完整的单因素方差分析实例
SPSS中的单因素方差分析(One-Way Anova)
SPSS统计分析软件应用一、SPSS中的单因素方差分析(One-Way Anova) （一）基本原理单因素方差分析也即一维方差分析，是检验由单一因素影响的多组样本某因变量的均值是否有显著差异的问题，如各组之间有显著差异，说明这个因素（分类变量）对因变量是有显著影响的，因素的不同水平会影响到因变量的取值。
（二）实验工具SPSS for Windows（三）试验方法例：某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝（filament），生产了四批灯泡。
在每批灯泡中随机地抽取若干个灯泡测其使用寿命（单位：小时hours），数据列于下表，现在想知道，对于这四种灯丝生产的灯泡，其使用寿命有无显著差异。
（四）不使用选择项操作步骤（1）在数据窗建立数据文件，定义两个变量并输入数据，这两个变量是：filament变量，数值型，取值1、2、3、4分别代表甲、乙、丙、丁，格式为F1.0，标签为“灯丝”。
Hours变量，数值型，其值为灯泡的使用寿命，单位是小时，格式为F4.0，标签为“灯泡使用寿命”。
（2）按Analyze，然后Compared Means，然后One-Way Anova 的顺序单击，打开“单因素方差分析”主对话框。
（3）从左边源变量框中选取变量hours，然后按向右箭头，所选去的变量hours即进入Dependent List框中。
（4）从左边源变量框中选取变量filament，然后按向右箭头，所选取的变量folament即进入Factor框中。
（5）在主对话框中，单击“OK”提交进行。
（五）输出结果及分析灯泡使用寿命的单因素方差分析结果该表各部分说明如下：第一列：方差来源，Between Groups是组间变差，Within Groups 是组内变差，Total是总变差。
第二列：离差平方和，组间离差平方和为39776.46，组内离差平方和为178088.9，总离差平方和为217865.4，是组间离差平方和与组内离差平方和相加而得。
单因素方差分析完整实例
什么是单因素方差分析单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。
单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。
单因素方差分析相关概念•因素：影响研究对象的某一指标、变量。
•水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。
•单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。
单因素方差分析示例[1]例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。
下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。
现需要在显著性水平a = 0.0!下检验这些百分比的均值有无显著的差异。
设各总体服从正态在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。
假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。
这就是单因素试验。
试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。
即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。
这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题单因素方差分析的基本理论⑴备择假设Hi,然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。
本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。
2厂…j $）下进行了nj = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。
这些结果是一个随机变量。
表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为山、》2、…r »则按题意需检验假设页：旳=“2 =…=川尸1 : \J “5不全相等为了便于讨论，现在引入总平均卩[Ho :屍="2 =…=毎=qI 闻:力屆…：吗不全为零因此，单因素方差分析的任务就是检验s个总体的均值®是否相等，也就等价于检验各水平Aj的效应6是否都等于零。
样本产恥…佔吁/来自正态总体N （虬2）, 9与02未知，且设不同水平Aj 下的样本 之间相互独立，则单因素方差分析所需的检验统计量可以从总平方和的分解导出来。
第一节单因素方差分析演示文档
5.1.2 单因素方差分析的数学模型
进行单因素方差分析时，需要得到如表1所示 的数据结构．
▪
表1 单因素方差分析中数据结构
观测值（j） A1
1
x11
2
x12
… ni 平均值
…
x1n1 x1.
A因素（i）
A2 x21 x22 …
x 2n2 x 2.
… … … … …
Am xm1 xm2 …
x mn m xm.
(3) 在打开的“方差分析：单因素方差分析”对话框中， 输入“输入区域”：B2:D8，“分组方式”取默认的 “列”方式，选中“标志位于第一行”复选框，如图2 所示，单击“确定”按钮．
表中用A表示因素，A的m个取值称为m个水平分别用 A1，A2，…，Am表示，每个水平对应一个总体．
从不同水平（总体）中抽出的样本容量可以相同，也
可以不同．若不同水平抽出的样本容量相同则称为均衡 数据，否则称非均衡数据．
设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …，ni， i =
由于在实际中有充分的理由认为粮食产量服从正态 分布, 且在安排试验时, 除所关心的因素(这里是化肥)外, 其它试验条件总是尽可能做到一致.
