广东省茂名市2020届高三第二次综合测试数学(文科)试题与答案
【解析版】广东省茂名市高三第二次模拟数学文科试卷
绝密★启用前 试卷类型：A 茂名市第二次高考模拟考试 数学试卷（文科） .4【试卷综述】本试卷注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的意图和宗旨。
注重基础知识的考查。
注重能力考查，要注重综合性，又兼顾到全面，更注意突出重点．试题减少了运算量、加大了思维量，降低了试题的入口难度，突出对归纳和探究能力的考查。
【题文】第一部分 选择题（共50分）【题文】一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【题文】1、已知集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则A B 等于( )A ．{}2-B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}1,1,2-【知识点】交集的运算A1【答案】【解析】C 解析：因为集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则AB ={}1,2,故选C.【思路点拨】直接利用交集的定义即可.【题文】2、复数311(i i -为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-- 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义．L4【答案】【解析】B 解析：因为复数1﹣=1+=1﹣i ，在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1）． 故选B ．【思路点拨】通过复数i 的幂运算，化简复数为a+bi 的形式，即可判断复数在复平面上对应的点的坐标．【题文】3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，63=S ，则10a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．10D ．55【知识点】等差数列的性质;等差数列的通项公式D2 【答案】【解析】C 解析：因为3236S a ,所以22a ,则321da a ,所以103710a a d ,故选C.【思路点拨】先由3236S a 解得d,再利用等差数列的通项公式即可.【题文】4、已知向量(2,1)=a ，(,2)x =-b ，若//a b ，则+a b 等于（ ） A. （-2，-1） B. （2，1） C. （3，-1） D. （-3，1） 【知识点】向量的运算;向量共线的充要条件F2【答案】【解析】A 解析：因为//a b ,则1220x ,解得4x ,所以2,1a b,故选A.【思路点拨】先利用向量共线的充要条件解得4x,再利用向量的加法进行运算即可.【题文】5、若,x y 满足不等式1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩, 则2x y +的最小值为( )A. 0B. 4-C.4D. 3 【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】B 解析：由约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，令z=2x y +，化为y=﹣2x+z ，由图可知，当直线y=﹣2x+z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．联立，解得：A （﹣1，﹣2），∴z 的最小值等于2×（﹣1）﹣2=﹣4．故选：B ．【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【题文】6、命题“2000,220x R x x ∃∈++≤” 的否定是( )A.2,220x R x x ∀∈++> B.2,220x R x x ∀∈++≥ C. 2000,220x R x x ∃∈++< D. 2000,220x R x x ∃∈++>【知识点】特称命题;命题的否定A2【答案】【解析】A 解析：根据特称命题的否定，既否定量词，也否定结论的原则可得 命题“2000,220x R x x ∃∈++≤”的否定是命题是“2,220x R x x ∀∈++>”故选A. 【思路点拨】特称命题的否定，既否定量词，也否定结论，故否定后的量词为∀，结论为2220x x .【题文】7、已知平面α⊥平面β，=l αβ，点,A A l α∈∉，作直线AC l ⊥，现给出下列四个判断：（1）AC 与l 相交， （2）AC α⊥， （3）AC β⊥， （4）//AC β. 则可能成立的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 【答案】【解析】D 解析：如图在直线l 上取点C ，连接AC ，则AC 与l 相交；（1）成立；A 在平面α内，所以过A 可以做一条直线AC 与α垂直；此时AC ∥β，故（2）（4）正确；过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，因为Aα与β相交l ，所以AC ⊥β；故（3）成立；故选：D ． 【思路点拨】根据面面垂直的性质定理，由A 点不动，C 点位置变化，可以对四个判断进行分析解答．【题文】8、如图所示,程序框图的输出结果是1112s =，那么判断框中应填入的关于n 的判断条件是( )A ．8?n ≤B ．8?n <C ．10?n ≤D ．10?n <【知识点】程序框图．L1【答案】【解析】B 解析：模拟执行程序框图，可得s=0，n=2 满足条件，s=，n=4;满足条件，s=，n=6;满足条件，s=+=，n=8由题意可得，此时应该满足条件，退出循环，输出s 的值为．结合选项，判断框中应填入的关于n 的判断条件是：n ＜8？故选：B ．【思路点拨】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i 的关系．最终得出选项.【题文】9、已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点,A B 是两曲线的交点，O 为坐标原点，若()0OA OB AF +⋅=，则双曲线的实轴长为( )A 22B ．12-C ．122-D ．222-【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案】【解析】D 解析： 抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有相同的焦点F ，F ∴点的坐标为（1，0）， 0)(=•+AF OB OA ，∴AF ⊥x 轴.设A 点在第一象限，则A 点坐标为（1，2）设左焦点为'F ，则'FF =2,由勾股定理得'AF 22=，由双曲线的定义可知2222'-=-=AF AF a .故选D.【思路点拨】求出抛物线的焦点（1，0），即有双曲线的两个焦点，运用向量的数量积的定义可得A 点坐标，再由双曲线的定义可得结论。
2020年广东茂名高三第二次综合测试-数学(文)
2020年广东省茂名市高三第二次综合测试文科数学 2020.5一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={2, 3, 5}，B ={2, 5}，则( )A. A ⊂BB. ∁U B ={1, 3, 4}C. A ∪B ={2, 5}D. A ∩B ={3} 2．若，则复数的虚部为( )A.2B.1C.D.−13．已知函数f (x )在点(1, f (1))处的切线方程为x +2y −2=0，则f (1)+f ′(1) =( )A ．B ． 1C ．D ．04．函数的图象如图所示，则的值为( )A ．B ．1C ．D ．5．下列命题错误的是( )A ．“x ＝2”是“x 2−4x +4＝0”的充要条件B ．命题“若，则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为真命题C ．在△ABC 中，若“A ＞B ”，则“sin A ＞sin B ”D ．若等比数列{a n }公比为q ，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的充要条件 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉 为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。
河图的排列结构如图 所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与 九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为：( )A. B.C.D.7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图.当输入m =2020，n =303时，则输出的m 是( )()i 2i,,R x i y x y -=+∈i x y +i 3212()=sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ+>><()3f π122314m ≥-15625725825xO y26π23π–2第4题图第6题图A. 2B. 6C. 101D. 2028．已知双曲线(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，其一条渐近线被圆(x −m )2+y 2=4(m ＞0)截得的线段长 为2，则实数m 的值为( )A ．B ．C ．2D ．1 9．已知函数是定义在R 上的偶函数，当时，．则使不等式成立的x 取值范围是( )A. B. C. D.10．函数在[−5, 5]的图形大致是( )11．已知三棱锥 中，且 平面P AB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A ． B ． C ． D ．12．已知函数，对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于任意的，都有成立；③有且仅有两个零点；④若y =e x 在点处的切线也是y =ln x 的切线，则x 0必是零点． 其中所有正确的结论序号是A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．