小量近似方法应用两则
高中物理解题技巧之14.近似法
十四、近似法方法简介近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.赛题精讲例1：一只狐狸以不变的速度1υ沿着直线AB 逃跑，一只猎犬以不变的速率2υ追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD=L ，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度r r a ,22υ=为猎犬所在处的曲率半径，因为r 不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D 处的加速度大小，由于2υ大小不变，如果求出D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t ∆内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R ，则加速度=a R 22υ 其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t ∆时间内，设狐狸与猎犬分别 到达D F ''与，猎犬的速度方向转过的角度为=α2υt ∆/R而狐狸跑过的距离是：1υt ∆≈L α 因而2υt ∆/R ≈1υt ∆/L ，R=L 2υ/1υ图14—1图14—2—甲所以猎犬的加速度大小为=a R22υ=1υ2υ/L 例2 如图14—2所示，岸高为h ，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.设船在θ角位置经t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧的绳长缩短L ∆，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有L ∆=θcos x ∆两边同除以t ∆得：θcos tx t L ∆∆=∆∆，即收绳速率θυυcos 船= 因此船的速率为θυυcos =船例3 如图14—3所示，半径为R ，质量为m 的圆形绳圈，以角速率ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角θ∆很小时，有近似关系式.sin θθ∆≈∆若取绳圈上很短的一小段绳AB=L ∆为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为θ∆，这段绳两端所受的张力分别为A T 和B T （方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以A T 和B T 的大小相等，均等于T . A T 和B T 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m ∆，根据牛顿第二定律有：R m T 22sin 2ωθ∆=∆； 因为L ∆段很短，它所对应的圆心角θ∆很小所以22sin θθ∆=∆ 将此近似关系和πθπθ22∆=⋅∆⋅=∆m R m R m 代入上式得绳中的张力为πω22R m T = 例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC ，光滑小球从顶点A 处沿图14—2 图14—2—甲图14—3 图—14—3—甲斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C 处所需时间，恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C 处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A 点出发到C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值.解析 直角三角形AB 、BC 、CA 三边的长分别记为1l 、2l 、3l ，如图14—4—甲所示，小球从A 到B 的时间记为1T ，再从B到C 的时间为2T ，而从A 直接沿斜边到C 所经历的时间记为3T ，由题意知321T T T =+，可得1l ：2l ：3l =3：4：5，由此能得1T 与2T 的关系. 因为21121121T gT l gT l ==所以21212T T l l = 因为1l ：2l =3：4，所以 1232T T =小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为11T t =，经各水平段所需时间之和记为2t ，则从A 到C 所经时间总和为21t T t +=，最短的2t 对应t 的下限min t ，最长的2t 对应t 的上限.max t小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC 重合）时2t 最短，其值即为2T ，故min t =.35121T T T =+ 2t 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量1l ∆，便接一段水平小量2l ∆，这两个小量之间恒有αcot 12l l ∆=∆，角α即为∠ACB ，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l ∆、2l ∆均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1i t ∆与)(2i t ∆之间有如下关联：αcot )()(1212=∆∆=∆∆l l i t i t 于是作为)(2i t ∆之和的2t 上限与作为)(1i t ∆之和的1T 之比也为.cot α故2t 的上限必为1T αcot ，即得：.37cot 111max T T T t =+=α 这样:max t min t =7:5例5 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧，它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端点A 、B 固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状态且在同一直线上，如图14—5所示.