 1,∞∈+时， 在()x a,1∈时，()f x ∴的单调增区间是()0,a 和()1,∞+，单调减区间是()a,1；当a 1=时，在()x 0,∞∈+时，()f x ∴的单调增区间是()0,∞+；当a 1>时，在()x 0,1∈或()x a,∞∈+时，在()x 1,a ∈时． ()f x ∴的单调增区间是()0,1和()a,∞+，单调减区间是()1,a ．()2由()1可知()f x 在区间[]1,e 上只可能有极小值点，()f x ∴在区间[]1,e 上的最大值在区间的端点处取到，即有()()f 112a 10=-+≤且()()2f e e 2a 1e 2a 0=-++≤，解得2e 2e a 2e 2-≥-． 即实数a 的取值范围是2e 2e a 2e 2-≥-． 【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．。
2020年高中三年级数学下期末一模试题(附答案)
2020年高中三年级数学下期末一模试题(附答案)一、选择题1．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃A ．（-1,2）B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2）2．设向量a r ，b r满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （ ）A ．6B ．32C ．10D ．423．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种5．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =，则c =( )A ．23B ．2C ．2D ．16．已知函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e +∞B ．2(,2)e eC ．2(2,)e +∞D ．22(,2)(2,)e e e +∞U7．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10B ．20C ．40D ．809．在ABC ∆中，A 为锐角，1lg lg()lgsin lg 2b A c+==-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形10．在[0,2]π内，不等式3sin 2x <-的解集是（ ） A ．(0)π，B ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 11．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r，()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若32BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（ ）A ．12B ．12± C ．110± D ．322± 12．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4B ．16C ．8D ．32二、填空题13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .14．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．15．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．16．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________. 17．371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）18．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.19．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 20．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．三、解答题21．已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）用反证法证明：()0f x =没有负数根．22．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C 一A 1DE 的体积. 23．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.24．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小； （2）求AB 的长．25．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.26．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试 方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q =U (1,2)-．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2．D解析：D 【解析】 【分析】3=，求得2a b ⋅=-r r ，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】∵向量a r ，b r 满足2a =r ，3b a b =+=r r r 3=，解得2a b ⋅=-r r ．则2a b +==r r ．故选D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．C解析：C 【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．5．B解析：B 【解析】1333,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===3cos 2A =, 所以22231323c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，030,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想. 当求出3cos A =0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.6．C解析：C 【解析】 【分析】求得函数的导数()(2)()x xe af x x x-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.【详解】由题意，函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+，可得2()(3)(1)(2)()(2)()x xxxa xe a f x e x e a x e x x x x-'=+-+-=--=-⋅，又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，则()0f x '=，即(2)()0x xe ax x--⋅=在(1,)+∞上有两解，即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，则()(1)0,(1)xg x x e x '=+>>，所以函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即(2)()0x xe ax x--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，又由函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=，综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2(2,)a e ∈+∞，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.7．A解析：A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.8．C解析：C 【解析】分析：写出103152r r rr T C x -+=n n ，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrr r r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭n n 令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C n =⨯=故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
2020年高中三年级数学下期末模拟试题及答案
2020年高中三年级数学下期末模拟试题及答案一、选择题1．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．352．2532()x x-展开式中的常数项为（ ） A ．80B ．-80C ．40D ．-403．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）ξ0 1 2P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小4．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．19B ．29C ．49D ．7185．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 46．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－3πB ．2，－6πC ．4，－6π D ．4，3π 7．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1B ．﹣2C ．6D ．28．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．3249．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．10．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A 3B ．2C 6D 511．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对12．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对二、填空题13．若x，y满足约束条件x y102x y10x0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y2=-+的最小值为______．14．已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________15．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．16．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖D的仰角为45︒，乙同学在B地测得树尖D 的仰角为30°，量得10AB AC m==，树根部为C（,,A B C在同一水平面上），则ACB=∠______________.17．在极坐标系中，直线cos sin(0)a aρθρθ+=>与圆2cosρθ=相切，则a=__________．18．若x，y满足约束条件22010x yx yy--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y=+的最大值为_____________．19．如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，线段11B D上有两个动点,E F，且2EF=，现有如下四个结论：AC BE①⊥；//EF②平面ABCD；③三棱锥A BEF-的体积为定值；④异面直线,AE BF所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．20．已知实数,x y满足不等式组201030yx yx y-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx的取值范围为__________．三、解答题21．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 22．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，2，求三棱锥C 一A 1DE 的体积. 23．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．24．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为12312x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程是2sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值. 25．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.26．如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos C =.（1）求角A ；（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r rr n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r rr T C x +=则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭ 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r =，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.3．D解析：D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+Q ， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈Q ，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑4．