②③二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置) 13．已知向量，，若，则 .14. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n （n ∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于 . （盈利额=总收入−总成本）15．在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，则平面A 1EC 截该正方体所得截面面积为： .22221y x a b-=32()f x 0x ≥()1()22xf x =+9(1)4f x -<(,1)(3,)-∞-+∞∪(1,3)-(0,2)(,0)(2,)-∞+∞∪()1+e ()cos 1e xxf x x =⋅-P ABC -2,3,5,4,3APB PA PB AC BC π∠=====16π28π24π32π+1()=e 1x x f x x --()f x ()f x 0a <()1f a >-()f x 00(,e )x x 0(1)x ≠()f x (4,2)a =-r(1,1)b =-r ()b a kb ⊥+rrrk =AO y5 −5 CO y 5 −5 x x BO y 5 −5 x DO y5 −5x否 结束输出m 是r ＞0? r =1开始 输入m , n 求m 除以n 的余数rm =n n =r 第7题图BC AB 1C 1 A 1D D 1E F第15题图16．过点作圆的切线，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB 方程为 ；椭圆的标准方程是 . （第一空2分，第二空3分）三、解答题：(共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分17．(分)在中，角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求；(2)若，求的面积．18．(分)某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A 、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品. 现把测量数据整理如下, 其中B 配方废品有6件.A 配方的频数分布表质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)频数8a36248(1)求a , b 的值；(2)试确定A 配方和B 配方哪一种好？ (说明：在统计方法中，同一组数据常用 该组区间的中点值作为代表)19．(分)如图1，在□ABCD 中，AD =4，AB =2，∠DAB =45°，E 为边AD 的中点，以BE为折痕将△ABE 折起，使点A 到达P 的位置, 得到图2几何体P −EBCD . (1)证明： ；(2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.()11,2P -221x y +=l 12ABC △A B C a b c 2B C =34b c =cos C 3c =ABC △12122PD BE ⊥B 配方的频频率分布直方图 75 85 95 105 115 125 质量指标值O0.0080.006 b 0.022 0.038 第18题图 D P20．(分)已知抛物线C : y 2=2px (p ＞0)与直线l : x +y +1=0相切于点A ，点B 与A 关于x 轴对称.(1)求抛物线C 的方程，及点B 的坐标；(2)设M 、N 是x 轴上两个不同的动点，且满足∠BMN =∠BNM ，直线BM 、BN 与抛物线C 的另一个交点分别为P 、Q ，试判断直线PQ 与直线l 的位置关系，并说明理由. 如果相交，求出的交点的坐标.21．(分)设函数.(1)讨论的单调性；(2)若，当m =1，且时，，求的取值范围.12122()(+)e x f x x m =()f x ()2e 1()x g x nx f x =---0x ≥()0g x ≤n(二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．[选修4−4：坐标系与参数方程] (10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C : (θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程，点M)在直线l 上，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求△OAB 的面积.23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +1|−|x −2|.(1)若f (x )≤1，求x 的取值范围；(2)若f (x )最大值为M ，且a +b +c =M ，求证：a 2+b 2+c 2≥3.绝密★启用前 卷类型：A,,x y θθ=⎧⎨=⎩cos()4a πρθ-=4π2020年茂名市高三级第二次综合测试文科数学参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．3 14. 4 15. 16. 2x −y −2=0(2分);(3分). 提示：三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分17. 解：(1)依题意，由正弦定理得：．·····································1分 ∵，∴， ·······················································2分 ∴， ······························································3分 ∴，，··················4分 ∴． ···············5分(2)解法一：由题意得：. ··················································6分 ∵，∴， ··········································7分∴， ···············································8分， ···············································9分∴.···········10分················································11分22154y x +=3sin 4sin B C =2B C =3sin24sin C C =3sin cos 2sin C C C =(0,)C π∈sin 0C ≠2cos 3C =3,4c b ==(0,)C π∈sin C =sin sin 22sin cos B C C C ===221cos cos2cos sin 9B C C C ==-=-sin sin()sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=--=+=+2139=-=∴. ·····································12分 解法二：由题意及(1)得：. ··································6分∵，∴， ···········································7分由余弦定理得：， ························8分即， 解得. ···············································9分若，又 则A =C ，又B =2C ，得△ABC 为直角三角形，而三边为的三角形不构成直角三角形，矛盾. ∴. ·················11分∴. ·······································12分18.解：(1)依题意，A 、B 配方样本容量相同，设为n ，又B 配方废品有6件.由B 配方的频频率分布直方图，得废品的频率为， ·················1分 解得n =100. ···················2分 ∴a =100−(8+36+24+8)=24. ···············3分 由(0.006+b +0.038+0.022+0.008)⨯10=1 ······························4分 解得b =0.026.因此a , b 的值分别为24, 0.026； ································5分 (2)由(1)及A 配方的频数分布表得，A 配方质量指标值的样本平均数为····7分质量指标值的样本方差为[(−20)2⨯8+(−10)2⨯24+0⨯36+102⨯24+202⨯8]=112.···8分 由B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为=80⨯0.06+90⨯0.26+100⨯0.38+110⨯0.22+120⨯0.08=100. ··············9分 质量指标值的样本方差为=(−20)2⨯0.06+(−10)2⨯0.26+0⨯0.38+102⨯0.22+202⨯0.08=104. ········10分综上，＞， ···································11分 即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定，所以选择B 配方比较好. ···········································································12分 (2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.19. 