方差分析几个案例
方差分析举例
方差分析举例一、什么是方差分析例1：某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同，先从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表10-1。
表10-1 该饮料在五家超市的销售情况单位：箱问饮料的颜色是否对销售量产生影响。
解：从表10－1中看到，20个数据各不相同，其原因可能有两个方面：一是销售地点不同的影响。
即使是相同颜色的饮料，在不同超市的销售量也是不同的。
但是，由于这五个超市地理位置相似、经营规模相仿，因此，可以把不同地点产品销售量的差异看成是随机因素的影响。
二是饮料颜色不同的影响。
即使在同一个超市里，不同颜色的饮料的销售量也是不同的。
哪怕它们的营养成分、味道、价格、包装等方面的因素都相同，但销售量也不相同。
这种不同，有可能是由于抽样的随机性造成的，也有可能是由于人们对不同颜色的偏爱造成的。
于是，上述问题就归结为检验饮料颜色对销售量是否有影响的问题。
我们可以令μ1、μ2、μ3、μ4分别为四种颜色饮料的平均销售量，检验它们是否相等。
如果检验结果显示μ1、μ2、μ3、μ4不相等，则意味着不同颜色的饮料来自于不同的总体，表明饮料颜色对销售量有影响；反之，如果检验结果显示μ1、μ2、μ3、μ4之间不存在显著性差异，则意味着不同颜色的饮料来自于相同的总体，可认为饮料颜色对销售量没有影响。
这就是一个方差分析问题。
在方差分析中常用到一些术语。
1．因素因素是一个独立的变量，也就是方差分析研究的对象，也称为因子。
如：例1中，我们要分析饮料的颜色对饮料的销售量是否有影响，在这里，“饮料的颜色”是所要检验的对象，它就是一个因素。
在有的书中把因素称为“因子”。
2．水平因素中的内容称为水平，它是因素的具体表现。
如：例1中“饮料的颜色”这一因素中的水平有四个，即饮料的四种不同颜色：无色、粉色、桔黄色、绿色；它们是“饮料的颜色”这一因素的四种具体表现。
方差分析几个案例
方差分析方式方差分析是统计分析方式中，最重要、最常常利用的方式之一。
本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。
在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。
1. 方差分析的意义、用途及适用条件方差分析的意义方差分析又称为变异数分析或F查验，其大体思想是把全数观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部份，再作分析。
即把全数资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部份，其自由度也分为相应的部份，每部份表示必然的意义，其中至少有一个部份表示各组均数之间的变异情形，称为组间变异（MS组间）；另一部份表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。
SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。
如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性不同。
方差分析在环境科学研究中，常常利用于分析实验数据和监测数据。
在环境科学研究中，各类因素的改变都可能对实验和监测结果产生不同程度的影响，因此，能够通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是不是存在影响及影响的程度和性质。
方差分析的用途两个或多个样本均数的比较。
分离各有关因素，别离估量其对变异的影响。
分析两因素或多因素的交叉作用。
方差齐性查验。
方差分析的适用条件各组数据均应服从正态散布，即均为来自正态整体的随机样本（小样本）。
各抽样整体的方差齐。
影响数据的各个因素的效应是能够相加的。
对不符合上述条件的资料，可用秩和查验法、近似F值查验法，也能够通过变量变换，使之大体符合后再按其变换值进行方差分析。
一般属Poisson散布的计数资料常常利用平方根变换法；属于二项散布的百分数可用终归弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。
2. 单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较）按照某一实验因素，将实验对象按完全随机设计分为若干个处置组（各组的样本含量可相等或不等），别离求出各组实验结果的均数，即为单因素多个样本均数。
方差分析实例
让4名学生前后做3份测验卷，得到如下表的分数，运用方差分析法可以推断分析的问题是：3份测验卷测试的效果是否有显著性差异？1、确定类型由于4名学生前后做3份试卷,是同一组被试前后参加三次考试，4位学生的考试成绩可看成是从同一总体中抽出的4个区组，它们在三个测验上的得分是相关样本。