C解析：C 【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算.5．A解析：A 【解析】 试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．6．A解析：A 【解析】 【分析】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，3T 5π412=-（π3-）3π4=， ∴T 2πω==π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π12，2）， ∴2＝2sin （25π12⨯+φ）， ∴5π6+φ＝2kππ2+，k∈Z， 即φ＝2kππ3-， 又由π2-＜φπ2＜，则φπ3=-； 综上所述，ω＝2、φπ3=-． 故选A ． 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7．C解析：C 【解析】试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．8．B解析：B 【解析】先由三视图还原出原几何体，再进行计算 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 故选B. . 【点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算9．B解析：B 【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 本题选择B 选项.10．D解析：D 【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1b y xa y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以e == D. 【点睛】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．解析：B 【解析】 【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12．B解析：B 【解析】 【分析】本题首先可以根据两个事件能否同时发生来判断出它们是不是互斥事件，然后通过两个事件是否包含了所有的可能事件来判断它们是不是对立事件，最后通过两个事件是否可能出现来判断两个事件是否是不可能事件，最后即可得出结果．， 【详解】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件， 因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B ． 【点睛】本题考查了事件的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指概率之和为1的互斥事件，不可能事件是指不可能发生的事件，考查推理能力，是简单题．二、填空题13．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A 时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为解析：-1 【解析】 【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1z x y 2=-+的最小值． 【详解】画出约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数1z x y 2=-+过点A 时取得最小值，由{x 0x y 10=--=，解得()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1z x y 2=-+的最小值为1-．故答案为1-． 【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．14．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其 10【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ， ∴|z |22(1)310=-+= 10． 【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为a bi -．15．390【解析】【分析】【详解】用2色涂格子有种方法用3色涂格子第一步选色有第二步涂色共有种所以涂色方法种方法故总共有390种方法故答案为:390解析：390 【解析】 【分析】 【详解】 用2色涂格子有种方法,用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有种,所以涂色方法种方法,故总共有390种方法. 故答案为:39016．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析：30°【解析】 【分析】作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解cos ACB ∠即可. 【详解】如图所示,在Rt ACD V 中,∵10,45AC m DAC =∠=︒,∴10DC m = 在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=︒,∴103BC m =. 在ABC V 中,22210103103cos 210103ACB +-∠==⨯⨯30ACB ∠=︒.故答案为：30° 【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.17．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析：12【解析】 【分析】根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，111201 2.2a a a a -=∴=±>∴=+Q ，，，【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.18．6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B 点时取得最大值联立方程组求得点B 的坐标代入目标函数解析：6【解析】 【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式3122y x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-，在上下移动的过程中，结合12z 的几何意义，可以发现直线3122y x z =-+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+，可得3122y x z =-+， 画出直线32y x =-，将其上下移动， 结合2z的几何意义，可知当直线3122y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由2200x y y --=⎧⎨=⎩，解得(2,0)B ，此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.19．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对解析：①②③【解析】 【分析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．综上知①②③正确，故答案为①②③ 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.20．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单解析：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 作出可行域，yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解. 【详解】如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩………表示的平面区域ABC V （包括边界），所以yx 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）3630x +-=，或3630x -=.【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为62m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得()223460my my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD V ，故221622322m m m ⨯⨯=+，整理得2320m -+=，解得3m =3m =±.所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）111132C A DE V -=⨯= 【解析】试题分析：（Ⅰ）连接AC 1交A 1C 于点F ，则DF 为三角形ABC 1的中位线，故DF ∥BC 1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC 为等腰直角三角形，由D 为AB 的中点可得CD ⊥平面ABB 1A 1．求得CD 的值，利用勾股定理求得A 1D 、DE 和A 1E 的值，可得A 1D ⊥DE ．进而求得S △A 1DE 的值，再根据三棱锥C-A 1DE 的体积为13•S △A1DE •CD ，运算求得结果 试题解析：（1）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点又D 是AB 中点， 连结DF ，则BC 1∥DF ． 3分因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1不包含于平面A 1CD ， 4分 所以BC 1∥平面A 1CD ． 5分（2）解：因为ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD ．由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ．又AA 1∩A B=A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1． 8分 由AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A 1E=3，故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE ⊥A 1D 10分 所以三菱锥C ﹣A 1DE 的体积为：==1． 12分考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 23．(1) ∠A =π3 (2) AC 边上的高为332【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高． 详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B 2431cos 7B -=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A 437sin A =32．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =311432727⎛⎫-+⨯⎪⎝⎭=3314． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337=，∴AC 边上的高33．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.24．（1310x y --=，22(1)(1)2x y -+-=；（2）231. 【解析】 【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得 直线l 310x y --=. 将曲线C 的极坐标方程化为22222ρρθθ⎫=⎪⎪⎝⎭. 即22sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()22112x y -+-=中，得221312222t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 化简，得(212330t t -++=.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2. 由根与系数的关系，得12231t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,1212231PA PB t t t t +=+=+=.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. 25．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞.【解析】 【分析】（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()27a f x x ≤+-，令()()()27g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果. 【详解】（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立 当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤ 综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}37x x -≤≤ （2）由()()27f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+-由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩令()()()22221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩当1x ≤-时，()()min 170g x g =-= 当15x -<<时，()()510g x g >= 当5x ≥时，()()min 69g x g == 综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =()a g x ≤Q 恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值. 26．（1）4A π=；（2【解析】 【分析】（1）通过cos C 求出sin C 的值，利用正弦定理求出sin A 即可得角A ；（2）根据()sin sin B A C =+求出sin B 的值，由正弦定理求出边b ，最后在ACD ∆中由余弦定理即可得结果. 【详解】 （1）∵cos C =，∴sin C ===. 由正弦定理sin sin a c A C==.得sin A =cos 0C =<，∴C 为钝角，A 为锐角， 故4A π=.（2）∵()B A C π=-+，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+⎛=+= ⎝⎭. 由正弦定理得sin sin b a B A==得b = 在ACD ∆中由余弦定理得：2222cos CD AD AC AD AC A =+-⋅⋅242222=+-⨯=，∴CD =. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.。