证明：（1）依题意，在△ABE 中（图1），AE =2，AB =2，∠EAB =45°，由余弦定理得 EB 2=AB 2+AE 2−2AB ·AE cos45°=8+4−2⨯2⨯2⨯=4，·······························································2分 ∴AB 2= AE 2+EB 2， ···········································································3分 即在□ABCD 中，EB ⊥AD . ····································································4分 以BE 为折痕将△ABE 折起，由翻折不变性得，在几何体P −EBCD 中，7514511sin 4322279ABC S bc A ==⨯⨯⨯=V 3,4c b ==2cos 3C =(0,)C π∈25sin 1cos 3C C =-=222=+2cos c a b ab C -229=+1683a a -⨯231621=0a a -+7=3=3a a 或=3a 3,c ==3,4,3abc ==7=3a 5145711sin 422339ABC S ab C ==⨯⨯⨯=V 60.00610n =⨯808902410036110241208=100A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20082002410036==100.100⨯+⨯+⨯21=100As B x 5221()Bi i i s x x p ==-∑A B x x =2A s 2B s 2222E B CA D ⇒第19题图1PEBCD第19题图2EB ⊥PE ，EB ⊥ED . 又ED ∩PE =E ，∴BE ⊥平面PED ， ···························5分 又BE ⊂平面PEB ，∴； ·······················································6分 (2)∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴ BC ⊥PE . ····································7分 由(1)得 EB ⊥PE ，同理可得PE ⊥平面BCE ，·············································8分 即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P −CBD 的高. ········································9分 又∠DCB =∠DAB =45°，BC =AD =4，CD =AB =2，PE =AE =2，∴S △CBD =⨯BC ⨯CD ⨯sin45°=⨯4⨯2⨯=4. ·································10分 V C −PBD =V P −CBD =S △BCD ⨯PE =⨯4⨯2=.因此，三棱锥C −PBD 的体积为.··························································12分（写出V C −PBD =V P −CBD 得1分，结果正确并作答得1分）20.解： (1)联立·········································1分 消去x 得y 2+2py +2p =0，···········································2分∵直线与抛物线相切，∴△=4p 2−8p =0， 又p ＞0，解得p =2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．·········3分 由y 2+4y +4=0，得y =−2，∴切点为A (1, −2)，∵点B 与A 关于x 轴对称，点B 的坐标B (1, 2). ···········4分(2)直线PQ ∥l . ····························5分 理由如下：依题意直线BM 的斜率不为0, 设M (t , 0)(t ≠1), 直线BM 的方程为x =my +t , ·····6分由(1)B (1, 2)，1=2m +t ，∴直线BM 的方程为x =y +t ， ·························7分 代入y 2=4x ．解得y =2(舍)或y =−2t ，∴P (t 2,−2t ). ·······························8分 ∵∠BMN =∠BNM ，∴ M 、N 关于AB 对称，得N (2−t , 0) . ·····················9分 同理得BN 的方程为x =y +2−t ，代入y 2=4x ．得Q ((t −2)2, 2t −4). ···········10分， ·······················································11分直线l 的斜率为−1，因此PQ ∥l . ·······················································12分 21. 解： (1)依题得，定义域为R ，，，··········1分 令，.①若，即，则恒成立，从而恒成立，当且仅当，时，.所以在R 上单调递增. ································································2分②若，即，令，得或. 当时，； ····································3分 当时，. ·····················4分 综合上述：当时，在R 上单调递增；当时，在区间上单调递减， 在区间上单调递增. ···················5分 (2)依题意可知： ···················6分 令，可得, ···························································7分 .设，则.·····························8分当时, ，单调递减, ······································9分PD BE ⊥2121222213138383{22,10,y px x y =++=12t -12t -224444144(2)PQ t t k tt t --===----()f x 2()(+2+)e x f x x x m '=e 0x >2()2h x x x m =++=44m -△0≤△1m ≥()0h x ≥()0f x '≥1m =1x =-()0f x '=()f x 0△＞1m ＜()0h x =11x m =---11x m =-+-(11,11)x m m ∈----+-()0'<f x (,11)(11,)x m m ∈-∞----+-+∞U ()0f x '>1m ≥()f x 1m ＜()f x (11,11)m m ----+-()f x (,11),(11,)m m -∞----+-+∞2()21()1x x x g x e nx f x e x e nx =---=---0x =(0)0g =2()(12)(R)x g x x x e n x '=---∈2()(12)x h x x x e n =---2()(41)x h x x x e '=-++0x ≥()0h x '<()g x 'xO yN B M PQ A故. ······················································10分 要使在时恒成立,需要在上单调递减， 所以需要. ······················································11分 即,此时,故.综上所述, 的取值范围是. ······································12分 (二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. 解:(1)将曲线C :消去参数θ得, 曲线C 的普通方程为:.·····1分∵点M)在直线上，∴ (2)分∴, 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为x +y −2=0, ························································4分显然l 过点(1, 1), 倾斜角为.∴直线l 的参数方程为(t 为参数). ······································5分(2)解法一：由(1)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得： ， ····························································6分· 整理得，显然△＞0.设A , B 对应的参数为t 1, t 2, 则由韦达定理得，.········7分由参数t 的几何意义得|AB |=| t 1−t 2， ························8分又原点O (0,0)到直线l 的距离为····································9分 因此，△OAB 的面积为.···················10分 (2)解法二: 由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 设，则由韦达定理得，.············· ·········7分 由弦长公式得|AB ， ··········· ·········8分 又原点O (0,0)到直线l 的距离为 ··································9分 因此，△OAB 的面积为. ··················10分 (2)解法三：由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 ()(0)1g x g n ''≤=-()0g x ≤0x ≥()g x [0,)+∞()10g x n '≤-≤1n ≥()(0)0g x g ≤=1n ≥n [1,)+∞,,x y θθ=⎧⎨⎩22143y x +=4πcos()=4a πρθ-cos(44a ππ-cos(4πρθ-cos sin ρθρθ+34π1,1,x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩2211(1)(1)143-++=27100t +-=12t t +=12107t t =-=d =1112||722S AB d ===221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =d =1112||722S AB d ===221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=设，则由韦达定理得，. ·····················7分 ∵直线l 过椭圆右顶点(2,0)，∴，∴······················8分把代入直线l 的方程得，······················9分因此，△OAB 的面积为. ··························10分23．