如果小物体在此平面上沿着垂直于A 、B 连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判断它是否将做简谐运动？解析 因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式（即此题中所受合外力的表达式）.以AB 中点为原点，过中点且垂直于AB 的直线为x 轴，如图14—5—甲所示，取x 轴正方向为正方向，小物体所受回复力为：θsin )(20l l k F x --= ①其中k 为弹簧的劲度系数，0l 为弹簧的自由长度，l 为弹簧伸长后的长度，θ为弹簧伸长后与AB 直线的夹角.由几何知识可得lx =θsin ② 220x l l += ③将②、③代入①式得：203202212200)]211(1[2])(1[2l kx x l x k x x l l k F x -=---=+--== 由此可见，小物体受的合外力是一个非线性回复力，因此小物体将不做简谐运动.同时本题表明，平衡位置附近的小振动未必都是简谐运动.例6 三根长度均为m 2，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC ，C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动.杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图14—6所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动.解析 松鼠在AB 轨道运动，当框架不动时，松鼠受到轨道给它的水平力F ′作用，框架也受到松鼠给它的水平力F 作用，设在某一时刻，松鼠离杆AB 的中点O 的距离为x ，如图14—6所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力mg ，m 为松鼠的质量.以C 点为轴，要使框架平衡，必须满足条件FL FL mgx 2360sin =︒=，松鼠对AB 杆的水平力为 )3/(2L mgx F =，式中L 为杆的长度.所以对松鼠而言，在其运动过程中，沿竖直方向受到的合力为零，在水平方向受到杆AB 的作用力为F ′，由牛顿第三定律可知F ′=F ，即kx L mgx F =-=')3/(2 其中L mk 32-=即松鼠在水平方向受到的作用力F ′作用下的运动应是以O 点为平衡位置的简谐运动，其振动的周期为.64.22/322s g L k m T ===ππ当松鼠运动到杆AB 的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅小于或等于L/2=1m.由以上论证可知，当框架保持静止时，松鼠在导轨AB 上的运动是以AB 的中点O 为平衡位置，振幅不大于1m 、周期为2.64s 的简谐运动.例7 在一个横截面面积为S 的密闭容器中，有一个质量为m 的活塞把容器中的气体分成两部分.活塞可在容器中无摩擦地滑动，活塞两边气体的温度相同，压强都是p ，体积分别是V 1和V 2，如图14—7所示.现用某种方法使活塞稍微偏离平衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动.容器保持静止，整个系统可看做是恒温的.（1）求活塞运动的周期，将结果用p 、V 1、V 2、m 和S 表示；（2）求气体温度0=t ℃时的周期τ与气体温度τ'=30℃时的周期τ'之比值.解析 （1）活塞处于平衡时的位置O 为坐标原点.0=x 当活塞运动到右边距O 点x 处时，左边气体的体积由V 1变为V 1+Sx ，右边气体的体积由V 2变为V 2Sx -，设此时两边气体的压强分别为1p 和2p ，因系统的温度恒定不变，根据玻意耳定律有：222111)()(pV Sx V p pV Sx V p =-=+ 而以上两式解出：)1(2,)1(22221111V Sx V pV p V Sx V pV p +=+= ① 按题意，活塞只稍许离开平衡位置，故上式可近似为：),1(11x V S p p -≈ )1(22x V S p p +≈，于是活塞受的合力为.)11()(21221x V V pS S p p +-=-所以活塞的运动方程是x V V V V pS x V V pS ma 21212212)11(+-=+-= 其中a 是加速度，由此说明活塞做简谐运动，周期为)(221221V V pS V mV +=πτ （2）设温度为t 时，周期为τ，温度为t '时，周期为τ'.由于T p T p ''=，得出 T T T TV V pS V m V V V S p V m V '='⋅+=+'='τππτ)(2)(22122121221 所以TT '='ττ，将数值代入得95.0:='ττ 例8 如图14—8所示，在边长为a 的正三角形三个顶点A 、B 、C 处分别固定电量为Q 的正点电荷，在其中三条中线的交点O 上放置一个质量为m ，电量为q 的带正电质点，O点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求其振动周期.解析 要想证明带电质点是否做简谐运动，则需证明该带电质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置时，所受的回复力是否与它的位移大小成正比，方向相反.