这使我们可以认为每个总体的方差相同
即 Xi～N(i,σ2) i = 1, 2, 3
因此，推断三个总体是否具有相同分布的问题就简 化为：检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相等 的问题，即只需检验
(2) 把同一化肥(A的同一水平)得到的粮食产量看作同 一总体抽得的样本，施用不同化肥得到的粮食产量视为 不同总体下抽得的样本，表中数据应看成从三个总体X1， X2，X3中分别抽了容量为6的样本的观测值.
推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异的问题， 就是要辨别粮食产量之间的差异主要是由随机误差造成 的，还是由不同化肥造成的，这一问题可归结为三个总 体是否有相同分布的讨论．
生物统计第三节单因素试验资料的方差分析
C T / N 460.5 / 25 8482.41
2
2
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退 出
SST x C
2
ij
(21.5 2 19.5 2 17.0 2 16.0 2 ) 8482 . 41
8567 . 75 8482 . 41
Байду номын сангаас85.34
MSE
P
⑥ 列出方差分析表
df
3、确定P值、下结论
•从上表得F=14.32，查附表5（方差分析界值表，
单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。
因F0.01，2，27= 5.49；故P<0.01，按α=0.05水准
拒绝H0，接受HA，可认为三个不同时期切痂对
ATP含量的影响有统计显著性差异。
方差分析的结果只能总的来说多组间是否
S，即
x
得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
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退 出
表6-15 SSR值及LSR值
dfe
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退 出
将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显
著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数
极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品
③ 计算总的变异及总的自由度
SST x C
2
ij
dfT kn 1 N 1
④ 计算组间变异及相应的自由度
SSB Ti 2 / ni C
df b k 1
⑤ 计算组内变异及相应的自由度
SSE SST SSB
df e dfT df b
N k
单因素方差分析例题
SPSS单因素方差分析例题在消费者市场，消费者和生产者之间常因商品质量或者服务质量发生纠纷。
消费者在发生纠纷而无法解决时，便会选择消费者协会进行投诉。
为了评价不同行业的服务质量，消费者协会分别在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业抽取了不同的企业作为样本，其中零售业7家，旅游业6家，航空公司5家，家电制造业5家，然后统计出近期消费者对这23家企业的投诉次数，如下表所示：表1 消费者对4个行业的投诉次数观测值行业零售业旅游业航空公司家电制造业1 57 68 31 442 66 39 49 513 49 29 21 654 40 45 34 775 34 56 40 586 53 517 44针对上表给出的数据进行单因素方差分析，并利用LSD（最小显著差异检验）和Bonferroni（修正的最小显著差异检验）方法，检验各行业间均值是否存在显著性差异；同时，选择线性多项式比较各均值，共指定两组多项式系数，检验行业对投诉次数的效应，多项式系数由下列公式给出：● 1.0*mean1－1.0*mean2＋1.0*mean3－1.0*mean4 检验零售业和航空公司的投诉之和与旅游业和家电业的投诉之和是否有显著差异。
● 1.0*mean1＋1.0*mean2－1.0*mean3－1.0*mean4 检验零售业和旅游业的投诉之和与航空公司和家电业的投诉之和是否有显著差异。
基本操作提示：Step 1：建立数据文件，其中值1、2、3、4分别代表零售业、旅游业、航空公司、家电业这4个不同行业。
打开数据文件。
Step 2：Analyz e→Compare mean s→One-Way ANOV A。
变量“投诉次数”指定为“Dependent List”(样本观测值)，“行业”指定为“Factor”(因素)。
Step 3：单击“Option”按钮，依次选择“Descriptive”(描述性统计量)、“Homogeneity of variance test”(方差齐性检验)、“Meanplot”(均值连线图)选项，单击“Continue”，返回主对话框。
方差分析第2部分单因素试验资料的方差分
(一)两因素单独观测值试验资料的方差分析 对于A、B两个试验因素的全部ab个水 平组合，每个水平组合只有一个观测值， 全
试验共有ab个观测值，其数据模式如表620所示。
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表6-20 两因素单独观测值试验数据模式
表6-20中
x i.
x
j 1
bБайду номын сангаас
ij
, x. j x..
Cx /N
2 ..
SST x C
2 ij
dfT N 1
df t k 1 df e dfT df t
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SSt xi2 . / ni C
SSe SST SSt
【例6.4】 5个不同品种猪的育肥试验，后期30天增 重(kg)如下表所示。试比较品种间增重有无差异。
这是一个单因素试验，k=5，n=5。
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1、计算各项平方和与自由度
C
2 SST xij C (82 132 142 132 ) 2809.00
2 x..