解：(1)由已知·················································1分当x ≥2时，f (x )=3，不符合； ···························································2分 当−1≤x ＜2时, f (x )=2x −1, 由f (x )≤1, 即2x −1≤1, 解得x ≤1, ∴−1≤x ≤1. ······3分 当x ＜−1时，f (x )= −3，f (x )≤1恒成立. · ··················································4分 综上，x 的取值范围是x ≤1. ·····························································5分 (2)由(1)知f (x )≤3，当且仅当x ≥2时，f (x )=3， ········································6分 ∴M = f (x )Max =3.即a +b +c =3， ·······················································7分· ∵a 2+b 2≥2ab ，a 2+c 2≥2ac ，c 2+b 2≥2cb ， ·············································8分 ∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +ac +cb )∴3(a 2+b 2+c 2)≥a 2+b 2+c 2+2ab +2ac+2cb =(a +b +c )2=9， ·································9分 因此(a 2+b 2+c 2)≥3. ··············································································10分1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =21627x +=227x =227x =2127y =2111212||27722S OA y =⋅=⨯⨯=3,2,21,12,(, 1.)3x x f x x x ≥⎧⎪--≤⎨--⎪⎩=＜＜。
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A=（1，2，5}，∁U B=（1，3，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{5}C．{1，2，4，5} D．{3，4，5}2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知非零向量与向量平行，则实数m的值为（）A．﹣1或B．1或 C．﹣1 D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．6．设数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a20=（）A．4 B．36 C．﹣74 D．807．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．138．已知命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e]C．（e2，+∞）D．[e2，+∞）9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．31πB．32πC．34πD．36π11．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．12．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是．14．实数x，y满足，则z=x+y+1的最大值为．15．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．16．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，S5=30，数列{b n}满足b1+2b2+…+nb n=a n （Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设c n=b n•b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．18．2020年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：等级一级二级三级四级频率0.30 2m m 0.10现从该港口随机抽取了n家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家．（1）求m，n的值；（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=1，，求三棱锥A﹣A1BC的体积．20．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N 的下方），且|MN|=3．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．21．已知函数f（x）=lnx+ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N（u，0），若，求证f′（u）＜k．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数（Ⅰ）当时，解不等式f（x）≤x+10；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A=（1，2，5}，∁U B=（1，3，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{5}C．{1，2，4，5} D．{3，4，5}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：因为全集U={1，2，3，4，5}，∁U B={1，3，5}，所以B={2，4}，所以A∩B={2}，故选：A．2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．【解答】解：∵Z=（i为虚数单位），∴=1﹣i，对应的点为（1，﹣1）在第四象限．故选：D．3．已知非零向量与向量平行，则实数m的值为（）A．﹣1或B．1或 C．﹣1 D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量共线定理的坐标表示，列出方程解方程，求出m的值．【解答】解：非零向量与向量平行，∴﹣2（m2﹣1）﹣1×（m+1）=0，解得m=或m=﹣1（不合题意，舍去）；∴实数m的值为．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选C．5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理可求sinC，利用同角三角函数基本关系式可求cocC=，可得C为或，又b＜c，B为锐角，分类讨论由三角形内角和定理即可解得B的值．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，c=2，，a＜c，可得A=，cosA=，∴sinC===，可得cocC=，即C为或，∵b＜c，B为锐角，∴当C=，B=，矛盾，舍去，故C=，∴B=π﹣A﹣C=．故选：A．6．设数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a20=（）A．4 B．36 C．﹣74 D．80【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a20．【解答】解：∵数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，∴，解得a1=2，d=﹣4，∴a20=a1+19d=2﹣4×19=﹣74．故选：C．7．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．13【考点】函数的值．【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值．【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312，∴f（﹣7）+f（log312）=1+log39+=1+2+4=7，故选：A．8．已知命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e]C．（e2，+∞）D．[e2，+∞）【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定．【分析】写出命题的否定命题，利用命题的真假关系，通过函数的最值求解即可．【解答】解：命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，则命题p为：任意x∈（1，2）使得e x﹣a≤0，因为p是真命题，所以e x﹣a≤0恒成立，即a≥e x，e x＜e2．可得a≥e2．故选：D．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求出函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x）的单调增区间．【解答】解：由图可知A=2，T=4（﹣）=π，∴ϖ==2．