因此该题的关键是求出它所受回复力的表达式，在此题也就是合外力的表达式.以O 为坐标原点，以AOD 中线为坐标x 轴，如图14—8—甲所示，设带电质点在该轴上偏移x ，A 处Q 对其作用力为1F ，B 、C 处两个Q 对其作用的合力为2F ，取x 轴方向为正方向. 有2221)1()(---=--=r x r kQq x r kQqF 因为a OC OB OA r 33====++=--r xr x21)1(2当x 很小时可忽略高次项所以)361(321a x a Qqk F +-=232222222])()2)[((2))()2()()2((2-+++=+++⋅++=x h a x h kQq x h a xh x h a kQq F2322)24)((2-+++=hx h a x h kQq （略去2x 项）232)333)((2-++=ax a x h kQq23232)31()3)((2--++=x a a x h kQq)3231(363x a a x h kQq -+=)233(363x hx a h a Qqk +-= （略去2x 项）)2331(363h xx a h a Qqk +-=)231(33x a aQq k += 因此带电质点所受合力为qx a Q k x aa x q a Q k F F F x 3221239)2336(3-=--=+= 由此可知，合外力x F 与x 大小成正比，方向相反. 即该带电质点将做简谐运动，其振动周期为kQqam a k m T 32322ππ== 例9 欲测电阻R 的阻值，现有几个标准电阻、一个电池和一个未经标定的电流计，连成如图14—9所示的电路.第一次与电流计并联的电阻r 为50.00Ω，电流计的示度为3.9格；第二次r 为100.00Ω，电流计的示度为5.2格；第三次r 为10.00Ω，同时将待测电阻R 换成一个20.00k Ω的标准电阻，结果电流计的示度为7.8格.已知电流计的示度与所通过的电流成正比，求电阻R 的阻值.解析 在测试中，除待求量R 外，电源电动势E ，电源内阻r ，电流计内阻g R 以及电流计每偏转一格的电流0I ，均属未知.本题数据不足，且电流计读数只有两位有效数字，故本题需要用近似方法求解. 设电源电动势为E ，电流计内阻为g R ，电流计每偏转一格的电流为0I ，用欧姆定律对三次测量的结果列式如下：09.3150505050I R R R r R R R Eg g g gg=⋅+⋅+++ 02.51100100100100I R R R r R R R E g g g gg=⋅+⋅+++ 08.711010200001010I R R R r R R E gg g g g=⋅+⋅+++ 从第三次测量数据可知，当用20k Ω电阻取代R ，而且r 阻值减小时电流计偏转格数明显增大，可推知R 的阻值明显大于20k Ω，因此电源内阻完全可以忽略不计，与R相比，电图14—9流计内阻g R 与r 的并联值对干路电流的影响同样也可以忽略不计，故以上三式可近似为：09.35050I R R E g=+⋅① 02.5100100I R R E g=+⋅② 08.7101020000I R E g=+⋅ ③ 待测电阻R=120k Ω解①、②、③三式，可得g R =50Ω例10 如图14—10所示，两个带正电的点电荷A 、B 带电量均为Q ，固定放在x 轴上的两处，离原点都等于r .若在原点O放另一正点电荷P ，其带电量为q ，质量为m ，限制P 在哪些方向上运动时，它在原点O 才是稳定的？解析 设y 轴与x 轴的夹角为θ，正电点电荷P 在原点沿y 轴方向有微小的位移s 时，A 、B 两处的点电荷对P 的库仑力分别为A F 、B F ，方向如图14—10所示，P 所受的库仑力在y 轴上的分量为βαcos cos B A y F F F -= ① 根据库仑定律和余弦定理得θcos 222rs s r kqQ F A ++= ② θcos 222rs s r kqQ F B +-= ③ θθαcos 2cos cos 22rs s r sr +++= ④ θθβcos 2cos cos 22rs s r sr ++-= ⑤将②、③、④、⑤式代入①得：23222322)cos 2()cos ()cos 2()cos (θθθθrs s r s r kqQ rs s r s r kqQ F y -+--+++=图14—10因为s 很小，忽略2s 得： ])cos 21(cos )cos 21(cos [23233θθθθr s s r rs sr r kqQ F y ---++= 又因为1cos 2,<≤θr s r s 所以利用近似计算x x 231)1(23≈±-得 )]cos 31)(cos ()cos 31)(cos [(3θθθθr s s r r s s r rkqQ F y +--++≈忽略2s 得)1cos 3(23--=θrkqQs F y 当（0)1cos 32>-θ时y F 具有恢复线性形式，所以在31cos 2>θ范围内，P 可围绕原点做微小振动，所以P 在原点处是稳定的.例11 某水池的实际深度为h ，垂直于水面往下看，水池底的视深为多少？（设水的折射率为n ）解析 如图14—11所示，设S 为水池底的点光源，在由S 点发出的光线中选取一条垂直于面MN 的光线，由O 点垂直射出，由于观察者在S 正方，所以另一条光线与光线SO 成极小的角度从点S 射向水面点A ，由点A 远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小，进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点S ′，该点即为我们看到水池底光源S 的像，像点S ′到水面的距离h '，即为视深. 