2、用方差分析方法对三个总体平均数差异进行综合性地F检验检验步骤如下：第一步，提出假设：第二步，计算F检验统计量的值:因为是同一组被试前后参加三次考试，4位学生的考试成绩可看成是从同一总体中抽出的4个区组，它们在三个测验上的得分是相关样本，所以可将区组间的个别差异从组内差异中分离出来，剩下的是实验误差,这样就可以选择公式（6.6）组间方差与误差方差的F比值来检验三个测验卷的总体平均数差异的显著性。
①根据表6。
4的数据计算各种平方和为：总平方和:组间平方和：区组平方和：误差平方和：②计算自由度总自由度：组间自由度：区组自由度 :误差自由度：③计算方差组间方差：区组方差:误差方差:④计算F值第三步，统计决断根据，α=0.01,查F值表，得到，而实际计算的F检验统计量的值为，即P(F 〉10.9）〈0.01，样本统计量的值落在了拒绝域内，所以拒绝零假设，接受备择假设，即三个测验中至少有两个总体平均数不相等。
3、用q检验法对逐对总体平均数差异进行检验检验步骤如下：第一步，提出假设：第二步，因为是多个相关样本，所以选择公式（6.8）计算q检验统计量的值：在为真的条件下，将一次样本的有关数据及代入上式中，得到A和B两组的平均数之差的q值，即:以此类推，就可得到每对样本平均数之间差异比较的q值，如下表所示：第三步，统计决断为了进行统计决断，在本例中，将A，B，C共3组学生英语单词测验成绩的等级排列为：A与C之间和B与C之间包含有1,2两个组，a=2；A与B之间包含有1，2，3三个组,a=3.根据，得到当a=2时，q检验的临界值为;当a=3时,q检验的临界值为；将表（6。
方差分析例题讲解
例题讲解例3。
1、某灯泡厂用４种不同材料的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中随机抽取若干只观测其使用寿命（单位：小时）。
观测数据如下：甲灯丝：1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 乙灯丝：1580 1640 1640 1700 1750丙灯丝：1540 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820 丁灯丝：1510 1520 1530 1570 1600 1680问这四种灯丝生产的灯泡的使用寿命有无显著差异（0.05α=）？ 第一种方法：直接用手工计算解：由题意知要检验的假设为H0： 四种灯丝生产的灯泡的使用寿命无显著差异。
为了简化计算，把各观测值都减去一个数1600，简化后的数据及有关计算如下：其中i t 表示重复次数；2221111111,,,,ii i t t t rr i i i ij i i ij ij i j j i j i n t t x x t x x K x P K t n =====⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑，2211111,;ii t t rrij ij i j i j i W x R x t ====⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑∑所以2180549.297044360.726A S R P =-=-=，21231900970195711.526T S W P =-=-=，151350.8E T A S S S =-=.最后填写方差分析表。
因为2.15<3.05，接受H0，故四种灯泡的使用寿命无显著差异。
第一种方法：用SPSS 软件操作 操作过程与结果如下： 操作步骤1、建立数据文件。
假设在SPSS环境下建立数据文件，该文件中定义两个数值型变量：一个变量为寿命time，宽度按默认值设置；另一个是属性变量kind，宽度为3，无小数位，它表示四批灯丝的类别，例如用1表示甲、2表示乙、3表示丙、4表示丁。
其部分数据见图3—1所示。
方差分析-案例
问： （1）该资料采用的是何种统计分析方法？ （2）使用的统计分析方法是否正确？若不正确，可以采 用何种正确的统计分析方法？ （3）采用该统计分析方法应满足什么条件？该资料是否 满足？若不满足，应用什么方法？
案例2 下表为某研究者比较四组Wistar大鼠经大气混合污染 物染毒后血中WBC总数（×109）的结果。该分析是否正确？ 为什么？若不正确，可以采用何种统计分析方法？ 4组大鼠染毒后血中WBC总数比较
组别 低剂量组 中剂量组 高剂量组 对照组 n 24 24 24 24 x—±s 4.27±3.13 6.81±13.71 5.74±4.28 3.20±1.64 t -1.45 -1.28 -2.71 P >0.05 >0.05 <0.05