∵由图可得点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2×+φ）=2，解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，∴由|φ|＜，可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．∵若将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为：g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x+）．∴由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数g（x）的单调增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：A．10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．31πB．32πC．34πD．36π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先还原几何体为底面边长为3的正方形，高为4是四棱锥，明确其外接球的半径，然后计算表面积．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是底面是边长为3的正方形，高为4是四棱锥，所以其外接球的直径为，所以其表面积为34π；故选C．11．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．12．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为，联立直线AB与抛物线的方程可得：，解之得：，，所以，而原点到直线AB的距离为，所以，当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．故应选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是x﹣y+3=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，由直线垂直的条件求出直线l的斜率，代入点斜式方程再化为一般式方程．【解答】解：由题意得，圆x2+（y﹣3）2=4的圆心为（0，3），又直线l与直线x+y+1=0垂直，所以直线l的斜率是1，则直线l的方程是：y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故答案为：x﹣y+3=0．14．实数x，y满足，则z=x+y+1的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+y+1，即y=﹣x﹣1+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣1+z经过点B（3，0），和直线x+y﹣3=0平行时，直线y=﹣x﹣1+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=x+y+1得z=3+1=4．即目标函数z=x+y+1的最大值为4．故答案为：4．15．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【考点】余弦定理．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：16．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，S5=30，数列{b n}满足b1+2b2+…+nb n=a n （Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设c n=b n•b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用递推关系与“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（II）∵b1+2b2+…+nb n=a n，∴当n=1时，b1=a1=2；当n≥2时，b1+2b2+…+（n﹣1）b n﹣1=a n﹣1，∴nb n=a n﹣a n﹣1=2，解得b n=．∴c n=b n•b n+1==4．∴数列{c n}的前n项和T n=4++…+=4=．18．2020年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：等级一级二级三级四级频率0.30 2m m 0.10现从该港口随机抽取了n家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家．（1）求m，n的值；（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（1）由已知先求出m，由频率=，能求出n．（2）由分层抽样的方法得到消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．记消防安全等级为二级的4家公司分别为A，B，C，D，三级的2家公司分别记为a，b，从中抽取2家公司，利用列举法能出抽取的2家公司的消防安全等级都是二级的概率．【解答】解：（1）由已知可得：0.30+2m+m+0.10=1，解得：m=0.20．所以n==100．（2）由（1）知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．记消防安全等级为二级的4家公司分别为A，B，C，D，三级的2家公司分别记为a，b，则从中抽取2家公司，不同的结果为：（Aa），（Ab），（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab），共15种，记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M，则事件M包含的结果有：（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD），共6种，所以P（M）==．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=1，，求三棱锥A﹣A1BC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【分析】（I）取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B，由CA=CB得CO⊥AB，由△AA1B 是等边三角形得OA1⊥AB，故AB⊥平面COA1，于是AB⊥A1C；（II）根据等边三角形性质求出OC，OA1，由勾股定理逆定理得出CO⊥OA1，求出S，于是V=2V．【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B．∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵AB=AA1，∠BAA1=60°．∴△A1AB为等边三角形．∴OA1⊥AB，又∵OC⊂平面COA1，OA1⊂平面COA1，OC∩OA1=O．∴AB⊥平面COA1．又A1C⊂平面COA1，∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解：∵AB=BC=AC=1，∴CO=，∵AB=AA1=1，∠BAA1=60°，∴A1O=．∵A1C=，∴CO2+A1O2=A1C2．∴CO⊥A1O．∴S==．∴V=2V=2×=2×=．20．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N 的下方），且|MN|=3．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．【考点】直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．（Ⅱ）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB+K BN=0，可得∠ANM=∠BNM．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r）．∵|MN|=3，∴，解得，故圆C的方程为．（Ⅱ）把x=0代入方程，解得y=1或y=4，即点M（0，1），N（0，4）．（1）当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM．（2）当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1．联立方程，消去y得，（1+2k2）x2+4kx﹣6=0．设直线AB交椭圆Γ于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则，．∴=0，∴∠ANM=∠BNM．综上所述，∠ANM=∠BNM．21．已知函数f（x）=lnx+ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N（u，0），若，求证f′（u）＜k．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程，（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，（Ⅲ）要证：f′（u）＜k．，只需证，构造函数令，通过讨论函数的单调性，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+x2+x，∴，∴f'（1）=4又∵f（1）=ln1+12+1=2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2=4（x﹣1），即4x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在定义域内单调递增；当a＜0时，令f'（x）=0，解得，，∵x＞0，∴则时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；综上，a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；a＜0时，f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递增区间为（Ⅲ）证明：=，∵，∴x2﹣x1=λ（u﹣x1），∴，又，∴，∴，∵a＜0，x2＞x1，1≤λ≤2，∴要证：f′（u）＜k．