由几何关系有,/tan ,/tan h AO i h AB r ='=所以h h i r '=/tan /tan ，因为r 、i 均很小，则有i i r r sin tan ,sin tan ≈≈，所以h h i r '≈/sin /sin 又因i r n sin sin =所以视深n h h /='针对训练1．活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与U 形管压强计的一臂相连，压强计的两臂截面处处相同.U 形管内盛有密度为5.7=ρ×102kg/m 3的液体.开始时左、右两气室的体积都为V 0=1.2×10－2m 3，气压都为0.40=ρ×103Pa ，且液体的液面处在同一高度，如图14—12所示.现缓缓向左推动活塞，直到液体在U 形管中的高度差h =40cm.求此时左、右气室的体积V 1、V 2.假定两气室的温度保持不变.计算时可以不计U 形管和连接管道中气体的体积.取g =10m/s 2.2．一汽缸的初始体积为V 0，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可忽略），其平衡时气体的总压强是3.0大气压.经过等温膨胀使其体积加倍，在膨胀过程结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压.若让其继续作等温膨胀，使其体积再次加倍，试计算此时：（1）汽缸中气体的温度；（2）汽缸中水蒸气的摩尔数；（3）汽缸中气体的总压强. （假定空气和水蒸气均可当做理想气体处理）3．1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气室示意图如图14—13所示.利用海浪上下起伏力量，空气能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电机发电.当海水下降时，阀门S 1关闭，S 2打开，设每次吸入压强为1.0×106Pa 、温度为7℃的空气0.233m 3（空气可视为理想气体），当海上升时，S 2关闭，海水推动活塞绝热压缩空气，空气压强达到32×105Pa 时，阀门S 1才打开.S 1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部推入工作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作.设打开S 1后，活塞附近的压强近似保持不变，活塞的质量及活塞筒壁间的摩擦忽略不计.问海水每次上升时所做的功是多少？已知空气从压强为1ρ、体积为V 1的状态绝热的改变到压强为2ρ、体积为V 2的状态过程中，近似遵循关系式1ρ/2ρ=（V 2/V 1）5/3，1mol 理想气体温度升高1K 时，内能改变为3R/2.[R=8.31J/(mol·K)]4．如图14—14所示，在O x 轴的坐标原点O 处，有一固定的电量为)0(>Q Q 的点电荷，在L x -=处，有一固定图14—13图14—14的、电量为Q 2-的点电荷，今有一正试探电荷q 放在x 轴上0>x 的位置，并设斥力为正，引力为负.（1）当q 的位置限制在O x 轴上变化时，求q 的受力平衡的位置，并讨论平衡的稳定性；（2）试定性地画出试探电荷q 所受的合力F 与q 在O x 轴上的位置x 的关系图线.5．如图14—15所示，一人站在水面平静的湖岸边，观察到离岸边有一段距离的水下的一条鱼，此人看到鱼的位置与鱼在水下的真实位置相比较，应处于什么方位.6．如图14—16所示，天空中有一小鸟B ，距水面高m h 31=，其正下方距水面深m h 42=处的水中有一条小鱼A.已知水的折射率为4/3，则小鸟看水中的鱼距离自己是多远？小鱼看到鸟距离自己又是多远？参考答案1．V 1=0.8×10－2m 3 ，V 2=1.6×10－2m 3 2．（1）373K （2）2mol （3）1.0大气压3．8.15×104J 4．（1）平衡是稳定的 （2）5．应在鱼的右上方6．6m ，8m。
2023届高考物理小角度近似专题复习
习中对这一知识作了充分复习准备，
在考场中就不会迷惑失措。
解：离子进入磁场后做圆周运动半径
mv
L
r
sin
qB
r
经过磁场后，离子在y方向偏转距离 y1 r (1 cos )
其中运动半径与磁分析器中相同
r
1 2
2
1
1 L
(sin ) 2 ( ) 2
1.（2020全国高考）
图中 A 为轻质绝缘弹簧，C 为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；随
为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆 D 的一端与 M 固连且与镜面垂直，另
一端与弹簧下端相连，PQ 为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ 的圆心位于 M
的中心使用前需调零，使线圈内没有电流通过时，M 竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水
cos
tan
0.01754
0.99985
0.01745
0.03490
0.99939
0.03492
0.05234
0.99863
0.05241
0.06976
0.99756
0.06993
0.08716
0.99619
0.08749
0.10452
0.99452
0.10510
0.12187
0.99255
2
2
三、教材中出现（或隐含的）实例复习回顾
1.单摆的振动是简谐运动及周期公式的推导
s in tan
3.
2.近轴光入射，观察水中的鱼的视深
小角度近
似处理
3.火车转弯时刚好对内外轨不发生挤压的内外轨高度差
物理竞赛——小量近似方法应用两则
④
由②④两式得
当小球运动方向水平向右时速度最大，此时两分运动速度方向相同
小球距边界AC的距离最大
讨论 那么小球实际运动的轨迹到底是怎样的呢？
从以上求解过程容易联想到生活中的物理模型-—无滑动的纯滚动车轮轮缘上一个质点的运动轨迹情况，下面来分析这个问题：