/ kn 265 /(5 5) 2809 .00
2
2945.00 2809.00 136.00 1 1 2 2 SSt xi. C (51 412 60 2 482 652 ) 2809.00 n 5 2882.20 2809.00 73.20
系统分组方差分析两种,现分别介绍如下。
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一、交叉分组资料的方差分析
设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水
平，B因素分b个水平 。 所谓交叉分组是指A因
单因素试验的方差分析
实验二 单因素试验的方差分析
实验目的：1．掌握单因素实验方差分析的方法与步骤；
2．正确分析输出结果中的各参数，并得出正确结论。
实验内容：
采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成β—萘酚，测定所得产品的
熔点如表1所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点？
表2.1 不同产地原料萘合成β—萘酚的熔点℃
操作步骤：
1.excel 的工作表中输入如表1.1所示的的样本数据， 2．点击“工具—数据分析—方差分析：单因素方差分析”，在弹出对话框的输入区域，拖动鼠标选择样本值A2:D5；分组方式，选择列；显著性水平α设置为0.1，如图
2.1所示。
图2.1 应用excel “数据分析”功能求单因素方差分析的有关参数
3．点击确定，输出参数的窗口如图2.2所示。
图2.2 应用excel“数据分析”功能求单因素方差分析的有关参数
结果分析：
（1）SUMMARY给出的是该因子各水平的扼要分析结果，包括各样本的容量、数据、样本均值和样本方差。
（2）在输出的方差分析表中，组间即“产地因子”；组内即指“误差”；SS 为平方和；df 是自由度；P-value 为P 值，即所达到的临界显著水平；F crit 是Fα（t-1，N-t）的值。
由于P
值为0.231767>0.1，所以萘的产地对萘酚熔点无显著影响。
关于ANOVA分析例题
Single（7）单因素单向分组方差分析例1、北京农业大学从南斯拉夫引进15个T型恢复材料，为了研究其应用价值，以农大139为对照，进行了个农艺性状表现的观察。
其中6个恢复材料和农大139各5个单株抽穗期观察结果如表1：表1 引进恢复系抽穗期观察资料恢复系单株抽穗期1 2 3 4 5PI277016 11 11 10 12 11Lot-1 13 13 12 14 14Texas 12 12 13 12 12 zgR2806-78 13 12 12 13 13zgR2268-78 18 19 18 18 19vk-64-28 19 18 20 19 19农大139 10 11 10 11 10 例2、5个玉米品种的盆栽试验，调查了穗长（cm）性状，得资料如下表2，试检验品种穗长间有无差异。
（各处理的重复数不等）表2 5个玉米品种的穗长品种穗长（cm）重复数B121.5 19.5 20 22 18 20 6B216 18.5 17 15.5 20 16 6B319 17.5 20 18 17 5B421 18.5 19 20 4B515.5 18 17 16 4例3、表3为同一公猪配种的3头母猪所产的各头仔猪的断奶时体重（斤），试分析母猪对仔猪体重效应的差异显著性。
（每组样本容量不等）表3 三头母猪的仔猪断奶时体重母猪别n i观察值No.1 8 24 22.5 24 20 22 23 22 22.5No.2 7 19 19.5 20 23.5 19 21 16.5No.3 9 16 16 15.5 20.5 14 17.5 14.5 15.5 19单因素双向分组方差分析小区内没有重复观察值例4、5个水稻品种的产量比较试验，随机区组设计，4次重复，获得每个小区产量（Kg）资料如表4所示：试分析这5个水稻品种间产量水平有无显著差异。
表4 水稻5个品种的每区产量（Kg）品种区组（重复）ⅠⅡⅢⅣ农林130 61 57 55 56西海67 53 52 50 51十石52 58 55 57农林87 58 56 53 53农林18 53 51 54 55 例5、将一种生长激素配成M1、M2、M3、M4、M5五种浓度，并用H1、H2、H3、三种时间浸渍某大豆品种的种子，45天后得各处理每一植株的平均干物重（g）于下表5，试作方差分析。
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接种后存活日数 4 10 7 7 7 9 7 12 5 2 6 10 5 6 6 3 10 4
单因素方差分析例题：
(1)正态性检验 重排顺序统计量(由小到大)
顺序统计量 A1 A2 A3 2 5 3 2 5 5 2 6 6 3 6 6 4 6 6 4 7 7 4 8 7 5 10 9 7 12 10 10 11 7