，只需证即证：，设令，则，令h（t）=﹣t2+（λ2﹣2λ+2）t﹣（λ﹣1）2，t＞1，1≤λ≤2对称轴．h（t）＜h（1）=0，∴g'（t）＜0，故g（t）在（1，+∞）内单调递减，则g（t）＜g（1）=0，故f′（u）＜k．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由，展开为ρ2﹣4﹣1=0，利用即可得出极坐标方程．（II）将代入圆的方程得化简得t2﹣2tcosα﹣4=0，利用弦长公式，化简即可得出．【解答】解：（1）由，展开为ρ2﹣4﹣1=0，化为﹣1=0，配方得圆C的方程为（2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=5，化简得t2﹣2tcosα﹣4=0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，所以，所以4cos2α=2，，．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数（Ⅰ）当时，解不等式f（x）≤x+10；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的意义求出f（x）的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，①当时，由f（x）≤x+10得﹣2x+3≤x+10，解得，此时；②当时，由f（x）≤x+10得2≤x+10，解得x≥﹣8，此时；．．③当时，由f（x）≤x+10得2≤x+10，解得x≤13，此时；综上，不等式f（x）≤x+10的解集为；（Ⅱ）由绝对值不等式的性质得：，∴f（x）的最小值为，由题意得，解得，∴实数a的取值范围为．2020年8月1日第21页（共21页）。
广东省茂名市高考联考数学（文）试题（二）含答案
广东省省际名校（茂名市）高三下学期联考（二）数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}230A x x x =--<，{26B x x a =<-或}x a >，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．[]3,4D ．()3,4 2．i 是虚数单位，复数z 满足()113i z i +=+，则z =（ ） A ．12i + B ．2i + C ．12i - D ．2i -3.已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，类比之可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是（ ） A ．各面内某边的中点B ．各面内某条中线的中点C ．各面内某条高的三等分点D ．各面内某条角平分线的四等分点 4.设函数()f x 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A.()1y f x =在R 上为减函数 B.()y f x =在R 上为增函数 C. ()1y f x =-在R 上为增函数D.()y f x =-在R 上为减函数5.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作S .在一次投掷中，已知S 是奇数，则9S =的概率是（ ） A ．16 B ．29 C ．19 D ．156.过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E 交于,A B 两点，若E 在,A B 两点处的切线与E 的对称轴交于点C ，则ABC ∆外接圆的半径是（ ）A ．)21p B ．p C 2 D ．2p7. 若4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325 B ．2325- C ．725 D ．725- 8. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 2b C c a +=，且13,3b c ==，则a =（）A．1 B．6 C．22 D．49.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A．323B．643C．16D．1310.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．14B．34C．4πD．14π-11.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组240,4,0x y x y ⎧-≥⎪≤⎨⎪≥⎩的点(),x y 组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为1V ；满足不等式组()222216,4,0x y x y r y ⎧+≤⎪⎪+-≥⎨⎪≥⎪⎩的点(),x y 组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为2V .利用祖暅原理，可得1V =（ ）A ．323π B ．643π C ．32π D ．64π 12.若对任意的0x >，不等式()22ln 10x m x m -≥≠恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．{}1 B ．[)1,+∞ C ．[)2,+∞ D ．[),e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知a 为单位向量，()1,3b =，且1a b ⋅=，则a 与b 夹角的大小是 ． 14. 若实数,x y 满足约束条件1,10,326,,,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪-+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩则2z x y =-的最大值是 ．15. 将函数()()2213sin cos f x x x x =---的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()g x 的单调递增区间是 ．16. 设椭圆()222210b x y a ba +>>=的上顶点为B ，右顶点为A ，右焦点为F ，E 为椭圆下半部分上一点，若椭圆在E 处的切线平行于AB 2，则直线EF 的斜率是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，2416a a a =-，且20a ≠. （1）求1a 与d 的关系式； （2）当29d =时，设1281n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且11A AB A AD ∠=∠.（1）证明：四边形11BB D D 为矩形；（2）若1,60AB A A BAD =∠=︒，1A C ⊥平面11BB D D ，求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积. 19.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系. （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩； （3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()()226.6350.01,10.8280.01P K P K ≥=≥=.20. 已知圆()()221:222C x y -+-=内有一动弦AB ，且2AB =，以AB 为斜边作等腰直角三角形PAB ，点P 在圆外. （1）求点P 的轨迹2C 的方程；（2）从原点O 作圆1C 的两条切线，分别交2C 于,,,E F G H 四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S .21.已知函数()()21ln 12f x x x =+-. （1）判断()f x 的零点个数；（2）若函数()g x ax a =-，当1x >时，()g x 的图象总在()f x 的图象的下方，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-，直线l 的参数方程为2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角). （1）若34πα=，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 有两个不同的交点,A B ，且()2,1P 为AB 的中点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x x =++-. （1）求函数()f x 的最小值a ；（2）根据（1）中的结论，若33m n a +=，且0,0m n >>，求证:2m n +≤.试卷答案一、选择题1-5: CBCDB 6-10: BDDAC 11、12：CA 二、填空题 13.3π 14. 2 15.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（注：写成开区间或半开半闭区间亦可） 2 三、解答题17. 解:（1）因为2416a a a =-，所以()()211135a d a a d +=-+， 即有()()11290a d a d ++=.因为20a ≠，即10a d +≠，所以1290a d +=. （2）因为1290a d +=，又29d =，所以2119n n a -=. 所以()()12211812112921129n n n b a a n n n n +===-----. 所以1231111111197755321129n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112929929nn n -=-=---. 18.（1）证明: 连接AC ，设AC BD O ⋂=，连接111,,A B A D AO . ∵11,A AB A AD AB AD ∠=∠=，∴11A B A D =. 