如图2，建立平面直角坐标系xoy
设M为车轮圆心，R为半径，车轮以速度v匀速直线行驶。考虑车轮边缘上的某一点P，其初始位置在坐标原点，θ为运动过程中转过的角度，设t时刻位置坐标为（x,y）。
⑵对于m ⑥
对于M ⑦
联立④⑤⑥⑦得
例2长分别为L1和L2的不可伸长的轻绳悬挂质量都是m的m1和m2，如图5所示，原先它们处于静止状态。突然，连接两绳的中间小球受到水平向右的冲击，短时间内获得水平向右的初速度v0，求这一瞬间连接m2的绳的拉力为多少？
分析与解小球m1受到冲击获得初速度v0，由于受到上端固定在O点的绳L1的牵制，而绕O点做圆周运动，此刻的加速度竖直向上，大小为 。下面的小球m2此刻相对于地面的速度为零，但以m1为参照，m2的速度为v0，方向向左，且绕m1做圆周运动，这时m2受到三个力的作用：竖直向下的重力mg，绳子的拉力T2，惯性力 ，方向竖直向下，如图6所示。由牛顿第二定律和向心力公式可得
即
故
通过这样两道例题我们可以发现，引入惯性力以后，可以使一些动力学问题的求解变得简单，从而给解题带来很大的方便，因此在学习过程中，我们应该很好地掌握这种方法。
练习如图7所示，一光滑细杆绕竖直轴以匀角速度ω转动，细杆与竖直轴夹角θ保持不变。一个相对细杆静止的小环自离地面h高处沿细杆下滑，求小球滑到细杆下端时的速度。（参考答案： ）
一、欧拉公式
十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系： ，其中F1代表我们所用的力，F2代表我们所要对抗的力，e代表数2.718…（自然对数的底）， 代表绳和桩子之间的摩擦系数， 代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比。
“小量近似”在高考和竞赛中的应用
“小量近似”在高考和竞赛中的应用作者：余建刚来源：《理科考试研究·高中》2019年第10期摘;要：本文由一道2019年全国高考理科数学题引出“小量近似”在高考和竞赛中的应用，简要地阐述了小量近似的定义及数学来源、小量近似的近似程度及典例说明.关键词：小量近似;物理竞赛;高考2019年全国高考理科数学Ⅱ卷第4题，题目如下：2019年1月3日嫦娥四號探测器成功实现人类历史上首次月球软着陆，我们航空事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为了解决这个问题，发射了嫦娥四号中继卫星“鹊桥”.鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿定律和万有引力定律，r满足方程M1（R+r）2+M2r2=（R+r）M1R3.设α=rR，由于α的值很小，因此近似计算中3α3+3α4+α5（1+α）2≈3α3，则r的近似值为（;）A.M2M1R;B.M22M1R;C.33M2M1R;D.3M23M1R无独有偶，第32届全国中学生物理预赛题也曾有类似的数学处理方法，题目如下：2011年8月中国发射的宇宙飞船“嫦娥二号”在完成探月任务后，首次从绕月轨道飞向日地延长线上的拉格朗日点，在该点，“嫦娥二号”和地球一起同步绕太阳做圆周运动.已知太阳和地球的质量分别为MS和ME，日地距离为R.该拉格朗日点离地球的距离x满足的方程为，由此解得x≈.（已知当λl时，（1+λ）n≈1+nλ）此二题在计算过程均涉及到小量近似的处理方法，其实小量近似在中学物理竞赛中，是比较普遍的数学处理方法，屡见不鲜.但对普通的高考生而言或许有点陌生.故笔者撰写本文简述“小量近似”在高考和竞赛中的应用，以期达到抛砖引玉之效.1;小量近似的定义及数学来源在数学中，我们把以零为极限（即无限趋近于零但又不为零）的变量，称为无穷小量，即小量.小量近似，就是指在运算中为了简化运算结果，但又不影响结果正确性的前提下，将一些相对较小的项忽略不计的运算方法.数学上，有一个有名的公式称泰勒Taylor展开公式（或称泰勒公式），将任意一个函数写成多项式的形式，各项分别为零阶小量、一阶小量、二阶小量…….公式如下：f（x0+Δx）=f（x0）+f ′（x0）Δx+f″（x0）2！Δx2+……+f（n）（x0）n！Δxn+o（Δxn）（注：公式最后一项o（Δxn）表示剩下所有的项，相对于Δxn都是小量.）常见函数在x0=0处的泰勒展开：sinx=x-x33！+x55！-x77！+…+（-1）kx2k+1（2k+1）！+o（x2k+1）cosx=1-x22！+x44！-x66！+…+（-1）k（2k）！x2k+o（x2k）.（1+x）μ=1+μx+μ（μ-1）2！x2+…+μ（μ-1）…（μ-n+1）n！xn+o（xn）.11+x=1-x+x2-x3+…+（-1）nxn+o（xn）.ex=1+x+x22！+…+xnn！+o（xn）.ln（1+x）=x-x22+x33-x44+…+（-1）n-1xnn+o（xn）.注：不是所有的函数在所有的位置都可以进行泰勒展开.只有当高阶项越来越小且趋近于0时才能用泰勒展开的前几项之和来近似原函数的值.高中阶段能够见到的小量近似公式全部可以用泰勒公式展开得到.用泰勒公式展开，忽略高阶小量，只取一阶近似，可得到物理竞赛中常见的如下近似公式：sinx=x;cosx=0;ex=1+x;ln（1+x）=x（1±x）n=1±nx（以上公式中的x均为小量）2;小量近似的方法（1）对一个小角量θ来说，它的正弦值、正切值与其本身相等，即θ≈sinθ≈tanθ.小角量θ所对应的弧长与弦长也相等.（2）在研究一个普通量时，可以将小量忽略不计.如计算常量A与小量Δ β之和，可以忽略后面小量，结果直接为A.（3）在研究小量时，可以忽略比它阶数高的小量.比如Δβ是小量，Δβ2、Δβ3、Δβ4等都是比Δβ更高阶的小量，我们就可以将其忽略不计.3;小量近似的近似程度在物理竞赛中应用小量近似，应近似到什么程度？物理竞赛中的小量近似，既要体现出小量对函数的影响，又要达到简化运算的目的，所以绝大多数情况，泰勒公式展开后，取一阶近似即可，二阶和更高阶的小量可忽略.