案例3 利舍平具有使小鼠脑中去甲肾上腺素（NE）等递质下降的作用，为 考察某种新药MWC是否具有对抗利舍平降递质的作用，某研究者将24只 小鼠随机等分为4组，给予不同处理后，测定其脑中NE的含量，结果如下 表。经完全随机设计的方差分析得F=59.306，P=0.000，差异具有统计学 意义，可以认为不同处理组NE的含量不同。结合下表得出结论，即新药 MWC具有对抗利舍平使递质下降的作用 蒸馏水组 630 760 687 676 892 523 小鼠经不同处理后脑中NE的含量 利舍平组 MWC组 181 103 138 141 197 193 715 663 638 887 625 648 利舍平+MWC组 407 397 378 363 438 412
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
该研究属于何种设计方案？统计方法是否正确？为什么？若不正确， 应该用何种方法？
案例1 《脑积液磷酸己糖检测用于脑膜炎诊断的探讨》一文 为比较三组患儿CST中PHI值是否不同，数据及分析结果见 下表。 三组患儿CST中PHI值的比较
方差分析举例范文
方差分析举例范文方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种用于比较两个或以上样本均值是否存在显著差异的统计方法。
它通过分析变量的方差来推断不同处理条件（或不同组）之间的均值是否差异显著。
下面将给出三个不同领域的方差分析举例。
1.生物学实验：假设我们对一种新药的有效性进行测试，研究对象分为三组，分别服用不同剂量的药物A、B、C。
我们想要知道不同剂量的药物是否对指标变量（例如疼痛程度）产生显著影响。
我们将随机选取若干个人，将他们分配到三组中，并测量他们的疼痛程度。
在完成实验后，我们可以使用方差分析来比较每个组的均值差异是否显著。
如果方差分析结果显示剂量组之间的差异是显著的，那么我们可以得出结论：不同剂量的药物会对疼痛程度产生显著影响。
2.教育研究：假设我们正在比较两种不同的教学方法对学生学习成绩的影响。
一个学校将两个班级随机分配到两个教学组，一组采用传统的讲授式教学方法，另一组采用互动式教学方法。
在教学实验结束后，我们可以通过方差分析来比较两组学生的平均成绩是否有显著差异。
如果方差分析结果显示两个组之间的差异是显著的，那么我们可以得出结论：互动式教学方法对学生成绩的影响较传统教学方法更好。
3.工程研究：假设我们正在评估两种不同材料的耐磨性能。
我们可以将两种材料随机分配到两个实验组，并通过对每个组进行多次磨损实验来测量其耐磨性能。
然后，我们可以使用方差分析来比较两组材料的平均耐磨性能是否有显著差异。
如果方差分析的结果表明两种材料之间的差异是显著的，那么我们可以得出结论：这两种材料的耐磨性能是不同的，其中一种材料更加耐磨。
总结：方差分析是一种用于比较多个组之间平均值差异的有力工具，它可以应用于各个领域。
在生物学实验中，方差分析可以用于比较不同处理条件对一些指标变量的影响；在教育研究中，方差分析可以用于比较不同教学方法对学生成绩的影响；在工程研究中，方差分析可以用于比较不同材料性能的差异。
方差分析回归分析
案例二：不同地区教育水平的方差分析
总结词
通过比较不同地区的教育水平，了解各 地区教育发展的差异，为政府制定教育 政策提供科学依据。
VS
详细描述
收集不同地区的教育水平数据，包括学校 数量、教师质量、学生成绩等。利用方差 分析方法，分析各地区教育水平是否存在 显著差异，并探究影响教育水平的因素。 根据分析结果，提出针对性的教育政策建 议，促进教育公平和发展。
应用范围
方差分析主要应用于实验设计、质量控制等领域，而回归 分析则广泛应用于预测、建模和决策等领域。
04
方差分析的实际应用案例
案例一：不同品牌电视销量的方差分析
总结词
通过对比不同品牌电视的销量，分析品牌、型号、价格等因素对销量的影响，有助于企业了解市场需 求和竞争态势。
详细描述
选取市场上不同品牌、型号、价格的电视，收集其销量数据。利用方差分析方法，分析各品牌电视销 量是否存在显著差异，并进一步探究价格、功能等变量对销量的影响。根据分析结果，为企业制定营 销策略提供依据。
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回归分析的实际应用案例
案例一：预测股票价格与成交量的回归分析
总结词
股票价格与成交量之间存在一定的相 关性，通过回归分析可以预测股票价 格的走势。
详细描述
通过收集历史股票数据，分析股票价 格与成交量之间的相关性，建立回归 模型。利用该模型，可以预测未来股 票价格的走势，为投资者提供决策依 据。
详细描述
方差分析在许多领域都有广泛的应用，如心理学、社会科学、生物统计学和经济学等。它可以用于比较不同组数 据的均值差异，探索因子对因变量的影响，以及处理分类变量和连续变量的关系。通过方差分析，研究者可以更 好地理解数据结构和关系，为进一步的数据分析和解释提供依据。
方差分析实例详解