又O 为BD 的中点，∴1,AO BD AO BD ⊥⊥. ∴BD ⊥平面11A ACC ，∴1BD AA ⊥. ∵11//BB AA ，∴1BD BB ⊥.又四边形11BB D D 是平行四边形，则四边形11BB D D 为矩形.（2）解：由12,60AB A A BAD ==∠=︒，可得2AD AB ==，∴23AC =. 由BD ⊥平面11A ACC ，可得平面ABCD ⊥平面11A ACC ，且交线为AC . 过点1A 作1A E AC ⊥，垂足为点E ，则1A E ⊥平面ABCD . 因为1A C ⊥平面11BB D D ,∴11AC BB ⊥，即11AC AA ⊥. 在1Rt AAC ∆中，可得112622,3AC A E ==. 所以四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为132622242223V =⨯⨯⨯⨯⨯=.19. 解:(（1）由题意可知120,90x y ==， 故()()()()()()()()()()()()()()()222221451201109013012090901201201029010512078901001207090145120130120120120105120100120b --+--+--+--+--=-+-+-+-+-50000180400108040.8625100022540013505++++====++++.901200.86a =-⨯=-，故回归方程为0.86y x =-.（2）将110x =代入上述方程，得0.8110682y =⨯-=.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人. 于是可以得到22⨯列联表为：于是()2260241812610 6.63530303624K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.20.解：（1）连接11,C A C B ，∵112,2C A C B AB ===，∴1C AB ∆为等腰直角三角形. ∵FAB ∆为等腰直角三角形，∴四边形1FAC B 为正方形. ∴12PC =，∴点P 的轨迹是以1C 为圆心，2为半径的圆， 则2C 的方程为()()22224x y -+-=.（2）如图，,1C N OF ⊥于点N ，连接111,,C E C F C O . 在1Rt OC N ∆中，∵1122,2OC C N ==，∴6ON =. ∴11sin 2C ON ∠=，∴130C ON ∠=︒. ∴OEH ∆与OFG ∆为正三角形.∵11C EN C FN ∆≅∆，且112C E C F ==，∴2NE NF ==. ∴四边形EFGH 的面积()()22336262644OFC CEHS S S ∆∆=-=+--=.21.解:（1）()()21ln 12f x x x =+-的定义域为()0,+∞， 又()11f x x x'=+-， ∵12x x+≥，∴()10f x '≥>， ∴()f x 在()0,+∞上为增函数，又()10f =， ∴()f x 在()0,+∞上只有一个零点. （2）由题意当1x >时，()211ln 20x x ax a --+>+恒成立. 令()()211ln 2h x x x ax a =-+-+，则()11h x x a x'=+--.当1a ≤时，∵()1110h x x a a x'=+-->-≥，∴()h x 在()1,+∞上为增函数. 又()10h =，∴()0h x >恒成立. 当1a >时，()()211x a x h x x-++'=，令()()211x x a x ϕ=-++，则()()()214310a a a ∆=+-=+->. 令()0x ϕ=的两根分别为12,x x 且12x x <，则∵121210,10x x a x x +=+>⋅=>，∴1201x x <<<， 当()21,x x ∈时，()0x ϕ<，∴()0h x '<，∴()h x 在()21,x 上为减函数，又()10h =，∴当()21,x x ∈时，()0h x <. 故a 的取值范围为(],1-∞.22.解：（1）l 的普通房成为30x y +-=， C 的直角坐标方程为22y x =.（2）把2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入抛物线方程22y x =得()()22sin 2sin cos 30*t t ααα+--=，设,A B 所对应的参数为12,t t ，则()1222sin cos sin t t ααα-+=.∵()2,1P 为AB 的中点，∴P 点所对应的参数为122sin cos 02sin t t ααα+-=-=， ∴sin cos 0αα-=，即4πα=.则()*变为21302t -=，此时26,6t t ==±∴26AB =23.（1）解：()()11112f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当11x -≤≤时取等号， 所以()min 2f x =，即2a =.（2）证明:假设:2m n +>，则()332,2m m n n >->-. 所以()()3323322612n n m n n >-+=+-≥+. ① 由（1）知2a =，所以332m n +=. ②①与②矛盾，所以2+≤.m n。
2020年广东高三二模数学试卷(文科)
故选 ．
12. B 解析:
若 若 ∴
，则 ，则
， ．
，
，由
得
，
，与函数 有唯一零点矛盾；
，
，当且仅当
时，两式同时取等，
，当且仅当
时取等，
10
∴函数 有唯一零点；
若
，则
，令
，
，
①当
时，
，∴ 在 上单调递增，
即
在 上单调递增，又
，
∴
时，
， 单调递减；
时，
， 单调递增，
又
，∴函数 有唯一零点；
②当
，则
存在解，设其在
图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有 的把握认为“产品质量高与新设备有关”．
非优质品
优质品
合计
新设备产品
旧设备产品
合计
附：
，其中
．
（ 3 ） 已知每件产品的纯利润 （单位：元）与产品质量指标值 的关系式为
，若
每台新设备每天可以生产 收回设备成本．
件产品，买一台新设备需要 万元，请估计至少需要生产多少天方可以
∴ 在 上单调递增．
又∵
，
∴
．
22.（ 1 ）
．
（2） ．
解析:
（ 1 ）由
，
得
，
∴
，
∵
，
．
∴直线 的直角坐标方程为
，
即
．
（ 2 ）依题意可知曲线 的参数方程为：
设
，
则点 到直线 的距离为：
，
（ 为参数），
17
，
∵
，
∴当
时，
，
依题意得
2020年广东省茂名市五校联盟高考数学二模试卷(文科) (含解析)
2020年广东省茂名市五校联盟高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x(x−1)≥0}，N={x|−1<x<1}，则M∩N=()A. |x|−1<x≤0}B. {x|−1≤x≤0}C. {x|0≤x<1}D. {x|0≤x≤1}2.设z=2i1−i+2+i，则复数z的虚部为()A. 2B. 2iC. 1D. i3.若cos(π+α)=−13，则cosα的值为()A. −2√23B. −13C. 13D. 2√234.已知a⃗，b⃗ 为不共线向量，向量8a⃗−k b⃗ 与−k a⃗+b⃗ 共线，则k=()A. 2√2B. −2√2C. ±2√2D. 85.已知点(2,√3)在双曲线x24−y2a=1(a>0)的一条渐近线上，则a=()A. √3B. 3C. 2D. 2√36.某市2015年至2019年新能源汽车年销量y(单位：百台)与年份代号x的数据如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为ŷ=6.5x+9，则表中m的值为()A. 22B. 25C. 30D. 无法确定7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2√3π，且短轴长为2√3，则C的标准方程为()A. x212+y2=1 B. x24+y23=1 C. x23+y24=1 D. x216+y23=18.函数f(x)=sinxcosxx2+1的图象大致为()A. B.C. D.9.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为()A. 1B. 2C. 3D. 610.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图，圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用，山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示。
广东省茂名市2020届高三数学第二次综合测试试题文含解析
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
①当过点 的直线 斜率不存在时，直线方程为 ，切点的坐标 ；
②当直线 斜率存在时，设 方程为 ，根据圆心 到切线的距离等于半径 ，求出 确定直线方程，直线 方程与圆方程的联立，进一步求出切点的坐标 ，再求出 方程，则椭圆的右焦点及下顶点可求，其标准方程可求.
当且仅当 时等号成立．
故答案为： .
【点睛】考查等差数列的应用，考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.
15.在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点，则平面 截该正方体所得截面面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设平面 交 于点 ，可知平面 截正方体 所得截面为 ，推导出点 为 的中点，计算得知四边形 是边长为 的菱形，并求出菱形 的对角线长，由此可求得该截面的面积.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
列出图中的阴数、阳数，求出从阳数和阴数中各取一数的所有组合总数、满足差的绝对值为 的组合数，利用古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】∵阳数为 ；阴数为 ，
∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有 个，
满足差的绝对值为 的有 ， ， ， ， 共 个，
则 .