但有两种情况例外：（1）若函数本身为小量，为了体现更高阶小量对函数的影响，则可保留更高一阶的小量.（2）若取一阶近似无法体现出小量对函数的影响，则可取更高一阶的近似.比如单由度保守力场中，在平衡位置附近对势能函数的展开，设势能函数为U（x），平衡位置为x0，在平衡位置x0附近展开势能函数则有U（x）=U（x0）+U（1）（x-x0）+12U（2）（x-x0）2+O （x-x0）n由于势能函数的导数值在平衡位置取零，即U（1）（x-x0）=0 ，所以势能函数一阶小量为零，若只取一阶近似，则无法体现出小量对势能函数的影响，于是二阶小量12U（2）（x-x0）2也应保留.4;小量近似的应用典例（1）小角度近似对一个小角量θ来说，它的正弦值、正切值与其本身相等，即当θ→0时，θ≈sinθ≈tanθ. 譬如，证明小角度近似下单摆可以近似为一个简谐运动.证明如下：证明：如图1，在很小角度下物体受回复力：F回=-mgsinθ≈-mgθ=-mgxL=-kx，具有简谐运动回复力的特征，k=mgL，周期为：T=2πmk=2πLg.又如光学中近轴光学入射，观察水中的鱼或玻璃中物体的视深公式.证明：如图2，由光的折射定律：1×sini=n×sinr根据小角度近似，有sini≈tani=OAh′，sinr≈tanr=OAh整理，得1×OAh′=n×OAh ，因此，像的位置h′=hn（2）一阶小量近似物理过程运算关系式常以多项式形式出现，这时可以运用以下的近似处理（1±x）n=1±nxx1.其依据就是当要求精度不高的时候，应当略去 x 的高阶小量，而保留 x 的一阶量，泰勒公式展开，略去高阶小量，只保留一阶小量.譬如，本文开篇所提到的32届预赛题，已知拉格朗日点处“嫦娥二号”和地球一起同步绕太阳做圆周运动.太阳和地球的质量分别为MS和ME，日地距离为R.求该拉格朗日点离地球的距离x满足的方程为和位置x .我们不妨用小量近似求解一下.解：根据万有引力定律和牛顿第二定律，有Gmsm（R+x）2+GmEmx2=mω2（x+R）GmsmER2=mEω2（x+R）联立，得 GmsmR（1+xR）2+GmEmx2=GmsR2（1+xR）由于xR，则（1+xR）-2=1-2xR即mE x2≈ms R2·3xR，解得x = （mE 3ms ）13R（3）二阶小量近似在小量近似处理中，当取一阶近似时，无法体现出小量对所求函数造成的影响，因而要继续去二阶小量近似.譬如下题：一块厚度为 h 的匀质长方形物块，静止地放在半径为 R 的半圆柱顶面上，如图 3（a）所示.设摩擦系数足够大，长方形物块与柱面不发生滑动.求此静止位置为稳定平衡的条件.物体平衡位置为稳定平衡位置的条件是：当此物体稍微偏离平衡位置时，将受到指向平衡位置的合力作用（平衡力），使物体回到平衡位置.从势能的角度看，如果物体向两侧移动一个微小的距离，物体的重心提高了，即重力势能增加了，则物体将在重力的作用下回复到平衡位置，为稳定平衡;若重力势能减小则不是稳定平衡.由此依据可得.解：设长方形物体稍微离开平衡位置转过微小角度θ，如图 3（b）.则此时物块重心位置为：y=（R+h2）cosθ+Rθsinθ≈（R+h2）（1-θ22）+Rθ2=（R+h2）+θ22（R-h2）稳定平衡的条件是y>R+h，得θ22（R-h2）>0因此，穩定平衡的条件为R>h2.从上面的解题过程中，当小角度近似时，sinθ≈θ 采用一阶小量近似，而cosθ则采用二阶小量，其原因是cosθ若取一阶小量近似时cosθ≈1，无法体现出小量对所求函数造成影响，因而要继续取二阶小量近似，即cosθ≈1-θ22.。
小量近似方法应用两则
小量近似方法应用两则作者：王化银来源：《中学物理·高中》2013年第05期小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常有用的.这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法——对一个小角量θ来说，有sinθ=θ，cosθ=1；在研究一个普通量时，可以忽略小量.1欧拉公式十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系：F2=F1eμθ，其中F1代表我们所用的力，F2代表我们所要对抗的力，e代表数2.718…（自然对数的底），μ代表绳和桩子之间的摩擦系数，θ代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比.若取μ=0.2，θ=12π，则F2F1=1881≈2000.所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物.下面就欧拉公式作一证明：取一小段弧Δl为研究对象，受力分析如图1所示，F和F+ΔF 为小弧两端所受张力，FN为柱体对绳的压力，f为静摩擦力.根据平衡方程，得故F2=F1eμθ，即两张力之比按包角呈指数变化.儒勒·凡尔纳在《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里，叙述竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面.不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上.他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有十秒钟.最后，缆索断了.可是这十秒钟时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以后，只轻微地擦了一下快艇，就向前驶了开去.理解了欧拉公式，我们明白：原来在这里帮助他们的，并不是马蒂夫异常的臂力，而是绳和桩子之间的摩擦力.2重力场中光子频率变化已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能.若从地面上某处将一束频率为ν的光射向其正上方相距为d的空间站，d远小于地球半径，令空间站接收到的光的频率为ν′，则差ν′-ν=，已知地球表面附近的重力加速度为g.（第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷第二大题第8小题）。