2020年高中三年级数学下期末试题及答案(1)
2020年高中三年级数学下期末试题及答案(1) 一、选择题1．设1i2i1iz-=++，则||z=A．0B．1 2C．1D．22．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A．12B．13C．16D．1123．若3tan4α=，则2cos2sin2αα+=（）A．6425B．4825C．1D．16254．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．35．在二项式42nxx⎛+⎪⎝⎭的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A．16B．14C．512D．136．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A．14B．13C．12D．237．已知()3sin30,601505αα︒+=︒<<︒，则cosα为（）A．310B．310-C．433-D．343-8．已知全集{1,3,5,7}U=，集合{1,3}A=，{3,5}B=，则如图所示阴影区域表示的集合为（）A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{1,3,5} 9．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v 在向量a v 方向上的投影为( )A ．1B ．-1C ．2D ．-210．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．1x <-或4x >B ．0x …或2x -…C ．0x <或2x >D ．12x -…或3x … 11．若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线方程为（ ） A ．y=±2x B ．y=2x ± C ．12y x =± D ．2y x =± 12．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题13．若过点()2,0M 3()2:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ，与C 的一个交点为A ，若BM MA =v u u u v ，则a =____．14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =b=1,则c =_____________15．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．16．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________17．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____. 18．若,满足约束条件则的最大值 ．19．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）20．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．三、解答题21．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.22．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.23．已知函数()32f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点()()1,1P f 处的切线方程为31y x =+．（1）若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y f x =在区间[]3,1-上的最大值．24．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>． ()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．25．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CM CP的值；若不存在，说明理由． 26．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP =u u u v u u u v .（1）求点P 的轨迹方程； （2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u v u u u v .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i 2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=， 则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．B解析：B【解析】【分析】 求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3．A解析：A【解析】 试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．4．A解析：A【解析】【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的.【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等．故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定;(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．5．C解析：C【解析】【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果【详解】 因为42n x x 前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-= 163418118,0,1,2,82r rr r n n T C x r -+>∴=∴=⋅=Q L ，当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为636799512A A A =,选C. 【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.6．C解析：C【解析】【分析】由题意，求得(),()P AB P A 的值，再由条件概率的计算公式，即可求解.【详解】记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”,则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．D解析：D【解析】分析：先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为00cos[(30)30]α+-，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值. 详解：∵60150α︒<<︒， ∴90°＜30α︒+＜180°，∴()cos 30α︒+=-45， ∵c os α=00cos[(30)30]α+-,∴c os α=-45×33134352-⨯=， 故选D. 点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，00(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标. 8．B解析：B【解析】【分析】先求出A B ⋃，阴影区域表示的集合为()U A B ⋃ð，由此能求出结果．【详解】Q 全集{1,U =3，5，7}，集合{}1,3A =，{}3,5B =，{1,A B ∴⋃=3，5}，∴如图所示阴影区域表示的集合为：(){}7U A B ⋃=ð．故选B ．【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．9．B解析：B【解析】【分析】 先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r ),∴a r g (a r +2b r),=0， 即()2·20a a b +=v v v即a r g b r =﹣2 ∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=v v v =﹣1， 故选B ．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．10．C解析：C【解析】【分析】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案．【详解】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0⇔x≤12-或3x …，所以可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件；依次选项可得：x 1<-或x 4>是12x ≤-或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是12x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件 x 0<或x 2>是12x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件； x≤-12或x≥3是12x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ．【点睛】本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．11．B解析：B【解析】=b y x a =±，计算得b a =方程为y =.【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.12．D解析：D【解析】【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.二、填空题13．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8【解析】【分析】由直线方程为2)y x =-与准线:a l x 4=-得出点B 坐标，再由BM MA u u u u v u u u v =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.【详解】 解：抛物线()2:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4=- 过点()2,0M2)y x =-，联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得，交点B坐标为(a 4-， 设A 点坐标为00(,)x y ，因为BM MA u u u u v u u u v=，所以点M 为线段AB 的中点，所以00()442402a x y ⎧+-⎪=⎪⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得(a A 44+，将)()a a 8A 444++代入抛物线方程，即()2a a 44=+， 因为0a >，解得8a =.【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.14．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题解析：2【解析】【分析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c.【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c --=，解得2c =或1c =-（舍去）.故填2.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.15．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的 解析：64 【解析】 【分析】 将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.【详解】过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，1122,23BC C D BD ===，故16cos 22223C BD ∠==⨯⨯.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其 解析：10 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z |22(1)310=-+=．故答案为10．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为a bi -．17．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使解析：34【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。