5.下列命题错误的是（ ）
A. “ ”是“ ”的充要条件
B. 命题“若 ，则方程 有实根”的逆命题为真命题
C. 在 中，若“ ”，则“ ”
D. 若等比数列 公比为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的充要条件
2020年广东省高考数学二模试卷(文科)
2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{|5217}A x x =-<+<，{|24}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．{|34}x x -<<B ．{|24}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|23}x x -<<2．（5分）已知复数()(z i a i i =-为虚数单位，)a R ∈，若||z =(a = ) A ．4B ．2C ．2±D ．2-3．（5分）小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为( )A ．13B ．23C ．16D ．124．（5分）若x ，y 满足约束条件303010x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪+⎩„„…，则2z y x =-的最大值是( )A ．9B ．7C ．3D ．65．（5分）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( ) A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺6．（5分）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆，则该圆锥的体积为( ) A．BCD7．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减，(3)0f -=，则不等式(1)0f x ->的解集为( ) A ．(3,3)-B ．(2,4)-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(4,2)-8．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若0FA FB =u u u r u u u rg ，则该双曲线的离心率为( )AB ．2 CD9．（5分）已知数列{}n a 满足1(*)1nn na a n N a +=∈+，且11a =，设1n n nb a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2019(S = ) A ．20182019B ．20192020C ．2019D ．1201910．（5分）把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g t 的说法有：①函数()g x 的图象关于点(,0)3π对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-；③函数()g x 在[3π，]2π④函数()[0g x ∈，]π上单调递增，则以上说法正确的个数是( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心，且112PF F F ⊥，△12PF F，则椭圆C 的方程为( ) A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22142x y +=D ．2214x y += 12．（5分）已知函数21()cos 1()2f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞ B ．(,0)[1-∞U ，)+∞ C ．(-∞，0][1U ，)+∞ D ．(-∞，1][1-U ，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2．若 (x i)i y 2i, x, y R ，则复数 x yi 的虚部为( )
A.2
B.1
C. i
D.−1
3．已知函数 f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 x+2y−2=0，则 f(1)+f ′(1) =( )
A．
3 2
B．1
C．
1 2
D．0
y
4．函数
f
( x)=A sin( x
kb) ，则 k
.
14. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入 16 万元帮助当地贫困户
通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本 3 万元，从第二年起每
年投入运营成本比上一年增加 2 万元，该厂每年可以收入 20 万元，若该厂 n（n∈N*）
年后，年平均盈利额达到最大值，则 n 等于
与 九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，
第 6 题图
若
从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为：( )
数学试卷(文科) 第 1 页（共 5 页）
A.
1 5
B.
6 25
C.
7 25
D.
8 25
7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个
算法，是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出
D．若等比数列{an}公比为 q，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的充要条件 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国
古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被
誉
为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。河图的排列结构如图
所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四
绝密★启用前
卷类型：A
2020 年茂名市高三级第二次综合测试
文科数学 2020.5
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 6 页，23 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
)( A
0,
0,|
|
2
)
的图象如图
所示，则 f (3)的值为(
)
2 O
2 3
x
A．
1 2
B．1
C． 2
D． 3
6
5．下列命题错误的是( )
–2
A．“x＝2”是“x2−4x+4＝0”的充要条件
第 4 题图
Hale Waihona Puke B．命题“若m1 4
，则方程
x2+x−m＝0
有实根”的逆命题为真命题
C．在△ABC 中，若“A＞B”，则“sinA＞sinB”
若 y=ex 在点 (x0 , ex0 ) (x0 1) 处的切线也是 y=lnx 的切线，则 x0 必是 f (x) 零点．
其中所有正确的结论序号是
A．①②③
B．①②
C．②③④
D．②③
二13．、已填知空向题量：(a本大(题4,共2)4，小b题，(1每, 小1) 题，若5 分b ， 共(a
20 分 .把答案填在答题卡的相应位置)
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题
卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑. 答案
写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
A. (, 1)∪(3, ) B. (1,3) C. (0, 2) D. (, 0)∪(2, )
10．函数 f (x)
1+ex 1ex
cos x 在[−5, 5]的图形大致是(
)
y
y
y
y
−5
O
5x −5
O
5 x −5
O
5 x −5
O
5x
A
B
C
D
11．已知三棱锥 P ABC
中， APB
2 3
.
（盈利额=总收入−总成本）
15．在棱长为 2 的正方体 ABCD–A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1
的中点，则平面 A1EC 截该正方体所得截面面积为：
数学试卷(文科) 第 2 页（共 5 页）
A1 B1 FA
D1 C1 E
D
B
C
第 15 题图
.
16．过点
P
1,
1 2
作圆 x2 y2 1的切线 l ，已知 A，B 分别为切点，直线 AB 恰好经过椭圆
的 右 焦 点 和 下 顶 点 ， 则 直 线 AB 方 程 为
是
. （第一空 2 分，第二空 3 分）
；椭圆的标准方程
三、解答题：(共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题：共 60 分
的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循
环结构的“辗转相除法”程序框图.当输入 m=2020，
n=303 时，则输出的 m 是( )
A. 2
B. 6
C. 101
D. 202
8．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1 (a＞0,
b＞0)的离心率为
2，
其一条渐近线被圆(x−m)2+y2=4(m＞0)截得的线段长
17．(12 分)
在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 B 2C ， 3b 4c ． (1)求 cos C ； (2)若 c 3 ，求 △ABC 的面积．
,
PA
PB
3, AC 5, BC 4,
且
平面 PAB⊥平面 ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A．16
B． 28
C． 24
D． 32
12．已知函数
f
( x)=e x
x+1 x1
，对于函数
f
(x)
有下述四个结论：①函数
f
(x)
在其定义域
上为增函数；②对于任意的 a 0 ，都有 f (a) 1 成立；③ f (x) 有且仅有两个零点；④
5．考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，有
且只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合 U={1, 2, 3, 4, 5}，A={2, 3, 5}，B={2, 5}，则( )
A. AB
B. ∁UB={1, 3, 4}
C. A∪B={2, 5} D. A∩B ={3}
为 2，则实数 m 的值为( )
A． 3
B． 2
C．2
D．1
9．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0
开始
输入 m, n
r=1
n=r
m=n
r＞0? 否
输出 m
求m 除以n 的余数r 是
时，
结束
f (x)
1 2
x
2
．则使不等式
f
(x
1)
9 4
成立的
第 7 题图
x 取值范围是( )