方差分析计算实例一、单因素方差分析二、双因素方差分析一、单因素方差分析（一）完全随机试验设计1、重复数相同（1）实例：不同浇水量对某蔬菜产量的影响试验，设置5个浇水量A、B、C、D、E；每个浇水量设置四个小区，小区采用完全随机试验设计；各小区产量见下表（单位：kg）（2）基本参数计算处理数k=5，重复数n=4220.0250.9750.485,11.143χχ==（3）方差同质性检验2220.0250.975,c χχχ≤≤五个处理的方差无显著差异平方和计算：（4）方差分析自由度计算：方差分析表：22222222/()/()(45.2869.5288.55108.48130.12)/4441.95/(45)1089.89t i ij SS T n x nk =−=++++−⨯=∑∑1107.051089.8917.16e T t SS SS SS =−=−=222222()/()16.6115.9531.11441.95/(45)1107.05T ijij SS x x nk =−=+++−⨯=∑∑1514t df k =−=−=(1)5(41)15e df k n =−=−=145119T df nk =−=⨯−=变异来源平方和自由度均方F 值F 0.05处理间1089.894272.47238.213.056误差17.1615 1.14总变异1107.0519F 值大于F 0.05，五个处理蔬菜产量平均值差异显著。
将五个处理小区产量平均值从大到小排列，采用字母标记法表示各均值间差异是否显著，均值间的差值大于LSD ，差异显著，标记不同的字母；均值间的差值小于LSD ，差异不显著，标记相同的字母。
标记字母时，第一个值标a ，用最大值减第二个值，差值若大于LSD 则标b ，差值若小于LSD 则标a ，再以最大值减第三个值，直到出现大于LSD 值，标记b ，再以该值为标准向上比较，若差值大于LSD 就停止比较，若小于LSD 值则在a 后面加上b ，直至出现差值大于LSD 就停止比较；再以最上面标记b 的均值为标准在向下比较；直到所有的平均值都标记字母。
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方差分析方法
方差分析是统计分析方法中，最重要、最常用的方法之一。
本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。
在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。
1. 方差分析的意义、用途及适用条件
1.1 方差分析的意义
方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部分，再作分析。
即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部分，其自由度也分为相应的部分，每部分表示一定的意义，其中至少有一个部分表示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS组间）；另一部分表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。
SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。
如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性差异。
方差分析在环境科学研究中，常用于分析试验数据和监测数据。
在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果产生不同程度的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的程度和性质。
1.2 方差分析的用途
1.2.1 两个或多个样本均数的比较。
1.2.2 分离各有关因素，分别估计其对变异的影响。
1.2.3 分析两因素或多因素的交叉作用。
1.2.4 方差齐性检验。
1.3 方差分析的适用条件
1.3.1 各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）。
1.3.2 各抽样总体的方差齐。
1.3.3 影响数据的各个因素的效应是可以相加的。
1.3.4 对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。
一般属Poisson分布的计数资料常用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。
2. 单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较）
根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数。
用方差分析比较多个样本均数的目的是推断各种处理的效果有无显著性差异，如各组方差齐，则用F检验；如方差不齐，用近似F值检验，或经变量变换后达到方差齐，再用变换值作F检验。