小量近似方法应用两则
小量近似方法应用两则小量近似方法是一种解决连续性的数值计算问题的有效方法，其原理是将数值问题中的小量忽略不计，从而简化计算。
本文将通过两个实例来阐述小量近似方法的具体应用及其在实际问题中的运用。
实例一：热容计算中的小量近似方法在物理学和化学中，热容是一个重要的物理量，表示物体在吸收或释放热量时对温度的响应能力。
在一些情况下，我们需要计算在某一特定温度下的物质的热容，但是具体的计算公式十分复杂。
在这种情况下，小量近似方法便可发挥其作用，将问题简化。
在化学中，我们通常采用所谓的“高温近似”，即在高温下，热容通常与温度无关，因此热容的计算公式可简化为：C(T) = (3/2)R其中，T表示温度，R表示气体常数。
这种近似方法的一个重要特征是只考虑了高温区间的数据，因此，这种近似一般只适用于高温下的情况，而不能适用于低温下的情况。
实例二：光电效应中的小量近似方法光电效应是一种描述光子与物质相互作用的物理现象，是当前量子力学的重要研究领域。
在光电效应中，光子的能量会转化成电子的能量，这种转换过程可以使用小量近似方法进行简化。
在光子的能量较小的情况下，我们可以使用所谓的“伏特近似”。
即光子的能量E如果比逸出功函数φ小得多，那么出射的光电子的动能K可以近似为：K = E –φ这个近似公式的优点是简单，并且可以延伸至较复杂情况的处理。
而在光子能量足够大的情况下，即E≥φ时，需要采用更精确的计算方法。
结论小量近似方法是一种常用的数值计算方法，其优势在于其优越的计算简便性和可用性。
即使对于复杂的问题，只要涉及到小量，我们也可以使用小量近似方法来简化计算，降低计算难度。
但是需要特别注意的是，我们必须了解其适用范围和局限性，避免出现计算错误和偏差。
因此，在实际使用中，我们需要结合具体需求，谨慎并准确地应用小量近似方法。
物理学小量近似计算公式
物理学小量近似计算公式在物理学中，我们经常需要进行近似计算来简化复杂的问题。
小量近似是一种常见的方法，它可以帮助我们快速而准确地得到问题的解答。
在本文中，我们将介绍一些常见的物理学小量近似计算公式，并讨论它们的应用。
1. 正弦函数的小角近似。
当角度很小时，可以用正弦函数的小角近似公式来计算正弦值：sin(x) ≈ x。
这个公式在很多物理问题中都非常有用，比如在小角度摆动的情况下，可以用这个公式来计算摆动的周期和频率。
2. 余弦函数的小角近似。
和正弦函数类似，余弦函数在小角度时也可以用近似公式来计算：cos(x) ≈ 1 x^2/2。
这个公式在弹簧振子和简谐振动等问题中经常被使用。
3. 指数函数的小量近似。
当指数的指数项很小时，可以用指数函数的小量近似公式来计算指数值：e^x ≈ 1 + x。
这个公式在电路分析和热传导等问题中经常被使用。
4. 对数函数的小量近似。
当参数接近1时，可以用对数函数的小量近似公式来计算对数值：ln(1+x) ≈ x。
这个公式在化学反应速率和生物学增长模型等问题中经常被使用。
5. 正弦函数的小量级相加近似。
当正弦函数的参数很小时，可以用正弦函数的小量级相加近似公式来计算：sin(x+y) ≈ sin(x) + ycos(x)。
这个公式在波的叠加和干涉等问题中经常被使用。
6. 余弦函数的小量级相加近似。
和正弦函数类似，余弦函数在小量级相加时也可以用近似公式来计算：cos(x+y) ≈ cos(x) ysin(x)。
这个公式在波的叠加和干涉等问题中也经常被使用。
以上是一些常见的物理学小量近似计算公式，它们在物理学的各个领域都有着重要的应用。
通过这些近似计算公式，我们可以快速而准确地得到问题的解答，为复杂的物理问题提供了简化的方法。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和参数选择合适的近似计算公式，从而提高计算的效率和准确性。
除了上述提到的公式外，物理学中还有许多其他的小量近似计算公式，它们都是为了简化复杂问题而产生的重要工具。
小角度近似在高中物理中的应用
1 小角度近似在高中物理中的应用“微元法解题思想”是历年高考考查的重点和热点之一，也是《考纲》中应用数学知识处理物理问题能力要求的一个重要方面，中学物理中渗透“微元”思想有两个方面内容：一是变化率；二是无限小变化量.现就第二种情况中的“小角度近似”进行说明，当θ角很小时，有sin tan θθθ≈≈，这个关系在高中物理中有以下应用：1、 单摆问题【例1】试证明：在摆角很小的情况下，单摆的振动是简谐振动.【证明】如图1所示，在一根质量不计、不能伸长的细线下端系一小球（看作质点），把它拉离平衡位置O 让它开始振动.设小球运动到任一点P 时，摆线与竖直方向的夹角为α，受力情况如图1所示.把重力G 分解为沿摆线方向的分力F ’和沿圆弧切线方向的分力F. F ’跟拉力T 的合力，沿着摆线指向圆心（悬挂点），是小球运动时的向心力，它只改变小球运动的方向，不改变运动的快慢.因此，在研究小球振动过程中位置变 图1化时，不需要考虑向心力，而只考虑重力沿圆弧切线方向的分力F ，这个分力F 就是小球振动时的回复力.由于重力G=mg 沿圆弧切线的分力F=mgsin α.当α很小时（50以下），圆弧可以近似的看成直线，分力F 可以近似地看作沿这条直线作用，OP 就是小球偏离平衡位置的位移x.设摆长为l ，因为sin α≈x l ，所以F= -mg x l .由于m 、g 、l 都有一定的数值，mg l 可以用一个常数k 来代替，所以上式可以写成F=-Kx. 负号表示力F 跟位移x 的方向相反.可见，在摆角很小的情况下，单摆振动时的回复力跟位移成正比而方向相反，它的振动是简谐振动.2、视深问题【例2】某水池实际深度为h,垂直于水面往下看，视深度是多少（设水的折射率为n ）?