0.01 时，ds12 3.44
0.05时，ds12 2.69
单因素方差分析例题：
d12 1 2 4 7.22 3.22 d13 1 3 4 7.27 3.27 d 23 2 3 7.22 7.27 0.05 显然d12与d13大于2.69小于3.44 A1 A2之间和A1 A3之间均有不大的差异， 2 A3之间无明显差异 A
2 r
其中：Si
*2
1 ni ( ij i ) 2 ni 1 j 1
1 ni i ij ni j 1
理论准备方差齐性检验：
记： Q (n r ) ln S r (ni 1) ln S
2 i 1 r *2 i
1 r 1 1 h 1 n 1 n r 3(r 1) i 1 i 构造Bartlett统计量： Q B 2.3026 h B近似服从于 2 (r 1)
5.69 S
*2 3
6.02
2 1 r S (ni 1)Si* 5.36 n r i 1
Q (n r ) ln S r (ni 1) ln S
2 i 1
r
*2 i
0.03
单因素方差分析例题：
1 r 1 1 h 1 n 1 n r 1.05 3(r 1) i 1 i 0.03 2 b 2.3026 0.065 0.95 (2) 5.99 1.05 故接受H 0， 2 3
理论准备方差齐性检验：
根据抽样数据，得到 的观测值b。 B 于是有： 若b 12 (r 1)，则拒绝H 0，认为r个正态总体的方差不全 相等。 若b 12 (r 1)，则接受H 0，认为r个正态总体的方差都相 等。
单因素方差分析例题：
菌型 A1 A2 A3 2 5 7 4 6 11 3 8 6 2 5 6
2 1 2 2
单因素方差分析例题：
方差分析表
方差来源 因素 A 误差 e 总和
平方和 S
自由度 f
均方和 S
F值
70.4293 137.7374 208.1667
2 27 29
35.2147 5.1014
6.903
显著性 显著
单因素方差分析例题：
(4)多重比较：可以参考商务p648的追踪分析
n1 10 n2 9 n3 11 Se 1 1 ds12 ( )(r 1) F1 (r 1, n r ) n r n1 n2 137.7374 1 1 ( ) 2 F1 (2,27) ds23 ds13 27 10 9
W2
L2 2 ( x1i x1 ) 2
i 1 2 L1
W1
( x1i x1 ) 2
i 1
10
单因素方差分析例题：
(2)方差齐性检验
检验假设H 0： 1 2 3
2 2 2
r 3
n 10 9 11 30
S
*2 1 2 r
3.56 S
*2 2
单因素方差分析例题：
计算L
1 2 3 4 5 L1 1 2 3 4 L2 1 2 3 4 5 L3 2 2 2 3 4 5 5 6 6 3 5 6 6 6 7 7 5 4 4 12 10 8 7 11 10 10 9 7 0.574 0.329 0.214 0.122 0.04 0.589 0.324 0.198 0.095 0.56 0.332 0.226 0.143 0.07 2.8695 1.6455 0.6423 0.1224 0 5.2797 4.1216 1.622 0.3952 0.0947 6.2335 4.4808 1.6575 0.904 0.4287 0.0695 7.5405
完整的单因素方差分析实例
Step1 正态性检验 Step2 方差齐性检验 Step3 方差检验（方差分析表） Step4 追踪分析：多重比较 Step5 区间估计
理论准备方差齐性检验：
方差齐性的检验： 检验假设H 0： 2 r
2 1 2 2
1 r *2 记S (ni 1)Si n r i 1
单因素方差分析Leabharlann 题：(5)区间估计：1 r ni ij 6.167 n i 1 j 1
1 4 2 7.22 1 7.27
2
Se 137.7374 5.1014 nr 27
单因素方差分析例题：
则 k l的95%区间估计分别为： 1 1 ( 1 2： 4 7.22) t1 0.025 (27) 5.1014 (5.35,1.09) 10 9 (4 7.27) t1 0.025 (27) 5.1014 1 1 (5.25,1.29) 1 3： 10 12 1 1 ( 2 3： 7.22 7.27) t1 0.025 (27) 5.1014 (2.09,1.99) 9 12
单因素方差分析例题：
( x1i x1 ) 32
2 i 1 10
( x2i x2 ) 45.56
2 i 1
9
( x3i x3 ) 2 60.18
i 1
11
W1
2 L1
(x
i 1 9
10
1i
x1 ) 2
5.27972 0.871 W (10) 0.842 32 6.23352 0.852 W (9) 0.8293 45.56 7.54052 0.945 W (11) 0.850 60.18