如经F检验或近似F值检验，结论为各总体均数不等，则只能认为各总体均数之间总的来说有差异，但不能认为任何两总体均数之间都有差异，或某两总体均数之间有差异。
必要时应作均数之间的两两比较，以判断究竟是哪几对总体均数之间存在差异。
在环境科学研究中，常常要分析比较不同季节对江、河、湖水中某种污染物的含量
有无显著性影响；各种气象条件如风向、风速、温度对大气中某种污染物含量的影响等问题。
我们把季节、风向、风速、温度等称为因素。
仅按不同季节，或不同的风向，或不同的温度来分组，称为单因素。
例1 某年度某湖不同季节湖水中氯化物含量（mg/L）测定结果如表—6.1所示。
试比较不同季节湖水中氯化物含量有无显著性差异。
从表—1的测定结果可见有三种变异：
1. 组内变异：每个季节内部的各次测定结果不尽相同，但显然不是季节的影响，而只是由于误差（如个体差异、随机测量误差等）所致。
2. 组间变异：各个季节的均数也不相同，说明季节对湖水中氯化物的含量可能有一定的影响，也包括误差的作用。
3.总变异：32次测定结果都不尽相同，既可能受季节的影响，也包括误差的作用。
不同季节湖水中氯化物含量的均数之间的变异究竟是由于误差所致，还是由于不同季节的影响，可以用方差分析来解决此问题。
方差分析可表示：
⑴从总变异中分出组间变异和组内变异，并用数量表示变异的程度。
⑵将组间变异和组内变异进行比较，如二者相差甚微，说明季节影响不大；如二者相差较大，组间变异比组内变异大得多，说明季节影响不容忽视。
以下是三种变异的计算方法：
3.1 多个方差的齐性检验
已知多个样本（理论上均来自正态总体）方差，可以据此推断它们所分别代表的总体方差是否相等，即多个方差的齐性检验。
其常用于：
⑴说明多组变量值的变异度有无差异。
⑵方差齐性检验。
以例1为例（各组样本含量相等），如表—4所示。
3.确定P值：根据υ=4—1=3，查附表—12得P<0.005。
4.判断结果：由于P<0.005，因此，四组方差不齐。
3.2 近似F值检验（F'检验）
以例2为例，如表—6所示。
公式26最常用，公式27适用于原数据中有小值和零时。
K为常数，可以根据需要选用合适的数值。
⑵对数变换的用途：
①当几个样本均数作比较时，如样本方差不齐，尤其是当标准差与均数之比的比值接近时，必须经对数变换以缩小各方差之间的差别，达到方差齐后才能进行t检验或方差分析。
②适用于呈对数正态分布的资料。
③在曲线拟合中，对数变换常常是直线化的重要手段，如指数曲线、双曲线、logistic 曲线的直线化等。
例3 欲用t检验比较某河丰水期和枯水期的河水BOD5（mg/L）含量均数，资料如表—7所示。
此数据能否直接用t检验方法？如不能，试作变量变换。
二者比较接近，可以试用对数变换。
⑶将X作“lgX +1”变换后，再作方差齐性检验，得F=1.72，P>0.05，两组方差齐，可以用变换值作两样本均数比较的t检验。
2.平方根变换
以原数据的平方根作为统计分析的变量值，称为平方根变换。
⑴平方根变换的形式：
⑶百分数的概率单位变换：主要用于S形或反S形曲线的直线化、正态性检验，尤其适用于剂量反应曲线的直线化。
⑷百分数的logit变换：主要用于S形或反S形曲线的直线化。
⑸反双曲正切变换：用于两直线相关系数的比较与合并。
4. 两因素方差分析（双因素多个样本均数的比较）
将试验对象按性质相同或相近者组成配伍组，每个配伍组有三个或三个以上试验对象，然后随机分配到各个处理组。
这样，分析数据时将同时考虑两个因素的影响，试验效率较高。
例5 某市为了研究一日中不同时点以及不同区域大气中氮氧化物含量的变化情况，该市环保所于某年1月15～19日，在市区选择了7个采样点，对大气中氮氧化物的含量进行测定。
表—9为各个采样点每个时点五天的平均含量，试分析不同时点、不同区域氮氧化物含量之间有无显著性差异。
5. 多因素方差分析（多因素多个样本均数的比较）
在环境科学研究中，所研究的事物或现象往往是比较复杂的多因素问题，而各种因素本身尚有程度的差别，其间往往又存在交互作用。
当研究的因素在三个或三个以上时，可以用正交试验法。
正交试验是一种高效、快速的多因素试验方法。
正交试验的设计与分析见另外章节。
“多因素多个样本均数的比较”不仅可以用于正交试验，也可以用于拉丁方试验分析与析因试验分析等。
6．多个样本均数间的两两比较（多重比较）
经方差分析后，如果各总体均数有显著性差异时，常需进一步确定哪两个总体均数间有显著性差异，哪两个之间无显著性差异。
因此，可以利用方差分析提供的信息作样本均数间的两两比较。
以例5为例：（每组样本含量相等）经方差分析后，认为不同时点以及不同区域的氮氧化物含量之间均有高度显著性差异。
现在需要进一步检验不同时点的氮氧化物含量均数两两之间有无显著性差异。
检验步骤如下：
1.检验假设：各时点的氮氧化物含量均数之间两两相等。
⑷q值的计算方法与上例相同。
3.确定P值与判断结果如表—13所示。