【解析】.设水池底部有一点光源S ，它到水面的距离为h ，从s 发出的光线中选取两条入射光线SO 和SA ，其中SO 垂直于水面MN ，由O 点射出；SA 与SO 成极小角度，由A 点折射到空气中.因入射角极小，故折射角也极小，那么进入人眼中的两条折射光线的反向延长线将交于S ’点，该点即为我们看到的水池底部点光源S 的虚像点.设S ’点到水面的距离（视深度）为h ’. 如图2所示可以看出视深度小于实际深度.由图2知tan 1θ=AO h ,tan 2θ='AO h , ① 因为1θ、2θ很小，所以tan 1θ≈sin 1θ ；tan 2θ≈sin 2θ.② 图2 由①②知12sin sin θθ≈12tan 'tan h hθθ=.③ 又因折射率n=21sin sin θθ.④ 由③④知h ’=1h n .即视深度为实际深度的1n.。
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引用本文格式：王化银 小量近似方法应用两则[期刊论文]-中学物理（高中版） 2013(5)
，Ｉ
矿
所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘 轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大 的重物． 下面就欧拉公式作一证 明：取一小段弧△ｌ为研究对
。．
而 则
聊２＝助’。
ｂ＝∥＋和，ｙ’一ｙ一多’．
这与题给参考答案似乎有点矛盾ｐ’一ｐ＝一哆！
Ｆ。
象，受力分析如图１所示，，和
，＋△Ｆ为小弧两端所受张力，
ｎ为柱体对绳的压力，为静
摩擦力．根据平衡方程，得
图ｌ
就不难理解以上两个结论是相同的，即 （１） （２） （３）
匕芦捌Ｃ２＝器Ｏ
其实只要注意到
ｌ，’
（３．×８）２
。…。 １０小１
ｎ
ｏ－１２《ｌ， …’
ＦⅣ：风ｉｎ竽＋（ｎ△Ｆ）ｓｉｎ竽
（Ｆ＋△Ｆ）ｃｏｓ掣：Ｆｃ∞竽＋，
临界情况 ，＝—～
ｐ’一ｐ＝一哆Ｃ，＝一啤Ｃ
．５０．
卜蔷‰引一番叫一譬引， 其中譬＝等兰署…矿ｍ引，
所以
ｙ’一ｙ＝一争案＝一争
万方数据
小量近似方法应用两则
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 王化银 淮北市第一中 学安徽淮北235000 中学物理（高中版） ZHONGXUE WULI(GAOZHONG BAN) 2013,31(5)
在桩子上的圈数之间的关系：，２＝Ｆ。，，其中Ｆｌ代表我们所 用的力，疋代表我们所要对抗的力，ｅ代表数２．７１８…（自然 对数的底），弘代表绳和桩子之间的摩擦系数，０代表绕转角， 也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比．
参考答案一岛
解析ｄ远小于地球半径，由能量守恒得
ｈｖ＝＾ｌ，’＋，，‘ｇｄ，
若取弘＝ｏ．２，０＝１２１ｒ，则子＝１８８１—２０００．
２
重力场中光子频率变化 已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力
势能．若从地面上某处将一束频率为ｌ，的光射向其正上方相 距为ｄ的空间站，ｄ远小于地球半径，令空间站接收到的光的
频率为ｙ’，则差矽’一ｙ＝——，已知地球表面附近的重力加
速度为ｇ．（第２９届全国中学生物理竞赛预赛试卷第二大题 第８小题）
２０１３年５月
Ｖ０１．３１
Ｎｏ．０９
中学物理
小量近似方法应用两则
王化银
（淮北市第一中学安徽淮北２３５０００）
小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重 要的方法，在解决问题时是非常有用的．这里以两则应用为 例，介绍常用的小量近似方法——对一个小角量０来说，有
ｓｉｎ０＝０，ｃｏｓ０＝１；在研究一个普通量时，可以忽略小量． １欧拉公式 十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕 不是马蒂夫异常的臂力，而是绳和桩子之间的摩擦力．
化的。同样也有眦２＝ｈｖ’＝ｈｖ．
事实上，能量守恒式子ｂ＝＾ｌ，’＋ｍｇｄ中的ｍ也是在变 本题可以从引力势能角度考虑，思路会更加清晰： 由能量守恒得
的很小，有
所以
ｓｉｎｉ／ｔＯ：下／ｔＯ，ｃｏｓ掣：１，
ＦＮ＝彪口，ＡＦ＝ｆ，
¨Ｇ警岫’一Ｇ瑞，
利用Ｔｎ，ｃ２＝＾ｌ，，ｒ／ｉ，７ｃ２＝＾ｙ’，ＧＭ
２
ｌｌｐＡＦ：出口’或
肌’…一矽拦一。，一ＩＲ＋ｄ，
‘
儿ｙｉ正Ｃ’
（Ｒ＋ｄ）ｃ２ （Ｒ＋ｄ）ｃ‘
１一哗
丝一琏—Ｌ
（Ｒ＋ｄ）ｃ２
注意到ｄ《Ｒ，则鬲毛一旦Ｒ，
索大约有十秒钟．最后，缆索断了．可是这十秒钟时间已经很
足够：“特拉波科罗”号进水以后，只轻微地擦了一下快艇， 就向前驶了开去． 理解了欧拉公式，我们明白：原来在这里帮助他们的，并
两边求和
ＡｉＦ：出口，
Ｊ莹萨，
有
∑Ａ了Ｆ＝∑出ｐ， ∑ＡｌｎＦ＝ｐ∑／ｔＯ，ｌ幔一ｌｎＦｌ＝矽，
Ｆ
¨譬・等岫’一燕・等，
变形得
或
Ｉｎ等＝加，
‘Ｉ
故Ｂ＝Ｅ∥，即两张力之比按包角呈指数变化．
儒勒・凡尔纳在＜马蒂斯・桑多尔夫＞这部小说里，叙述 竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科 罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住 了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子 弯得接近了地面．不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里 的铁桩上．他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